COMUNICAZIONI ELETTRICHE A
Laurea Triennale in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni
Prova del 10/1/2007
Tempo a disposizione: 2 ore
1. Si illustri il funzionamento di un ricevitore supereterodina, spiegando il funzionamento dei
singoli blocchi costituenti.
2. Si consideri il processo n(t) ottenuto filtrando un processo di rumore gaussiano bianco con
densità spettrale di potenza N0 /2 con un filtro passa banda ideale di banda B intorno alla
frequenza f0 . Si dimostri che il processo nc (t) della decomposizione
n(t) = nc (t) cos(2πf0 t + θ) − ns (t) sin(2πf0 t + θ)
ha autocorrelazione indipendente da θ.
Suggerimento: si esprima nc (t) in funzione di n(t) e della sua trasformata di Hilbert e se ne
calcoli l’autocorrelazione.
3. In un sistema di trasmissione FM, il segnale modulante ha banda B = 15 kHz e potenza media
Px = 10−3 V2 . Il modulatore è caratterizzato da una deviazione di frequenza pari a f∆ = 200
kHz.
(a) Si determini la banda del segnale FM.
(b) Si dimostri come ricavare il rapporto segnale-rumore Su /Nu all’uscita del demodulatore
avendo noto il rapporto segnale-rumore Si /Ni al suo ingresso.
(c) Sapendo che il rapporto segnale-rumore all’ingresso del demodulatore è Si /Ni = 20 dB,
si valuti il rapporto segnale-rumore Su /Nu all’uscita del demodulatore stesso (in dB).
Risultati e soluzione: http://www.tlc.unipr.it/people/ colavolpe
Verbalizzazione ed orali: venerdì 12/1/2007 ore 14,30 aula 7
1
COMUNICAZIONI ELETTRICHE A
Laurea Triennale in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni
Prova del 10/1/2007
Tempo a disposizione: 2 ore
1. In un sistema di trasmissione PAM, il segnale trasmesso è
X
s(t) =
ai p(t − iT ) .
i
I simboli ai sono indipendenti e possono assumere 0 ed 1 con la stessa probabilità. L’impulso
p(t)e del tipo RZ (con ritorno a zero) con duty cycle del 50% ovvero
1 per 0 < t < T /2
p(t) = 0 altrove.
(a) Si calcoli la funzione di autocorrelazione dei simboli ai .
(b) Si determini l’espressione della densità sprettrale di potenza di s(t) e se ne rappresenti il
grafico.
2. Si consideri il ricevitore per segnali numerici in Fig. 1. La trasmissione è binaria ed i simboli
p(t)
√1
T
p(t)
T
T
2
g(t)
+
RT
0 (·) dt
−
t
z
w(t)
q(t)
√2
T
q(t)
t
T
Figura 1:
emessi dalla sorgente possono assumere i valori 0 e 1 con uguale probabilità. Quando viene
trasmesso il simbolo 0, l’impulso g(t) vale
1
√ sin(2π t ) per 0 ≤ t ≤ T
T
T
g0 (t) =
0
altrove
mentre quando viene trasmesso 1 vale
1
√ sin(π t ) per 0 ≤ t ≤ T
T
T
g1 (t) =
0
altrove.
Il rumore w(t)è gaussiano, bianco, con densità spettrale di potenza N0 /2.
(a) Si calcoli il valor medio e la varianza di z condizionatamente alla trasmissione di 0 e 1.
(b) Si determini la strategia del decisore ottimo che opera su z e si calcoli la probabilità
d’errore.
(c) Sostituendo nello schema di Fig. 1 p(t) con g0 (t) e q(t) con g1 (t), si calcoli la probabilità
d’errore.
Risultati e soluzione: http://www.tlc.unipr.it/people/ colavolpe
Verbalizzazione ed orali: venerdì 12/1/2007 ore 14,30 aula 7
2
Soluzione parte analogica
1. Domanda di teoria
2. Indicando con ň(t) la trasformata di Hilbert di n(t), la componente in fase nc (t) può essere
espressa come
nc (t) = n(t) cos(2πf0 t + θ) + ň(t) sin(2πf0 t + θ) .
L’autocorrelazione di nc (t) può quindi essere espressa come
Rc (τ ) = E{nc (t + τ )nc (t)}
= E{n(t + τ )n(t)} cos[2πf0 (t + τ ) + θ] cos[2πf0 t + θ]
+E{n(t + τ )ň(t)} cos[2πf0 (t + τ ) + θ] sin[2πf0 t + θ]
+E{ň(t + τ )n(t)} sin[2πf0 (t + τ ) + θ] cos[2πf0 t + θ]
+E{ň(t + τ )ň(t)} sin[2πf0 (t + τ ) + θ] sin[2πf0 t + θ] .
Indichiamo con Sn (f ) la densità spettrale di potenza di n(t) e con Sň (f ) quella di ň(t). Poiché
ň(t) si ottiene come mostrato in Fig. 2, è
n(t)
ň(t)
H(f )
H(f ) = −jsgn(f )
Figura 2:
Sň (f ) = Sn (f )|H(f )|2 = Sn (f )
e quindi
Rn (τ ) = E{n(t + τ )n(t)} = E{ň(t + τ )ň(t)} = Rň (τ ) .
Analogamente
E{ň(t + τ )n(t)} = −E{n(t + τ )ň(t)} = h(τ ) ⊗ Rn (τ )
dove h(t) è la risposta impulsiva del filtro di Hilbert. Pertanto è h(τ )⊗Rn (τ ) = Řn (τ ). Quindi
Rc (τ ) = Rn (τ ){cos[2πf0 (t + τ ) + θ] cos[2πf0 t + θ] + sin[2πf0 (t + τ ) + θ] sin[2πf0 t + θ]}
−Řn (τ ){cos[2πf0 (t + τ ) + θ] sin[2πf0 t + θ] − sin[2πf0 (t + τ ) + θ] cos[2πf0 t + θ]}
= Rn (τ ) cos(2πf0 τ ) − Řn (τ ) sin(2πf0 τ )
indipendente da θ.
3.
(a) La banda del segnale FM è
BF M ≃ 2(f∆ + 2B) = 460 kHz.
(b) Domanda di teoria. Dopo i passaggi svolti a lezione si trova
3f 2 Px BF M Si
Su
= ∆ 3
.
Nu
B
Ni
(c) Esprimendo la relazione precedente in dB si ha
2
3f∆ Px BF M
Su
Si
+
= 10 log10
= 32.14 dB.
3
Nu dB
B
Ni dB
3
Soluzione parte digitale
1.
(a) La funzione di autocorrelazione dei simboli ai è
E{a2i } = 12
Ra (m) = E{ai+m ai } =
E{ai+m }E{ai } =
1
2
·
1
2
=
1
1
per m = 0
= δ(m) + .
per m 6= 0
4
4
1
4
(b) La densità spettrale di potenza Ws (f ) di s(t) ha espressione
Ws (f ) =
Wa (f )
|P (f )|2 .
T
Per quanto riguarda la densità spettrale di potenza dei simboli è
X
1
m
1 X Ra (m)e−j2πf0 T = +
Wa (f ) =
δ f−
4 4T m
T
m
e pertanto
Ws (f ) =
Per quanto riguarda P (f ) è
|P (f )|2
m 2 1 X
m
|P
(
.
+
)|
δ
f
−
4T
4T 2 m
T
T
T
sinc
2
P (f ) =
fT
2
e−jπf T /2
e quindi
T
Ws (f ) = sinc2
16
fT
2
+
il cui grafico è mostrato in Fig. 3.
m
m
1 X
sinc2
δ(f − )
16 m
2
T
Ws (f )
1/16
T /16
fT
−4
−2
0
2
4
Figura 3:
2. Il ricevitore in Fig. 1 può equivalentemente essere rappresentato come in Fig. 4(a) o in Fig.
4(b).
4
h(t) = p(t) − q(t)
g(t)
RT
0 (·) dt
z
h(t)
T
t
w(t)
− √1T
(a)
g(t)
h(t) = p(t) − q(t)
z(t)
− √3T
z
h(−t)
w(t)
(b)
Figura 4:
(a) Il segnale all’uscita del filtro h(−t) risulta quindi
z(t) = [g(t) + w(t)] ⊗ [h(−t)] .
Pertanto è
z = g(t) ⊗ h(−t)|t=0 + w(t) ⊗ h(−t)|t=0 = zs + zw
dove identifichiamo con
zs = g(t) ⊗ h(−t)|t=0
il termine di segnale e con
zw = w(t) ⊗ h(−t)|t=0
il termine di rumore. Essendo zw frutto di un’operazione lineare su un processo di rumore
gaussiano, è una variabile casuale gaussiana. I suoi momenti principali sono ovviamente:
E {zw } = 0
2
N0
E zw
Eh
=
2
2 5
dove Eh = 5 è l’energia di h(t). Pertanto E zw
= 2 N0 . La componente di segnale zs
è invece
(R
T
per a = 0
g (t)h(t)dt = π2
zs = R0T 0
4
per a = 1
0 g1 (t)h(t)dt = − π
dove con a si è indicato il simbolo trasmesso. Pertanto, valor medio e varianza di z
risultano:
2
per a = 0
π
E {z} =
− π4 per a = 1
5
N0 = σ12 .
var{z} =
2
(b) Come decisore si sceglie un decisore a soglia con soglia di decisione −1/π tale che la sua
uscita â sia:
0 per z > −1/π
â =
1 per z < −1/π
5
La probabilità di errore risulta:
P {â 6= a} = P {â 6= a|a = 0} P {a = 0} + P {â 6= a|a = 1} P {a = 1}
1
1
= P {â 6= a|a = 0} + P {â 6= a|a = 1}
2
2
con
2
1
3
1
P {â 6= a|a = 0} = P {z < − |a = 0} = P { + zw < − } = P {zw < − }
π
π
π
π
r
18
3
3
= P {zw > } = Q
=Q
.
π
πσ1
5π 2 N0
Analogamente
P {â 6= a|a = 0} = Q
e quindi
P {â 6= a} = Q
r
r
18
5π 2 N0
18
5π 2 N0
.
(c) Ripetendo i calcoli del punto precedente e tenendo conto che, in questo caso,
Z T
g0 (t)g1 (t) dt = 0
0
Z T
1
g02 (t) dt =
2
0
Z T
1
g12 (t) dt =
2
0
si ha
E {z} =
var{z} =
1
2
− 12
per a = 0
per a = 1
N0
= σ22 .
2
In questo caso quindi
P {â 6= a} = Q
6
1
2σ2
=Q
√
1
2N0
.
