4. OPERATORI LINEARI TRA SPAZI VETTORIALI NORMATI

4. OPERATORI LINEARI TRA SPAZI VETTORIALI NORMATI.
Definizione 1. Sia X uno spazio vettoriale sul campo K = R o K = C. Si dice norma
su X una qualsiasi funzione ∥ · ∥ : X → [0, +∞) tale che:
1) ∥x∥ = 0 se e solo se x = 0;
2) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ per ogni x, y ∈ X;
3) ∥λx∥ = |λ|∥x∥ per ogni x ∈ X e λ ∈ K.
Lo spazio (X, ∥ · ∥) si dice spazio vettoriale normato (s.v.n.).
La norma definisce una metrica su X: d(x, y)=∥x
˙
− y∥. Se X è completo rispetto a
questa metrica, lo spazio si dice di Banach.
Esempio 1. C0 (RN ) è lo spazio di tutte le funzioni f : RN → R continue, che tendono
a zero all’infinito, tali cioè che, per ogni ε > 0 esiste un compatto K ⊂ RN (dipendente
dalla funzione f ) in modo che |f (x)| < ε per ogni x ∈ K c . Essendo C0 (RN ) un sottospazio
dello spazio M (RN ) delle funzioni limitate, è naturale dotarlo della norma dell’estremo
superiore
∥f ∥∞ = sup |f (x)|.
(1)
x∈RN
Con tale norma C∗ (RN ; C) è uno spazio di Banach. Infatti M (RN ; C) è completo, dunque
ogni successione di Cauchy in C∗ (RN ; C) converge in M (RN ; C). Poiché la convergenza
secondo la norma ∥ · ∥∞ equivale alla convergenza uniforme, segue che la funzione limite
f è continua. Inoltre per ogni ε > 0 esistono nε ∈ N ed rε ∈ R+ tali che
|fn (x) − f (x)| ≤ ∥fn − f ∥ ≤ ε
|fnε (x)| ≤ ε
∀x ∈ RN , n ≥ nε
∀x ∈ B(0, rε )c
(2)
(3)
Di conseguenza si ha
|f (x)| ≤ |f (x) − fnε (x)| + |fnε (x)| ≤ 2ε
∀x ∈ B(0, rε )c
(4)
Ciò prova che f ∈ C0 (RN ; C), e quindi C∗ (RN ; C) è completo.
Esempio 2. Ccomp (RN ; C) è lo spazio di tutte le funzioni f ∈ C(RN ; C) con supporto
compatto. In altre parole per ogni tale f esiste un compatto K (dipendente da f ) tale che
f (x) = 0 per ogni x ∈ K c . Evidentemente Ccomp (RN ; C) ⊂ C0 (RN ; C). Ccomp (RN ; C)
dotato della norma ∥ · ∥∞ non è completo, ma è denso in C0 (RN ; C). Infatti, se f ∈
C0 (RN ; C), costruiamo la seguente successione in Ccomp (RN ; C):
{
fm (x) =
f (x)
se |x| ≤ m
0
se |x| ≥ m + 1
(m + 1 − |x|)f (x) se m < |x| < m + 1
(5)
È ovvio che, per m abbastanza grande
∥fm − f ∥∞ ≤ sup |f (x)| < ε.
|x|≥m
(6)
1
OPERATORI LINEARI
Osservazione 1. C∗ (RN ; C) e Ccomp (RN ; C) possono essere definiti in modo del tutto
analogo su un qualsiasi spazio topologico di Hausdorff localmente compatto (ogni suo
punto possiede un sistema fondamentale di intorni la cui chiusura è compatta). Continua
a valere quanto si è detto nei due esempi precedenti. In particolare la dimostrazione
della densità di Ccomp (RN ; C) in C∗ (RN ; C) si basa sul lemma di Urysohn che permette
di effettuare troncamenti di f analoghi a quelli appena visti.
Se X = N è dotato della topologia discreta, si costruiscono i due spazi c0 = C0 (N; C)
(delle successioni tendenti a 0) e c = Ccomp (N; C) (delle successioni definitivamente
nulle).
Esempio 3. Costruiamo due importanti sottospazi di C0 (RN ; C). Siano α = (α1 , . . . , αn )
∑N
e β = (β1 , . . . , βn ) due multi-indici ∈ NN e sia |α| = j=1 |αj | il peso di un multi-indice.
Definiamo inoltre:
n
∏
α
α
∀x ∈ RN , ∀α ∈ NN .
(7)
x =
xj j
j=1
Dα f =
n
∏
α
Dj j f
∀f ∈ C ∞ (RN ; C), ∀α ∈ NN
(
Dj =
j=1
∂ )
.
∂xj
(8)
Chiamiamo S lo spazio di tutte le funzioni C ∞ (RN ; C) rapidamente decrescenti all’infinito, cioè tali che
lim (1 + |x|)|α| |Dα f (x)| = 0
∀α ∈ NN ,
(9)
x→∞
∞
e chiamiamo D = Ccomp
(RN ; C). Tali spazi sono non banali: infatti la funzione f (x) =
exp(−|x|2 ) appartiene ad S, ma non a D, mentre la funzione
{
f (x) =
exp(−(1 − |x|2 )−1 ) se x ∈ B(0, 1)
0
se x ∈ B(0, 1)c
(10)
appartiene a D ed anche ad S.
Ovviamente valgono le inclusioni D ⊂ S ⊂ C0 (RN ; C): potremo normare tali spazi
vettoriali con la norma dell’estremo superiore. Tuttavia tale norma è del tutto inadeguata
per tali spazi, poiché controlla solo i valori di f e non quelli delle sue derivate. È possibile
dimostrare (ma non è del tutto semplice) che, rispetto alla norma dell’estremo superiore
D è denso in Ccomp (RN ; C): di conseguenza sia D che S sono densi in C∗ (RN ; C).
Definizione 2. Siano X ed Y due spazi vettoriali sullo stesso campo K. Un’applicazione
L : X → Y si dice lineare se soddisfa la proprietà
L(αx1 + βx2 ) = αL(x1 ) + βL(x2 )
∀α, β ∈ K, ∀x1 , x2 ∈ X
(11)
I risultati fondamentali sulle applicazioni lineari tra spazi vettoriali normati sono:
1) l’equivalenza tra le nozioni di continuità e limitatezza;
2) lo spazio di tutti gli operatori lineari limitati tra due s.v.n. può essere dotato (in
modo del tutto naturale) di una norma che lo rende di Banach, qualora lo spazio di
arrivo Y sia uno spazio di Banach.
2
CAPITOLO 4
Che cosa significa che un operatore lineare è limitato? Consideriamo il caso L : Rn → Rm ,
cioè L(x) = Ax essendo A una matrice di tipo m × n. È chiaro che, se A è non nullo, i
valori assunti da L non descrivono, al variare di x in RN , un insieme limitato Rm . Infatti,
se Ax ̸= 0, allora
∥A(λx)∥m = |λ| · ∥Ax∥m → +∞
Tuttavia il rapporto
per λ → ∞
∥Lx∥m
∥x∥n
(12)
(12)
si mantiene limitato (e non superiore alla norma euclidea della matrice A, (v. il successivo
esempio 4). Ciò suggerisce la seguente
Definizione 3. Siano X ed Y due spazi vettoriali normati ed L : X → Y un’applicazione
lineare. L si dice limitata se esiste una costante M > 0 tale che
∥Lx∥Y ≤ M ∥x∥X
∀x ∈ X.
(13)
Pertanto, se L è lineare limitata, allora
|||L||| :=
sup
x∈X\{0}
∥Lx∥Y
≤ M < +∞
∥x∥X
(14)
Tale estremo superiore è detto norma dell’operatore lineare L. Osserviamo che ogni
vettore x ∈ X\{0} ammette l’unica decomposizione canonica
x = ∥x∥X v,
ove v = ∥x∥−1
X x
(15)
Il vettore v ∈ ∂B(0, 1) è detto versore associato ad x. Viceversa, fissato v ∈ ∂B(0, 1)
tutti i vettori x = ∥x∥X v con x ∈ X\{0} ammettono v come versore associato. Di
conseguenza per ogni v ∈ ∂B(0, 1) valgono le uguaglianze
sup ∥Lv∥Y =
∥v∥=1
sup
x∈X\{0}
1
∥Lx∥Y
Lx = sup
= |||L|||
∥x∥X
Y
x∈X\{0} ∥x∥X
(16)
Teorema 1. Siano X ed Y due spazi vettoriali normati e L : X → Y un’applicazione
lineare. Allora le tre seguenti affermazioni sono equivalenti:
i) L è limitata;
ii) L è continua;
iii) L è continua nel punto x = 0.
Dimostrazione. i) ⇒ ii). Infatti L è Lipschitziana in virtù della stima
∥Lx2 − Lx1 ∥Y = ∥L(x2 − x1 )∥Y ≤ |||L||| ∥x2 − x1 ∥X
ii) ⇒ iii). È ovvia.
∀x1 , x2 ∈ X.
(17)
3
OPERATORI LINEARI
iii) ⇒ i). Esplicitiamo la continuità di L in x = 0 in termini di ε e δ: per ε = 1 esiste
δ > 0 tale che
∥Lz∥Y ≤ 1
∀z ∈ X tale che ∥z∥X ≤ δ
(18)
La limitatezza di L segue quindi dalle seguenti disuguaglianze
(
)
−1
−1
−1
−1
∥Lx∥Y = δ ∥x∥X · δ∥x∥X ∥Lx∥Y = δ ∥x∥X L δ∥x∥X x (19)
Y
≤δ
−1
∥x∥X
∀x ∈ X\{0}
Esempio 4. Dotiamo X = Rn ed Y = Rm delle basi canoniche e delle norme euclidee.
Allora la più generale applicazione lineare L : X → Y è realizzata da una matrice
A = {aij }1≤i≤m, 1≤j≤n di tipo m × n. La disuguaglianza di Schwarz garantisce che esiste
una costante M (A) ≥ 0 tale che
∥Lx∥m ≤ M (A)∥x∥n
∀x ∈ Rn
(20)
ove ∥ · ∥k denota la norma euclidea in Rk . Si ha infatti
∥Ax∥2m
=
m (∑
n
∑
i=1
)2
aij xj
j=1
≤
m (∑
n
∑
i=1
|aij |
2
)
∥x∥2n := M (A)2 ∥x∥2n
∀x ∈ Rn
j=1
ove la costante M (A) è assegnata dalla seguente formula
M (A) =
m ∑
n
(∑
|aij |2
)1/2
(21)
i=1 j=1
Ovviamente M (A) definisce una norma nello spazio delle matrici Mm×n (C)
Pertanto ogni applicazione lineare da Rn in Rm è continua con |||L||| ≤ M (A).
Esempio 5. Siano X = C([0, 1]) ed L l’applicazione lineare da X in sé definita da
∫
t
Lf (t) =
∀t ∈ [0, 1]
f (s) ds
(22)
0
Dalle stime
∥Lf ∥X
∫ t
∫ t
= sup f (s) ds ≤ sup
|f (s)| ds ≤ ∥f ∥∞ = ∥f ∥X
t∈[0,1]
0
t∈[0,1]
(23)
0
segue che L è continua con norma che non supera 1. In effetti, scegliendo f (t) ≡ 1 per
ogni t ∈ [0, 1], si deduce che |||L||| = 1.
Esempio 6. Sia X = C 1 ([0, 1]) lo spazio vettoriale di tutte le funzioni complesse differenziabili in [0, 1] con derivata continua. Dotiamo tale spazio della norma dell’estremo
superiore. Allora l’applicazione lineare L : X → C([0, 1]) cosı̀ definita
L(f ) = f ′
(24)
4
CAPITOLO 4
è discontinua. Infatti, se fosse continua, dovrebbe esistere una costante M > 0 tale che
∥f ′ ∥∞ ≤ M ∥f ∥∞ .
(25)
Tuttavia, scegliendo fn (t) = tn , il primo membro della (25) sarebbe uguale a n: quindi
crescerebbe indefinitamente, mentre il secondo membro resterebbe costante (uguale a
M ). Pertanto L risulta discontinuo.
È possibile tuttavia rendere L un operatore continuo pur di cambiare la norma in
C 1 ([0, 1]) sostituendo al posto di quella indotta da C([0, 1]) la seguente norma più forte:
∥f ∥1,∞ = ∥f ∥∞ + ∥f ′ ∥∞
∀f ∈ C 1 ([0, 1]).
(26)
Osserviamo che la continuità è immediatamente assicurata dalla maggiorazione
∥Lf ∥∞ = ∥f ′ ∥∞ ≤ ∥f ∥1,∞
∀f ∈ C 1 ([0, 1]).
(27)
Si può inoltre dimostrare che C 1 ([0, 1]) è completo con la norma ∥f ∥1,∞ , mentre non lo
è con la norma dell’estremo superiore.
Esempio 7. Sia X = C0 (RN ) e t0 un punto fissato di RN . Allora l’applicazione lineare
L : X → C cosı̀ definita
L(f ) = f (t0 )
(28)
è continua, poiché
|Lf | = |f (t0 )| ≤ ∥f ∥∞
∀f ∈ C0 (RN ).
(29)
Definizione 4. Sia X uno spazio vettoriale normato. Allora ogni applicazione lineare
L : X → C (L : X → R) si dice funzionale lineare su X.
• Lo spazio L(X, Y ).
Definizione 5. Per ogni coppia di spazi vettoriali normato X ed Y sia L(X, Y ) l’insieme
di tutti gli operatori lineari e limitati da X in Y .
Osservazione 2. Se definiamo la somma di applicazioni lineari ed il prodotto di uno
scalare per un’applicazione lineare nel solito modo
(L1 + L2 )x = L1 x + L2 x,
e
(aL)x = a(Lx)
∀a ∈ K, ∀x ∈ X,
allora è ben noto che L(X, Y ) è uno spazio vettoriale. Di più è possibile dotare L(X, Y )
di una norma legata al concetto di limitatezza.
Teorema 2. (L(X, Y ), ||| · |||) è uno spazio vettoriale normato.
Dimostrazione. Proviamo che il funzionale ∥ · ∥L(X,Y ) := ||| · ||| è effettivamente una norma:
i) |||L||| = 0 =⇒ L = 0: infatti
Se |||L||| = 0 =⇒ 0 ≤ ∥Lx∥Y ≤ |||L|||∥x∥X = 0
∀x ∈ X ⇐⇒ ∥Lx∥Y = 0
∀x ∈ X
5
OPERATORI LINEARI
ii) |||λL||| = |λ||||L||| per ogni λ ∈ C: infatti
(
)
∥λLx∥Y
∥Lx∥Y
∥Lx∥Y
|||λL||| = sup
= sup
|λ|
= |λ| sup
= |λ||||L|||.
∥x∥X
x∈X\{0} ∥x∥X
x∈X\{0}
x∈X\{0} ∥x∥X
iii) |||L1 + L2 ||| ≤ |||L1 ||| + |||L2 |||: infatti
∥L1 x + L2 x∥Y
sup
≤ sup
∥x∥X
x∈X\{0}
(
∥L1 x∥Y
∥L2 x∥Y
+
∥x∥X
∥x∥X
)
.
Teorema 3. Sia X uno spazio vettoriale normato ed Y uno spazio di Banach. Allora
L(X, Y ) dotato della norma ||| · ||| è uno spazio di Banach.
Dimostrazione. Sia {Ln }∞
n=1 una successione di Cauchy in L(X, Y ). Allora per ogni
ε > 0 esiste n0 = n0 (ε) tale che
|||Lm − Ln ||| ≤ ε
∀n, m ≥ n0 .
(30)
Dividiamo la dimostrazione in punti successivi.
1. La successione {Ln x}∞
n=1 converge puntualmente in Y . Infatti
∥Lm x − Ln x∥Y ≤ ε∥x∥X
∀m, n ≥ n0 , ∀x ∈ X.
(31)
Pertanto la successione {Ln x}∞
n=1 è di Cauchy nello spazio di Banach Y . Di conseguenza
essa converge in Y per ogni x ∈ X. È possibile definire quindi la funzione L : X → Y
mediante la formula
Lx = lim Ln x
∀x ∈ X.
(32)
n→+∞
2. L è lineare. Tale proprietà segue immediatamente dalla formula
Ln (αx1 + βx2 ) = αLn x1 + βLn x2
∀α, β ∈ K, ∀x1 , x2 ∈ X.
(33)
facendo tendere n all’infinito e sfruttando l’unicità e la linearità del limite.
3. L è limitata. Infatti, passando al limite in (31) per m → +∞ e sfruttando la
continuità della norma, si trova la relazione
∥Lx − Ln x∥Y ≤ ε∥x∥X
∀n ≥ n0 , ∀x ∈ X.
(34)
Da qui si deduce che L − Ln è limitato per ogni n ≥ n0 e soddisfa la maggiorazione
|||L − Ln ||| ≤ ε
∀n ≥ n0 .
(35)
Dall’identità L = (L−Ln0 )+Ln0 segue infine che L ∈ L(X, Y ). Infine da (35) si conclude
che la successione {Ln }∞
n=1 converge ad L in L(X, Y ).
6
CAPITOLO 4
Osservazione 2. Siano X, Y , Z tre spazi normati e siano M ∈ L(Y, Z) e L ∈ L(X, Y )
due assegnati operatori limitati. Allora M L ∈ L(X, Z) e vale la stima
|||M L|||L(X,Z) ≤ |||M |||L(Y,Z) |||L|||L(X,Y )
(36)
Infatti per ogni x ∈ X\{0} si ha
∥M Lx∥Z ≤ |||M |||L(Y,Z) ∥Lx∥Y ≤ |||M |||L(Y,Z) |||L|||L(X,Y ) ∥x∥X .
(37)
Pertanto M L ∈ L(X, Z) e vale la stima (36).
Osservazione 3. L’osservazione precedente mostra che L(X) = L(X, X) è un’algebra.
Inoltre la norma |||L|||L(X) soddisfa l’ulteriore proprietà
|||M L|||L(X) ≤ |||M |||L(X) |||L|||L(X)
∀L, M ∈ L(X)
(38)
Pertanto L(X) viene detta algebra di Banach. Inoltre L(X) è dotato di unità data
dall’operatore identico
Ix = x
∀x ∈ X
(39)
La norma di I è data ovviamente da
|||I|||L(X) = 1.
Infine osserviamo che L(X) è un’algebra di Banach con unità, ma (in generale) non è
commutativa.