Liceo Scientifico “G. Galilei” Trebisacce
Anno Scolastico 2011-2012
Prova di Matematica : La retta + Pitagora e Euclide
28.03.2012
prof. Mimmo Corrado
Alunno: ________________________________________________ Classe: 2 C
A. Dato il triangolo di vertici: 7; −2 , −2; 1, 6; 5 :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
determina il perimetro
determina l’area (senza utilizzare la formula dell’area)
determina le coordinate dell’ortocentro T
determina le coordinate del circocentro E
determina le coordinate del baricentro G (senza utilizzare la formula del baricentro)
verifica che i tre punti T, E, G sono allineati
determina il quarto vertice del parallelogramma, i cui primi tre vertici sono i punti A , B e C
il triangolo simmetrico del triangolo ABC rispetto al punto −1; 3.
B. Sia ABCD un trapezio, di base maggiore AB e base minore CD. Indica con M, N e T, rispettivamente, i punti medi di
AD, DC e CB. La retta NM incontra la retta AB in P e la retta NT incontra la retta AB in Q. Dimostra che il trapezio
ABCD e il triangolo PQN sono equivalenti.
C. In un triangolo rettangolo un cateto è i della sua proiezione sull’ipotenusa. Sapendo che il perimetro del
triangolo è 24 cm, determina l’area del triangolo.
Valutazione
Punti
Voto
Esercizio
Punti
0-3
4-8
9 - 13
2
3
3½
A1
8
A2
8
A3
8
A4
8
A5
8
A6
4
A7
8
A8
8
B
8
C
12
Totale
80
14 - 19 20 - 25 26 - 31 32 - 37 38 - 43 44 - 49 50 - 55 56 - 61 62 - 67 68 - 72 73 - 76 77 - 80
4
4½
5
5½
6
6½
7
7½
8
8½
9
10
Liceo Scientifico “G. Galilei” Trebisacce
Anno Scolastico 2011-2012
Prova di Matematica : La retta + Pitagora e Euclide
28.03.2012
prof. Mimmo Corrado
Alunno: ________________________________________________ Classe: 2 C
A. Dato il triangolo di vertici: 7; −2 , −2; 1, 6; 5 :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
determina il perimetro
determina l’area (senza utilizzare la formula dell’area)
determina le coordinate dell’ortocentro T
determina le coordinate del circocentro E
determina le coordinate del baricentro G (senza utilizzare la formula del baricentro)
verifica che i tre punti T, E, G sono allineati
determina il quarto vertice del parallelogramma, i cui primi tre vertici sono i punti A , B e C
disegna il triangolo simmetrico del triangolo ABC rispetto al punto −1; 3.
B. Sia ABCD un trapezio, di base maggiore AB e base minore CD. Indica con M, N e T, rispettivamente, i punti medi di
AD, DC e CB. La retta NM incontra la retta AB in P e la retta NT incontra la retta AB in Q. Dimostra che il trapezio
ABCD e il triangolo PQN sono equivalenti.
C. In un triangolo rettangolo un cateto è i della sua proiezione sull’ipotenusa. Sapendo che il perimetro del
triangolo è 24 cm, determina l’area del triangolo.
Valutazione
Punti
Voto
Esercizio
Punti
0-3
4-8
9 - 13
2
3
3½
A1
8
A2
8
A3
8
A4
8
A5
8
A6
4
A7
8
A8
8
B
8
C
12
Totale
80
14 - 19 20 - 25 26 - 31 32 - 37 38 - 43 44 - 49 50 - 55 56 - 61 62 - 67 68 - 72 73 - 76 77 - 80
4
4½
5
5½
6
6½
7
7½
8
8½
9
10
Soluzione
Dato il triangolo di vertici: 7; −2 , −2; 1, 6; 5 , determina:
1. Perimetro
Il perimetro è dato dalla somma dei tre lati:
= − + − = 7 + 2 + −2 − 1 = √81 + 9 = √90 = 3√10
= − ! + − ! = −2 − 6 + 1 − 5 = √64 + 16 = √80 = 4√5
= − ! + − ! = 7 − 6 + −2 − 5 = √1 + 49 = √50 = 5√2
Pertanto il perimetro del triangolo è:
+ + = %√&' + (√) + )√#
#$ = 2. Area
Per il calcolo dell’area del triangolo occorre determinare la misura dell’altezza CH.
L’altezza CH rappresenta la distanza del punto C dalla retta AB.
− − =
;
− − −1
+2
=
;
−2 − 1 7 + 2
L’equazione della retta AB è data da:
+’-./011-
2 =
|-! + 4! + 5|
√-
+
4
=
−1 +2
=
;
−3
9
|1 ∙ 6 + 3 ∙ 5 − 1|
√1
+
3
1 1
L’area del triangolo è: 6 = 2 ∙ 2 = 2 ∙ 3√10 ∙
Matematica
20
√10
=
|20|
√10
= %' .
=
20
−3 ∙ − 1 = + 2 ;
√10
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+ 3 − 1 = 0
2
3. L’ortocentro di un triangolo è il punto d’incontro delle tre altezze.
Il coefficiente angolare della retta AB è:
7 =
3
1
− −2 − 1
=
=− =−
7+2
9
3
− La retta CH perpendicolare alla retta AB ha coefficiente angolare: 7!8 = − :
L’equazione dell’altezza CH è: − ! = 7!8 − ! ;
Il coefficiente angolare della retta AC è:
7! =
9
= +3 .
− 5 = 3 − 6 ;
− ! −2 − 5
=
= −7
− !
7−6
La retta BK perpendicolare alla retta AC ha coefficiente angolare: 7= = − :
L’equazione dell’altezza BK è: − = 7= − ;
;<
9
;>
= +? .
− 1 = ? + 2 ;
9
9
= 3 − 13
= ? + ?
9
@
Le coordinate dell’ortocentro T, punto di incontro delle due altezze CH e BK, si ottengono risolvendo il sistema:
A
= 3 − 13
=
9
?
@
+?
B? + ? = 3 − 13 C
−
9
@
+ 9 = 21 − 91 C
D
−
Pertanto l’ortocentro ha coordinate: E); # .
Matematica
20 = 100C
D
−
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B
=5
C
= 3 ∙ 5 − 13
= 5C
B
=2
3
4. Il circocentro di un triangolo è il punto d’incontro dei tre assi.
+ 7 − 2 5
=
=
2
2
2
+ −2 + 1
1
F =
=
=−
2
2
2
Il punto medio M del lato AB ha coordinate:
F =
5
1
GH ; − I
2
2
⇒
Il coefficiente angolare della retta AB è: 7 = − J
9
L’equazione dell’asse del segmento AB è:
− F = − :
9
;<
− F ;
+ = 3 K − L ;
9
+ ! 7 + 6 13
=
=
2
2
2
+ ! −2 + 5 3
=
=
M =
2
2
2
= 3 − 8
Il punto medio N del lato AC ha coordinate:
M =
NH
⇒
13 3
; I
2 2
Il coefficiente angolare della retta AC è già stato determinato in precedenza: 7! = −7
L’equazione dell’asse del segmento AC è:
− M = − :
9
;>
− M ;
− = ? K −
J
9
9J
L;
= ? + ?
9
Le coordinate del circocentro E, punto di incontro dei due assi, si ottengono risolvendo il sistema:
A
= 3 − 8
=
9
?
+
?
B? + ? = 3 − 8 C
−
9
+ 4 = 21 − 56 C
D
−
Pertanto, il circocentro ha coordinate: O%; & .
Matematica
20 = 60C
D
−
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=3
C
B
=3∙3−8
B
= 3C
=1
4
5. Il baricentro di un triangolo è il punto d’incontro delle tre mediane.
Il punto medio M del lato AB ha coordinate: G K ; − L
9
1
5
+2 −2
=
;
1
5
5+2 6−
2
1
5
+2
−2
=
;
7
11
2
2
L’equazione della mediana CM é:
− F
− F
=
;
! − F ! − F
2
1
2
5
+
= − ;
11
11 7
7
14 + 7 = 22 − 55 ;
Il punto medio N del lato AC ha coordinate: N K ; L
9J
J
2
1
2
5
∙ H + I = ∙ H − I
11
2
7
2
22 − 14 − 62 = 0 ;
11 − 7 − 31 = 0
3
13
3
13
−
−
−
3
2
13
2=
2 ;
2=
2
− 2 ∙ H − I = − ∙ H − I
3
13
1
17
2
17
2
1 − 2 −2 − 2
−2
− 2
2
13
2
13
1
19
−2 + 3 = − +
;
−2 = − +
−3
=
+
17
17
17
17
17
17
Le coordinate del baricentro G, punto di incontro delle due mediane CM e BN, si ottengono risolvendo il sistema:
L’equazione della mediana BN è:
− M
− M
=
;
− M − M
A
11 − 7 − 31 = 0
=
9
9?
+
9@
9?
180 = 660C
D
−
−
B11 − 7 K9? + 9?L − 31 = 0C
−
9
B = 9RQC
−
PPQ
9@
S
=
=
Pertanto il baricentro ha coordinate: T K % ; %L
Applicando la formula :
Matematica
U =
&&
(
99
J
9 99
∙
9? J
?XWP
V; WV< WV>
= J
J
Y WY WY
XW9W
U = ; J< > = J
=
+ 9? = 9
=
9@
PR
C
187 − 7 − 133 − 527 = 0C C
D
−
S
=
99
JC
=J
99
J
J
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5
4
11
−2
−5
3
= 3
;
1−2
3−5
2
4
−
3= 3 ;
−1 −2
6. Per verificare che i tre punti T, E, G sono allineati è sufficiente applicare la formula:
U − Z U − Z
=
;
[ − Z [ − Z
−
Oppure occorre verificare che: 7 Z[ = 7 ZU .
7 Z[
Z − [ 2 − 1 1
=
=
=
Z − [ 5 − 3 2
7 ZU
2 2
= .
3 3
4
2−3
Z − U
=
=
=
Z − U 5 − 11
3
2
3 =2∙3=1
4 3 4 2
3
7. Per determinare il quarto vertice del parallelogramma occorre trovare le equazioni delle due rette r ed s :
La retta r passante per il punto C e parallela al lato AB
La retta s passante per il punto A e parallela al lato BC
La retta r passante per il punto C e parallela al lato AB ha equazione:
− ! = 7 − ! ;
− 5 = − J − 6 ;
9
9
La retta s passante per il punto A e parallela al lato BC
− = 7! − ;
+2=
9
− 7 ;
= −J + 7
= −
9
99
Le coordinate del quarto vertice D del parallelogramma si ottiene risolvendo il sistema:
1
=− +7
3
]
1
11
= −
2
2
1
11
1
A2 − 2 = − 3 + 7
−
Applicando le formule, come verifica, si ottiene :
_ + = + !
_ + = + !
Matematica
_ − 2 = 7 + 6
_ + 1 = 5 − 2
3 − 33 = −2 + 42 C
D
−
5 = 75 C C
D
−
B
= 15
⇒ ^15; 2C
=2
_ = 15
.` a/0aa` bcad./-/` .
_ = 2
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6
7. Per determinare il triangolo simmetrico del triangolo ABC rispetto al punto −1; 3 occorre utilizzare le
equazioni della simmetria centrale.
+ f
f = 2e − C
2 C
g5dc
ac
`//0hi`h`:
]
B
+ f
f = 2e − e =
2
Applicando le equazioni della simmetria centrale si ottengono:
Le equazioni della simmetria centrale si ottengono utilizzando le formule del punto medio di un segmento:
e =
B
f = 2 ∙ −1 − 7 = −9
f = 2 ∙ 3 + 2 = 8
Matematica
B
f = 2 ∙ −1 + 2 = 0 C
f = 2 ∙ 3 − 1 = 5
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B
! f = 2 ∙ −1 − 6 = −8C
! f = 2 ∙ 3 − 5 = 1
7
B. Sia ABCD un trapezio, di base maggiore AB e base minore CD. Indica con M, N e T, rispettivamente, i punti medi di
AD, DC e CB. La retta NM incontra la retta AB in P e la retta NT incontra la retta AB in Q. Dimostra che il trapezio
ABCD e il triangolo PQN sono equivalenti.
IPOTESI
ABCD è un trapezio
G ≅ G^
^N ≅ N
l ≅ l
TESI
⇒
^ ≐ noN
^ ≐ lNG + ^GN + Nl
Il trapezio ABCD e il triangolo PQN sono equivalenti perché sono equicomposti:
noN ≐ lNG + nG + lo
I triangoli DMN e PMA sono congruenti per il II C.C.T. Infatti:
G^ ≅ G per ipotesi
p ^ ≅ nG
p perché opposti al vertice
NG
p N ≅ Gqn perché alterni interni .
G^
I triangoli NCT e BTQ sono congruenti per il II C.C.T. Infatti:
l ≅ l per ipotesi
lrN ≅ lro perché opposti al vertice
Nq l ≅ o
rl perché alterni interni .
Matematica
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8
C. In un triangolo rettangolo un cateto è i della sua proiezione sull’ipotenusa. Sapendo che il perimetro del
triangolo è 24 cm, determina l’area del triangolo.
Soluzione
n`h0hg` 2 = ⇒
5
= 4
ss.c5-hg` c. t° l gc vd5.cg0 ac ℎ-:
∙ 2
= ⇒
=
25
16 25
=
=
16
2
625 25 625 − 400 225 15
= x
th`./b0 = − − =x
=x
=
.
256
16
256
256
16
Utilizzando il perimetro 2s = 24 57 si ottiene:
15
25
5
+ + = 24 ;
15 + 25 + 20 = 384
16
16
4
384 32
60 = 384 ;
=
=
5
60
5 32
15 32
= ∙
=
odchgc:
= 8 57
∙
= 6 57
4 5
16 5
1
1
∙ = H ∙ 6 ∙ 8I 57 = 24 57 .
n0b/-h/` . y -b0- g0. /bc-hi`.` è: {! = 2
2
+ + = 24 ;
Matematica
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9
