Richiami di algebra
delle matrici
A. Iodice
Operazioni di base
sui vettori
Richiami di algebra delle matrici
Analisi statistica e matematico-finanziaria II
Alfonso Iodice D’Enza
[email protected]
Università degli studi di Cassino e del Lazio Meridionale
Operazioni di base
sulle matrici
matrici particolari
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Outline
Richiami di algebra
delle matrici
A. Iodice
1
Operazioni di base sui vettori
Operazioni di base
sui vettori
Operazioni di base
sulle matrici
2
3
4
5
Operazioni di base sulle matrici
matrici particolari
matrici particolari
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Alcune proprietà delle operazioni tra matrici
Interpretazione geometrica di vettori
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
6
Trasformazioni matriciali dei dati di partenza
7
Il coefficiente di correlazione
Richiami di algebra
delle matrici
Vettori riga e vettori colonna
A. Iodice
Operazioni di base
sui vettori
vettore colonna
a(5×1)
=
1
3
4
2
0
Operazioni di base
sulle matrici
vettore riga
10 3 8 7 1
b(1×5) =
1
3
a(5×1) = 4 −→ aT
(1×5) =
2
0
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
1
3
4
2
0
b(1×5) =
10
3
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
trasposizione di un vettore
matrici particolari
8
7
1
−→ bT
(5×1) =
Il coefficiente di
correlazione
10
3
8
7
1
Richiami di algebra
delle matrici
Somma vettoriale
A. Iodice
L’operazione somma è definita solo tra vettori aventi le stesse dimensioni, ovvero i vettori addendo
devono essere entrambi riga (o entrambi colonna) ed avere lo stesso numero di elementi. Poichè a ha
dimensioni (5 × 1) e b ha dimensioni (1 × 5), la somma a + b non può essere eseguita.
somma di vettori riga
È possibile effettuare la somma tra i vettori b e
aT , che hanno entrambi dimensioni (1 × 5).
1
10
3
3
a + bT = 4 + 8 =
2
7
0
1
11
6
12
9
1
Operazioni di base
sulle matrici
matrici particolari
somma di vettori colonna
È possibile effettuare la somma tra i vettori a e
bT , che hanno entrambi dimensioni (5 × 1).
Operazioni di base
sui vettori
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
b + aT =
(10
(1
(11
3
3
6
8
4
12
7
2
9
1)+
0) =
1)
Il coefficiente di
correlazione
Richiami di algebra
delle matrici
prodotto vettoriale
A. Iodice
Operazioni di base
sui vettori
Dato un vettore colonna c avente per
definisce prodotto
vettoriale
1
3
T
a∗c = 4 × 6 4 1 =
2
0
elementi {6, 4, 1}, si
6 4 1
18 12 3
24 16 4
18 8 2
0 0 0
Concetto di Matrice
La struttura che risulta dal prodotto vettoriale di a per c si definisce matrice di dimensione 5 × 3,
ovvero è caratterizzata da un numero di righe (5) pari al numero di elementi del primo vettore e il
numero di colonne (3) pari al numero di elementi del secondo vettore.
In generale una matrice di dimensioni n × p è una struttura definita da n vettori riga di p elementi
incolonnati, o equivalentemente da p vettori di n elementi affiancati.
Operazioni di base
sulle matrici
matrici particolari
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
prodotto scalare
Richiami di algebra
delle matrici
A. Iodice
Operazioni di base
sui vettori
Il prodotto vettoriale determina una matrice, il prodotto tra
gli elementi di due vettori che ha per risultato un singolo
valore (scalare) si definisce prodotto scalare. Il prodotto
scalare non può essere applicato a vettori che abbiano un
numero di elementi diverso. Si consideri un vettore colonna
T
d con elementi {1, 8, 2} sidefinisce
prodotto scalare c ∗ d:
1
cT ∗ d = 6 4 1 × 8 =
2
(6 × 1) + (4 × 8) + (1 × 2) = 40
Operazioni di base
sulle matrici
matrici particolari
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Richiami di algebra
delle matrici
Somma tra matrici
A. Iodice
Operazioni di base
sui vettori
L’operazione di somma è definita solo tra matrici che
abbiano le stesse dimensioni (stesso numero di righe e
colonna). Il risultato della somma di due matrici A e B di
dimensioni n × p è una matrice delle stesse dimensioni i cui
elementi sono la somma degli elementi di posto
corrispondente in A e B.
6
18
A + B = 24
18
0
4
12
16
8
0
1
19
3
5
4 + 12
10
2
0
18
15
9
0
16
9
12
25
16
23
18 = 36
28
15
4
18
19
21
16
24
9
13
19
22
17
4
Operazioni di base
sulle matrici
matrici particolari
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Richiami di algebra
delle matrici
Prodotto tra matrici
A. Iodice
Operazioni di base
sui vettori
Il prodotto tra due matrici è possibile solo se il numero di
colonne della prima matrice corrisponde al numero di righe
della seconda: poichè A e B sono di dimensioni 5 × 3, il
prodotto A ∗ B non è possibile; utilizzando l’operatore
trasposizione, si possono effettuare i prodotti AT ∗ B e
A ∗ BT
19
0
5
0 ∗ 12
10
0
18
6
AT ∗ B = 4
1
18
12
3
24
16
4
12
8
2
15
9
0
16
9
12
16
612
18 = 408
15
102
4
444
296
74
972
648
162
Operazioni di base
sulle matrici
matrici particolari
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Matrici rettangolari e matrici quadrate
Richiami di algebra
delle matrici
A. Iodice
Operazioni di base
sui vettori
Matrice rettangolare
Xn×p
x1,1 x1,2
x2,1 x2,2
=
... ...
xn,1 xn,2
Operazioni di base
sulle matrici
. . . x1,p
. . . x2,p
... ...
. . . xn,p
Matrice quadrata
Xp×p
x1,1
x2,1
=
...
xp,1
. . . x1,p
. . . x2,p
... ...
. . . xp,p
matrici particolari
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Richiami di algebra
delle matrici
Matrici diagonali e matrici scalari
A. Iodice
Operazioni di base
sui vettori
Matrice diagonale
Una matrice quadrata che ha elementi nulli
eccetto la diagonale principale si definisce
matrice diagonale
D
=
p×p
d1,1
0
...
0
0
d
.
.
.
0
2,2
...
...
...
...
0
0
...
dp,p
Matrice scalare
Una matrice diagonale che ha tutti gli elementi
uguali ad una costante K si definsce matrice
scalare
K
0
...
0
0
K
.
.
.
0
Kp×p =
...
...
...
...
0
0
...
K
Operazioni di base
sulle matrici
Esempio matrice
diagonale
3
0
Dp×p =
...
0
0
4
...
0
...
...
...
...
matrici particolari
0
0
...
2
Esempio matrice scalare
Si consideri
K =8
8
0
Kp×p =
...
0
0
8
...
0
...
...
...
...
0
0
...
8
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Matrice identità e matrice unitaria
Richiami di algebra
delle matrici
A. Iodice
Operazioni di base
sui vettori
Operazioni di base
sulle matrici
Matrice identità
La matriceidentità I è una
1
0
0
1
Ip×p =
...
...
0
0
matrice
...
...
...
...
scalare
con K = 1.
0
0
La matrice identità è tale che
...
1
AI = IA = A
Matrice unitaria
La matrice unitaria ha tutti gli elementi uguali ad 1.
1
...
1
...
1
1
...
...
Un×p = . . .
1
...
1
1
...
1
matrici particolari
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Trasposizione del prodotto tra matrici
Richiami di algebra
delle matrici
A. Iodice
Operazioni di base
sui vettori
Operazioni di base
sulle matrici
(AB)T = BT AT
Esempio trasposizione prodotto tra matrici
Si considerino le matrici
A e B
4
7
T
(A2×3 B3×2 ) =
8
6
T
BT
3×2 A2×3 =
2
4
7
1
T
2
4
66
121
7
1 =
32
101
9
9
4
8
9
66
121
7
6
=
9
32
101
1
7
1
7
matrici particolari
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Richiami di algebra
delle matrici
Prodotto tra una matrice uno scalare
A. Iodice
Operazioni di base
sui vettori
Il prodotto di una matrice A per uno scalare λ determina
una matrice i cui elementi sono gli elementi di A moltiplicati
per λ
λA = Aλ
λA2×3 = A2×3 λ =
matrici particolari
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Esempio
Sia λ = 2.
Operazioni di base
sulle matrici
4 7 1
8 6 7
×2=
8 14 2
16 12 14
Il coefficiente di
correlazione
Richiami di algebra
delle matrici
Prodotto tra matrici
A. Iodice
Operazioni di base
sui vettori
Il prodotto di una matrice A per uno scalare λ determina una matrice i cui elementi sono gli elementi di
A moltiplicati per λ
An×p Bp×n = Pn×n
(A2×3 B3×2 ) =
4
8
7
6
1
7
2
7
9
matrici particolari
4
66
1 =
121
9
32
101
4
8
7
6
1
7
2
,B = 7
9
AB 6= BA
ABC = (AB)C = A(BC)
(AT + B)C = (AT C) + (BC)
4
3
1 ,C =
2
9
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Proprietà del prodotto tra matrici
Siano A =
Operazioni di base
sulle matrici
8
18
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Richiami di algebra
delle matrici
Traccia di una matrice
A. Iodice
Operazioni di base
sui vettori
La traccia di una matrice quadrata è la somma degli elementi della diagonale principale
tr(Xp×p ) =
p
X
i=1
tr(P2×2 ) =
66
121
32
101
= 66 + 101 = 167
Proprietà della traccia
tr(A) = tr(AT )
tr(AA ) = tr(A A) =
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Il coefficiente di
correlazione
tr(AB) = tr(BA)
T
matrici particolari
xii
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
T
Operazioni di base
sulle matrici
Pn
i=1
Pm
2
j=1 aij
Determinante di una matrice
Richiami di algebra
delle matrici
A. Iodice
Ciascuna matrice quadrata è identificabile attraverso un singolo valore detto determinante
Determinante di una
matrice 2 × 2
Determinante di una
matrice 2 × 2
det(X2×2 ) = det
x11 x22 − x21 x12
x11
x21
x12
x22
=
66
32
=
121
101
(66 ∗ 101) − (121 ∗ 32) = 6666 − 3873 = 2794
det
Determinante per matrice 3 × 3
Operazioni di base
sui vettori
Operazioni di base
sulle matrici
matrici particolari
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Inversa di una matrice
Richiami di algebra
delle matrici
A. Iodice
Operazioni di base
sui vettori
Operazioni di base
sulle matrici
Teorema
matrici particolari
Sia A una matrice quadrata con determinante diverso da zero, allora esiste ed è unica la matrice B tale
che
AB = BA = I
La matrice B rappresenta la matrice inversa si A e si indica con B = A−1
Proprietà della matrice inversa
(k ∗ A)−1 = k−1 ∗ A−1
(AB)−1 = B−1 A−1
det(A) = det(A)−1
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Interpretazione geometrica di vettori
Richiami di algebra
delle matrici
A. Iodice
Un vettore v = [x, y] avente punto di applicazione nell’origine degli assi O, è un segmento orientato
avente per estremi O ed il punto P di coordinate (x, y).
Caratteristiche di vettori
Le caratteristiche distintive di un vettore sono
intensità (norma): ovvero la lunghezza del
vettore
Operazioni di base
sui vettori
Rappresentazione di vettori
in R2
Operazioni di base
sulle matrici
Si considerino i seguenti vettori: v1 = [7, 3],
v2 = [5, 5] e v3 = [3, 7].
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
matrici particolari
Interpretazione
geometrica di
vettori
direzione: individuata dalla retta passante
per gli estremi (OP ) del vettore
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
verso: la semiretta con origine in O e
passante per P
Il coefficiente di
correlazione
Richiami di algebra
delle matrici
La norma di un vettore
A. Iodice
La norma (lunghezza di un vettore v è data dalla radice quadrata della somma dei quadrati degli
elementi di v )
v
u p
uX
kvk = [v1 , v2 , . . . , vp ] = t
v2
i
i=1
Operazioni di base
sui vettori
Operazioni di base
sulle matrici
matrici particolari
Rappresentazione di vettori
in R2
Calcolo della norma di
vettori
Con riferimento ai vettori v1 = [7, 3],
v2 = [5, 5] e v3 = [3, 7] le norme sono
p
kv1 k = 72 + 32 = 7.61
p
kv2 k = 52 + 52 = 7.07
p
kv3 k = 32 + 72 = 7.61
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Vettori collineari
Richiami di algebra
delle matrici
A. Iodice
Due vettori si dicono collineari se sono caratterizzati da
uguale direzione, anche se da intensità differente.
Considerando i vettori v2 = [5, 5] e v4 = [8, 8]
Operazioni di base
sui vettori
Operazioni di base
sulle matrici
matrici particolari
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Vettori con norma unitaria
Richiami di algebra
delle matrici
A. Iodice
Operazioni di base
sui vettori
Vettore di norma unitaria
Il verrore di lunghezza unitaria si definisce versore e
identifica una direzione. Una direzione identifica
infiniti vettori, pertanto quello cui si fa riferimento
è il versore. Per ottenere il versore u
corrispondente al vettore v è necessario dividere
ciascuno degli elementi di v per kvk.
Con riferimento ai vettori v1 = [4, 1],
v2 = [3, 3.5] e v3 = [1, 3.5], i corrispondenti
vettori unitari (versori sono)
4 , 1 ] = [0.97, 0.24]
u1 = [ 4.12
4.12
3 , 3.5 ] = [0.65, 0.76]
u2 = [ 4.61
4.61
1 , 3.5 ] = [0.27, 0.96]
u3 = [ 3.64
3.64
Rappresentazione di vettori
in R2
Operazioni di base
sulle matrici
matrici particolari
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Interpretazione geometrica della somma tra
vettori
Rappresentazione della somma di
vettori in R2
Richiami di algebra
delle matrici
A. Iodice
Operazioni di base
sui vettori
Operazioni di base
sulle matrici
matrici particolari
Somma tra
vettori
Dati due vettori vettori
v1 = [x1 , y1 ] e
v2 = [x2 , y2 ] il vettore
risultante dalla somma
v1 + v2 corrisponde alla
diagonale maggiore del
parallelogramma avente per
lati v1 e v2 .
Con riferimento ai vettori
v1 = [4, 1], v2 = [3, 3.5] e
v3 = [1, 3.5], i corrispondenti
vettori somma sono
v1 + v2 = [7, 4.5]
v2 + v3 = [4, 7]
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Interpretazione geometrica della differenza tra
vettori
Rappresentazione della differenza di
vettori in R2
Richiami di algebra
delle matrici
A. Iodice
Operazioni di base
sui vettori
Operazioni di base
sulle matrici
matrici particolari
Differenza tra
vettori
Dati due vettori vettori
v1 = [x1 , y1 ] e
v2 = [x2 , y2 ] il vettore
risultante dalla somma
v1 − v2 corrisponde alla
diagonale minore del
parallelogramma avente per
lati v1 e v2 .
Con riferimento ai vettori
v1 = [4, 1], v2 = [3, 3.5] e
v3 = [1, 3.5], i corrispondenti
vettori somma sono
v1 − v2 = [1, −2.5]
v2 − v3 = [2, 0]
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Interpretazione geometrica del prodotto scalare
tra vettori
Dati due vettori vettori v1 = [x1 , y1 ] e v2 = [x2 , y2 ] il prodotto scalare è proporzionale alla
proiezione ortogonale del vettore v1 sul vettore v2
Rappresentazione della proiezione di v1
Il prodotto
su v2
scalare tra
vettori tra vettori
Il prodotto scalare è
proporzionale al coseno
dell’angolo θ formato tra i due
vettori.
cos(θ) =
T
v1
v2
kv1 kkv2 k
da cui
T
v1 v2 = cos(θ)kv1 kkv2 k
da cui deriva il fatto che, se
v1 e v2 sono perpendicolari,
θ = 90o , dunque
cos(θ) = cos(90o ) = 0
T
allora v1
v2 = 0
Richiami di algebra
delle matrici
A. Iodice
Operazioni di base
sui vettori
Operazioni di base
sulle matrici
matrici particolari
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Proiezione ortogonale di un vettore
Richiami di algebra
delle matrici
A. Iodice
...graficamente
Operazioni di base
sui vettori
si consideri il vettore x = [5, 4]
Operazioni di base
sulle matrici
matrici particolari
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Proiezione ortogonale di un vettore
Richiami di algebra
delle matrici
A. Iodice
...graficamente
Operazioni di base
sui vettori
si vuole proiettare il vettore x sull’asse U passante per il punto (11, 1).
Operazioni di base
sulle matrici
matrici particolari
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Proiezione ortogonale di un vettore
Richiami di algebra
delle matrici
A. Iodice
...graficamente
Operazioni di base
sui vettori
per effettuare la proiezione di x sull’asse U occorre calcolare il versore v dell’asse U; il versore è
v = [0.995, 0.0905]
Operazioni di base
sulle matrici
matrici particolari
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Proiezione ortogonale di un vettore
Richiami di algebra
delle matrici
A. Iodice
...graficamente
Operazioni di base
sui vettori
coordinata α della proiezione ortogonale sull’asse U del vettore x si ottiene moltiplicando il vettore da
proiettare per il versore v dell’asse U,
Operazioni di base
sulle matrici
matrici particolari
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Proiezione ortogonale di un vettore
Richiami di algebra
delle matrici
A. Iodice
...graficamente
Operazioni di base
sui vettori
coordinata α della proiezione ortogonale sull’asse U del vettore x si ottiene moltiplicando il vettore da
proiettare per il versore v dell’asse U,
Operazioni di base
sulle matrici
matrici particolari
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Proiezione ortogonale di un vettore
Richiami di algebra
delle matrici
A. Iodice
...graficamente
Operazioni di base
sui vettori
avendo ottenuto α, è ora possibile calcolare il vettore x̂ che rappresenta l’ ‘immagine’ di x sull’asse U
Operazioni di base
sulle matrici
matrici particolari
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Proiezione ortogonale di un vettore
Richiami di algebra
delle matrici
A. Iodice
Ciascun asse individua una direzione nello spazio; poichè ciascuna direzione identifica infiniti vettori di
diversa intensità si fa riferimento al versore che ha norma (intensità ) pari ad 1. Dunque tutti i punti che
giacciono su un asse U che ha per versore v avranno come coordinata un multiplo di v. Questo perchè
a ciascuno dei punti su U corrisponde un vettore di direzione identificata dall’asse U di versore v. Sia x̂
la proiezione ortogonale del vettore x sull’asse U di versore v.
Operazioni di base
sui vettori
Operazioni di base
sulle matrici
matrici particolari
x̂ = αv
Determinare α, la coordinata
sull’asse
La proiezione di x su U deve essere ortogonale, quindi il vettore differenza (x − x̂) deve essere
ortogonale all’asse U, di conseguenza (x − x̂) deve essere ortogonale a v. Due vettori sono ortogonali
se il loro prodotto scalare è nullo, il vincolo è quindi (x − x̂)T v = 0 da cui, facendo alcuni passaggi, si
ha
xT v − x̂T v = 0
T
T
x v − αv v = 0
xT v − α = 0
=⇒
poichè x̂ = αv e x̂T = αvT allora
essendo v un versore, vT v = 1, quindi
α = xT v che rappresenta la coordinata di x sull’asse U di versore v.
dunque la coordinata α della proiezione ortogonale sull’asse U del vettore x si ottiene moltiplicando il
vettore da proiettare per il versore v dell’asse U.
La coordinata α sarà dunque una
combinazione lineare (somma ponderata) di x
0.995
α = xT v = [5, 4]
= 5 × 0.995 +4 × 0.905 = 8.595
0.905
| {z }
| {z }
peso
peso
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Richiami di algebra
delle matrici
la media aritmetica
A. Iodice
Operazioni di base
sui vettori
media semplice:
n
1X
µ=
xi
n
i=1
media per dati organizzati in frequenze:
n
1X
xi ni
µ=
n
i=1
media per frequenze relative:
µ=
n
X
i=1
Operazioni di base
sulle matrici
matrici particolari
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
xi
ni
n
Definizione di varianza
Richiami di algebra
delle matrici
A. Iodice
La varianza un’indice che misura la variabilità di una variabile X
rispetto alla media aritmetica. In particolare la varianza σ 2 data
dalla media dei quadrati degli scarti (delle modalità dalla media)
(x1 − µ)2 + (x2 − µ)2 + . . . + (xn − µ)2
=
n
n
1X
=
(xi − µ)2
n i=1
σ2 =
per dati organizzati in frequenze
(x1 − µ)2 × n1 + (x2 − µ)2 × n2 + . . . + (xk − µ)2 × nk
=
n1 + n2 + . . . + nk
k
1X
=
(xi − µ)2 × ni
n i=1
σ2 =
Operazioni di base
sui vettori
Operazioni di base
sulle matrici
matrici particolari
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Misura del legame
Richiami di algebra
delle matrici
A. Iodice
Operazioni di base
sui vettori
Le componenti della variabile doppia X e Y possono essere
caratterizzate da diversa posizione e variabilità, risulta in genere
che
µx 6= µy e σx 6= σy
Volendo misurare le variazioni congiunte delle modalità di X ed Y ,
si fa riferimento alla versione standardizzata delle variabili, data da
Y − µy
X − µx
e Zy =
Zx =
σx
σy
questo per escludere dalla misura del legame gli effetti della
differente media e varianza (essendo µx 6= µy e σx 6= σy )
Operazioni di base
sulle matrici
matrici particolari
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Il coefficiente di correlazione lineare di Pearson ρ
Richiami di algebra
delle matrici
A. Iodice
L’indice corrispondente alla media aritmetica del prodotto delle modalità
standardizzate delle variabili si definisce
coefficiente di correlazione lineare di Pearson ρ ed dato da
Operazioni di base
sui vettori
Operazioni di base
sulle matrici
matrici particolari
ρxy
n
n 1 X xi − µx
yi − µy
1X
(zx,i zy,i ) =
×
=
n i=1
n i=1
σx
σy
Con piccole trasformazioni si ottiene la presente formalizzazione
ρxy =
1
n
Pn
i=1 (xi
− µx )(yi − µy )
σx σy
=
σxy
σx σy
La quantità al numeratore si definisce covarianza: essa corrisponde alla media
del prodotto degli scarti delle modalità di X e Y dalle rispettive medie. La
covarianza misura la contenporanea variazione di X e Y con riferimento alle
loro medie.
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Tabella individui × variabili
Richiami di algebra
delle matrici
A. Iodice
Operazioni di base
sui vettori
Si considerino p variabili quantitative osservate su un collettivo di
n unità statistiche.
La corrispondente
matrice di dati A
a1,1 a1,2 . . . a1,p
a2,1 a2,2 . . . a2,p
An×p =
...
... ... ...
an,1 an,2 . . . an,p
esempio
A5×3
=
25
23
36
22
18
19
21
16
24
9
13
19
22
17
4
Operazioni di base
sulle matrici
matrici particolari
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Calcolo del vettore delle medie delle p variabili
Richiami di algebra
delle matrici
A. Iodice
Utilizzando il prodotto vettoriale è possibile ottenere il vettore delle medie
1
a1,1
a1,2
...
a1,n
n
1
a2,1
a2,2
...
a2,n
T
n
×
m = Ap×n ∗ un×1 =
... =
...
...
...
...
1
ap,1
ap,2
...
ap,n
Operazioni di base
sui vettori
Operazioni di base
sulle matrici
n
matrici particolari
=
1 (a
1,1 +
n
1 (a
2,1 +
n
...
1 (a
p,1 +
n
a1,2 +
a2,2 +
...
ap,2 +
...
...
...
...
a1,n )
µ1
a2,n )
= µ2
...
...
µp
ap,n )
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
esempio
25
19
13
|
23
21
19
36
16
22
{z
AT
3×5
24.8
17.8
15
{z
}
|
m3×1
22
24
17
18
9 ×
4
}
|
1/5
1/5
1/5
1/5
1/5
{z
u5×1
=
}
(25+23+36+22+18)
5
(19+21+16+24+9)
5
(13+19+22+17+4)
5
=
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Calcolo della matrice delle medie delle p variabili
Richiami di algebra
delle matrici
A. Iodice
A partire da m, vettore delle medie, si ottiene la matrice delle medie, utile alla successiva operazione di
centratura.
1
1
µ1
µ2
...
µp
=
Mn×p = 1n×1 ∗ mT
=
1×p
... ×
1
µ1
µ2
...
µp
µ1
µ2
...
µp
=
...
...
...
...
µ1
µ2
...
µp
esempio
1
1
24.8
17.8
1 ×
1 |
{z
1
mT
1×3
| {z }
15×1
24.8
24.8
15
= 24.8
24.8
}
24.8
|
17.8
17.8
17.8
17.8
17.8
{z
M5×3
15
15
15
15
15
}
Operazioni di base
sui vettori
Operazioni di base
sulle matrici
matrici particolari
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Richiami di algebra
delle matrici
Centratura della matrice
A. Iodice
Sottraendo alla matrice dei dati di partenza A e la matrice delle medie M si ottiene la matrice dei dati
centrati X.
Xn×p = An×p − Mn×p =
a1,1
a2,1
=
...
an,1
a1,2
a2,2
...
an,2
...
...
...
...
(a1,1 − µ1 )
(a2,1 − µ1 )
=
...
(an,1 − µ1 )
a1,p
a2,p
−
...
an,p
(a1,2 − µ2 )
(a2,2 − µ2 )
...
(an,2 − µ2 )
...
...
...
...
µ1
µ1
...
µ1
µ2
µ2
...
µ2
...
...
...
...
µp
µp
=
...
µp
25
23
36
22
18
|
19
21
16
24
9
{z
A5×3
Operazioni di base
sulle matrici
matrici particolari
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
(a1,p − µp )
(a2,p − µp )
...
(an,p − µp )
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
esempio
Operazioni di base
sui vettori
13
19
22
17
4
24.8
24.8
− 24.8
24.8
24.8
} |
17.8
17.8
17.8
17.8
17.8
{z
M5×3
15
15
15
15
15
0.2
−1.8
= 11.2
−2.8
−6.8
}
|
1.2
3.2
−1.8
6.2
−8.8
{z
X5×3
−2
4
7
2
−11
}
Il coefficiente di
correlazione
Richiami di algebra
delle matrici
Matrice di devianza e codevianza
A. Iodice
Una volta ottenuta la matrice centrata X, è possibile, attraverso il prodotto di X per la sua trasposta,
ottenere la matrice di devianza e codevianza .Tale matrice avrá elementi della diagonale principale le
devianze); gli elementi extra-diagonale le codevianze. XT
p×n ∗ Xn×p =
x1,1
x1,2
...
x1,n
x1,1
x1,2
...
x1,p
x2,1
x
.
.
.
x
x
x
.
.
.
x
2,2
2,n ×
2,1
2,2
2,p =
...
...
...
...
...
...
...
...
xp,1
xp,2
...
xp,n
xn,1
xn,2
...
xn,p
dev(X1 )
codev(X2 , X1 )
=
...
codev(Xp , X1 )
codev(X1 , X2 )
dev(X2 )
...
codev(Xp , X2 )
...
...
...
...
codev(X1 , Xp )
codev(X2 , Xp )
...
dev(Xp )
0.2
−6.80
−1.8
−8.80 × 11.2
−2.8
−11.00
}
−6.8
|
0.20
1.20
−2.00
−1.80
3.20
4.00
|
11.20
−1.80
7.00
{z
XT
3×5
182.8
16.8
140
|
16.8
130.8
107
{z
V3×3
140
107
194
}
−2.80
6.20
2.00
1.2
3.2
−1.8
6.2
−8.8
{z
X5×3
Operazioni di base
sulle matrici
matrici particolari
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
esempio
Operazioni di base
sui vettori
−2
4
7
=
2
−11
}
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Richiami di algebra
delle matrici
Matrice di varianze e covarianze
A. Iodice
A questo punto è immediato definire la matrice di varianze e covarianze Σ. Per fare questo si consideri
la matrice diagonale come una matrice quadrata (stesso numero di righe e di colonne) i cui elementi
extradiagonali sono nulli. In particolare si faccia riferimento alla matrice U di dimensione (p × p) i cui
1.
elementi diagonali siano tutti uguali a n
Operazioni di base
sui vettori
Operazioni di base
sulle matrici
matrici particolari
1
n
0
U=
...
0
0
1
n
...
0
0
...
...
...
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
0
0
...
Interpretazione
geometrica di
vettori
1
n
Utilizzando la matrice U è possibile ricavare la matrice Σ di dimensioni p × p a partire da quella di
devianze e codevianze XT X precedentemente ottenuta.
2
σX
1
σ
(X2 ,X1 )
XT XU = VU = Σ =
...
σ(Xn ,X )
1
σ(X ,X )
1
2
2
σX
2
...
σ(Xn ,X )
2
...
...
...
...
σ(X ,Xp )
1
σ(X ,Xp )
2
...
2
σX
p
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Richiami di algebra
delle matrici
Matrice di varianze e covarianze
A. Iodice
Operazioni di base
sui vettori
Operazioni di base
sulle matrici
matrici particolari
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
esempio
|
182.8
16.8
140
16.8
130.8
107
{z
V3×3
140
1/5
107 0
194
0
}|
0
1/5
0
{z
U3×3
0
36.56
0 = 3.36
1/5
28
|
}
3.36
26.16
21.40
{z
Σ3×3
28
21.4
38.8
}
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Richiami di algebra
delle matrici
Matrice standardizzata
A. Iodice
Per ottenere la matrice dei dati standardizzati Z di dimensione n × p i cui elemento generico
zij =
aij −µj
σj
, i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , p. Avendo già ottenuto la matrice dei dati centrati X è
necessario moltiplicare ciascuno degli elementi di tale matrice per σ1 . Si ricorre anche in questo caso
j
ad una matrice diagonale: la matrice è D di dimensione (p × p) i cui elementi diagonali sono tutti
uguali a σ1 , j = 1, . . . , p.
j
1
σ1
0
D=
...
0
0
...
0
1
σ2
...
...
...
0
...
...
0
1
σp
2
Operazioni di base
sulle matrici
matrici particolari
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Utilizzando la matrice D è possibile ricavare la matrice Z di dimensioni n × p: post-moltiplicando D
ad X si ottiene
a −µ
a1p −µp
a12 −µ2
11
1
...
σ1
σ2
σp
a2p −µp
a21 −µ1
a22 −µ2
...
σ1
σ2
σp
Z = XD =
...
...
...
...
anp −µp
an1 −µ1
an2 −µ2
...
σ
σ
σ
1
Operazioni di base
sui vettori
p
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Richiami di algebra
delle matrici
Matrice standardizzata
A. Iodice
Operazioni di base
sui vettori
Operazioni di base
sulle matrici
esempio
0.2
−1.8
11.2
−2.8
−6.8
|
matrici particolari
1.2
3.2
−1.8
6.2
−8.8
{z
−2
4
7
2
−11
√ 1
36.56
}|
0.03
−0.30
1.85
−0.46
−1.12
|
0.23
0.63
−0.35
1.21
−1.72
{z
Z5×3
−0.32
0.64
1.12
0.32
−1.77
0
0
√ 1
26.16
0
0
0
{z
=
D3×3
X5×3
0
}
√1
38.8
}
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Richiami di algebra
delle matrici
Matrice di correlazione
A. Iodice
Il coefficiente di correlazione lineare di Pearson che caratterizza una coppia di variabili è definito come la
media aritmetica dei prodotti delle modalità standardizzate. Pertanto, avendo calcolato Z, matrice
standardizzata, risulta agevole ottenere la matrice di correlazione:
1
ρ2,1
R = Z ZU =
...
ρp,1
T
ρ1,2
1
...
ρp,2
...
...
...
...
1
"
a1,j − µj
n
n
1 X
n i=1
|
!2
+
σj
aij − µj
{z
varianza σ 2
j
2 1
σj2
}
=
a2,j − µj
σj
σj2
σj2
=1
Operazioni di base
sulle matrici
matrici particolari
ρ1,p
ρ2,p
...
1
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
In particolare gli elementi diagonali di tale matrice sono
rjj =
Operazioni di base
sui vettori
!2
+ ... +
an,j − µj
σj
!2 #
=
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Richiami di algebra
delle matrici
Matrice di correlazione
A. Iodice
Operazioni di base
sui vettori
Operazioni di base
sulle matrici
Gli elementi extra-diagonali sono
matrici particolari
rkj =
1
"
a1,k − µk
n
!
σk
×
a1,j − µj
σj
!
+
a2,k − µk
σk
!
×
a2,j − µj
σj
!
+ ...+
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
covarianza σkj
z
n
1 X
+
=
an,k − µk
σk
σkj
σk σj
!
×
an,j − µj
σj
!#
=
n i=1
}|
ai,k − µk
ai,j − µj
σ k σj
= ρkj → coefficiente di correlazione lineare tra le variabili k e j
Interpretazione
geometrica di
vettori
{
=
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
Richiami di algebra
delle matrici
Matrice di correlazione
A. Iodice
Operazioni di base
sui vettori
Operazioni di base
sulle matrici
esempio
R=
0.03
0.23
−0.32
|
matrici particolari
0.03
−1.12
−0.30
−1.72
1.85
−0.46
−1.77
}
−1.12
|
−0.30
0.63
0.64
1.85
−0.35
1.12
{z
−0.46
1.21
0.32
ZT
3×5
5
= 0.54
3.72
|
0.54
5
3.36
{z
ZT Z
3×3
3.72
3.36
5
}|
0.23
0.63
−0.35
1.21
−1.72
{z
−0.32
0.64
1.12
0.32
−1.77
U3×3 =
}
Alcune proprietà
delle operazioni tra
matrici
Interpretazione
geometrica di
vettori
Z5×3
1
5
0
0
0
1
5
0
{z
U3×3
0
0
1
5
1
= 0.11
0.74
|
}
0.11
1
0.67
{z
R3×3
0.74
0.67
1
}
Trasformazioni
matriciali dei dati
di partenza
Il coefficiente di
correlazione
