Integrali doppi e tripli

Integrali doppi
Formula di riduzione per rettangoli
A=[a , b]⋅[c , d ]
b
∫∫ f  x , y  dx dy
d
d
∫ dx ∫ f  x , y dy
=
A
a
oppure
c
b
∫ dy ∫ f  x , y  dx
c
a
1.
Per prima cosa si calcola l'integrale definito tra c e d della funzione in y. Bisogna considerare la x come una
costante per procedere con i calcoli. Quando è possibile, la cosa migliore è quella di portare fuori le x!
2.
Trovata la soluzione del primo integrale, se è tutto giusto i termini con la y dovrebbero essere spariti! A
questo punto bisogna integrare il risultato rispetto ad x per ottenere il risultato finale
Esempio 1:
A = [0,1]⋅[0, 2]
1
∫∫ x  2 y dx dy
A
=
2
∫ dx ∫ x  2 y dx dy
0
0
1
= ∫ dx [ x y  y
2 y=2
y=0
]
1
=
0
∫ 2 x  4 dx
2
x=1
= [ x 4 x ] x=0 = 1  4 = 5
0
Insieme normale rispetto all' asse x
Si sa che i valori di x variano tra due estremi precisi, mentre i valori di y variano tra i grafici di due funzioni di x.
Il problema principale è quello di scrivere correttamente l'insieme di definizione nella forma normale:
A={ x , y ∈ ℝ 2 : x ∈ [a , b] ;  x  ≤ y ≤  x }
Trovato l'insieme di definizione, si utilizza la forma di riduzione vista per i rettangoli, integrando prima rispetto ad y
e poi rispetto ad x. Al posto degli estremi c e d bisogna porre φ(x) e ψ(x).
Esempio 2:
A = triangolo con vertici in (0, 0) , (1, 0) , (1, 1)
f(x, y) = xy
1.
Disegnare l'insieme di definizione:
A
1
0
2.
1
Scrivere l'insieme di definizione in forma normale:
A={ x , y ∈ ℝ 2 : x ∈ [0,1] ; 0 ≤ y ≤ x }
3.
Scrittura e soluzione dell'integrale doppio:
1
∫∫ x y dx dy =
A
x
∫ dx ∫ x y dy =
0
0
1
3
1
∫ x2 dx = 12 ∫ x 3 dx = 12 ⋅ 14 = 18
0
0
Aleksandar Gotev – Analisi Matematica 2 – Integrali doppi e tripli
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Insieme normale rispetto all'asse y
Si sa che i valori di y variano tra due estremi precisi, mentre i valori di x variano tra i grafici di due funzioni di y.
Il problema principale è quello di scrivere correttamente l'insieme di definizione nella forma normale:
A= { x , y ∈ ℝ : y ∈ [a , b] ;  y  ≤ x ≤   y  }
2
Trovato l'insieme di definizione, si utilizza la forma di riduzione vista per i rettangoli con integrazione, integrando
prima rispetto ad x e poi rispetto ad y. Al posto degli estremi a e b bisogna porre φ(y) e ψ(y).
Esempio 3:
A = triangolo con vertici in (0, 0) , (1, 0) , (1, 1)
f(x, y) = xy
1.
Disegnare l'insieme di definizione:
A
1
0
2.
1
Scrivere l'insieme di definizione in forma normale:
A= { x , y ∈ ℝ 2 : y ∈ [0,1] ; y ≤ x ≤ 1 }
3.
Scrittura e soluzione dell'integrale doppio:
1
1
1
[ ]
x2
∫∫ x y dx dy = ∫ dy ∫ x y dx = ∫ y dy 2
A
0
y
0
[
1 1 2 1 4
y − y
2 2
4
=
]
y=1
=
y=0

x=1
x= y
1


1
1
1
1
= ∫ y − y 2 dy = ∫ y − y 3 dy
2 2
2 0
0

1 1 1
1 1
1
−
= ⋅ =
2 2
4
2 4
8
Esempio 4:
Calcolare:
∫∫ y dx dy
A
della figura a lato.
1.
Trovare le funzioni corrispondenti a ciascuna retta
2.
Suddividere l'area del triangolo principale in due
aree A1 ed A2
3.
Scrivere l'insieme di definizione rispetto ad x
delle due aree:
1
y=1
y=x
A1
1
A2
y=x/2
2
x
≤ y ≤ x}
{
2
x
A = { x , y ∈ ℝ : x ∈ [1, 2] ; ≤ y ≤ 1 }
2
A1 =  x , y  ∈ ℝ2 : x ∈ [0, 1] ;
2
2
4.
Trovare l'area calcolando i due integrali doppi:
∫∫ y dx dy  ∫∫ y dx dy
A1
A2
=
1
5
1


8 24
3
Aleksandar Gotev – Analisi Matematica 2 – Integrali doppi e tripli
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Integrali doppi in coordinate polari
Dato un generico integrale doppio con il suo insieme di definizione A:
∫∫ f  x , y  dx dy
A={ x , y ∈ ℝ 2 : x... ; y... }
A
Per passare in coordinate polari è necessario esprimente l'insieme di definizione A in coordinate polari e riscrivere
l'integrale doppio in coordinate polari:

{xy == cos
sin 
f x , y 
f  cos  , sin 
A = {  ∈ [a , b] ;  ∈ [c , d ] }
∫∫ f  cos  , sin ⋅ 
dd
A
Esempio 5:
Calcolare:
∫∫ x dx dy
A
determinando l'insieme A in coordinate polari
2
{
 ∈ [0, 2]

 ∈ 0,
2
1.
A=
2.
f x , y = x 
3.
[ ]
f  ,  =  cos 

2
2
2
∫ d ∫  cos 
2
0
∫  d  [ sin  ]
2
=
0
0

2
=0
=
=2
[ ]
3
=
3
=
 =0
8
3
Esempio 6:
Calcolare:
∫∫ x 2  y 2 dx dy
A
1.
2.
{
A =  ∈ [0, 3]
 ∈ [0, 2 ]
f x , y
3
3.
determinando l'insieme A in coordinate polari

3
∫ d ∫ 
0
0
1
f   ,  = 2 cos 2  2 sin 2  = 2 cos 2   sin 2  = 2
2
3
3
d =
∫
0
3
=2 
=0
d []
4 =3
[ ]

= 2
4
= 2
=0
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81
81
=

4
2
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Integrali doppi con cambio di variabili
In alcuni casi ricavare l'insieme di definizione degli integrali doppi, normale rispetto ad uno degli assi non è
semplice e non sempre è utile passare alle coordinate polari. In questi casi il cambio di variabili è il metodo migliore.
Vediamo come fare tramite un esempio:
Esempio 7:
Calcolare l'integrale doppio:
A={ x , y ∈ ℝ 2 : 0 ≤ x  y ≤ 2, − 1 ≤ x − y ≤ 1 }
∫∫  x 2 − y 2 dx dy
A
{
1.
Effettuare il cambio di variabili:
2.
Riscrivere l'insieme di definizione:
3.
Semplificare la f(x, y):
2
u= x y
v= x− y
A = { x , y  ∈ ℝ 2 : u ∈ [ 0,2] ; v ∈ [−1,1]
2
 x − y  =  x  y  x − y  = u v
2
4.
1
∫ du ∫ u v J u , v  dv
Riscrivere il doppio integrale:
0
−1
Per ricavare J(u, v) bisogna procedere come segue:
1.
Ricavare x ed y in funzione di u e w:
{
u=x y
v=x− y

{
x = u , v
y =  u , v 
uv
2
u−v
y=
2
x=
   
∂
∂u
2. Calcolare la matrice Jacobiana: J =
∂
∂u
3.
∂
∂v
∂
∂v
Calcolare il determinante della matrice Jacobiana:
Nell' еsempio:


1
1
2
2
1
1
−
2
2
 J 11 ⋅ J 22  −  J 12 ⋅ J 21
  
1
1
1 1
1 1
1
⋅− − ⋅
= − −
= −
2
2
2 2
4
4
2
J u , v  = ∣det  J ∣
4.
Nell'esempio:
∣ 12∣ = 12
J u , v  = −
Infine si risolve l'integrale doppio come dato nella formula al punto 4.
2
1
2
v=1
[ ]
1
1
v2
∫ du ∫ 2 u v dv = 2 ∫ u du 2
0
−1
0
= 0 Perchè l'integrale in dv vale zero, che annulla anche l'altro!
v =−1
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Integrali tripli
Formula di riduzione per parallelepipedi
A = [a , b ]⋅[c , d ]⋅[e , f ]
b
∫∫∫ f  x , y , z dx dy dz
=
A
d
f
∫ dx ∫ dy ∫ f  x , y , z dz
a
c
e
L'ordine di integrazione non ha importanza. Si può infatti integrare seguendo un ordine a scelta.
Formula di integrazione per colonne o fili (Insieme normale rispetto al piano xy)
A = { x , y , z  ∈ ℝ3 :  x , y ∈  ,  x , y  ≤ z ≤   x , y  }
A cui corrisponde l'integrale triplo riducibile nella forma:
 x , y
∫∫ dx dy

∫
f  x , y , z dz
z
 x , y
Esempio 1
 = { x , y ∈ ℝ2 : x 2  y 2 ≤ 1 }
1
A = { x , y , z  ∈ ℝ :  x , y ∈  , 0 ≤ z ≤ 2 }
3
2
y
x
[ ]
z2
∫∫∫ z dx dy dz = ∫∫ dx dy ∫ z dz = ∫∫ dx dy 2


A
0
2
z =2
z =0
= 2∫∫ dx dy

Passo in coordinate polari per risolvere l'integrale doppio in dx dy:
 ∈ [0,1] ,  ∈ [0, 2 ]
1
2
1
f  x , y  = 1 ⋅ = 
2 =1
[ ]
∫ d  ∫  d  = 2∫  d  = 2  2
0
0
0
= 2⋅
 =0
1
= 
2
Trovo la soluzione finale:
2 ∫∫ dx dy = 2 

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Formula di integrazione per sezioni o fette
A = { x , y , z  ∈ ℝ3 :  x , y  ∈  ,  x , y ≤ z ≤  x , y  }
A cui corrisponde l'integrale triplo riducibile nella forma:
 x , y
∫
  x , y
dz ∫∫ f  x , y , z  dx dy
z

Esempio 1 bis
 = { x , y ∈ ℝ2 : x 2  y 2 ≤ 1 }
1
A = { x , y , z  ∈ ℝ3 :  x , y ∈  , 0 ≤ z ≤ 2 }
2
∫∫∫ z dx dy dz =
A
2
y
x
2
∫ dz ∫∫ z dx dy =
∫ z dz ∫∫ dx dy

0
0

Passo in coordinate polari per risolvere l'integrale doppio in dx dy:
f  x , y , z  = 1⋅  = 
 ∈ [0,1] ,  ∈ [0, 2 ]
1
2
1
∫ d  ∫  d  = 2∫  d  = 2 
0
0
0
=1
[ ]
2
2
= 2⋅
 =0
1
= 
2
Trovo la soluzione finale:
2
[ ]
z2
∫ z dz = 
2
0
z= 2
= 2
z=0
Integrali doppi e tripli: applicazioni alla Fisica
Avendo una lamina o un solido ristretto in un dominio A e δ, funzione di densità della lamina o del solido in
funzione delle coordinate, è possibile calcolare:
Lamina (2D)
Massa (m)
m = ∫∫  x , ydx dy
A
Coordinate del baricentro
(x, y) per la lamina
(x, y, z) per il solido
x=
y=
Momento d'inerzia (I)
d2 è la distanza dell'elemento
infinitesimo dall'asse fissato
I=
1
∫∫ x  x , y dx dy
m A
1
∫∫ y  x , y dx dy
m A
1
∫∫ d 2  x , ydx dy
m A
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Solido (3D)
m = ∫∫∫   x , y , zdx dy dz
A
x=
1
∫∫∫ x  x , y , z dx dy dz
m
A
y=
1
∫∫∫ y  x , y , zdx dy dz
m
A
z=
1
∫∫∫ z  x , y , zdx dy dz
m
A
I = ∫∫∫ d 2   x , y , zdx dy dz
A
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