Esercitazione del 22/09

Esercitazione n.1
(22/09/2015)
Argomenti. Operazioni tra insiemi. Leggi di De Morgan. Unioni e intersezioni di
famiglie di insiemi.
Sia U un insieme, detto “insieme universo”, e siano X ed Y due sottoinsiemi di
U . L’assioma di separazione della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel (ZF)
permette di definire un terzo insieme (sottoinsieme di U ) come
X \ Y := {u ∈ U |u ∈ X e u 6∈ Y } .
X \ Y viene detto differenza di X tramite Y .
È faciel vedere che per ogni sottoinsieme X di U valgono le seguenti
X \ X = ∅,
X \ ∅ = X,
∅ \ X = X,
ed in generale per ogni X, Y sottoinsiemi di U si ha che
X \ Y 6= Y \ X.
Si indica inoltre col simbolo CX (o X c , oppure X) il sottoinsieme complementare
di X in U , ovvero il sottoinsieme
U \ X = {u ∈ U |u 6∈ X} .
Proposizione 1 (Leggi di De Morgan)
Se X e Y sono due arbitrari sottoinsiemi di U , allora valgono le seguenti leggi
a.1) C(X ∪ Y ) = CX ∩ CY .
a.2) C(X ∩ Y ) = CX ∪ CY .
Più in generale se A, B e C sono tre insiemi, allora vale quanto segue
b.1) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C).
b.2) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C).
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Dimostrazione. Si noti che i casi a.1) e a.2) sono situazioni particolari di
b.1) e b.2) per la scelta rispettivamente di A := U, B := X e C := Y . Pertanto
ci limitiamo a provare b.1) e b.2).
Una dimostrazione di b.1) si trova sulle dispense del corso. Proviamo qui b.2).
Sia x ∈ A \ (B ∩ C), allora x ∈ A e x 6∈ B ∩ C. Quindi
x ∈ A e (x 6∈ B o x 6∈ C),
ovvero
(
x∈A
x 6∈ B
(
x∈A
oppure
x 6∈ C
ma ciò significa proprio che: x ∈ A\B oppure x ∈ A\C, cioè x ∈ (A\B)∪(A\C).
Data la genericità con cui è stato scelto l’elemento x in A \ (B ∩ C), si è provato
che:
A \ (B ∩ C) ⊆ (A \ B) ∪ (A \ C).
Viceversa, sia ora x un arbitrario elemento di (A \ B) ∪ (A \ C), cioè x ∈ A \ B
oppure x ∈ A \ C. Detto altrimenti
(
(
x∈A
x∈A
oppure
x 6∈ B
x 6∈ C
Ne segue che x ∈ A e (x 6∈ B o x 6∈ C). Da x 6∈ B o x 6∈ C segue x 6∈ B ∩ C,
pertanto vale che x ∈ A \ (B ∩ C). Data la genericità con cui è stato scelto
l’elemento x in (A \ B) ∪ (A \ C), si è provato che
(A \ B) ∪ (A \ C) ⊆ A \ (B ∩ C),
ovvero la tesi.
Siano ora X ed Y sono due arbitrari sottinsiemi di U . Grazie all’assioma
dell’unione la seguente collezione è di nuovo un insieme, detto differenza simmetrica di X ed Y :
X 4 Y := (X \ Y ) ∪ (Y \ X).
Esercizio 1 Se X e Y sono arbitrari sottoinsiemi di U , provare che
X 4 Y = (X ∪ Y ) \ (X ∩ Y ).
Svolgimento. Presentiamo due modi per risolvere l’esercizio.
Primo modo. Sia x un arbitrario elemento di X 4 Y , allora x ∈ X \ Y oppure
x ∈ Y \ X, cioè
(
(
x∈X
x∈Y
oppure
.
x 6∈ Y
x∈
6 X
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Ne segue che
(
x∈X ∪Y
x 6∈ X ∩ Y
,
ovvero x ∈ (X ∪ Y ) \ (X ∩ Y ).
Viceversa sia ora x ∈ (X ∪ Y ) \ (X ∩ Y ). Allora x ∈ X ∪ Y e x 6∈ X ∩ Y , cioè
(
(
x∈Y
x∈X
,
oppure
x 6∈ X
x 6∈ Y
detto in altri termini x ∈ (X \ Y ) ∪ (Y \ X).
Secondo modo. Per le formule di De Morgan (formula b.2) con X ∪ Y al posto
di A, X al posto di B e Y al posto di C abbiamo che
(X ∪ Y ) \ (X ∩ Y ) = ((X ∪ Y ) \ X) ∪ ((X ∪ Y ) \ Y ).
Dunque
(X ∪ Y ) \ (X ∩ Y ) = ((X ∪ Y ) \ X) ∪ ((X ∪ Y ) \ Y ) = (Y \ X) ∪ (X \ Y ) =
= (X \ Y ) ∪ (Y \ X) = X 4 Y.
Lasciamo per esercizio provare gli altri punti della seguente
Proposizione 2 Siamo A, B e C tre insiemi. Vale quanto segue
1. A 4 A = ∅,
2. A 4 ∅ = A,
3. A 4 B = (A ∪ B) \ (A ∩ B),
4. A 4 B = B 4 A,
5. (A 4 B) 4 C = A 4 (B 4 C),
6. A ∩ (B 4 C) = (A ∩ B) 4 (A ∩ C),
7. (A 4 B) ∪ C ⊇ A 4 (B ∪ C) e vale “=” se e solo se A ∩ C = ∅.
Esercizio 2 Sia P l’insieme di tutti i numeri primi. Per ogni p ∈ P sia
Trovare:
T
p∈P
Xp
Xp := {n ∈ N|p divide n} .
S
e
p∈P Xp .
Svolgimento. Ricordiamo che un numero naturale d divide un intero n in N
se esiste un altro numero naturale c tale che n = d · c.
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Per risolvere l’esercizio occorre richiamare il seguente
Teorema 1 (Teorema Fondamentale dell’Aritmetica)
Sia n un numero naturale positivo maggiore di 1, n ∈ N, n > 1. Allora esistono
e sono unici: un intero t > 0, t numeri primi p1 < p2 < . . . < pt e t esponenti
ai > 0 per ogni i = 1, 2, . . . , t, tali che
n = pa1 1 · pa2 2 · . . . · pat t .
Per n = 1 si ha t = 0 (ovvero 1 è prodotto di zero primi).
Tenuto conto di ciò, abbiamo che
\
Xp = {n ∈ N|n ∈ Xp per ogni p ∈ P} =
p∈P
= {n ∈ N|n è diviso da ogni p ∈ P} = {0} .
Per quando riguarda l’unione invece vale quanto segue
[
Xp = {n ∈ N|n ∈ Xp per qualche p ∈ P} =
p∈P
= {n ∈ N|∃p ∈ P tale che n ∈ Xp } =
= {n ∈ N|∃p ∈ P tale che p divide n} = N \ {1} .
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