LEZIONE n.1 - Monica Marras

15/10/2015
Università degli studi di Cagliari
CORSO ANALISI MATEMATICA 1 A.A. 2015/2016
Docente: Monica Marras
1
Testo consigliato
• Analisi Matematica 1
con elementi di geometria e algebra lineare .
M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa (Zanichelli)
• Esercizi di Analisi Matematica 1
S. Salsa, A. Squellati (Zanichelli)
Oppure
• Elementi di analisi matematica 1. Versione
semplificata per i nuovi corsi di laurea
P.Marcellini, C.Sbordone (Liguori)
• Esercitazioni di matematica vol.1.2
P.Marcellini, C.Sbordone (Liguori)
2
1
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


!








 :
Simbologia
Appartiene
Non appartiene
Esiste
Esiste unico
Contenuto strettamente
Contenuto
Contiene strettamente
contiene
3
Implica
Se e solo se
Diverso
Per ogni
Tale che
4
2
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




 ,
,

 ,

Minore o uguale
Maggiore o uguale
alfa
beta
gamma
gamma
delta
epsilon
sigma
rho
3
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Cenni di teoria degli insiemi
Per rappresentare un insieme abbiamo tre
possibilità:
1) Rappresentazione estensiva
A = {0, 1, 2, 3, 4}
Cenni di teoria degli insiemi
2) Rappresentazione intensiva
A = {x  x  N e x < 5}
3) Rappresentazione con diagrammi di Eulero - Venn
1
0
2
3
4
4
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Operazioni tra gli insiemi
Un insieme può essere
contenuto in un altro
A
0
1
3
B
2
4
Operazioni tra gli insiemi
Si dice allora che B è un sottoinsieme di A:
BA

Insieme vuoto (insieme privo di
elementi)
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Operazioni tra gli insiemi
Diagrammi di Eulero - Venn
 Intersezione
 Unione
 Complementare
Operazioni tra gli insiemi
Si definisce intersezione di due insiemi
A e B, l'insieme formato dagli elementi
comuni ad A e B.
A  B = {x : x  A e x  B}
A
B
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Operazioni tra gli insiemi
Dati ad esempio i due insiemi
A = {0,1,2,3,4} e
B = {2,4,6},
l’intersezione tra A e B è data dal
seguente insieme:
A  B = {2, 4}
Operazioni tra gli insiemi
Dati ad esempio i due insiemi
A = {0,1,2,3,4} e B = {2,4,6},
l’intersezione tra A e B è data dal
seguente insieme:
X
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Operazioni tra gli insiemi
Si definisce unione di due insiemi A e B,
l'insieme degli elementi che appartengono
ad almeno uno dei due insiemi dati.
A  B = {x  X : x  A o x  B}
A
X
B
Operazioni tra gli insiemi
Dati ad esempio i due insiemi
A = {1,2,3,5} e B = {2,3,4,6}, l’unione
tra A e B è data dal seguente insieme:
A  B = {1,2,3,4,5,6}
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Operazioni tra gli insiemi
Dati ad esempio i due insiemi
A = {1,2,3,5} e B = {2,3,4,6}, l’unione
tra A e B è data dal seguente insieme:
A  B = {x: x  A o x  B}
Operazioni tra gli insiemi
Si definisce complementare di B rispetto
all’insieme X, l’insieme degli elementi che
stanno in X ma non in B.
X \ B = Bc = {x  X e x  B}
X
B
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Operazioni tra gli insiemi
Dati due insiemi non necessariamente distinti A e
B, si definisce prodotto cartesiano il nuovo insieme
costituito da tutte le coppie ordinate (a, b) con
aA, bB.
A x B = {(a,b) : aA e b  B}
GLI INSIEMI NUMERICI
N–Z–Q–R–C
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L’INSIEME N
L’insieme dei numeri naturali è così denominato perché
viene spontaneamente utilizzato per associare agli
oggetti il concetto astratto di numero
0,1,2,3,4,....,
L’addizione e la moltiplicazione sono
operazioni ben definite (interne) in N (il
risultato è sempre un numero naturale)
3+4=7
6x8=48
3x4=12
10x3=30
6+8=14
10+3=13
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L’INSIEME dei numeri interi Z
Per permettere la sottrazione tra numeri naturali si
introduce l’insieme dei numeri interi
L’insieme Z dei numeri interi:
 ,.... 3,2,1,0,1,2,3,.... 
N Z
Z
N
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Le operazioni in Z
L’addizione, la sottrazione e la moltiplicazione
sono operazioni ben definite (interne) in Z (il
risultato è sempre un numero intero relativo)
-3+4= +1
-3- 4 = -7
+3+4 =+7
(-3).(-4)= +12
(+3) .(+4)= +12
(+3) .(-4) = -12
Le operazioni in Z
La divisione non è ben definita: non sempre
si può eseguire
(-30) : (-10) = +3
(+4) : (+5) = ?
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L’INSIEME Q dei numeri razionali
Per dare una risposta a qualsiasi divisione (con
denominatore diverso da zero), si introduce
l’insieme dei numeri razionali
m
Q :  ,
n
n  0,

m, n  Z 

L’INSIEME Q dei numeri razionali

Naturali

Interi relativi

Decimali finiti relativi

Decimali infiniti periodici semplici relativi

Decimali infiniti periodici misti relativi
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N Z Q
Q
Z
N
Le operazioni in Q
L’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la
divisione sono operazioni ben definite in Q (il risultato
è sempre un numero razionale)
3 4 
3
4
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Le operazioni in Q
L’operazione di estrazione di radice non è ben
definita, non sempre si può eseguire
9  3,
3 ?
L’INSIEME dei numeri Irrazionali
Per dare una risposta a qualsiasi radicale con
radicando positivo, si introduce l’insieme dei numeri
irrazionali
45
7
3 15
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L’INSIEME dei numeri Reali R
L’insieme R è costituito dall’unione dei numeri
razionali con i numeri irrazionali
R  Q  irrazional i
L’INSIEME R dei Reali
R
Q
Z
N
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Le operazioni in R
L’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, la
divisione e la radice ennesima con radicando positivo
sono operazioni ben definite (interne) in R
(il risultato è sempre un numero reale)
L’estrazione di radice non è ancora ben definita:
non sempre si può eseguire cioè in R non si possono
risolvere tutte le equazioni
La radice pari di un reale negativo non si può eseguire
in R:
2
4 7
x 2  1  0 non ha soluzione in R
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L’INSIEME C
Si definisce l’unità immaginaria
l’insieme dei numeri complessi
i
e si introduce
I numeri complessi possono essere espressi nella
forma algebrica : z  a  ib
Con a e b numeri reali e
i 2  1
Un numero complesso, con il coefficiente della parte
immaginaria nullo, è un numero reale puro
a  ib  a,
(b  0)
RC
x2  1  0 in C ha soluzione: x  i
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C
Q
Z
N
R
Gli assiomi dei dei numeri reali
Sono definite le operazioni di addizione (+) e
moltiplicazione (∙) tra coppie di numeri reali con le
seguenti proprietà:
a, b, c  R
Proprietà associativa:
(a  b)  c  a  (b  c)
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Proprietà commutativa
a  b  b  a, a  b  b  a
Proprietà distributiva
a  (b  c)  a  b  a  c
Esistenza degli elementi neutri:
0 R : a  0  0  a  a
1 R : a 1  1  a  a
Esistenza degli inversi:
a  R, a  0,  a 1  R : a  (a 1 )  1
a  R, (a)  R : a  (a)  0
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E’ definita la relazione di minore o uguale ()
tra coppie di numeri reali con le proprietà:
- Dicotomia: per ogni coppia di numeri reali a, b si ha
a  b oppure a  b
- Proprietà asimmetrica:
se si ha contemporaneamente
a  b e a  b allora a  b
- Se a  b allora vale anche a  c  b  c
- Se 0  a e 0  b
allora
0  a  b, 0  a  b
Assioma di completezza: siano A, B  R non vuoti
con la proprietà a  b , a  A, b  B .
Allora esiste almeno un numero reale c : a  c  b,
qualunque siano a  A, b  B
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Cenni di Topologia in R
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Sottoinsiemi di R - INTERVALLI
Dati due numeri reali a e b, a  b, si
definisce
[a,b] = {x  R : a  x  b} Intervallo Chiuso
b
a
(a,b) = {x  R : a < x < b} Intervallo Aperto
]a,b[
a
b
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Sottoinsiemi di R - INTERVALLI
(a,b] e [a,b)
né CHIUSO né APERTO
Si può anche dire che (a,b] è chiuso a destra e
aperto a sinistra (viceversa per [a,b)
Sottoinsiemi di R - INTERVALLI
[a,b) = {x  R : a  x <b}
a
b
(a,b] = {x  R : a <x  b}
a
b
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Sottoinsiemi di R - INTERVALLI
Intervallo Illimitato superiormente chiuso
[b,+) = {x  R : x  b}
+
b
Intervallo Illimitato superiormente aperto
(b,+) = {x  R : x > b}
+
b
Sottoinsiemi di R - INTERVALLI
Intervallo Illimitato inferiormente chiuso
(-, a] = {x  R : x  a}
-
a
Intervallo Illimitato inferiormente aperto
(-, a) = {x  R : x < a}
-
a
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Sottoinsiemi di R - INTERVALLI
Intervallo Illimitato
(-, +) = {x  R }
-
+
Sottoinsiemi di R
Def: Intorno di centro x0 e raggio 
I(x0, ) =(x0-, x0+ ) cioè {x  R : |x - x0| < ,  >0 }
Intorno destro di x0
(x0, x0+ ) cioè {x  R : x0 < x < x0 + ,  > 0 }
Intorno sinistro di x0
(x0 - , x0 ) cioè {x  R : x0 - < x < x0,  > 0 }
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Sottoinsiemi di R
Intorno di : un qualunque intervallo del tipo
(- , a) cioè {x  R : x < a }
oppure
(a,+) cioè {x  R : x >a }
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Sottoinsiemi di R
Def.
A  R è limitato se  I(0,r) che lo contiene
r
0
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Sottoinsiemi di R
Def.
kR è maggiorante (minorante) per A se:
1) k è confrontabile con ogni xA;
2)  xA : x  k (x  k)
Es. i maggioranti di intervalli del tipo (a,b),
(a,b], (-, b), (-, b] stanno nella semiretta:
+
b
Sottoinsiemi di R
Es. i minoranti di intervalli del tipo (a,b), (a,b],
(a,+), [a,+) stanno nella semiretta:
-
a
56
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Sottoinsiemi di R
Def.
A è limitato superiormente se
 kR : x  k, xA, k maggiorante di A
Es. (0,3), es: k = 3, etc
𝑥 ∈ 𝑅: 𝑥 + 3 ≤ 2 , es: k= -1, k=0….etc
Sottoinsiemi di R
A è limitato inferiormente se
 HR : H  x, x A,
H minorante di A
Es. (0,2), H=0, etc
3
𝑥 ∈ 𝑅: 𝑥 3 + 3 ≥ 0 , H= - 3 , etc
A è limitato se è limitato superiormente e
inferiormente
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Sottoinsiemi di R
Def.
Si definisce estremo superiore di A, e si indica
con supA, il minimo dei maggioranti di A, se
esiste.
Es. [0, 5), 5 è l’estremo superiore,
[3,7], 7 è l’estremo superiore (=max)
(-, 1), 1 è l’estremo superiore
3
𝑥 ∈ 𝑅: 𝑥 3 < 16 , x=2 2 è il sup.
Sottoinsiemi di R
Si definisce estremo inferiore di A, e si indica
con infA, il massimo dei minoranti di A, se
esiste.
Es. (1, +) , 1 è l’estremo inferiore
[2,6], 2 è l’estremo inferiore
𝑥 ∈ 𝑅: 𝑥 3 + 1 > 2 , x = 1 è l’estremo inferiore
supA e inf A se esistono sono unici.
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Sottoinsiemi di R
Se supA  A  m1= supA = massimo di A
Se infA  A  m2= infA = minimo di A
Es.
[-1, 3), -1 è il minimo, 3 è l’estremo superiore
[0,1], 0 è il minimo, 1 è il massimo
(2, +), non limitato superiormente 2 è
l’estremo inferiore
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