Programma Analisi 3 - Dipartimento di Matematica e Informatica

Corso di Analisi Matematica Terzo Modulo, a.a. 2006-2007.
Obiettivi e finalità: Il corso è orientato ad insegnare, nella forma più accessibile, alcune nozioni basilari
dell’analisi matematica. Il corso verte principalmente (i) sui rudimenti dell’analisi differenziale di funzioni
matematiche, che dipendono da due, tre, oppure più variabili spaziali; (ii) sulle più importanti proprietà di integrali
doppi, di integrali curvilinei e di integrali superficiali.
Prerequisiti: Nozioni di algebra e di geometria analitica del piano e dello spazio; tutte le nozioni sviluppate nei
corsi di Analisi Matematica Uno & Due.
Tipo del corso: lezioni (tre ore settimanali) ed esercitazioni in aula (due ore settimanali); qualche esercitazione
scritta in aula, qualche esercitazione in un laboratorio informatico.
Programma:
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Funzioni di più variabili reali, a valori reali. (i) Generalità: grafici, linee e superfici di livello, limiti, continuità;
derivate parziali, derivate direzionali, differenziali primo e secondo, gradiente, matrice hessiana. (ii) Regole per
la manipolazione di derivate parziali. Derivate parziali e coordinate curvilinee, esempi notevoli. (iii) Condizioni
sufficienti per la differenziabilità, piano tangente ad un grafico enunciato del teorema di Schwarz sulle derivate
di ordine superiore, teoremi sulla formula di Taylor con resto del second’ordine. (iv) Metodi per
l'identificazione di estremi locali oppure di selle.
Integrali doppi. (i) Definizioni di: integrali doppi di funzioni a scala; integrali doppi di funzioni limitate, estesi a
rettangoli; integrali doppi di funzioni limitate, estesi ad insiemi limitati; area di insiemi limitati. (ii) Proprietà
basilari degli integrali doppi e dell'area,. integrabilità di funzioni continue su rettangoli e relative formule di
riduzione, insiemi quadrabili ed insiemi con area nulla, enunciato del teorema sull’integrabilità delle funzioni le
cui discontinuità stanno in un insieme di area nulla. (iii) Formule di riduzione in insiemi normali. (iv) Casi
semplici delle formule di Gauss-Green e del teorema della divergenza bidimensionali. (v) Enunciato del
teorema sul cambiamento di variabili in integrali doppi.
Integrazione su linee e superfici. (i) Nozione di linea e di superficie regolare. Rette e piani tangenti. Lunghezza
di una linea e ascissa curvilinea: definizioni e teoremi relativi. Area di una superficie regolare: definizioni e uso
di formule. Esempi notevoli. (ii) Nozione di integrale (di una funzione a valori reali, oppure di una forma
differenziale) esteso ad una linea o ad una superficie. (iii) Cenni su: forme differenziali lineari esatte e chiuse in
dimensione due, campi vettoriali irrotazionali e conservativi, primitive di forme differenziali, potenziali di
campi vettoriali, funzioni con gradiente nullo, metodi semplici per la ricerca di primitive di forme differenziali
lineari.
Libri di testo: T. Apostol, Calcolo, Volume Terzo (Case editrice Boringhieri), J. Stewart, Calcolo, Funzioni di più
variabili (Casa editrice Apogeo).
Modalità di esame: una prova scritta ed una successiva prova orale, da sostenere entrambe nel medesimo appello
(la prima, se fallita, esclude dalla seconda); esercitazioni scritte, che sono valutate durante il corso e possono
esonerare dell’esame scritto.