Metodi di analisi dei circuiti, Trasformatore ideale e Mutue induttanze

ELETTROTECNICA
Ingegneria Industriale
− METODI DI ANALISI−
− TRASFORMATORE IDEALE −
− MUTUE INDUTTANZE −
Stefano Pastore
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Corso di Elettrotecnica (043IN)
a.a. 2013-14
Teorema di Thevenin
• Consideriamo un bipolo LRI collegato al
resto del circuito tramite due terminali
v(t ) = Req i (t ) + veq (t )
2
Teorema di Thevenin (2)
• Ogni bipolo LRI ben posto e controllato in
corrente può essere sostituito con la serie di
un generatore ideale di tensione e di una
resistenza, calcolati opportunamente, senza
influenzare la soluzione di un qualsiasi
circuito esterno connesso al bipolo stesso.
• Req: si calcola spegnendo tutti i generatori
indipendenti (di tensione: corto circuito, di
corrente: circuito aperto)
• veq(t): tensione a vuoto ai morsetti con tutti i
generatori inseriti
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Teorema di Thevenin (3)
• La caratteristica di un bipolo LRI è
• Se la caratteristica deve essere la stessa in
entrambi i casi, l’equazione diventa (Req ruota
la retta, veq(t) la trasla)
v(t ) = Req i (t ) + veq (t )
v(t ) veq (t )
i (t ) =
−
Req
Req
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Teorema di Norton
• Consideriamo un bipolo LRI collegato al
resto del circuito tramite due terminali
i (t ) = Geq v(t ) − ieq (t )
5
Teorema di Norton (2)
• Ogni bipolo LRI ben posto e controllato in
tensione può essere sostituito con il parallelo
di un generatore ideale di corrente e di una
conduttanza, calcolati opportunamente, senza
influenzare la soluzione di un qualsiasi
circuito esterno connesso al bipolo stesso.
• Geq: si calcola spegnendo tutti i generatori
indipendenti (tensione: corto circuito,
corrente: circuito aperto)
• ieq(t): corrente di corto circuito ai morsetti con
tutti i generatori inseriti
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Thevenin e Norton
• Tutti i bipoli LRI descritti da una
caratteristica obliqua hanno entrambi
gli equivalenti
• La relazione tra i parametri delle
rappresentazioni (vedi retta nella slide
precedente) sono
1
Geq =
Req
veq (t )
ieq (t ) =
= veq (t ) Geq
Req
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Sorgenti indipendenti ideali
• Fanno eccezione i bipoli la cui retta è
verticale o orizzontale (sorgenti ideali
di tensione con in parallelo una
resistenza e sorgenti ideali di corrente
con in serie una resistenza)
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Thevenin, Norton e fasori
• Per i bipoli LDI si ricorre ai fasori; gli
equivalenti di Thevenin e di Norton si trovano
con le stesse regole, sostituendo le impedenze
e le ammettenze alle resistenze e alle
conduttanze, rispettivamente, e i fasori alle
grandezze nel dominio del tempo
V = Z eq I + Veq
I = YeqV − I eq
1
Yeq =
,
Z eq
I eq =
Veq
Z eq
= VeqYeq
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Teorema di Millmann
• È un’applicazione del teorema di Norton
vs1 vs 3
−
+ is 4
R1 R3
vu =
1
1
1
+
+
R1 R2 R3
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Metodi dei nodi puro
• È un derivato del tableau. Le variabili del
sistema sono i potenziali di nodo ek, k=1…n-1
• È limitato ai circuiti che contengono
componenti controllati in tensione
• Nel dominio del tempo (circuiti LRI), si
ottiene
G nod e(t ) = h s (t )
• Con e(t) e hs(t) vettori colonna [n−1×1] e Gnod
matrice [n×n]
• Se det(Gnod)≠ 0, il circuito è ben posto, come
nel tableau. Gnod è simmetrica se nel circuito
ci sono solo bipoli.
• Nei circuiti LDI in alternata, utilizzando i
fasori si ottiene
Y nod E = H s
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Metodi dei nodi puro - esempio
• Scriviamo le due equazioni ai nodi per il
circuito LRI di figura alimentato in continua
• Nodo 1:
IK) ia + ib + ic = 0
cost ) ia = va G1 , ib = vbG3 , ic = vcG2
IIK) va = e1 − Vs , vb = e1 , vc = e1 − e2
(e1 − Vs ) G1 + e1G3 + (e1 − e2 ) G2
=0
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Metodi dei nodi puro – esempio (2)
• Nodo 2:
IK) i 'a +i 'b = I s
cost ) i 'a = v'a G2 , i 'b = v'b G4
IIK) v'a = e2 − e1 , v'b = e2
(e2 − e1 ) G2 + e2G4
= Is
• Raccogliendo i coefficienti si ottiene
e1 (G1 + G2 + G3 ) − e2G2 = Vs G1
− e G + e (G + G ) = I
2
2
4
s
 1 2
• In forma matriciale
G1 + G2 + G3

− G2

− G2   e1  Vs G1 
=



G2 + G4  e2   I s 
• N.B. matrice Gnod simmetrica
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Trasformatore ideale
• È un componente resistivo a due porte
• n: rapporto di trasformazione
v1 = n v2

i = 1 i
 1 n 2
• È un componente non-controllato in
tensione
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Trasformatore ideale (2)
• Proprietà fondamentale: è un
componente inerte
1 
p (t ) = v1 i1 − v2 i2 = nv2  i2  − v2 i2 = 0
n 
• Proprietà di adattamento di impedenza:
consideriamo un trasformatore chiuso
su una resistenza Ru
Ring
v1
nv2
2 v2
=
=
=n
= n 2 Ru
1
i1
i2
i2
n
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Trasformatore ideale (3)
• Si dimostra che valgono pure le seguenti
proprietà di spostamento delle resistenze tra le
porte, per cui i seguenti circuiti risultano
equivalenti
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Metodi dei nodi modificato (MNA)
• È il metodo principe dei programmi di
analisi dei circuiti
• La presenza di uno o più trasformatori
ideali viene risolta aggiungendo le
relative correnti di ramo nelle
equazioni di nodo. Le incognite sono
quindi i potenziali di nodo e le correnti
dei trasformatori. Il numero delle
variabili aumenta, ma il metodo
modificato risulta essere così
assolutamente generale
• Per equilibrare il numero di incognite e
di equazioni, si devono aggiungere al
sistema puro le relazioni costitutive dei
trasformatori ideali
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Metodi dei nodi modificato - esempio
• Scriviamo le equazioni ai nodi per il circuito
LDI di figura alimentato in alternata
• Il trasformatore ideale è un componente a due
porte non-controllato in tensione. Infatti le
equazioni sono (con i fasori)
V1 = n V2

1

 I1 = n I 2
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Metodi dei nodi modificato –
esempio (2)
• Si ottiene
 (E1 − Vs )
+ E1 jωC + I1 = 0
 R
1

− I + (E2 − E3 ) = 0
 2 R + jω L
2

 (E3 − E2 ) E3
+
= Is

R
+
j
ω
L
R
2
3

 E1 − n E2 = 0

1
 I1 − I 2 = 0
n

• Sistema di 5 equazioni in 5 variabili (E1, E2,
E3, I1, I2). Alle prime 3 equazioni relative ai
nodi si aggiungono le equazioni costitutive
dei componenti non-controllati in tensione
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