Schede di Elettrotecnica
Corso di Elettrotecnica 1 - Cod. 9200 N
Diploma Universitario Teledidattico in
Ingegneria Informatica ed Automatica
Polo Tecnologico di Alessandria
A cura di Luca FERRARIS
Scheda N° 3
Circuiti in Corrente Continua:
• Teorema di Millman
• Circuito equivalente di Thevenin
• Principio di sovrapposizione degli effetti
Scheda N° 3 - Circuiti in Corrente Continua:
Millman, Thevenin, Sovrapposizione degli Effetti
ESERCIZIO 3.1
Dato il circuito in figura calcolare quale tensione deve produrre il generatore E1 affinché chiudendo il
contatto t non si abbia passaggio di corrente nell’interruttore stesso.
•
•
•
•
•
•
•
•
R1 = 20Ω
R2 = 10Ω
R3 = 20Ω
R4 = 10Ω
R5 = 5Ω
R6 = 3Ω
E2 = 40V
E3 = 30V
C
t
R1
E
R4
A
E1
R5
R3
R2
E3
R6
E2
B
D
F
Generatore equivalente di Thevenin:
“Qualunque bipolo è rappresentabile con la serie di un generatore ideale di tensione Eeq (di valore uguale alla
tensione a vuoto del bipolo stesso) e di una resistenza Req (di valore pari a quella che si vede dai morsetti del bipolo
quando i generatori di tensione sono stati sostituiti da corto-circuiti ed i generatori di corrente da circuiti aperti)”.
Sostituire sia la parte destra che sinistra del circuito con i rispettivi circuiti equivalenti di Thevenin:
E1
R eq sin = 10 Ω
E eq sin = 2
E1 = 60 V
⇒
E
eq des = 30 V R eq des = 10 Ω
ESERCIZIO 3.2
Dato il circuito in figura calcolare l’intensità della corrente I con i seguenti dati:
• R1 = 5 Ω
R1
A
• R2 = 5 Ω
• R3 = 20 Ω
E2
• R4 = 20 Ω
E1
• R5 = 50 Ω
R5
• E1 = 100 V
• E2 = 200 V
B
R4
R2
I
R3
Teorema di Millman il quale afferma che:
“La tensione ai morsetti di bipoli in parallelo è la media pesata delle f.e.m. di tali bipoli, essendo
pesi le loro ammettenze”, ovvero:
∑ R + ∑A
Ei
VAB =
VAB
i
i
i
1
∑R
i
i
i
dove con Ri si intende la resistenza equivalente di ogni ramo, con Ei il
generatore di tensione di ogni ramo (segno “+” se concorde con il
potenziale del nodo A), con Ai (positivo se entrante nel nodo A) il
generatore di corrente ed i è un indice per indicare tutti i rami.
E1
E
+ 2
R1 + R 4 R 5
=
= 80V
1
1
1
+
+
R1 + R 4 R 2 + R 3 R 5
I = 3,2A
⇒
1
Scheda N° 3 - Circuiti in Corrente Continua:
Millman, Thevenin, Sovrapposizione degli Effetti
ESERCIZIO 3.3
Risolvere l’esercizio precedente utilizzando la sovrapposizione degli effetti.
A”
A’
A
Effetto di E1
−1
1
1
R eq ′ = 25 + + = 41,67Ω
25 50
100
= 2,4A
I TOT ′ =
41,67
50
I′ =
* I ′ = 0,67 * 2,4 = 1,6A
50 + 25 TOT
I’TOT
100
I’1
I’
50
25
25
B’
B
Effetto di E2
−1
1
1
R eq ″ = 50 + + = 62.5Ω
25 25
B”
A”
A’
A
I”TOT
I TOT ″ =
200
= 3,2A
62,5
25
I′′ =
* I TOT ″ = 0,5 * 3,2 = 1,6A
25 + 25
25
50
I”
I”1
25
200
B’
B
B”
Quindi applicando il teorema della sovrapposizione degli effetti troviamo che:
I = 3,2A
I = I ′ + I′′ = 1,6 + 1,6 = 3,2A
ESERCIZIO 3.4
Risolvere l’es. 3.2 utilizzando il teorema di Thevenin.
Il teorema di Thevenin ci permette di ridurre il
circuito come rappresentato in figura 1. Con
riferimento alla figura 2 calcoliamo la Req e la Veq; per
trovare il valore di Veq notiamo che essa coincide con
VAB che può essere determinata facilmente utilizzando
il teorema di Millman. Pertanto risulta facile vedere
che:
Veq
−1
25 ⋅ 50
= 16,67Ω
25 + 50
100 200
+
25
50
=
= 133,3V
1
1
+
25 50
1
1
R eq = +
25 50
Req
25
Eeq
R 2 + R3
2
200
100
B
2
Figura 1
I = 3,2 A
1
50
I
=
⇒
A
1
Figura 2
2
Scheda N° 3 - Circuiti in Corrente Continua:
Millman, Thevenin, Sovrapposizione degli Effetti
ESERCIZIO 3.5
Dato il circuito in figura 3 calcolare il valore delle seguenti incognite:
?. I1
?. I2
R4
G
F
?. I3
I4
?. I4
I
?. V5
R1
A
H V5
E
I dati sono i seguenti:
I2
Ig
• R1 = 25 Ω
• R2 = 20 Ω
III
R2 II
Vg
R3
• R3 = 10 Ω
• R4 = 90 Ω
B
I1 C
I3 D
• Ig = 1000 A
• Vg = 200 V
Figura 3
Una prima idea che potrebbe venire per risolvere questo problema è applicare il teorema di Kirchoff.
− R ⋅ I − V = 0
5
4 4
V5 − I3 ⋅ R 3 + I 2 ⋅ R 2 = 0
− I 2 ⋅ R 2 − I1 ⋅ R 1 + Vg = 0
I 4 + I g = I 3
I = I + I + I
1 4 g 2
Questo sistema sebbene risolubile necessiterebbe
di conti lunghi, complicati e sede di facili errori e
quindi risulta molto più conveniente cercare una
diversa via per la soluzione del problema che può
essere trovata sostituendo alcuni blocchi del
circuito con i relativi equivalenti di Thevenin.
Si è scelto di sostituire la maglia EHFG riportando il tutto al circuito in figura 4.
R1
A
I1
Vg
H
Req
I2
E
R4
Eeq
VHC
R2
Ig
R3
H
B
C
E
VHE=Eeq
D
Figura 4
Figura 5
R
=
R
=
90
Ω
4
eq
E’ facile osservando la figura 5 calcolare che:
Veq = − R 4 ⋅ I g = −90 ⋅1000 = −90000 V
Applicando il teorema di Millman, la legge di Ohm e l’equilibrio ai nodi si trova che: VHC = - 8920 V
•
•
•
•
•
I1 = 364.8 A
I2 = -446 A
I3 =810.8 A
I4 = -189.2 A
V5 = 17028 V
3
