prima presentazione

Equazioni goniometriche
elementari
Daniela Valenti, Treccani scuola
1
Questa presentazione è dedicata a risolvere
equazioni trigonometriche elementari
Sono dette ‘elementari’ le equazioni del tipo sin(x)=m,
cos(x) = m e tan(x) = m, con m numero reale.
Percorso proposto
• Richiamare la funzione y = sin(x) e la sua inversa.
• Determinare tutte le soluzioni di equazioni del tipo
sin(x) = m.
• Ripetere i primi due passi per risolvere equazioni
del tipo cos(x) = m e tan(x) = m.
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2
La fisica suggerisce la legge d = sin(t)
A sinistra, P gira sulla circonferenza in verso antiorario e
percorre ogni secondo un arco AP lungo 1. Proietto P sul
diametro verticale, dove leggo il seno dell’arco AP.
A destra, riporto sull’asse delle ascisse l’arco AP e sull’asse
delle ordinate il seno dell’arco AP.
Trigo_equazioni_Geogebra_Presenta1a
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3
Il movimento continua
P continua a girare sulla circonferenza e la sua proiezione
continua a oscillare sul diametro.
d = sin(t)
Per disegnare il grafico ripeto tante volte l’arco rosso,
che ho disegnato all’inizio solo nell’intervallo [0; 2π],
che è lungo 2π.
Si ottiene un grafico periodico con periodo T = 2π.
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4
La funzione y = sin(x) e la sinusoide
La legge d = sin(t) viene applicata per risolvere problemi del tipo: è dato
il tempo t = x e ricavo d = y.
Questo porta a ‘dimenticare’ la fisica e osservare le figure qui sotto:
- In alto P può girare anche in verso opposto (cioè orario)
- In basso, per ricordare il cambiamento di verso, distendiamo l’arco AP
sull’asse delle ascisse, a partire dall’origine O anche nel verso negativo
e continuiamo il grafico.
y =sin(x)
La curva prende il nome di sinusoide
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5
Invertire la funzione y = sin(x)
Ma gli oscillatori e la legge d = sin(t) possono essere applicati anche per
scandire il tempo; in questi casi è data d = x e ricavo il tempo t = y.
Questo porta a cercare la funzione inversa di y = sin(x).
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6
La funzione y = sin x non è biunivoca
In questo caso la formula y = sin x, con dominio sottinteso l’insieme R,
definisce una funzione che non è biunivoca.
Perciò la simmetrica rispetto a b non è il grafico di una funzione.
Per avere una funzione invertibile, sempre con la stessa formula,
bisogna scegliere un dominio più ristretto.
y = sinx
Dominio: [-π/2; π/2]
Codominio: [-1; 1]
Daniela Valenti, Treccani scuola
Funzioni una
inversa dell’altra
y = arcsinx
7
Inversa della funzione seno
Con il tascabile predisposto
a misurare gli angoli in gradi
Con il tascabile predisposto a
misurare gli angoli in radianti
Con la matematica
Tasti del tascabile
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8
Equazione elementare sin(x)=m.
Un esempio
1
sin(x) =
2
L’equazione esprime in forma sintetica il seguente problema
È data la funzione€y = sin(x) definita nell’insieme R dei numeri reali.
Determina tutti gli archi x che corrispondono all’ordinata y = ½ .
Tutti gli archi x così indicati sono le SOLUZIONI dell’equazione.
L’interpretazione grafica dà un primo orientamento.
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9
Equazione sin(x) = m
Interpretazione grafica dell’esempio
⎧⎪ y = sin(x)
1
1
sin(x) = ⇔ ⎨
2 ⎪⎩ y =
2
€
Il grafico ricorda che la funzione y = sin(x) è periodica con periodo 2π.
Perciò anche gli archi richiesti si ripetono con periodo 2π.
L’equazione ha dunque infinite soluzioni, disposte con regolarità lungo
l’asse delle x.
Come posso descrivere tutte le soluzioni dell’equazione?
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10
Equazione sin(x) = m.
Le soluzioni dell’esempio
⎡ π π ⎤
Una soluzione nell’intervallo ⎢⎣− 2 , 2 ⎥⎦
y = sin(x)
€
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11
Equazione sin(x) = m
Le soluzioni dell’esempio
⎡ π 3 ⎤
Due soluzioni nell’intervallo ⎢⎣− , π ⎥⎦
2 2
€
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12
Equazione sin(x) = m.
Tutte le soluzioni dell’esempio
Nell’insieme R le soluzioni si ripetono con periodo 2π
Per riassumere tutte le soluzioni
π
xk = + 2kπ
6
5
x'k = π + 2kπ
6
Con k che varia nell’insieme Z dei numeri interi
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€
13
Le equazioni del tipo sin(x) = m
Se m < -1 oppure m > 1 NESSUNA SOLUZIONE REALE
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14
Le equazioni del tipo sin(x) = m
Solo se -1 ≤ m ≤ 1, tutte le soluzioni sono date da
x k = α + 2kπ
x'k = π − α + 2kπ
Con
α= arcsin(m)
k che varia nell’insieme Z dei numeri interi
€
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Trigo_Equazioni_Geogebra_Presenta1b
15
Risolvere equazioni del tipo sin(x) = m
Risolvo equazioni senza tracciare il grafico di y = sin(x).
ESEMPI
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16
Equazioni del tipo
cos(x) = m
Seguo lo stesso percorso, con qualche modifica
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17
Inverto la funzione coseno
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18
Anche la funzione y = cos x non è biunivoca
Anche la formula y = cos x, con dominio sottinteso l’insieme R,
definisce una funzione che non è biunivoca.
Perciò la simmetrica rispetto a b non è il grafico di una funzione.
Per avere una funzione invertibile, sempre con la stessa formula,
bisogna scegliere un dominio più ristretto.
Funzioni una
inversa dell’altra
y = cosx
Dominio: [0; π]
Codominio: [-1; 1]
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y = arccosx
19
Inversa della funzione coseno
Con il tascabile predisposto
a misurare gli angoli in gradi
Con il tascabile predisposto a
misurare gli angoli in radianti
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Con la matematica
20
Equazione elementare cos(x)=m.
Un esempio
1
cos(x) =
2
L’equazione esprime in forma sintetica il seguente problema
È data la funzione€y = cos(x) definita nell’insieme R dei numeri reali.
Determina tutti gli archi x che corrispondono all’ordinata y = ½ .
Tutti gli archi x così indicati sono le SOLUZIONI dell’equazione.
L’interpretazione grafica dà un primo orientamento.
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21
Equazione cos(x) = m
Interpretazione grafica dell’esempio
⎧⎪ y = cos(x)
1
1
cos(x) = ⇔ ⎨
2 ⎪⎩ y =
2
€
Il grafico ricorda che la funzione y = cos(x) è periodica con periodo 2π.
Perciò anche gli archi richiesti si ripetono con periodo 2π.
L’equazione ha dunque infinite soluzioni, disposte con regolarità lungo
l’asse delle x.
Descrivo tutte le soluzioni anche di questa equazione
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22
Equazione cos(x) = m.
Le soluzioni dell’esempio
Una soluzione nell’intervallo [0 , π]
y = cos(x)
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23
Equazione cos(x) = m
Tutte le soluzioni dell’esempio
Nell’insieme R:
π
π
- la funzione y = cos(x) è pari, perciò trovo α = , α '= −
3
3
- le soluzioni si ripetono con periodo 2π.
€
Per riassumere tutte le soluzioni
π
xk = ± + 2kπ
3
Con k che varia nell’insieme Z dei numeri interi
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24
Le equazioni del tipo cos(x) = m
Se m < -1 oppure m > 1 NESSUNA SOLUZIONE REALE
Daniela Valenti, Treccani scuola
25
Le equazioni del tipo cos(x) = m
Solo se -1 ≤ m ≤ 1, tutte le soluzioni sono date da
xk = ±α + 2kπ
Con
α= arccos(m)
k che varia nell’insieme Z dei numeri interi
€
Daniela Valenti, Treccani scuola
Trigo_Equazioni_Geogebra_Presenta1c
26
Risolvere equazioni del tipo cos(x) = m
Risolvo equazioni senza tracciare il grafico di y = cos(x).
ESEMPI
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27
Equazioni del tipo
tan(x) = m
Seguo lo stesso percorso, con qualche modifica
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28
Inverto la funzione tangente
Dominio l’insieme dei numeri reali
esclusi i multipli dispari di π/2.
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29
Anche la funzione y = tan x non è biunivoca
Anche con la formula y = tanx, si può definire una funzione invertibile
solo scegliendo opportunamente il dominio.
Funzioni una
inversa dell’altra
y = arctanx
y = tanx
⎛ π π ⎞
Dominio: ⎜⎝− , ⎟⎠
2 2
Codominio: R
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€
30
Inversa della funzione tangente
Con il tascabile predisposto
a misurare gli angoli in gradi
Con il tascabile predisposto a
misurare gli angoli in radianti
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Con la matematica
31
Equazione elementare tan(x) =m.
Un esempio
tan(x) = −1
L’equazione esprime in forma sintetica il seguente problema
È data la funzione y = tan(x) definita nell’insieme R dei numeri reali
esclusi i multipli dispari di π/2.
Determina tutti gli archi x che corrispondono all’ordinata y = −1 .
Tutti gli archi x così indicati sono le SOLUZIONI dell’equazione.
L’interpretazione grafica dà un primo orientamento.
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32
Equazione tan(x) = m
Interpretazione grafica dell’esempio
⎧ y = tan(x)
tan(x) = −1 ⇔ ⎨
⎩ y = −1
Il grafico ricorda che la funzione y = tan(x) è periodica con periodo π.
Perciò anche gli archi richiesti si ripetono con periodo π.
L’equazione ha dunque infinite soluzioni, disposte con regolarità lungo
l’asse delle x.
Descrivo tutte le soluzioni anche di questa equazione
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33
Equazione tan(x) = m.
Le soluzioni dell’esempio
⎛ π π ⎞
Una soluzione nell’intervallo ⎜− , ⎟
⎝ 2 2 ⎠
€
y = tan (x)
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34
Equazione tan(x) = m
Tutte le soluzioni dell’esempio
Nell’insieme dei numeri reali esclusi i multipli dispari di π/2
le soluzioni si ripetono con periodo π.
Per riassumere tutte le soluzioni
π
xk = − + kπ
4
Con k che varia nell’insieme Z dei numeri interi
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35
Le equazioni del tipo tan(x) = m
Posso scegliere a piacere il
numero reale m e trovare le
soluzioni dell’equazione.
Tutte le soluzioni sono date da
xk = α + kπ
Con
α= arctan(m)
k che varia nell’insieme Z dei numeri interi
€
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Trigo_Equazioni_Geogebra_Presenta1d
36
Risolvere equazioni del tipo tan(x) = m
Risolvo equazioni senza tracciare il grafico di y = tan(x).
ESEMPI
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37
Sintesi di equazioni trigonometriche elementari
Risolvere equazioni senza tracciare il grafico di funzioni circolari.
FORMULE RISOLUTIVE
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38
Attività 1. Risolvere equazioni
goniometriche elementari
Nel lavoro di gruppo sarete voi a risolvere
equazioni trigonometriche elementari.
Dividetevi in gruppi di 2 – 4 persone; ad
ogni gruppo viene data una scheda di
lavoro da completare.
Avete 15 minuti di tempo
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39
Che cosa abbiamo ottenuto
Daniela Valenti, Treccani scuola
40
Soluzioni delle equazioni
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41
Soluzioni delle equazioni
Daniela Valenti, Treccani scuola
42
Soluzioni delle equazioni
Daniela Valenti, Treccani scuola
43