Equazioni goniometriche

Appunti delle lezioni svolte in classe
Equazioni goniometriche
Si dice goniometrica un’equazione in cui l’incognita compare come argomento di una o più funzioni
goniometriche.
Equazioni elementari
sen x = a
cos x = b
sen x = a
tg x = c
cos x = b
tg x = c
 1  a  1 ammette soluzioni
 1  b  1 ammette soluzioni
Poiché il seno di un angolo
rappresenta l’ordinata del punto
della circonferenza goniometrica a
cui l’angolo è associato, dobbiamo
trovare i punti della circonferenza
goniometrica di ordinata a.
Poiché il coseno di un angolo
rappresenta l’ascissa del punto della
circonferenza goniometrica a cui
l’angolo è associato, dobbiamo
trovare i punti della circonferenza
goniometrica di ascissa b.
Gli angoli che hanno uguale seno,
associati a B1 e B2 , sono angoli
supplementari e perciò, detta
 l’ampiezza di uno di essi, le
soluzioni sono:
Gli angoli che hanno uguale coseno, Gli angoli che hanno uguale
associati a B1 e B2 , sono angoli tangente, associati a P e
opposti e perciò, detta  l’ampiezza Q , sono angoli che
differiscono per 180° e
di uno di essi, le soluzioni sono:
perciò, detta  l’ampiezza
di uno di essi, le soluzioni
sono:
x    k 360 e
x    k180
x    k 360 e
x  180    k360
x    2k e
x      2k
x    k 360
x    2k e
x    2k e
ammette soluzioni
qualunque sia c
Sulla tangente geometrica
condotta nel punto E si
prende il punto T di
ordinata c; la retta del
diametro passante per T
incontra la circonferenza nei
punti P e Q.
x    k
Percorrendo
la
circonferenza goniometrica,
troviamo:
,
generale:
C. Ferone
1
e
in
Appunti delle lezioni svolte in classe
Esempi:
1. Risolvere : senx  
1
.
2
1
, si osserva che i punti di intersezione di questa
2
7

7
con la circonferenza sono estremi degli archi di misura  e      . Quindi le soluzioni sono:
6
6
6
Disegnate la circonferenza goniometrica e la retta Y  
7

x    2k e x    2k .
6
6
2. Risolvere : senx  
2
.
3
 2
  2k e
 3
L’equazione è soddisfatta dagli infiniti angoli espressi dalle formule: x  arcsen  
 2
x    arcsen    2k .
 3
3. Risolvere : sen 2 x 
Essendo sen
x

4

2
.
2
2


3
, ne segue che 2 x   2k e 2 x     2k    2k da cui:
4
4
4
2

3
 k e x    k .
8
8
4. Risolvere : sen 2 x  senx  2  0 .
Essendo questa un’equazione algebrica di secondo grado in senx , le radici si ottengono dalla formula
risolvente di una equazione di secondo grado e dà come soluzioni: senx  2 e senx  1 . La prima è
impossibile, mentre la seconda ha soluzioni: x 

2
 2k .
5. Risolvere : sen2x  30  cosx  30 .
Per la relazione tra seno e coseno di angoli complementari, si ha:
cosx  30  sen90  2x  30  sen(60  x)
L’equazione diventa: sen2x  30  sen60  x . Avremo allora:
2x  30  60  x  k 360  x  30  k120 e
2x  30  180  60  x  k 360  x  150  k 360
C. Ferone
2
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2
.
2
6. Risolvere : cos x 
Disegnate la circonferenza goniometrica e la retta X 
2
, si osserva che i punti di intersezione di questa
2
con la circonferenza sono estremi degli archi di misura: x 

4
 2k e x  

4
 2k .
1
4
7. Risolvere : cos x   .
 1
  2k e
 4
L’equazione è soddisfatta dagli infiniti angoli espressi dalle formule: x  arccos 
 1
x  arcsen    2k .
 4
8. Risolvere : cos
2
3
Essendo cos   
x
1
 .
2
2
1
x 2
x
2
, ne segue che    2k e     2k da cui:
2
2 3
2
3
4
4
x    4k e x     4k .
3
3
9. Risolvere : cos2x  30  cos x .
Affinché due angoli abbiano lo stesso coseno, è necessario e sufficiente che differiscano di un numero
intero di angoli giri o che l’uno differisca per un numero intero di angoli giri dell’opposto dell’altro, quindi:
2x  30  x  k 360  x  30  k 360 e 2x  30  x  k 360  x  10  k120 .
10. Risolvere :
2senx cos x  cos x  0 .
Raccogliendo cos x a fattor comune si ottiene: cos x
elementari: cos x  0 e

2 senx  1  0 da cui si ricavano le equazioni
2 cos x  1  0 .
La prima ammette le soluzioni: x 
C. Ferone


5
7
 k , la seconda le soluzioni: x    2k e x    2k .
2
4
4
3