Equazioni goniometriche
elementari
In questa dispensa vengono esaminate le equazioni goniometriche
elementari; ad esse si riconducono molti tipi di equazioni goniometriche.
A partire da esempi, viene illustrato un metodo grafico di risoluzione per le
equazioni elementari con seno, coseno e tangente.
Vengono infine trattati dei casi particolari e le equazioni impossibili.
Copyright © 2010 – Paolo Caramanica – http://www.trigonometria.org
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Equazioni goniometriche elementari
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Introduzione
Le equazioni goniometriche elementari sono importanti poiché ad esse si riconducono molti altri tipi di
equazioni goniometriche.
In questa dispensa presenteremo un metodo di risoluzione grafico, che a differenza di altri metodi,
permette, una volta trovata una soluzione, di individuare rapidamente le eventuali altre, relative agli angoli
associati, come avremo modo di vedere dettagliatamente.
Risoluzione delle equazioni goniometriche
elementari
Illustreremo il procedimento di risoluzione per via grafica direttamente su degli esempi.
Risolvere l’equazione
Sappiamo che, dopo aver rappresentato un angolo su un piano con una circonferenza goniometrica, il seno
si può leggere sull’asse delle ordinate. Tracciando, quindi, la retta perpendicolare all’asse y e passante per il
punto
, le intersezioni di questa con la circonferenza ci forniscono immediatamente gli angoli il cui seno è
(indicati in figura con delle frecce).
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Equazioni goniometriche elementari
Questi angoli sono e
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. Bisogna però ricordare che il seno è periodico di periodo
, quindi, oltre a
questi due angoli, sono soluzioni dell’equazione anche quelli che differiscono da essi di un multiplo intero di
.
In definitiva, le soluzioni dell’equazione data sono:
Risolvere l’equazione
Il coseno viene individuato sull’asse delle ascisse (al solito, su un piano dotato di circonferenza
goniometrica), pertanto, tracciando la retta perpendicolare all’asse x e passante per
, le intersezioni di
questa con la circonferenza goniometrica permettono di individuare gli angoli il cui coseno è
(indicati
in figura con le frecce).
Questi angoli sono
e
. Poiché il coseno è periodico di periodo
anche gli angoli che differiscono da essi di un multiplo intero di
, oltre q questi, vanno considerati
.
In definitiva, le soluzioni dell’equazione sono:
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Risolvere l’equazione
Riportato, al solito, l’angolo sulla circonferenza goniometrica, la tangente si ottiene dall’intersezione del
secondo lato dell’angolo con la retta perpendicolare all’asse x e passante per il punto (1,0).
Individuato, quindi, il valore 1 su tale retta, possiamo agevolmente individuare gli angoli che hanno 1 per
tangente, come mostrato nella figura.
Questi angoli sono e
i, quali, come potevamo aspettarci, differiscono di , essendo tale il periodo della
funzione tangente. Tutte le soluzioni dell’equazione sono date da
Casi particolari
Le equazioni con seno e coseno che abbiamo visto ammettono due soluzioni, più tutte quelle che si
ottengono da queste sommandovi un multiplo intero di . Esistono però dei casi particolari in cui si ha una
sola soluzione nell’intervallo da 0 a .
Nel caso del seno, l’equazione
, ammette una sola soluzione nell’intervallo da 0 a
, che è :
graficamente, la retta parallela all’asse x e passante per il punto 1 sull’asse y risulta tangente alla
circonferenza goniometrica, non secante, come nell’esempio visto precedentemente, quindi ha con essa in
comune un solo punto. Le soluzioni dell’equazione
sono quindi
.
Situazioni perfettamente analoghe si hanno anche nei seguenti tre casi, di cui riportiamo accanto le
soluzioni.
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Sempre nel caso delle equazioni elementari con seno e coseno viste, osserviamo esplicitamente che se il
secondo membro (termine noto) è maggiore di 1 o minore di -1, l’equazione non ammette soluzioni
(ovvero è impossibile): infatti il seno e il coseno di qualunque angolo è sempre compreso tra -1 e +1.
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