( Per rubrica sul sito del Prof. BALDINU)
L’ A N G O L O
D E I
N U M E R I
P R I M I
Introduzione
Siamo il piccolo Gruppo di ricerca “ERATOSTENE”, composto
dalla Prof. ssa
Annarita Tulumello, docente di matematica
al
Liceo Clasico di Caltanissetta, e da Francesco Di Noto, studioso
dilettante di matematica.
Abbiamo già dedicato qualche anno allo
studio dei numeri in generale e dei numeri primi in particolare (che
riteniamo molto importanti perché possibilmente coinvolti in alcuni
fenomeni naturali come i numeri di Fibonacci) e con qualche buon
risultato consultabile sul sito Internet:
www.geocities.com/g_armillotta/metodo19/di_noto13html
(ma anche … metodo20 e …metodo21) e riguardano il nostro
Teorema n° 1, la congettura di Goldbach, quella sui numeri primi
gemelli, ecc.).
Dedichiamo questa rubrica sui numeri primi
liceali
sia agli studenti
molto interessati alla teoria dei numeri in generale e dei
numeri primi in particolare, sia ai loro docenti di matematica, per
avere i loro pareri, commenti o anche suggerimenti per ulteriori
ricerche i certe direzioni che magari a noi ora sfuggono, ecc.
La nostra esposizione sarà la più chiara e sintetica possibile,
con qualche tabella o grafico e con poche equazioni, il minimo
possibile, e quindi di tipo divulgativo, nei limiti dello spazio
concessoci
mensilmente dal sito.
Prof. Annarita Tulumello
Francesco Di Noto
Cominceremo questa rubrica esponendo brevemente il nostro
Teorema n.° 1, riguardante la forma generale dei numeri primi
e la loro distribuzione tra i numeri naturali, cosa questa che potrebbe
interessare gli studiosi dell’ipotesi di Riemann e di altre congetture
sui numeri primi non ancora risolte, o anche già parzialmente risolte,
come la congettura di Goldbach e dei numeri primi gemelli, vedi
sito web citato nell’introduzione).
Il nostro teorema dice che tutti gli infiniti numeri primi
(tranne i soli 2 e 3) e tutti i semiprimi (prodotti tra primi esclusi
sempre il 2 e il 3) sono di forma generale :
P
= 6* n
+ 1
Per esempio, per n = 1, abbiamo
6*1 -1 = 5 numero primo
6*1 +1 = 7
per n = 2
abbiamo
numero primo
6*2 -1 = 11 numero primo
6*2 +1 = 13 numero primo
per n = 3
abbiamo
6*3 - 1 = 17 numero primo
6*3 +1 =19 numero primo
per n = 4 abbiamo
6*4 -1 = 23 numero primo
6*4 +1 = 5*5 =25 semiprimo
e cosi via
(le prime tre coppie di numeri sono coppie di numeri
primi gemelli).
Dato un qualsiasi numero primo p (sempre esclusi il 2 e il 3)
Per trovare n basta applicare la formula inversa:
n = (p + 1) / 6
per esempio per p = 47,
n = (47 + 1) / 6 = 48 / 6 = 8
Questo teorema, tra l’altro, spiega benissimo perché la differenza
Tra due numeri primi, che condividono lo stesso valore di n, è
sempre 2 :
infatti essi possono essere scritti nella forma indicata dal teorema:
6*n + 1
- (6*n - 1) = 6*n + 1 - 6*n + 1 = +1 +1 = 2,
quali che siano q e p = q – p = 2 e quale che sia n.
Per esempio q = 19 e p =17 = 19 -2,, ed n = 3 :
19 -
17 =
6*3 +1 - (6*3 -1) = 18 +1 - 18 + 1 = 1 + 1 = 2
Quando invece due primi
non condividono lo stesso n, e
quindi sono di forma q = 6*n + 1 e
p = 6*m + 1 con n > m;
q - p = 6*n + 1 - (6*n + 1 ) = 6*n + 1 - 6*m + 1 =
6 (n-m) + 1 + 1 = 6* r ; 6* r + 2 = sempre un numero pari p.
Per esempio q = 37 e p = 17,
q - p = 37 – 17 = 20 , anche
perché 6*6 + 1 - (6* 3 -1) = 6 (6 – 3) +1 +1 = 6*3 +2 = 18 +2 = 20
numero pari come differenza, come tutte le differenze tra i numeri
dispari. La minima differenza pari è 2 e riguarda i numeri primi
gemelli, possibile solo quando n = m, ed r = n - m = 0e quindi anche
d = 6 (n-m) +2 = 6*0 +2 = 0 + 2 = 2, mentre in tutti gli altri
casi d = 2k
dicembre
con d > 2.
La congettura dei numeri gemelli
che ci sono infinite coppie di numeri primi gemelli, mentre la sua
estensione (congettura di Chen) dice che anche qualsiasi numero pari
d > 2 è infinite volte la differenza tra due numeri primi; noi
pensiamo che anche la congettura di Chen sia vera, e ne parleremo
nei prossimi mesi.
Gruppo ERATOSTENE
(programma per le prossime volte)
1) Congettura di Goldbach
2) Congettura di Chen
3) Fattorizzazione di prodotti tra gemelli Teorema n° 1
4) Cicale e numeri primi
5) Numeri di Fibonacci e numeri primi
6) Stabilità nucleare (Fibonacci più numeri primi)
7) 11 Congetture varie sui numeri primi e loro dimostrazione
(una per volta)
