TERZA LEZIONE - Il Libro I degli Elementi di Geometria di Euclide I

TERZA LEZIONE - Il Libro I degli Elementi di Geometria di Euclide
I libri sono 13.
Il primo libro riguarda la geometria delle rette, dei triangoli e dei parallelogrammi nel piano.
Parte da un sistema di definizioni, postulati e nozioni comuni e arriva in 48 proposizioni al teorema di
Pitagora, passando attraverso i criteri di uguaglianza dei triangoli,le diseguaglianze triangolari è la teoria
delle parallele.
Per non perderci nella complessità del libro, suddividiamo la trattazione di Euclide nelle seguenti parti:
1- definizioni, postulati e nozioni comuni;
2- primo criterio di uguaglianza;
3- Pons Asinorum (teoria dei triangoli isosceli);
4- sugli angoli formati da rette che si intersecano;
5- applicazioni ai triangoli;
6- applicazioni ai parallelogrammi;
7- teorema di Pitagora.
Il programma è di analizzare il contenuto di ogni parti e di dare una dimostrazione di un risultato saliente
per ciascuna di esse. Dimostreremo:
*Pons Asinorum (o uguaglianza degli angoli alla base di un triangolo isoscele);
*teorema dell'angolo esterno;
*teorema degli angoli alterni interni;
*teorema della somma degli angoli interni;
*un teorema sull' equivalenza dei parallelogrammi;
*teorema di Pitagora.
Punto 1: definizioni, postulati e nozioni comuni
Il libro I inizia con 23 definizioni che chiariscono la natura degli oggetti trattati, mettendoli in relazione con
gli oggetti che si incontrano nella vita di tutti i giorni (la geometria nasce come scienza applicata alla
agrimensura); cinque postulati che definiscono le operazioni che si possono fare su questi oggetti; cinque
nozioni comuni che servono come base del ragionamento deduttivo.
• Definizioni:
Elenchiamo alcune delle 23 definizioni iniziali:
1. Il punto è ciò che non ha parti (non ha dimensioni - segno della matita);
2. La linea è una lunghezza senza spessore (intesa da Euclide come curva);
3. Le estremità della linea sono punti;
4. Una linea retta è una qualunque linea che giace ugualmente rispetto ai suoi punti
Possiamo dare un significato concreto alla definizione di Euclide, immaginando una persona che percorra
una strada rettilinea con in mano una torcia: Euclide dicendo che la linea “giace ugualmente rispetto ai suoi
punti” intende dire che il fascio di luce punta sempre verso un punto fisso, senza mai deviare da un lato o
dall’altro.
Allo stesso modo nelle successive tre definizioni sono introdotti i concetti di superficie e di piano. Le
definizioni successive trattano degli angoli:
8. Un angolo piano è l'inclinazione di una linea rispetto ad un'altra, quando due linee in un piano si
incontrano e non giacciono sulla stessa linea retta.
Nella definizione 9 Euclide introduce l'angolo che chiama rettilineo, i cui lati sono rette. Nella successiva
definizione 10 precisa la nozione di angolo retto:
10. È quando una retta interseca una seconda retta e forma angoli adiacenti uguali; ognuno degli angoli
uguali è un angolo retto e la prima retta è detta perpendicolare a quella su cui si poggia.
Nelle successive definizioni introduce le nozioni di figura, di triangolo, di quadrilatero e di cerchio.
15. Un cerchio e' una figura piana contenuta da una singola linea tale che tutti i segmenti che escono da
un punto interno alla figura e raggiungono il contorno sono uguali fra di loro; questo punto e' chiamato
il centro del cerchio.
Saltiamo le definizioni sui poligoni e arriviamo all'ultima definizione: quella di rette parallele:
23. Le linee parallele sono rette che giacciono nello stesso piano e che prolungate indefinitamente in
ogni direzione non si incontrano mai.
• Postulati:
Le 23 definizioni sono immediatamente seguite da cinque postulati che spiegano che cosa si può fare con
gli oggetti appena definiti. Quattro postulati sono assai naturali. Euclide assume che:
1- sia sempre possibile tracciare una retta (nel senso euclideo di segmento) che unisce: due punti;
2- sia possibile prolungare un segmento finito in una retta infinita;
3- sia possibile disegnare un cerchio con centro e raggio arbitrari;
4- tutti gli angoli retti siano uguali e quindi sovrapponibili.
Il quinto postulato è il famoso postulato delle parallele che si enuncia:
5- se una linea retta interseca altre due linee formando angoli interni dalla stessa parte che sommano
meno di due angoli retti, allora le altre due rette quando siano prolungate indefinitamente si incontrano
dalla parte dove la somma degli angoli interni è minore di due angoli retti.
Questo enunciato è chiarito dalla figura seguente:
Se 1+2 < 2 retti allora a e b non sono paralleli
• Nozioni comuni:
Infine Euclide elenca le seguenti cinque nozioni comuni o regole che possono essere utilizzate nel corso di
una dimostrazione:
1- cose uguali a una terza sono uguali fra loro:
se a = b e a = c allora b = c;
2- se a cose uguali si sommano cose uguali, allora i totali sono uguali:
se a = b e c = d allora a + c = b + d;
3- se a cose uguali sono sottratte cose uguali allora i resti sono uguali:
se a = b e c = d allora a - c = b – d;
4- cose che coincidono (che si sovrappongono) l'una con l'altra, sono uguali l'una con l'altra;
5- l'intero è più grande delle parti.