ISTITUTO STATALE D’ISTRUZIONE SUPERIORE “ Francesco De Sarlo “
Via Sant’Antuono 192 - 0973/21034 - C.F. 83000510764 – PZIS001007
85042 - LAGONEGRO – PZ
PZPM00101P IST. MAG. LAGONEGRO - PZPS00101N LIC. SC. LAGONEGRO - PZPS00102P LIC. SC. LATRONICO
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA
PROGRAMMAZIONE GENERALE DI MATEMATICA
TRIENNIO PNI
A.S. 2009/2010
Programmazione didattica di matematica per il triennio
Nella stesura degli obiettivi e dei programmi di matematica per il triennio del liceo scientifico i saperi sono
stati articolati in conoscenze, abilità/capacità e competenze, tenendo presente le seguenti definizioni:
–
Conoscenze: indicano il risultato dell’assimilazione di informazioni attraverso l’apprendimento. Le
conoscenze sono l’insieme di fatti, principi, teorie e pratiche, relative a un settore di studio o di lavoro; le
conoscenze sono descritte come teoriche e/o pratiche.
–
Abilità: indicano le capacità di applicare conoscenze e di usare know-how per portare a termine compiti
e risolvere problemi; le abilità sono descritte come cognitive (uso del pensiero logico, intuitivo e
creativo) e pratiche (che implicano l’abilità manuale e l’uso di metodi, materiali, strumenti).
–
Competenze: indicano la comprovata capacità di usare conoscenze, abilità e capacità personali,sociali
e/o metodologiche, in situazioni di lavoro o di studio e nello sviluppo professionale e/o personale; le
competenze sono descritte in termine di responsabilità e autonomia.
OBIETTIVI SPECIFICI DEL TRIENNIO
La matematica è una disciplina rigorosa, sviluppa nell'allievo la capacità logica, astrattiva e deduttiva,
strutturando nel giovane una mentalità scientifica. In particolare, poi, essa costituisce un indispensabile
strumento per la comprensione della fisica in quanto consente di interpretare, descrivere e rappresentare i
fenomeni osservati in natura.
Nel triennio l'insegnamento della matematica deve ampliare e rafforzare progressivamente gli obiettivi
raggiunti a conclusione del biennio, recuperando le conoscenze acquisite inserendole in un processo di
maggiore astrazione e formalizzazione.
Si elencano di seguito i principali obiettivi specifici disciplinari relativi al Triennio PNI:
–
Acquisire strumenti fondamentali atti a costruire modelli di descrizione e indagine della realtà (relazioni,
formule, corrispondenze, grafici, piano cartesiano)
–
Formalizzare e rappresentare relazioni e dipendenze
–
Convertire informazioni da ed in linguaggi simbolici
–
Codificare algoritmi in uno o più linguaggi artificiali
–
Analizzare un problema ed individuare il modello matematico più adeguato per la sua risoluzione
–
Comprendere i passi di un ragionamento e saperlo ripercorrere
–
Utilizzare pacchetti e strumenti informatici
–
Elaborare informazioni utilizzando al meglio metodi e strumenti di calcolo
–
Stabilire criteri per la valutazione di elaborazioni affidate a esecutori automatici
2
METODI
I contenuti saranno trattati in modo non schematico, ma procedendo con un metodo a strati, per
approfondimenti successivi, sottolineando relazioni e connessioni. I tradizionali temi di algebra e di
geometria saranno integrati con quelli più innovativi di logica, di informatica, di probabilità e statistica e di
analisi numerica. Sarà privilegiato un approccio agli argomenti per problem solving, scegliendo le situazioni
più idonee ad individuare congetture, ipotesi e soluzioni.
Per la sistematizzazione dei contenuti, per il potenziamento e per tutti quegli argomenti che lo rendano
necessario, sarà utilizzato il metodo frontale. Alcuni argomenti saranno trattati evidenziando le connessioni
interdisciplinari relative a temi di fisica.
L’attività di laboratorio, distribuita lungo l’arco dei cinque anni, consisterà in:
-
Utilizzo di programmi e software applicativi;
-
Analisi e risoluzione informatica di problemi, attraverso la codifica, il controllo e l’esecuzione di un
programma;
VERIFICA
Ai fini delle verifiche formative, si ritengono valide, tra le varie forme, sia la somministrazione di test, anche
a risposta multipla, sia la semplice verifica orale.
Ai fini della valutazione, le verifiche scritte potranno essere articolate sia sotto forma di problemi ed esercizi
di tipo tradizionale, sia sotto forma di "test"; potranno anche consistere in brevi relazioni su argomenti
specifici proposti dal docente o nella stesura (individuale o a piccoli gruppi) di semplici programmi costruiti
nell'ambito del "laboratorio di informatica". Le interrogazioni orali saranno volte soprattutto a valutare le
capacità di ragionamento e i progressi raggiunti nella chiarezza e nella proprietà di espressione degli allievi.
Si stabilisce che per ogni quadrimestre si effettuino tre prove scritte e due prove orali.
L’insegnante sceglierà, per la prova scritta, fra le seguenti tipologie:
a) Esercizi strutturati e semistrutturati;
b) Trattazione sintetica;
c) Problemi di tipo tradizionale.
3
Classe III PNI
Tema 1: Geometria
Argomento
1.1
Conoscenze/contenuti
disciplinari
Sistema di ascisse su una retta
Distanza fra due punti su una retta
Punto medio di un segmento
Punti e coppie di numeri reali
Abilità
Sistema di
riferimento
cartesiano
–
–
–
–
La retta nel piano
cartesiano
– Equazione generale della retta
– Coefficiente angolare
– Parallelismo e perpendicolarità fra
rette
– Metodi per determinare
l’equazione di una retta
– Distanza di un punto da una retta
– Fasci di rette
Associare ad una retta un’equazione
lineare – Scrivere l’equazione di una
retta a partire da due condizioni note –
Stabilire la posizione reciproca di due
rette – Riconoscere i fasci di rette e saper
operare con essi.
1.3
La parabola nel
piano cartesiano
– La parabola come luogo
geometrico
– Elementi caratteristici del grafico
di una parabola
– Condizioni per determinare
l’equazione di una parabola
– Posizioni reciproche di una retta e
una parabola
– Rette tangenti
– Fasci di parabole
Riconoscere l’equazione di una parabola
e tracciarne il grafico – Scrivere
l’equazione di una parabola a partire da
tre condizioni note – Determinare la
posizione di una retta rispetto ad una
parabola – Individuare le rette tangenti –
Riconoscere i fasci di parabole e saper
operare con essi.
1.4
La circonferenza nel
piano cartesiano
– La circonferenza come luogo
geometrico
– Condizioni per determinare
l’equazione di una circonferenza
– Posizioni reciproche di una retta e
una circonferenza
– Rette tangenti
– Posizioni reciproche di due
circonferenze
– Fasci di circonferenze
Riconoscere
l’equazione
di
una
circonferenza e tracciarne il grafico –
Scrivere
l’equazione
di
una
circonferenza a partire da tre condizioni
note – Determinare la posizione di una
retta rispetto ad una circonferenza –
Individuare le rette tangenti –
Riconoscere i fasci di circonferenze e
saper operare con essi.
1.5
L’ellisse nel piano
cartesiano
– L’ellisse come luogo geometrico
– Condizioni per determinare
l’equazione di un’ellisse
– Posizioni reciproche di una retta e
di un’ellisse
– Rette tangenti
– Fasci di ellissi
Riconoscere l’equazione di un’ellisse e
tracciarne il grafico – Scrivere
l’equazione di un’ellisse a partire da due
condizioni note – Determinare la
posizione di una retta rispetto ad
un’ellisse – Individuare le rette tangenti
– Riconoscere i fasci di ellissi e saper
operare con essi.
1.6
L’iperbole nel piano
cartesiano
– L’iperbole come luogo geometrico
– Condizioni per determinare
l’equazione di un’iperbole
– Posizioni reciproche di una retta e
Riconoscere l’equazione di un’iperbole e
tracciarne il grafico – Scrivere
l’equazione di un’iperbole a partire da
due condizioni note – Determinare la
1.2
Fissare un sistema di riferimento
cartesiano – Calcolare la misura di un
segmento – Calcolare le coordinate del
punto medio di un segmento.
4
–
–
–
–
di un’iperbole
Rette tangenti
L’iperbole equilatera
La funzione omografica
Fasci di iperboli
posizione di una retta rispetto ad
un’iperbole – Individuare le rette
tangenti – Individuare l’equazione di
un’iperbole traslata e tracciarne il grafico
- Riconoscere i fasci di iperboli e saper
operare con essi.
Tema 2: Insiemi numerici e strutture
Conoscenze/contenuti
disciplinari
Argomento
2.1
Insieme dei
numeri naturali
–
–
–
–
Divisibilità
Algoritmo euclideo
Numeri primi
Classi di resto
2.2
L’insieme dei
numeri reali
– Definizione di numero reale
– Proprietà ed operazioni con i numeri
reali
– Corrispondenza fra numeri reali e punti
di una retta
Abilità
Saper operare in modo opportuno in un
insieme numerico dato – Individuare i
successivi ampliamenti di ciascun
insieme numerico.
Tema 3: Funzioni ed equazioni
Conoscenze/contenuti
disciplinari
Argomento
Abilità
3.1 Equazioni e
disequazioni
irrazionali
– Elevamento a potenza ed equivalenza
– Equazioni e disequazioni con uno o più
radicali
Risolvere equazioni e disequazioni
irrazionali con vari metodi.
3.2 Equazioni e
disequazioni
con i moduli
– Concetto di valore assoluto
– Equazioni e disequazioni con uno o più
moduli
Risolvere equazioni e disequazioni con i
moduli.
3.3 Funzioni
circolari
–
–
–
–
Definire le funzioni goniometriche
fondamentali in riferimento ai triangoli
rettangoli
e
alla
circonferenza
goniometrica - Risolvere triangoli
rettangoli - Applicare le precedenti
conoscenze allo studio della fisica.
Angoli e funzioni goniometriche
La circonferenza goniometrica
Risoluzione dei triangoli rettangoli
Operazioni con i vettori
Tema 4: Logica
Argomento
4.1 Logica formale
Conoscenze/contenuti
disciplinari
– Proposizioni atomiche e molecolari
– Operazioni elementari nell’insieme
delle proposizioni e tavole di verità
– Tautologie e contraddizioni
– La deduzione logica
– Metodi per dimostrare un teorema
– Doppia deduzione logica
Abilità
Saper operare con le proposizioni ed i
connettivi logici – Saper costruire una
tavola di verità - Saper utilizzare il
metodo diretto e quello indiretto per
dimostrare un teorema.
5
Tema 5: Informatica
Argomento
Conoscenze/contenuti
disciplinari
Abilità
5.1 Hardware e
software
– Componenti fisiche di un PC
– Software di base e software applicativo
Riconoscere le varie componenti del PC
e il loro funzionamento – Conoscere il
funzionamento di un sistema operativo e
il ciclo macchina.
5.2
Il linguaggio
del computer
– Codice binario
– Linguaggi di programmazione
Saper distinguere un linguaggio evoluto
dal linguaggio macchina.
5.3
MS-DOS
– Principali comandi DOS
Operare in ambiente DOS.
5.4
Gli algoritmi
– Strutture sequenziali
– Strutture di selezione
– Strutture iterative
Costruire un algoritmo per risolvere un
dato problema, utilizzando la struttura
adeguata.
5.5
Il linguaggio
Pascal
– Comandi e sintassi del linguaggio
Pascal
– Tipi di dato
– Struttura sequenziale
– Struttura di selezione (binaria e
multipla)
Operare in ambiente Pascal – Utilizzare
le variabili opportune per rappresentare i
dati di un problema - Scrivere un
programma in Pascal utilizzando la
struttura sequenziale - Scrivere un
programma in Pascal utilizzando le
strutture
IF….THEN…ELSE
e
CASE…OF…END.
COMPETENZE IN USCITA AL TERZO ANNO
-
(*) Saper rappresentare graficamente le funzioni studiate;
(*) Saper applicare le tecniche risolutive fondamentali nei problemi di geometria analitica;
(*) Saper applicare le tecniche risolutive delle disequazioni;
(*) Saper esporre con semplicità e correttezza;
Saper affrontare diverse situazioni problematiche scegliendo in modo consapevole e critico la
strategia risolutiva;
Saper elaborare informazioni e utilizzare consapevolmente metodi di calcolo e/o strumenti
informatici;
Sviluppare dimostrazioni di teoremi e proposizioni.
(*) Standard minimi
6
Classe IV PNI
Tema 1 : Goniometria
Conoscenze/contenuti disciplinari
Abilità
1.1 Funzioni goniometriche e
formule di trasformazione
Argomento
– Circonferenza goniometrica: relazioni
fondamentali. Funzioni
goniometriche. Archi particolari.
Archi associati
– Formule di addizione, duplicazione,
bisezione, parametriche, prostaferesi,
Werner
– Grafici delle funzioni goniometriche e
grafici deducibili
– Funzioni goniometriche inverse e
grafici
Definire il radiante come
unità di misura degli angoli e
convertire le misure degli
angoli da gradi a radianti e
viceversa.
Definire le funzioni
goniometriche.
Determinare il valore delle
funzioni goniometriche per
angoli particolari
Applicare le formule
goniometriche per la
semplificazione di
espressioni.
Determinare il valore delle
funzioni goniometriche di un
angolo, nota una di esse.
Tracciare il grafico di
funzioni goniometriche a
partire da quelli elementari
applicando le relative
formule.
1.2 Identità ed equazioni
goniometriche
– Identità goniometriche
– Equazioni goniometriche elementari
– Equazioni riconducibili ad equazioni
elementari
– Equazioni lineari in seno e coseno:
risoluzione con le formule
parametriche, il metodo grafico e
metodo dell’arco associato
– Equazioni omogenee e riconducibili
ad omogenee.
– Altri tipi di equazioni goniometriche
– Sistemi di equazioni goniometriche
Applicare le formule
goniometriche per la verifica
di identità.
Risolvere equazioni
goniometriche in un
intervallo assegnato.
Risolvere graficamente
particolari equazioni
goniometriche.
Risolvere sistemi di
equazioni goniometriche.
1.3 Disequazioni
goniometriche
– Disequazioni goniometriche
elementari
– Disequazioni omogenee
– ( risoluzione con metodo algebrico e
metodo grafico)
– Disequazioni goniometriche
frazionarie
– Disequazioni goniometriche risolvibili
con metodi grafici
Risolvere disequazioni
goniometriche in un
intervallo assegnato.
Risolvere graficamente
particolari disequazioni
goniometriche, intere e fratte.
7
Tema 2 : Trigonometria
Argomento
Conoscenze/contenuti disciplinari
Abilità
2.1 Teoremi sui triangoli
rettangoli
– Misura dei cateti sapendo l’ipotenusa
e gli angoli adiacenti
– Misura di un cateto conoscendo
l’altro e gli angoli adiacenti
Conoscere in un triangolo
rettangolo, le relazioni tra
ipotenusa, cateti, seno, coseno
e tangente degli angoli acuti.
Risolvere problemi relativi ai
triangoli rettangoli.
Teoremi sui triangoli
2.2 qualsiasi
–
–
–
–
–
Stabilire se esiste un triangolo
di assegnate caratteristiche e
determinarne gli elementi
incogniti.
Risolvere problemi numerici
applicando i teoremi della
corda, dei seni, del coseno e
dell'area.
2.3 Problemi di geometria
piana e di trigonometria
– Risoluzione di semplici problemi
nell’ambito della geometria piana
Impostare e risolvere problemi
formalizzandoli con equazioni
o disequazioni o studio di
funzioni elementari o
deducibili
2.4 Discussione del
problema geometrico
(metodo grafico)
– Sistemi misti e sistemi parametrici
Impostare e discutere sistemi
misti e parametrici
Teorema della corda
Teorema dei seni
Teorema delle proiezioni
Teorema del coseno (o di Carnot)
Area di un triangolo qualsiasi, note le
misure di due lati e dell’angolo
compreso
Tema 3 : Numeri Complessi
Argomento
3.1 Definizioni dei numeri
complessi e operazioni
fra essi
Conoscenze/contenuti disciplinari
Abilità
– C come ampliamento di R e sua
rappresentazione nel piano: numeri
immaginari e complessi
– Forma algebrica e trigonometrica dei
numeri complessi
– Operazioni tra numeri complessi in
forma algebrica, trigonometrica ed
esponenziale
– Radici n-esime dell’unità
– Radici n-esime dei numeri complessi
Definire l'insieme dei numeri
complessi.
Risolvere un'equazione di
secondo grado in C.
Rappresentare nel piano un
numero complesso.
Eseguire le quattro operazioni
sui numeri complessi in forma
algebrica.
Calcolare espressioni con
numeri complessi.
Scrivere e rappresentare un
numero complesso in forma
goniometrica.
Eseguire moltiplicazione e
divisione di numeri complessi
in forma goniometrica.
Calcolare e rappresentare le
radici di un numero
complesso.
8
Tema 4 : L’algebra delle trasformazioni
Argomento
4.1 Vettori e matrici
Conoscenze/contenuti
disciplinari
–
–
–
–
–
4.2 Le affinità
Definizione di vettore e
operazioni con i vettori
geometrici
Definizioni fondamentali e
proprietà delle matrici
Determinante di matrici
quadrate e relativi teoremi
Inversa di una matrice
Caratteristica o Rango di una
matrice
– Affinità e matrici
– Le isometrie nel piano
cartesiano
– La rotazione
– Il prodotto di trasformazioni
– Affinità e determinanti
– La similitudine
– Elementi uniti di un’affinità
Abilità
Eseguire operazioni con i vettori.
Conoscere la terminologia relativa alle
matrici.
Eseguire operazioni tra matrici.
Comporre trasformazioni geometriche
utilizzando le matrici.
Calcolare il determinante di una
matrice.
Interpretare geometricamente il
determinante di una matrice di ordine 2.
Determinare l’inversa di una matrice.
Determinare il rango di una matrice
Discutere il rango di una matrice
dipendente da uno o due parametri.
Utilizzare la terminologia delle
trasformazioni geometriche.
Definire un’affinità come
corrispondenza biunivoca di un piano in
sé.
Studiare un’affinità di assegnate
equazioni.
Associare ad una affinità una matrice
quadrata.
Definire affinità dirette e affinità inverse
in relazione anche alle matrici loro
associate.
Determinare e riconoscere l'equazione
di una rotazione.
Determinare il corrispondente di un
punto o di una curva in una data affinità
o nella composizione di più affinità
Determinare le equazioni di una affinità
date due terne di punti corrispondenti
Determinare, se esiste, una
trasformazione che muta una nell’altra
due curve assegnate
Riconoscere la similitudine come una
particolare affinità e individuare le
equazioni delle trasformazioni
componenti.
Definire punti uniti, invarianti,
trasformazione inversa.
9
Tema 5 : Sistemi lineari
Argomento
5.1 I sistemi lineari
Conoscenze/contenuti
disciplinari
–
–
–
–
–
–
Definizioni e forma matriciale
Metodo della matrice inversa
La regola di Cramer
Il metodo di riduzione
Teorema di Rouche’ Capelli
Sistemi omogenei
Abilità
Stabilire se un sistema assegnato e’
determinato, indeterminato o
impossibile
Risolvere i sistemi lineari
utilizzando le matrici
Risolvere sistemi lineari n×n con il
metodo di Cramer.
Risolvere un sistema lineare n×n per
riduzione
Discutere e risolvere sistemi lineari
dipendenti da uno o due parametri
Interpretare geometricamente
sistemi lineari in due incognite
Individuare minori e valutare il
rango di una matrice.
Conoscere il significato del teorema
di Rouché-Capelli.
Applicare il teorema nel caso di
sistemi di m equazioni in n
incognite.
Risolvere sistemi omogenei
Tema 6 : Funzioni esponenziali e logaritmiche
Argomento
Conoscenze/contenuti
disciplinari
Abilità
6.1
Potenze ad esponente
reale
– Ampliamento del concetto di
potenza
Definire una potenza ad esponente
reale.
6.2
La funzione
esponenziale
– Funzione esponenziale, sue
caratteristiche e relativo grafico
Enunciare le caratteristiche della
funzione esponenziale (a seconda
del valore della base)
Disegnare il grafico di una funzione
esponenziale
6.3
Definizione di logaritmo
– Il logaritmo in base a di un numero
Definire la funzione logaritmica e
analizzarne le caratteristiche
Definire il logaritmo di un numero
reale positivo
Calcolare il logaritmo di un numero
esprimibile come potenza della base
6.4
La funzione logaritmica
– La funzione logaritmica, il suo
grafico e relative caratteristiche
– le proprietà dei logaritmi
– cambiamento di base per un
logaritmo
Ricavare, a partire dalle proprietà
delle potenze, le proprietà dei
logaritmi
Applicare le proprietà dei logaritmi
per il calcolo di espressioni
Disegnare il grafico di una funzione
logaritmica
10
Determinare la funzione inversa di
una funzione esponenziale o
logaritmica e tracciarne il grafico
6.5
Equazioni e disequazioni
esponenziali
– Definizione di equazione
esponenziale
– Risoluzione delle equazioni
elementari
– Le equazioni non elementari
– I sistemi di equazioni
– Disequazioni esponenziali
Risolvere equazioni e disequazioni
esponenziali
Risolvere graficamente particolari
equazioni o disequazioni
esponenziali
6.6
Equazioni e disequazioni
logaritmiche
–
Equazioni e disequazioni
logaritmiche
–
Risoluzione grafica di equazioni
e disequazioni
Risolvere equazioni e disequazioni
logaritmiche
Risolvere graficamente particolari
equazioni o disequazioni
logaritmiche
Tema 7 : Statistica descrittiva
Argomento
Conoscenze/contenuti disciplinari
Abilità
7.1
Introduzione alla
statistica descrittiva
– Valori medi statistici (media aritmetica,
geometrica, armonica, quadratica, moda,
mediana)
– Misure di variabilità (scarti, deviazione
standard)
Conoscere e calcolare i valori
medi statistici e le misure di
variabilità
7.2
Statistica descrittiva
bivariata
– Tabelle a doppia entrata, distribuzioni
statistiche congiunte,condizionate,
marginali
– Indipendenza o dipendenza di due
variabili statistiche, coefficiente di
correlazione, retta di regressione.
Conoscere e calcolare il
coefficiente di correlazione,
la retta di regressione di una
serie di dati
Tema 8 : Il calcolo combinatorio
Argomento
Conoscenze/contenuti disciplinari
Abilità
8.1
Le disposizioni
– Le disposizioni semplici
– Il caso particolare delle permutazioni
– Le disposizioni con ripetizione
Riconoscere e calcolare le
disposizioni semplici e con
ripetizione, le permutazioni
8.2
Le combinazioni
–
–
–
–
–
Riconoscere e calcolare le
combinazioni.
Risolvere problemi applicando
le formule del calcolo
combinatorio
Calcolare lo sviluppo della
potenza di un binomio
Le combinazioni semplici
Le combinazioni con ripetizione
Il coefficiente binomiale
Potenza di binomio
Binomio di Newton
11
Tema 9 : La probabilità
Argomento
Conoscenze/contenuti disciplinari
Abilità
9.1
La probabilità
– La probabilità: definizione classica,
frequentista e soggettiva
– Definizione assiomatica di probabilità
Definire uno spazio degli eventi,
riconoscendo gli eventi elementari
Definire e calcolare la probabilità
secondo la definizione classica
Effettuare una stima della probabilità
di un evento sulla base della frequenza
9.2
I teoremi sulla
probabilità
– Probabilità totale e probabilità
composta
– Probabilità condizionata
– Il teorema di Bayes
– Prove ripetute e teorema di Bernoulli
Calcolare la probabilità di eventi
definiti con i connettivi e, o, non
Calcolare la probabilità di un evento,
condizionata al verificarsi di un altro
Stabilire se due eventi sono
stocasticamente dipendenti
Calcolare la probabilità di un evento
utilizzando il calcolo combinatorio, gli
assiomi della probabilità o i grafi ad
albero.
Applicare il teorema di Bayes per
stabilire la probabilità che un evento
sia causa di un altro
Determinare la probabilità che in n
prove indipendenti si abbiano k
successi.
9.3
Le variabili aleatorie
– Che cos’è una variabile aleatoria
– Il valore atteso
– La varianza e lo scarto quadratico
medio
Definire una variabile aleatoria e
determinare il valore atteso, la varianza
e lo scarto quadratico medio
Tema 10 : Insiemi numerici e funzioni
Argomento
Conoscenze/contenuti disciplinari
Abilità
10.1 Gli insiemi di numeri
reali
–
–
–
–
Insiemi limitati e illimitati
Estremo inferiore ed estremo superiore
Intervalli e intorni
Punti di accumulazione e punti isolati
Rappresentare e operare con
intervalli in R.
Riconoscere insiemi numerici
limitati.
Stabilire l’estremo superiore
(l’estremo inferiore) di un insieme
numerico limitato.
Individuare massimo (minimo) di
un insieme numerico limitato.
10.2 Funzioni reali di una
variabile reale
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Applicazioni o funzioni
Le funzioni reali di una variabile reale
Estremo superiore e Inferiore
Massimo e minimo di una funzione.
Funzioni monotone, pari o dispari
Funzioni periodiche.
Il dominio di una funzione
Funzioni composte
Funzioni inverse
Riconoscere una funzione reale.
Fornire la definizione di dominio
e di codominio di una funzione.
Rappresentare il grafico di una
funzione numerica
Individuare nel grafico di una
funzione gli zeri della funzione.
Stabilire il campo di esistenza di
semplici funzioni.
12
– Il segno di una funzione
Delimitare le regioni del piano
cartesiano
Riconoscere funzioni invertibili e
costruire la funzione inversa.
Tracciare il grafico della funzione
Inversa.
Determinare la funzione composta
mediante due o più funzioni
assegnate.
Stabilire il dominio di funzioni
composte mediante semplici
funzioni.
Distinguere le funzioni pari e
dispari.
Studiare il segno di una funzione.
Tema 11 : Il concetto di limite ed i limiti delle funzioni
Argomento
11.1 Il concetto di limite di
una funzione
11.2 Teoremi sui limiti
11.3 I calcoli dei limiti
Conoscenze/contenuti disciplinari
Abilità
– Definizioni di limite di una funzione
– Limite destro e limite sinistro
– Verifica del limite di funzioni razionali
intere e fratte,irrazionali, logaritmiche
ed esponenziali
Definizione di limite e
interpretazione grafica.
Verificare in base alla definizione,
limiti di funzioni reali di una
variabile reale.
–
–
–
–
Teoremi fondamentali sui limiti
Teorema di unicità del limite
Teorema della permanenza del segno
Teorema del confronto
Conoscere e dimostrare i teoremi
sui limiti
– Operazioni sui limiti: teorema della
somma, della differenza, del prodotto,
della funzione reciproca, del quoziente,
del valore assoluto, della potenza
– Limiti che si presentano in forma
indeterminata e tecniche per la loro
risoluzione
Effettuare il calcolo dei limiti
precisando i riferimenti teorici e
risolvendo le forme
Indeterminate.
Applicare i teoremi sui limiti
Tema 12 : Successioni, progressioni e strutture algebriche
Argomento
Conoscenze/contenuti disciplinari
Abilità
12.1 Le successioni
–
–
–
Le successioni reali
Successioni limitate
Successioni monotone
Definire una successione reale,
una successione limitata
superiormente; crescente; non
decrescente; monotona.
12.2 Le progressioni
–
Le progressioni aritmetiche e
geometriche
Relazione tra il primo elemento e
l’ultimo elemento
Relazione tra due elementi qualsiasi
Definire le progressioni
aritmetiche e geometriche e
individuare le rispettive
proprietà
–
–
13
–
–
–
–
12.3 Le strutture algebriche
–
–
–
12.4 Gli spazi vettoriali
–
–
–
Somma dei termini equidistanti dagli
estremi in una progressione
aritmetica
Prodotto dei termini equidistanti
dagli estremi in una progressione
geometrica
Somma dei termini di una
progressione geometrica
Calcoli delle somme quando il
numero dei termini è infinito
Definizione di struttura algebrica
Le strutture algebriche con una sola
operazione
Le strutture algebriche con due
operazioni
Definizione di spazio vettoriale
Dipendenza ed indipendenza lineare
Base di uno spazio vettoriale
Definire una struttura algebrica
con una o due operazioni
Definire uno spazio vettoriale e
determinare una sua base
Tema 13 : Limite di una successione
Argomento
Conoscenze/contenuti disciplinari
Abilità
13.1 Il comportamento delle
successioni
– Le successioni convergenti
– Le successioni divergenti
– Le successioni irregolari
Definire una successione
convergente.
Definire una successione
divergente
Riconoscere successioni
indeterminate.
13.2 Il calcolo del limite di
una successione
– Le proprietà delle successioni
– Il calcolo dei limiti
Verificare il limite di una
successione numerica.
Dimostrare e applicare i teoremi
fondamentali sui limiti di
successione.
Operare con limiti di successioni
numeriche.
Tema 14 : Rette e piani nello spazio
Argomento
Conoscenze/contenuti disciplinari
Abilità
14.1 Rette e piani nello
spazio
– Assiomi di incidenza tra punti, rette
e piani
Esprimere attraverso una
rappresentazione grafica
l'intuizione geometrica nello spazio
14.2 Incidenza e parallelismo
nello spazio
– Posizioni reciproche di due rette, di
una retta e un piano e di due piani
Conoscere le posizioni reciproche
di una retta e di un piano nello
spazio
Conoscere le posizioni reciproche
di due piani nello spazio
14.3 Perpendicolarità tra rette
e piani
– Perpendicolarità tra retta e piano
– Teorema delle tre perpendicolari
– Distanza punto piano
Definire la relazione di
perpendicolarità tra retta e piano
Conoscere il teorema delle tre
perpendicolari
14
14.4 Diedri , angoloidi e
triedri
– Il diedro
– Piani perpendicolari e angoli di due
piani
– Angolo tra una retta e un piano
Individuare l'angolo tra due piani
incidenti e tra una retta e un piano
14.5 I poliedri
–
–
–
–
Poliedri regolari
Altri poliedri:prismi, piramidi.
Misure di superfici
Misure di volumi
Conoscere e saper classificare i
poliedri regolari e altri poliedri
14.6 I solidi di rotazione
–
–
–
–
–
Cono
Cilindro
Sfera
Misure di superfici
Misure di volumi
Conoscere e classificare i solidi di
rotazione
Risolvere problemi metrici
riguardanti aree e volumi di solidi
geometrici.
Tema 15 : Informatica
Argomento
Conoscenze/contenuti disciplinari
Abilità
15.1 Strutture
selettive ed
iterative
Ripasso e approfondimento di
strutture selettive ed iterative
Utilizzo di ambienti di calcolo
automatico e di programmazione
per risolvere problemi di natura
matematica e fisica
15.2 Algoritmi numerici
iterativi
Sviluppo di semplici algoritmi iterativi
Sviluppare algoritmi iterativi
con l’uso di variabili vettore.
Utilizzare ambienti di calcolo
automatico, per risolvere problemi
di natura matematica e fisica
COMPETENZE IN USCITA AL QUARTO ANNO
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
(*) Saper risolvere un triangolo qualunque;
(*) Saper risolvere equazioni e disequazioni trascendenti;
(*) Saper affrontare il calcolo dei limiti di una funzione e di una successione;
(*) Conoscere i concetti fondamentali di probabilità e statistica;
Saper applicare i concetti fondamentali di probabilità e statistica;
(*) Saper esporre con semplicità e correttezza.
Saper affrontare diverse situazioni problematiche scegliendo in modo consapevole e critico la strategia
risolutiva.
Saper elaborare informazioni e utilizzare consapevolmente metodi di calcolo e/o strumenti informatici.
Individuare la procedura più idonea per la risoluzione di un problema.
Saper sviluppare le dimostrazioni di teoremi e proposizioni
(*) Standard minimi
15
Classe V PNI
Tema 1 : Le funzioni continue
Argomento
1.1 Funzioni
continue
Conoscenze/contenuti disciplinari
Abilità
– Concetto intuitivo di continuità di una
funzione
– Definizione di continuità delle
funzioni numeriche reali
– Operazioni tra funzioni continue
– La
continuità
delle
funzioni
elementari
– Le proprietà delle funzioni continue
– Teorema sulla continuità delle
funzioni composte
– Il teorema di Weierstrass, il teorema
degli zeri, il teorema di Bolzano
– La continuità delle funzioni invertibili
– Limiti notevoli
– Punti di discontinuità per una
funzione
– Asintoti del diagramma di una
funzione
– Tecniche per il calcolo degli asintoti e
loro rappresentazione grafica
Verificare, in base alla definizione, la
continuità di funzioni semplici e composte
Individuare e classificare i punti di
discontinuità di una funzione
Dimostrare il limite notevole lim
x→0
senx
=1
x
Riconoscere e utilizzare il limite notevole
x
1
lim 1 + = e
x →∞
x
Conoscere le proprietà delle funzioni
continue (permanenza del segno, somma
algebrica, prodotto, ecc.) e delle funzioni
composte.
Applicare e conoscere il significato dei
teoremi sulle funzioni continue: teoremi di
Weiestrass, dei valori intermedi, di esistenza
degli zeri. Continuità della funzione inversa.
Determinare l’esistenza di asintoti per il
grafico di una funzione
1.2 La risoluzione
approssimata
delle
equazioni
– Metodi per la determinazione delle
radici di un’equazione (o zeri di una
funzione)
– Separazione delle radici di
un’equazione con metodi analitici
– Esempi di determinazione dei valori
approssimati delle radici di
un’equazione con i vari metodi
Utilizzare i metodi di bisezione, delle
secanti o delle tangenti per
individuare l’intervallo al quale appartiene
lo zero di una funzione
Utilizzare metodi analitici per attuare la
separazione delle radici di un’equazione
1.3 Infinitesimi ed
infiniti
– Infinitesimi e loro confronto
– Infiniti e loro confronto
1.4 Grafico di una
funzione
– Il grafico probabile di una funzione
Stabilire se una Stabilire se unafunzione è
infinitesima [infinita] per x → x0 (per
x → +∞ )
Confrontare infinitesimi [infiniti]
Stabilire l’ordine di infinito [infinitesimo]
di una funzione rispetto ad un infinito
campione [rispetto ad un infinitesimo
campione].
Fare la previsione di grafico di una funzione
dopo averne impostato lo studio
16
Tema 2 : Il calcolo differenziale e sue applicazioni
Argomento
2.1 Il concetto di
derivata
Conoscenze/contenuti disciplinari
–
–
–
–
–
–
–
2.2 Derivata di
una funzione
–
–
–
–
–
–
–
2.3 Teoremi
fondamentali
del calcolo
differenziale
–
2.4 Esame di
funzioni
analitiche con
il calcolo
differenziale
–
–
–
–
–
–
Abilità
Rapporto incrementale e definizione di
derivata in un punto
Esempi di funzioni continue ma non
derivabili
Significato geometrico della derivata
Equazione della retta tangente ad una
curva in un suo punto
Derivata destra e sinistra di una funzione
in un punto x0
Relazione tra continuità e derivabilità
Punti angolosi, cuspidi, punti a tangente
parallela all’asse y
Calcolare, mediante la definizione, la
derivata di funzioni semplici
Associare al rapporto incrementale il
suo significato geometrico
Determinare l’equazione della retta
tangente e della normale ad una curva
in un suo punto
Definire la derivata destra e sinistra di
una funzione in un punto x0
Studiare l’andamento grafico
nell’intorno di un punto di una
funzione ivi continua ma non
derivabile
Individuare e classificare i punti di
non derivabilità di una funzione
La funzione derivata
Derivate delle funzioni elementari e
regole di derivazione
Derivate delle principali funzioni
Derivate della funzione composta e della
funzione inversa
Derivate di ordine superiore
Il differenziale e il suo significato
geometrico
Determinare la funzione derivata
prima
Determinare la derivata della somma
algebrica, del prodotto, del quoziente
di funzioni
Determinare la derivata delle funzioni
composte e la derivata della funzione
inversa
Determinare la derivata delle funzioni
elementari
Determinare la derivata delle
principali funzioni
Calcolare le derivate successive di una
funzione data
Calcolare il differenziale di una
funzione e interpretare
geometricamente il suo significato
I teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy e
De L’Hopital
Le formule di Taylor e di Mac-Laurin
Conoscere il significato dei teoremi di
Rolle, di Cauchy e di Lagrange e
saperli applicare
Enunciare e applicare il teorema di De
L’Hôpital
Risolvere forme indeterminate di
limiti utilizzando il teorema di De
l’Hopital
Approssimare funzioni per mezzo di
polinomi: formule di Taylor e di
MacLaurin
Funzioni crescenti e decrescenti
Punti di massimo e minimo relativi e
assoluti
Concavità e convessità di una curva
Punti di flesso
Rappresentazione grafica di una funzione
Determinare gli intervalli in cui una
funzione è crescente o decrescente
Determinare i punti di massimo e di
minimo relativi per una funzione
Stabilire condizioni necessarie e
condizioni sufficienti per
17
–
Problemi di massimo e di minimo
l’esistenza di punti di minimo o di
massimo relativi
Utilizzare il metodo delle derivate
successive nella ricerca dei punti
estremanti
Ricercare i punti di massimo e di
minimo assoluti
Studiare la concavità di una funzione
Determinare i punti di flesso
Individuare e studiare le principali
caratteristiche di una funzione e del
suo diagramma nel piano cartesiano
Ricavare da un contesto problematico,
le informazioni necessarie a costruire
una funzione e a studiarla
Tema 3 : Gli integrali
Argomento
Conoscenze/contenuti disciplinari
Abilità
3.1
L’integrale indefinito
– Primitiva di una funzione Integrale
indefinito e sue proprietà
– Integrali indefiniti immediati
– Integrazione per decomposizione
– Integrazione di funzioni razionali
fratte
– Integrazione per sostituzione
– Integrazione per parti
Determinare l’integrale indefinito di
funzioni elementari
Calcolare la classe di primitive di una
funzione utilizzando i dovuti metodi di
integrazione
3.2
L’integrale definito
e il problema delle
aree
–
–
–
–
Area del trapezoide
Integrale definito e sue proprietà
Teorema della media
Funzione integrale e teorema di
Torricelli
– Calcolo di aree e di volumi di solidi
di rotazione e lunghezza di archi di
curve
– Applicazioni di tipo fisico degli
integrali
– Integrali generalizzati
Eseguire il calcolo di integrali definiti
Conoscere e applicare il teorema della
media
Costruire e studiare la funzione
integrale
Conoscere e dimostrare il teorema
fondamentale del calcolo integrale
Calcolare aree di superfici piane
integrando sia rispetto a x che rispetto
ay
Calcolare volumi di solidi di rotazione
e lunghezze di archi
Dedurre dal grafico di una funzione
quello della sua funzione integrale
Effettuare applicazioni degli integrali
in ambito fisico
Conoscere il significato di integrazione
in senso improprio e calcolare semplici
integrali impropri
3.3
L’integrazione
numerica
–
–
–
–
–
Calcolare approssimazioni di aree
piane delimitate da archi di curva
Utilizzare il metodo dei rettangoli, il
metodo dei trapezi e il metodo di
Cavalieri Simpson
Calcolo approssimato di aree piane
Il metodo dei rettangoli
Il metodo dei trapezi
Il metodo delle parabole
La valutazione dell’errore
18
Tema 4 : Le distribuzioni di probabilità
4.1
Argomento
Conoscenze/contenuti disciplinari
Abilità
Le distribuzioni di
probabilità
– Le prove ripetute e la distribuzione
binomiale
– La distribuzione di Poisson
– La distribuzione normale
– La distribuzione normale come limite
della binomiale
– La legge dei grandi numeri
Studiare e risolvere problemi
relativi alle prove ripetute
applicando la formula di
Bernoulli
Utilizzare particolari
distribuzioni di probabilità per
risolvere problemi
Tema 5 : Geometrie non euclidee
Argomento
5.1
Le geometrie non
euclidee
Conoscenze/contenuti disciplinari
Abilità
– Gli Elementi di Euclide
– I postulati
– Il V postulato di Euclide e la nascita
delle geometrie non euclidee dal
punto di vista elementare
– Modelli di geometria iperbolica nel
piano: il modello di Poincaré e il
modello di Klein
Conoscere i modelli di Poincarè e il
modello di Klein
COMPETENZE IN USCITA AL QUINTO ANNO
–
–
–
–
–
–
–
–
(*) Saper esporre con semplicità e correttezza;
(*) Saper effettuare lo studio di funzioni;
Risolvere problemi geometrici per via analitica e sintetica;
(*) Saper sviluppare le dimostrazioni di teoremi e proposizioni relativi, in particolare, al calcolo
differenziale e integrale;
(*) Saper applicare i principali metodi di integrazione;
Saper affrontare diverse situazioni problematiche scegliendo in modo consapevole e critico la strategia
risolutiva;
Saper elaborare informazioni e utilizzare consapevolmente metodi di calcolo e/o strumenti informatici;
Comprendere il valore strumentale della matematica per lo studio di altre scienze;
(*) Standard minimi
19
