ELETTROTECNICA Ingegneria Industriale − METODI DI ANALISI− − TRASFORMATORE IDEALE − − MUTUE INDUTTANZE − Stefano Pastore Dipartimento di Ingegneria e Architettura Corso di Elettrotecnica (043IN) a.a. 2013-14 Teorema di Thevenin • Consideriamo un bipolo LRI collegato al resto del circuito tramite due terminali v(t ) = Req i (t ) + veq (t ) 2 Teorema di Thevenin (2) • Ogni bipolo LRI ben posto e controllato in corrente può essere sostituito con la serie di un generatore ideale di tensione e di una resistenza, calcolati opportunamente, senza influenzare la soluzione di un qualsiasi circuito esterno connesso al bipolo stesso. • Req: si calcola spegnendo tutti i generatori indipendenti (di tensione: corto circuito, di corrente: circuito aperto) • veq(t): tensione a vuoto ai morsetti con tutti i generatori inseriti 3 Teorema di Thevenin (3) • La caratteristica di un bipolo LRI è • Se la caratteristica deve essere la stessa in entrambi i casi, l’equazione diventa (Req ruota la retta, veq(t) la trasla) v(t ) = Req i (t ) + veq (t ) v(t ) veq (t ) i (t ) = − Req Req 4 Teorema di Norton • Consideriamo un bipolo LRI collegato al resto del circuito tramite due terminali i (t ) = Geq v(t ) − ieq (t ) 5 Teorema di Norton (2) • Ogni bipolo LRI ben posto e controllato in tensione può essere sostituito con il parallelo di un generatore ideale di corrente e di una conduttanza, calcolati opportunamente, senza influenzare la soluzione di un qualsiasi circuito esterno connesso al bipolo stesso. • Geq: si calcola spegnendo tutti i generatori indipendenti (tensione: corto circuito, corrente: circuito aperto) • ieq(t): corrente di corto circuito ai morsetti con tutti i generatori inseriti 6 Thevenin e Norton • Tutti i bipoli LRI descritti da una caratteristica obliqua hanno entrambi gli equivalenti • La relazione tra i parametri delle rappresentazioni (vedi retta nella slide precedente) sono 1 Geq = Req veq (t ) ieq (t ) = = veq (t ) Geq Req 7 Sorgenti indipendenti ideali • Fanno eccezione i bipoli la cui retta è verticale o orizzontale (sorgenti ideali di tensione con in parallelo una resistenza e sorgenti ideali di corrente con in serie una resistenza) 8 Thevenin, Norton e fasori • Per i bipoli LDI si ricorre ai fasori; gli equivalenti di Thevenin e di Norton si trovano con le stesse regole, sostituendo le impedenze e le ammettenze alle resistenze e alle conduttanze, rispettivamente, e i fasori alle grandezze nel dominio del tempo V = Z eq I + Veq I = YeqV − I eq 1 Yeq = , Z eq I eq = Veq Z eq = VeqYeq 9 Teorema di Millmann • È un’applicazione del teorema di Norton vs1 vs 3 − + is 4 R1 R3 vu = 1 1 1 + + R1 R2 R3 10 Metodi dei nodi puro • È un derivato del tableau. Le variabili del sistema sono i potenziali di nodo ek, k=1…n-1 • È limitato ai circuiti che contengono componenti controllati in tensione • Nel dominio del tempo (circuiti LRI), si ottiene G nod e(t ) = h s (t ) • Con e(t) e hs(t) vettori colonna [n−1×1] e Gnod matrice [n×n] • Se det(Gnod)≠ 0, il circuito è ben posto, come nel tableau. Gnod è simmetrica se nel circuito ci sono solo bipoli. • Nei circuiti LDI in alternata, utilizzando i fasori si ottiene Y nod E = H s 11 Metodi dei nodi puro - esempio • Scriviamo le due equazioni ai nodi per il circuito LRI di figura alimentato in continua • Nodo 1: IK) ia + ib + ic = 0 cost ) ia = va G1 , ib = vbG3 , ic = vcG2 IIK) va = e1 − Vs , vb = e1 , vc = e1 − e2 (e1 − Vs ) G1 + e1G3 + (e1 − e2 ) G2 =0 12 Metodi dei nodi puro – esempio (2) • Nodo 2: IK) i 'a +i 'b = I s cost ) i 'a = v'a G2 , i 'b = v'b G4 IIK) v'a = e2 − e1 , v'b = e2 (e2 − e1 ) G2 + e2G4 = Is • Raccogliendo i coefficienti si ottiene e1 (G1 + G2 + G3 ) − e2G2 = Vs G1 − e G + e (G + G ) = I 2 2 4 s 1 2 • In forma matriciale G1 + G2 + G3 − G2 − G2 e1 Vs G1 = G2 + G4 e2 I s • N.B. matrice Gnod simmetrica 13 Trasformatore ideale • È un componente resistivo a due porte • n: rapporto di trasformazione v1 = n v2 i = 1 i 1 n 2 • È un componente non-controllato in tensione 14 Trasformatore ideale (2) • Proprietà fondamentale: è un componente inerte 1 p (t ) = v1 i1 − v2 i2 = nv2 i2 − v2 i2 = 0 n • Proprietà di adattamento di impedenza: consideriamo un trasformatore chiuso su una resistenza Ru Ring v1 nv2 2 v2 = = =n = n 2 Ru 1 i1 i2 i2 n 15 Trasformatore ideale (3) • Si dimostra che valgono pure le seguenti proprietà di spostamento delle resistenze tra le porte, per cui i seguenti circuiti risultano equivalenti 16 Metodi dei nodi modificato (MNA) • È il metodo principe dei programmi di analisi dei circuiti • La presenza di uno o più trasformatori ideali viene risolta aggiungendo le relative correnti di ramo nelle equazioni di nodo. Le incognite sono quindi i potenziali di nodo e le correnti dei trasformatori. Il numero delle variabili aumenta, ma il metodo modificato risulta essere così assolutamente generale • Per equilibrare il numero di incognite e di equazioni, si devono aggiungere al sistema puro le relazioni costitutive dei trasformatori ideali 17 Metodi dei nodi modificato - esempio • Scriviamo le equazioni ai nodi per il circuito LDI di figura alimentato in alternata • Il trasformatore ideale è un componente a due porte non-controllato in tensione. Infatti le equazioni sono (con i fasori) V1 = n V2 1 I1 = n I 2 18 Metodi dei nodi modificato – esempio (2) • Si ottiene (E1 − Vs ) + E1 jωC + I1 = 0 R 1 − I + (E2 − E3 ) = 0 2 R + jω L 2 (E3 − E2 ) E3 + = Is R + j ω L R 2 3 E1 − n E2 = 0 1 I1 − I 2 = 0 n • Sistema di 5 equazioni in 5 variabili (E1, E2, E3, I1, I2). Alle prime 3 equazioni relative ai nodi si aggiungono le equazioni costitutive dei componenti non-controllati in tensione 19