Funzioni definite per casi in matematica

Funzioni definite per
casi in matematica
Daniela Valenti, Treccani Scuola
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Un video per richiamare una
funzione definita per casi che avete
già incontrato in matematica.
Video ‘Absolute value’
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Modulo (o valore assoluto)
La nozione geometrica
−2
indica il modulo di -2
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Modulo (o valore assoluto)
La definizione
x, se x ≥ 0
x=
−x, se x < 0
È una funzione definita per casi.
Il grafico illustra la definizione
€
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Il grafico di y = IxI
x, se x ≥ 0
x=
−x, se x < 0
Se x ≥ 0
y=x
Se x < 0
y = −€x
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x
0
2
-2
y= x
0
2
2
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Uno sguardo alla storia
La storia del modulo è legata alla lunga e
controversa storia dei numeri negativi.
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I numeri negativi
Dei numeri negativi si trovano tracce a partire dal 2000 a.C.,
ma ancora nel 1500 matematici famosi come Stiefel o Viète
li consideravano ‘Numeri assurdi’
M. Stifel 1487 - 1567
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F. Viète 1540 - 1603
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I numeri negativi
Altri matematici ‘progressisti’, come Stevin e Bombelli, a
partire dalla fine del 1500, propongono di rappresentare i
numeri su una retta. Così anche i numeri negativi hanno
una visualizzazione geometrica.
S. Stevin 1548 - 1620
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R. Bombelli 1526 - 1572
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La scrittura dei numeri negativi
In questo panorama confuso, fra le ricerche dei matematici e le
necessità delle applicazioni, si diffondono vari modi di intendere i
numeri negativi e il valore assoluto.
Ad esempio, nel 1821 in un famoso testo di analisi di Cauchy si trova:
‘il segno + o – messo davanti ad un
numero ne modificherà il significato,
pressappoco come un aggettivo
modifica quello di un sostantivo' . A. Cauchy
1789 - 1857
Questo forse suggerisce l’idea di ‘togliere il segno a un numero’ e
spiega alcune definizioni che si trovano talvolta ancora oggi.
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La scrittura dei numeri negativi
Da fine del 1800 ai primi del 1900 ricerche su natura e scrittura dei numeri
Testo di matematica
per l’università di
Harvard (USA), 1917
I segni ‘−’ e ‘+’ nei numeri relativi
sono esponenti davanti alle cifre
Questa ‘scomoda’ scrittura è stata abbandonata, ma è rimasto
pienamente valido un concetto importante:
il segno ‘−’è parte inseparabile di un numero negativo
e va ben distinto dal simbolo di sottrazione.
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Perciò non si trova più la definizione:
‘valore assoluto = numero senza segno’
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Valore assoluto, calcolo letterale e funzioni
“Valore assoluto = numero senza segno” può rimanere
una ‘regola pratica’ per il calcolo numerico?
E che succede quando passo a calcolo letterale e funzioni?
x è ‘un contenitore’ dove trovo numeri positivi e
negativi. NON trovo il ‘segno da togliere’ ad x.
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La funzione valore assoluto
x è ‘un contenitore’ dove trovo numeri positivi e
negativi. NON trovo il ‘segno da togliere’ ad x.
Capisco allora che debbo ‘guardare i numeri contenuti in x’
e decidere come procedere.
- Se il numero è positivo o 0 lo lascio inalterato.
- Se il numero è negativo, debbo ‘trasformarlo in positivo’ e
per questo ho il procedimento: la moltiplicazione per (-1).
Ed ecco la funzione valore assoluto
x
, se x ≥ 0
x=
(−1) ⋅ x = −x, se x < 0
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Le funzioni ‘strane’ dell’Analisi Matematica
La funzione y = IxI è diventata una componente
importante di vari rami della matematica, fra cui la
geometria analitica e l’analisi matematica.
Ma, proprio per trovare esempi e controesempi di
proprietà caratteristiche dell’analisi matematica, i
matematici ‘inventano’ e studiano tante funzioni.
Ora ne vedremo alcuni esempi.
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La funzione ‘parte intera’
Definizione
Per un numero reale x la parte intera y è il più
grande numero intero che non supera x.
Simboli y = [x] o y = int(x)
-1 non supera -0,001
-1 è a sinistra di -0,001
1 non supera 1,9999
1 è a sinistra di 1,9999
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Il grafico della funzione ‘parte intera’
Definizione
Per un numero reale x la parte intera y è il più
grande numero intero che non supera x.
Simboli y = [x] o y = int(x)
B(3, 4) fa parte
x
y = [x]
1,999
1
1
1
0,999
0
0
0
-0,001
-1
-1
-1
-1,001
-2
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del grafico
A
B
A(3, 2) NON fa
parte del grafico
La funzione fa
corrispondere ad
ogni x una sola y
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Funzioni ottenute con polinomi 1
Ecco due funzioni da confrontare
A(1, 1) fa parte
del grafico
A’(1, 2) fa parte
del grafico
A(1, 1) NON fa
parte del grafico
f(x) =
x2
⎧ x 2 , se x ≠ 1
g(x) = ⎨
⎩ 2 , se x = 1
Dove trovo la diversità di queste due funzioni? Solo in un punto:
- il punto A(1, 1) fa parte del grafico
di f(x)
€
- nella funzione definita per casi g(x) il punto A(1, 1) è stato ‘spostato’
in A’(1, 2) e ha lasciato ‘un foro vuoto’ sulla curva.
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Funzioni ottenute con polinomi 2
Ecco altre due funzioni da confrontare
A(2, 4) fa parte
del grafico
A(2, 4) NON fa
parte del grafico
x2 − 4
x−2
f (x) =
= ( x + 2)
x−2
x−2
Dominio : x ≠ 2
f(x) = x + 2
€
Ancora diversità solo in un punto e attenzione
nel ‘semplificare’ quozienti di polinomi!
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La funzione di Dirichlet
La funzione ha come dominio e come
codominio l’insieme R dei numeri reali ed
è definita per casi nel modo seguente:
⎧ 1 , se x è un numero razionale
D(x) = ⎨
⎩0 , se x è un numero irrazionale
P. Dirichlet 1805 - 1859
La funzione è ben definita, … ma non riesco disegnarne il grafico:
posso forse immaginare una polvere di punti che fa intravedere le
rette d’equazione y = 0 e y = 1.
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Attività 2. funzioni definite per casi
in matematica
Dividetevi in gruppi di 2 – 4 persone.
Ad ogni gruppo viene data una scheda
di lavoro per esaminare altre funzioni
definite per casi tratte dalla realtà.
Avete 20 minuti di tempo
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Che cosa abbiamo ottenuto
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Problema 1
Ricorda
Non si può
dividere per 0
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Ricorda
R0 è l’insieme dei
numeri reali escluso 0
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Problema 2
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Ricorda
Non si può
dividere per 0
Ricorda
R0 è l’insieme dei
numeri reali escluso 0
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Una riflessione
Posso creare varie funzioni a partire dalla formula
x3 − x
x
Ecco alcuni esempi, con il loro grafico.
Con le funzioni definite per casi posso ‘scatenare la fantasia’.
€
Scrittura più semplice:
y = x2 − 1
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Quesito a
Problema 3
⎧ x + x = 2x , se x ≥ 0
x + x = ⎨
⎩ x + (−x) = 0 , se x < 0
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€
⎧ x ⋅ x = x 2
, se x ≥ 0
x ⋅ x = ⎨
2
⎩ x ⋅ (−x) = −x , se x < 0
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Quesito b
Problema 3
Geogebra non mostra i
‘punti vuoti’ , qui visibili
per sottolineare l’assenza
dei punti (0, 1) e (0, -1).
Ma, in geometria, quanto
è grande un punto?
In matematica si trovano due definizioni equivalenti della ‘funzione segno’:
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Quesito c
Problema 3
Anche in questo grafico e in quello seguente
Geogebra non mostra i ‘punti pieni e punti vuoti’
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Quesito c
Problema 3
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