LE LINEE DI TRASMISSIONE
Modello di una linea a parametri distribuiti
Consideriamo il caso di una linea di trasmissione che può essere indifferentemente un doppino
telefonico, una linea bifilare o un cavo schermato. Se la linea è alimentata con un generatore ad alta
frequenza, essa deve essere considerata come una cascata di doppi bipoli elementari di lunghezza
infinitesima dx ognuno dei quali formato da una resistenza R dx, una induttanza L dx, una capacità
C dx e una conducibilità G dx, tutte di valore infinitesimo, dette anche costanti primarie della linea.
Questo tratto infinitesimo di linea (vedi figura) si studia come se fosse un doppio bipolo a parametri
concentrati e si possono scrivere le seguenti equazioni:
Z dx = R dx + /
/ ω/
/ dx
Y dx = G dx + /
/ω *
* dx
V (S1) = V(S2) + I(S1) Z dx
I(S1) = I(S2) + Y dx V(S2)
Ma:
V(S1) - V(S2) = dV
I(S1) - I(S2) = dI
Quindi:
dV / dx = I(S1) Z
dI / dx = Y V(S2)
Le soluzioni di questo sistema sono:
Vx = A e- x + B e x
Ix = (A / Z0) e- x - (B / Z0) e
x
Equazioni dei telegrafisti, costanti secondarie
Le espressioni descrivono l’andamento di tensione e corrente ( modulo e fase ) lungo la linea e sono
le ben note equazioni dei telegrafisti. In queste equazioni Vx e Ix rappresentano rispettivamente i
valori di tensione e di corrente in un punto generico x della linea a partire dal carico su cui è chiusa
e sono date come somma di due onde, incidente e riflessa (V+ e V- ).
e Z 0 , sono la costante di
propagazione e l’impedenza caratteristica e vengono anche dette costanti secondarie. La costante di
propagazione é formata da una parte reale chiamata costante di attenuazione e una parte
¡chiamata costante di fase.
immaginaria¡
/
/¡
¡
√( Z Y)
√5
5
/
/ ω/
/*
* /
/ ω&
&
Z 0
√( Z / Y)
√
5
5/
/ ω/
/ *
* /
/ ω&
&
La costante di attenuazione [1/ m], rappresenta l’attenuazione di un metro di linea ed è espressa
in Neper (1 Neper = 8.69 dB). La costante di fase ¡
¡ [rad/m], rappresenta il ritardo di fase che
l’onda ha accumulato dopo aver percorso un metro di linea. L’impedenza caratteristica Z0 [Ohm],
rappresenta il rapporto tra la tensione e la corrente nell’ipotesi che le onde di tensione e di corrente
si propaghino solo nella direzione che va dal generatore al carico che le assorbe completamente.
Regime progressivo
Se la linea è infinitamente lunga si parla di regime progressivo perchè il generatore trasmette alla
linea un’onda di tensione e di corrente che si propagano lungo la linea ed esse non possono essere
riflesse perchè il carico si trova a distanza infinita. Come vedremo successivamente questa
condizione ideale non è l’unica possibile per parlare di regime progressivo. In questo caso conviene
riscrivere le equazioni dei telegrafisti prendendo come riferimento non più il carico ma il
generatore:
Vx = A e-
x
Ix = (A / Z0) e-
onda progressiva di tensione
x
onda progressiva di corrente
In base a quanto detto in precedenza sono presenti solo le onde di tensione progressiva e di corrente
progressiva. Sostituendo i valori di
nella equazione della tensione progressiva si ha:
Vx = A e– e – !
!
Vx = A e – Vx = A – ¡
¡[
[
Quindi [1/ km] rappresenta l’attenuazione chilometrica della linea in Neper ( 1 Np = 8.69 dB ), e
¡ [rad/km] il ritardo di fase chilometrico. Se la linea non è infinitamente lunga ma è comunque
¡
lunga, dato che le onde viaggiando dal generatore al carico vengono attenuate e se riflesse saranno
ancora attenuate durante il ritorno, si può dire che il regime che si instaura è progressivo.
Impedenza caratteristica
Riprendendo quanto detto a proposito delle linee di trasmissione, possiamo immaginare una linea
come una cascata di doppi bipoli elementari simmetrici caricati ognuno sull’ingresso del
successivo. Per semplificare il discorso supponiamo che:
R << ω/
/ e G << ω&
&
Cioè che gli effetti elettromagnetici sono nettamente prevalenti rispetto a quelli dissipativi. In queste
condizioni otteniamo:
Z0
√( Z / Y)
√
/&
/&
5
5 Queste ipotesi sono verificate molto spesso e danno luogo ad una impedenza caratteristica reale. Se
questa linea funziona in regime progressivo evidentemente è chiusa su una resistenza uguale a
quella caratteristica per cui tutti i doppi bipoli elementari sono adattati. Quando le onde di tensione
e di corrente che provengono dal generatore giungono ai morsetti di uno dei quadripoli, “vedono”
una resistenza R0 la quale assorbe, dalle due onde, l’energia elettromagnetica che il quadripolo
trasferisce alla propria uscita. Questa energia viene trasferita sotto forma di una tensione e di una
corrente che entreranno nel quadripolo successivo, il quale presenta loro, come resistenza di
ingresso, la R0 suddetta. In tal modo, di quadripolo in quadripolo, l’onda di tensione e quella di
corrente si propagano fino al carico. Nel caso generale in cui si ha come impedenza caratteristica Z0
e non R0, l’impedenza d’ingresso del quadripolo tiene conto, oltre che dell’energia trasferita, anche
di quella incamerata nel quadripolo stesso. In conclusione l’impedenza caratteristica si può
considerare come il rapporto tra la tensione e la corrente in un punto generico di una linea che
lavora in regime progressivo.
Lunghezza d’onda e velocità di fase
Analizziamo adesso un po’ più approfonditamente l’espressione della fase dell’onda progressiva. Se
in un punto generico a distanza x dal generatore la fase dell’onda di tensione vale 2 significa che
essa si è spostata di una lunghezza pari ad una lunghezza d’onda:
2
¡
¡
ª
ª
->
ª
ª
2
¡
¡
lunghezza d’onda
Dato che velocità di propagazione e frequenza sono legate da una nota relazione si ha:
Vf = ª
ª I
I
->
Vf = 2I
I¡
¡
ω
¡
¡
velocità di fase
Questo significa che le onde elettromagnetiche si muovono alla massima velocità (3 108 m/s) solo
nel vuoto o nell’aria, che ha caratteristiche elettromagnetiche praticamente identiche al vuoto, ma
che diminuisce in guida d’onda.
Regime stazionario
Nel caso più generale che la linea non si possa considerare infinitamente lunga o che il carico non
sia adattato alla linea, è necessario considerare un’onda incidente e un’onda riflessa dal carico. Il
regime che si instaura in questo caso è quello che viene chiamato stazionario. In questo caso è utile
considerare le equazioni dei telegrafisti scritte dal carico verso il generatore:
Vx = VL+ e
x
+ VL- e
x
Ix = (VL+ / Z0) e x - (VL-/ Z0) e-
x
In queste equazioni è stato aggiunto il pedice L per indicare che il riferimento è il carico. Usando la
definizione del coefficiente di riflessione ( rapporto tra onda incidente e onda riflessa di tensione )
otteniamo:
VL = VL+ + VLVL- = VL+
coefficiente di riflessone di tensione sul carico
VL = VL+ (1 +
)
Dato che il coefficiente di riflessione per la corrente è uguale al coefficiente di riflessione per la
tensione cambiato di segno (mentre l’onda di tensione riflessa si propaga mantenendo la stessa
polarità dell’onda di tensione incidente, l’onda di corrente riflessa si propaga invertendo la sua
direzione), otteniamo:
IL = IL+ (1 –
)
Facendo il rapporto otteniamo ZL
VL+ (1 + Γ LV )
(1 + Γ LV )
ZL = VL / IL = +
= Z0
I L (1 - Γ LV )
(1 - Γ LV )
Ricavando
dall’espressione sopra si ottiene:
= ( ZL – Z0 ) / ( ZL + Z0 )
coefficiente di riflessione sul carico
a partire da ZL eZ 0
Rapporto di onda stazionaria
In una linea disadattata viaggiano due onde, una diretta dal generatore verso il carico ( onda
progressiva ), e una diretta dal carico verso il generatore ( onda regressiva ). In un punto generico
della linea la tensione è la somma tra le due onde e trattandosi di vettori esse possono sommarsi ma
anche sottrarsi.
Vmax = V+ + V-
Vmin = V+ - V-
V- = V+
Vmax = V+ ( 1 +
)
Vmin = V+ ( 1 -
)
Definendo il rapporto di onda stazionaria ROS = Vmax / Vmin :
ROS = Vmax / Vmin =
1 +
1 -
Il valore del ROS varia tra 1 (adattamento) e infinito (totale disadattamento) perchè varia
tra 0 (adattamento) e 1 (totale disadattamento).
Impedenza della linea a distanza x dal carico
Riscrivendo le equazioni dei telegrafisti utilizzando il coefficiente di riflessione sul carico
otteniamo:
Vx = VL+ e x + VL+
e
x
Ix = (VL+ / Z0) e x - (VL+ / Z0
) e
Vx = VL+ [ e
x
x
- x
+
e
]
Ix = (VL+ / Z0) [ e
x
-
e
x
]
Facendo il rapporto membro a membro otteniamo:
Zx = Z0
e
e
x
+
e
x
-
e
x
x
Quest’espressi one rappresenta l’impedenza presentata da una linea caricata su Z L a distanza x dal
carico. Calcoliamo adesso il coefficiente di riflessione ad inizio linea:
( Zx - Z0 ) / ( Zx + Z0 )
Sostituendo l’espressione di Z x e con qualche passaggio algebrico si ottiene:
- 2
=
e
x
coefficiente di riflessione a distanza x dal carico
Ricavo adesso l’impedenza d’ingresso della linea:
= ( Zx - Z0 ) / ( Zx + Z0 )
Riorganizzando l’espressione si ottiene:
Zx = Z0 ( 1 +
) / ( 1 –
)
impedenza della linea a distanza x dal carico
Dato che il coefficiente di riflessione è un numero complesso, al variare di x varierà sia il modulo
che la fase di
per cui anche Zx varierà di conseguenza. Ma vista la forma della sua espressione
si avranno dei punti della linea in cui l’impedenza toccherà dei minimi ed altri in cui essa avrà dei
massimi.
Linee senza perdite
Se ω/
/!!5
!!5
H ω&!
&!!*
!*si ha:
Z0
√
/
/ ω/
/
/
/ ω&
& √/
/
&
& 5
5 !
√
/
/ ω/
/
/
/ ω&
&
√ ω /
/&
& /
/ ω√/
/&
& /
/¡
¡
Le equazioni dei telegrafisti diventano quindi:
Vx = VL+ e
" #
x
+ VL- e-
Ix = (VL+ / R0) e
" #
x
" #
x
- (VL-/ R0) e-
VL+ = VL /(1 +
$% )
e
" #
x
R0 = ZL (1 -
$% ) / (1 +
$% )
Sostituendo, applicando le formule di Eulero e dopo alcuni passaggi algebrici si ottiene:
Zx = R0
(ZL + /
/ R0 tg
x/ª
ª)
( R0 + /
/ ZL tg
x/ª
ª)
Impedenza di una linea lunga x caricata e senza
perdite
Sostituendo a x ª
ª/2 si ottiene che:
Zx = ZL
tratti di linea lunghi ª
ª/2 sono trasparenti rispetto
al carico
Sostituendo a x ª
ª/4 si ottiene che:
tratti di linea lunghi ª
ª/4 si comportano da
trasformatore di impedenza
Dall’espressione dell’impedenza Z x della linea si ricava rispettivamente con carico in cortocircuito e
con carico in circuito aperto:
Zx = R0 2/ZL
ZCC = /
/ R0 tg (
x/ª
ª
ZCA = -/
/ R0 cotg (
x/ª
ª
Da cui risulta:
ZCC ZCA = R02
Mediante la quale è possibile conoscere l’impedenza caratteristica di una linea priva di perdite,
misurandone l’impedenza di ingresso in condizioni di carico in cortocircuito e carico in circu ito
aperto.
Stubs
Si chiama stub uno spezzone di linea di opportuna lunghezza, aperto o in corto circuito, collegato
nelle vicinanze del carico con lo scopo di adattare il carico stesso alla linea. Prima di parlare
dell’adattamento vero e proprio vediamo q uali sono le caratteristiche di uno stub.
Zx = R0 (ZL + /
/ R0 tg ¡
¡ x) / ( R0 + /
/ ZL tg ¡
¡ x)
Per uno stub in corto si ha:
ZL = 0
ZSCC = /
/ R0 tg ¡
¡ x
Per uno stub aperto si ha:
ZL =
ZSCA = -/
/ R0 cotg ¡
¡ x
impedenza di una linea lunga x caricata e senza
perdite
impedenza di uno stub aperto
impedenza di uno stub in corto
Al variare della lunghezza dello stub, che sia esso in corto o aperto, la sua impedenza passa da
capacitiva a induttiva e assume tutti i valori possibili. Ovviamente se si ha bisogno di uno stub
induttivo è conveniente prenderlo in corto circuito e se si ha bisogno di uno stub capacitivo é
conveniente prenderlo aperto perché così facendo saranno più corti.
Dato un carico generico ZL ed una linea di impedenza caratteristica R0 (reale):
ZL = RL + /
/ XL
dove ZL è l’impedenza, RL è la resistenza, XL la reattanza del carico
Consideriamo l’ammettenza del carico YL
YL = GL + /
/ BL
carico.
dove YL è l’ammettenza, GL è la conduttanza, BL la suscettanza del
L’adattamento viene effettuato in due passi:
1) Tramite il collegamento di uno stub opportuno in circuito aperto si elimina la parte
immaginaria dell’impedenza di carico (lo stub deve avere modulo pari alla suscettanza del
carico e segno opposto)
2) Con l’interposizione in serie al carico di un trasformat ore d’impedenza in ª
ª/4 si modifica il
valore del carico in modo che assuma il valore dell’impedenza caratteristica R0 della linea.
