PROGRAMMA DELLE ATTIVITA’
PER L’ANNO 2003
CORSI BASE
“Elementi di analisi formale della logica antica”
Abstract: L’innovazione della logica aristotelica. Considerazioni informali sulla logica
proposizionale. Considerazioni informali sulla sillogistica. Considerazioni informali sulle modalità.
La rivoluzione della logica matematica. Lo studio formale della logica antica. Il sistema
Proposizionale. Il sistema Sillogistico. Cosa sono le modalità? Le modalità aristoteliche: problemi
e prospettive.
“Elementi di Logica Proposizionale”
Abstract: Considerazioni sui linguaggi naturali. Che cos’è la logica formale. Connettivi e funzioni
di verità. Il concetto di inferenza. Linguaggio proposizionale. Semantica proposizionale. Le
tautologie. Tavole di verità e tavole analitiche. Completezza funzionale. Assiomi e teorie. Calcoli
logici e completezza. Compattezza e completezza. Brevi cenni sulla logica predicativa.
“Elementi di Logica dei Predicati del primo ordine”
Abstract: Elementi di teoria degli insiemi. Costruzione di un sistema formale per la logica dei
predicati del primo ordine. Analisi del linguaggio e del sistema deduttivo della logica dei predicati
del primo ordine. Alcune considerazioni sul Teorema di Deduzione. La semantica della logica dei
predicati del primo ordine. Impiego ed uso delle Tavole Analitiche. Analisi dei teoremi di
Correttezza e di Completezza. Brevi considerazioni sul Calcolo di Deduzione Naturale e sul
Calcolo dei Sequenti.
“Introduzione alla Teoria Assiomatica degli Insiemi”
Abstract: Dopo una breve discussione relativa alla teoria ingenua degli insiemi verrà introdotto il
concetto di funzione caratteristica associata ad un insieme. Verranno messe in luce alcune possibili
generalizzazioni del concetto di insieme ottenibili attraverso questo approccio ma ne verranno
mostrati anche i limiti. In particolare, verranno discussi alcuni paradossi celebri relativi alla teoria
degli insiemi classici esaminandone la natura. Dopo aver esaminato la portata epistemologica
degli approcci assiomatici nella matematica moderna, saranno introdotte alcune assiomatizzazioni
per la teoria degli insiemi. Verrà mostrata l'importanza di tale approccio come strumento per
garantire una teoria ben fondata. Infine si discuteranno più nel dettaglio gli assiomi della scelta e
di continuità.
“La Logica nella pratica informatica”
Abstract: Dai numeri binari ai calcolatori: comprensione di come fanno i computer a lavorare
utilizzando esclusivamente un algebra booleana con valori in 0 e 1; analisi di come utilizzare tale
algebra per costruire un elaboratore con tutte le sue funzionalità. Linguaggi e Compilatori: analisi
dell'aspetto software di un elaboratore, cercando di capire cosa sia un linguaggio, quali siano i
formalismi alla base dei linguaggi e come faccia un computer a "decifrare" ciò che noi scriviamo
usando tale linguaggio. Ingegneria del Software: si mostrerà una disciplina dell'Informatica,
anch'essa ricca di formalismi matematici e grafici, che permette di realizzare sistemi software di
sempre più grandi dimensioni e sempre in minor tempo.
CORSI AVANZATI
“Elementi di Teoria della Dimostrazione”
Abstract: Cenni sui sistemi hilbertiani di logica proposizionale e dei predicati. Considerazioni
sulla logica classica e sulla logica intuizionista. Il Calcolo di Deduzione Naturale. Il Teorema di
Normalizzazione. La struttura delle derivazioni normali. Il Calcolo delle Sequenze. Il Teorema di
Eliminazione del Taglio. Il Teorema della Sequenza Mediana. Elementi per un confronto tra il
Calcolo delle Sequenze e quello di Deduzione Naturale.
“Elementi di Logica Fuzzy. Teoria degli insiemi fuzzy ed analisi semantica e
sintattica del linguaggio naturale”
Abstract: Nel corso della relazione si partirà dall’analisi della teoria ingenua degli insiemi fuzzy,
prendendo in considerazione le diverse proposte che si sono storicamente affiancate alla proposta
originaria di Zadeh. Questo tipo di approccio consentirà da un lato di sviluppare considerazioni di
ordine epistemologico in merito al ruolo attribuibile al concetto di vaghezza ed alla possibilità di
utilizzare a questo proposito una teoria fuzzy. Per altri versi, questo punto di vista permetterà di
avvicinarsi ad un aspetto più speculativo ed astratto della teoria degli insiemi: la teoria
assiomatica. Si avrà quindi modo di prendere in considerazione le diverse proposte di
assiomatizzazione avanzate e di sottolinearne gli aspetti problematici.
Da quest’ultimo aspetto emergerà l’esigenza di una formalizzazione precisa del linguaggio, della
sintassi e della semantica della logica fuzzy. Attraverso l’analisi delle logiche fuzzy classiche e la
puntuale individuazione delle premesse logiche ed epistemologiche e delle incongruenze
riscontrabili all’interno di queste teorie, si approderà alla definizione di un linguaggio, di una
semantica e soprattutto di una sintassi fuzzy capaci di formalizzare parti di linguaggio naturale e di
dare rigore ad alcuni concetti della teoria degli insiemi fuzzy.
“La programmazione come creazione di intelligenza”
Abstract: Se analizziamo un organismo dotato di intelligenza (e.g. un uomo) fino alle sue
componenti microscopiche, scopriamo che questo è composto da sottoparti prive di intelligenza.
Analogamente, la programmazione del computer consiste nel prendere un ente di calcolo privo di
intelligenza (come la CPU) e fargli eseguire una sequenza di istruzioni che non richiedono
intelligenza. Eppure la macchina così creata esibisce un comportamento intelligente. Più in
generale, ogni essere intelligente si rivelerà essere, ad un’analisi successiva, niente di più che un
gruppo di “automi” stupidi, ma disposti in modo astuto. L’atto di disporre automi “stupidi” in
modo che esibiscano un comportamento intelligente è detto programmazione. Quindi ogni essere
intelligente è programmato – compresi noi. La differenza tra il cervello e i computer tradizionali è
la tecnica con cui sono programmati: noi scegliamo di programmare i computer con un approccio
top-down, mentre i nostri cervelli sono stati programmati da un algoritmo evolutivo – la selezione
naturale.
“L’origine del concetto di complessità ed i suoi rapporti con la logica classica”
Abstract: La relazione si porrà per oggetto la tematizzazione esplicita dell’idea di complessità in
alcuni lavori di von Neumann della fine degli anni Quaranta. Particolare risalto sarà dato agli
argomenti usati dallo scienziato stesso a sostegno di una possibile inadeguatezza della logica
classica a trattare i nuovi fenomeni definiti appunto “complessi”, argomenti che traggono spunto
dai risultati limitativi di Gödel e Turing. In un secondo momento vedremo come, partendo da
queste riflessioni, sia possibile mettere a lavoro sulla complessità concetti ricorrenti (in logica
come nel “senso comune”) come quelli di astrazione e computazione, ora precisandone ora
estendendone il significato. Per questa seconda parte ci avvarremo anche di alcune idee
fondamentali che costituiscono la struttura della cosiddetta “teoria della complessità
computazionale” e di alcuni risultati di Gregory Chaitin. Scopo della relazione sarà quello di
riuscire a dimostrare la possibilità di un discorso sulla complessità in grado di svincolare questo
concetto dalla parziale miopia di un uso esclusivamente tecnico e strumentale senza rassegnarsi
alla vacuità di una trattazione generica o apocalittica (verranno forniti esempi dei limiti in
entrambi i sensi).
“Il pensiero non-euclideo da Aristotele ai giorni nostri”
Abstract: Con il termine «rivoluzione non-euclidea» s’intende quel grande mutamento del
pensiero avviato, tra il 1820 e il 1830, da Gauss, Lobacevskij e Bólyai, indipendentemente l'uno
dall'altro. In termini negativi, la geometria non euclidea si può caratterizzare come negazione della
geometria euclidea. Seguendo Imre Toth, nel corso delle lezioni si contrapporrà l'ovvietà della
geometria euclidea, che si accorda con le nostre elementari intuizioni sulla strutturazione del
piano, sui quadrati, i triangoli e le parallele, alla nuova visione della geometria non-euclidea. Da
queste prime considerazioni generali si passerà ad analisi storiche sottolineando come la
creazione vera e propria della geometria non euclidea sia stata preceduta da una storia lunga
duemila anni e come Toth, con un’operazione interpretativa originale, abbia evidenziato il ruolo
svolto, all'interno di questa storia, da Aristotele, nel quale si possono già trovare degli esempi di
enunciati non euclidei. Partendo da queste origini e distinguendo quindi tra posizione anti-euclidea
e non euclidea si accennerà alla serie di tentativi fatti per confutare la geometria anti-euclidea
mostrando che in essa si nasconde una contraddizione logica. Tra questi si ricorderanno
brevemente quello di Saccheri -legando il fallimento di quest’ultimo a quel fondamentale legame
logico, scoperto più tardi, esistente tra le due geometrie in virtù del quale si ha che la geometria
non euclidea è contraddittoria solo se è già contraddittoria la geometria euclidea. Si ricorderà poi
il «teorema di Saccheri», da cui risulta implicitamente che quella euclidea e non-euclidea sono in
realtà due cosmologie che si contrappongono e che pertanto, come si comincerà ad avvertire nel
'700, il dilemma euclideo/non-euclideo non può essere risolto in maniera puramente logica. Per
Kant è un'intuizione trascendentale e non una dimostrazione logica, né un giudizio sintetico, a
decidere dell’euclidicità o meno del mondo. Dall'altra parte matematici come Gauss, Lobacevskij e
Bolyai pur partendo da Kant finirono col concludere che nessuna intuizione trascendentale può
costringerci ad accettare come valida soltanto la geometria euclidea e che, di conseguenza, in
assenza di ogni coercizione logica o trascendentale, si è liberi di scegliere entrambe le geometrie.
“Parallelo tra le analisi di Aristotele e Dedekind sul concetto di continuo”
Abstract: Le definizioni aristotelica e dedekindiana del continuo saranno considerate in profondità
al fine di analizzarle nei loro elementi atomici e poterle confrontare l'una con l'altra mettendone in
evidenza similitudini e differenze. Il risultato sarà un accordo sostanziale tra le due definizioni
rispetto al nucleo del concetto di continuo. Saranno poste in evidenza alcune importanti differenze
tra le definizioni che possono essere facilmente spiegate considerando le diverse materie di studio
dei due autori: oggetti fisici per Aristotele e numeri astratti per Dedekind. In conclusione saranno
presentate alcune idee sui possibili sviluppi di tali ricerche.
“La Topologia come approccio a questioni geometriche”
Abstract: Con questo corso ci proponiamo di far emergere nel modo più semplice la natura e il
significato profondo di alcuni invarianti associati ad enti geometrici. Lavoreremo quindi con molti
esempi invitando i partecipanti a giocare e a lavorare direttamente con oggetti matematici concreti.
Questo aiuterà a sviluppare una nuova sensibilità e una nuova abilità che permetterà di
comprendere la generalità dei concetti di continuità, intorno, connessione e compattezza. A partire
da questa consapevolezza verrà ridiscussa la nozione di distanza e di limite. Si cercherà infine di
dare un’idea dell’importanza dell’approccio topologico alla teoria delle superfici (dando quindi
una definizione rigorosa del concetto di superficie) descrivendo gli aspetti essenziali della
topologia algebrica.
“Teoria delle Categorie: un linguaggio per l’algebra”
Abstract: Lo scopo di questo corso è di fornire una semplice introduzione al linguaggio della
teoria delle categorie. Si cercherà di concentrare l’attenzione in particolare sulla potenza
espressiva di tale linguaggio applicato all’algebra astratta. Questo ci porterà quindi ad introdurre
le definizioni di alcune strutture algebriche classiche (gruppi, anelli, campi, insiemi ordinati) e a
mostrare come alcune proprietà universali di tali strutture vengano codificate nell’ambito della
teoria delle categorie. Cercheremo infine di mostrare con alcuni esempi tratti dalla topologia
classica la pervasività del concetto di funtorialità nella matematica moderna e contemporanea.
Questo ci porterà in modo naturale a ripensare la natura degli oggetti matematici della pratica
quotidiana.
