Gli Elementi di Euclide

Liceo Scientifico Statale “P. Paleocapa”
Rovigo, 5 aprile 2013
XXIII Settimana della Cultura Scientifica
Introduzione
alle geometrie non euclidee
Luigi Tomasi
Liceo di Adria - Liceo Scientifico “Galileo Galilei”
Università degli Studi di Ferrara
[email protected]
Gli Elementi
di Euclide
(III sec. a.C.)
2
1
Gli Elementi di Euclide
(scritti circa nel 300 a.C.)
• Gli Elementi di Euclide: opera che è
stata scritta attorno al 300 a.C.
• Suddivisa in 13 libri (oggi si direbbe
capitoli)
• Si tratta di un’opera costituita da un
unico sistema deduttivo di 465
teoremi che contiene non solo
geometria, ma anche molti risultati di
aritmetica e teoria dei numeri.
3
Gli Elementi: testo di riferimento
per più di due millenni
• L’ organizzazione degli Elementi e il loro
altissimo livello scientifico, logico ed
espositivo ne fecero il testo di riferimento di
matematica - e non solo - per più di duemila
anni.
• La genialità di Euclide non consistette tanto nel
creare una nuova matematica, quanto nel
presentare la matematica precedente (tre secoli
precedenti) in modo del tutto chiaro,
4
organizzato e logico.
2
Gli Elementi : il testo più diffuso
dopo la Bibbia per due millenni
• Gli Elementi di Euclide sono il testo di
maggiore diffusione che mai sia stato
scritto assieme alla Bibbia.
• Hanno avuto infatti nel corso dei secoli
più di duemila edizioni e sono stati
adottati come libro di testo nelle
università e nelle scuole dall’antichità
fino a quasi il secolo XX.
5
Gli Elementi di Euclide
Ma è ancora più
significativo che gli
Elementi, fin dal loro
primo apparire, siano
divenuti per gli
scienziati una pietra
di paragone: essi
hanno rappresentato
il modello del
trattato scientifico.
6
3
Euclide
Poco o nulla si sa dell’autore degli
Elementi.
Si sa soltanto che visse ad Alessandria
d’Egitto - la città che Alessandro Magno
fondò nel 332 a.C. nel delta del Nilo durante il regno di Tolomeo I (uno dei
generali di Alessandro Magno).
Aneddoto: risposta a Tolomeo I che gli
chiese se esistesse una strada, più breve
degli Elementi, per studiare la geometria:
“Non esiste una via regia alla geometria”.
7
Euclide
• Sembra che Euclide abbia ricevuto la
sua formazione culturale nella
Accademia fondata da Platone ad
Atene.
• Euclide ha lavorato nella famosa
Biblioteca di Alessandria e nell’annesso
Museo, le più grandi istituzioni culturali
dell’antichità, dove fondò una celebre
scuola di matematica.
8
4
Struttura degli Elementi di Euclide
L'opera è divisa in 13 libri (capitoli)
che hanno il seguente contenuto:
Libro I. Geometria piana fino al
teorema di Pitagora.
Libro II. Si occupa di proposizioni
geometriche (“algebra” geometrica).
Libro III. Si occupa della
circonferenza e del cerchio.
9
Struttura degli Elementi di Euclide
Libro IV. Si occupa di inscrivere e
circoscrivere ad un cerchio certe
figure geometriche.
Libro V. Teoria delle proporzioni
(Eudosso).
Libro VI. Teoria della similitudine.
Libro VII, VIII e IX. Proprietà dei
numeri naturali. Numeri primi.
Libro X. Grandezze incommensurabili.
10
5
Struttura degli Elementi di Euclide
Libro XI. Geometria solida elementare.
Prismi e in particolare parallelepipedi
rettangoli.
Libro XII. Geometria dello spazio; aree e
volumi dove è necessario il metodo di
esaustione.
Libro XIII. Poliedri regolari. Costruzione
dei solidi platonici.
11
Il metodo seguito da Euclide
negli Elementi:
metodo
assiomatico-deduttivo
Gli Elementi costituiscono
l’esempio più importante
dal punto di vista storico
di sistema assiomatico-deduttivo.
12
6
Cos’è un sistema assiomaticodeduttivo?
• Si introducono i termini primitivi
fondamentali del discorso, e se ne
chiarisce il significato (punto, retta, piano,
angolo,....).
• Viene fornito un sistema di enunciati
primari che riguardano i termini primitivi.
• Questi enunciati devono avere, in Euclide,
una certa evidenza intuitiva; tali enunciati
vengono detti “postulati”.
13
Cos’è un sistema assiomaticodeduttivo?
• Gli altri termini tecnici vengono definiti
sulla base dei termini già introdotti.
• Tutti gli altri enunciati vengono dedotti
logicamente da enunciati già accettati
(come postulati) o dimostrati in
precedenza.
• Questi enunciati derivati vengono detti
teoremi.
14
7
Nelle dimostrazioni si usano delle
regole che appartengono alla logica
(matematica).
- Logica a due valori di verità: vero o
falso
- Principio del terzo escluso: ogni
enunciato o è vero o è falso
- Principio di non contraddizione:
un enunciato e la sua negazione non
possono essere entrambi veri.
15
I termini primitivi di Euclide. Definizioni.
Definizione 1. Un punto è ciò che non ha
parti.
Definizione 2. Una linea è una lunghezza
senza larghezza.
Definizione 3. Gli estremi di una linea
sono punti.
Definizione 4. Una retta è una linea che
giace ugualmente rispetto ai punti su di
essa.
16
8
Definizione 5. Una superficie è ciò che ha
soltanto lunghezza e larghezza.
Definizione 6. Gli estremi di una
superficie sono linee.
Definizione 7. Dicesi piana una superficie
che giace ugualmente rispetto alle rette su
di essa.
Definizione 8. Un angolo piano è
l’inclinazione reciproca di due linee in un
piano le quali si incontrino e non giacciano
in linea retta.
17
Definizione 9. Quando le linee che
comprendono l’angolo sono rette,
l’angolo è detto rettilineo.
e così via ..........fino alla:
Definizione 23. Diconsi parallele rette
giacenti nello stesso piano che,
prolungate illimitatamente in entrambe
le direzioni, non si incontrino fra loro
da nessuna delle due parti.
18
9
Euclide
I cinque postulati
19
I postulati di Euclide
La distinzione tra postulati e nozioni comuni in
Euclide- che oggi non è più considerata
significativa - consiste nel fatto che, mentre i
postulati hanno carattere specificamente
geometrico, le nozioni comuni sono alla base
anche di altre scienze.
20
10
Postulati di Euclide
I Postulato. Da un punto qualsiasi
è possibile condurre ad ogni altro
punto una ed una sola retta.
II Postulato. È possibile
prolungare, da entrambi i lati, una
linea retta finita di una quantità
maggiore di qualunque lunghezza
data.
21
Postulati di Euclide
III Postulato. È possibile
descrivere uno ed un solo cerchio
con centro e raggio dati qualsiasi.
IV Postulato. Tutti gli angoli retti
sono uguali tra loro.
22
11
V Postulato
Se una retta, intersecando altre due rette,
forma con esse, da una medesima parte,
angoli interni la cui somma è minore di
due angoli retti,
allora queste due rette indefinitamente
prolungate finiscono con l’incontrarsi dalla
parte detta.
23
V Postulato
24
12
Il problema del V postulato
• Il V postulato richiama
immediatamente l’attenzione.
• Per cominciare, la sua enunciazione
non è così semplice quanto i postulati
precedenti.
• Questo postulato si distingue dagli
altri perché la sua enunciazione non è
altrettanto chiara e intuitiva.
25
Il problema del V postulato
• Se lo si legge attentamente comincia a
crearci dei dubbi.
• Si potrebbe dire che questo postulato sia
più una proprietà che un’affermazione
evidente.
• La situazione diventa ancora più
“sospetta” se si osserva che lo stesso
Euclide non utilizza il V postulato fino
alla 28-esima proposizione del libro I.
26
13
Il problema del V postulato
Per più di due millenni, generazioni
di matematici e di studiosi,
specialmente quelli con
un’inclinazione filosofica, hanno
subìto il fascino dell’opera di
Euclide.
27
Nonostante questo, nei duemila anni
successivi alla pubblicazione degli
Elementi, fino all’inizio del secolo XIX,
matematici e filosofi si sono chiesti
spesso, a proposito del V postulato,
se sia o non sia da includere tra gli
assunti fondamentali oppure se fosse
possibile dimostrarlo.
28
14
Il Postulato della parallela ( il V)
è necessario?
29
Le prime 28 proposizioni del
Libro I
• Fatto strano: le prime 28 proposizioni
del libro I degli Elementi sono
dimostrati senza far uso del V postulato.
• Si direbbe quasi che lo stesso Euclide
abbia cercato di “rinviare” l’uso del V
postulato il più possibile
• In effetti i primi 28 teoremi del libro I
sono dimostrati senza farvi ricorso (il
libro I contiene in tutto 48 teoremi).
30
15
Le prime 28 proposizioni del
Libro I
• Euclide utilizza per la prima volta il V
postulato nella Proposizione 29, che dimostra
le proprietà degli angoli formati da due rette
parallele con una trasversale.
• La proposizione 29 è alla base della
successiva dimostrazione della proposizione
32: La somma degli angoli interni di un
triangolo è uguale a due angoli retti.
• Dopo Euclide è stato dimostrato che
quest’ultima proposizione è equivalente al V
postulato.
31
Perché Euclide aspetta “così
tanto” ad usare il V postulato?
• Questo fatto ha rafforzato l’idea che il V
postulato fosse una proprietà
dimostrabile.
• Il V postulato è equivalente anche al
Teorema di Pitagora.
• Così come lo ha enunciato Euclide, il
quinto postulato aveva più l’aspetto di
un teorema che di un verità semplice
(da assumere appunto come postulato).
32
16
La geometria assoluta, ovvero
Euclide … non euclideo
• La geometria costruita senza far uso
del V postulato viene detta “geometria
neutrale” o “geometria assoluta”.
• I teoremi dimostrati in questa
geometria (le prime 28 proposizioni
degli Elementi) fanno parte sia della
geometria euclidea che di quella non
euclidea.
33
I tentativi di “dimostrazione”
del V postulato
• Già in epoca antica iniziarono i
tentativi di dimostrare il V postulato.
• Si cerca quindi di spodestare il V
dall’elenco dei postulati.
• Posidonio di Rodi (nato nel 135 a.C.
circa): è il primo studioso che
manifestò dubbi riguardo al V
postulato (conosciamo la sua opera
tramite Proclo).
34
17
Tentativi di “dimostrazione” del V
postulato: enunciati equivalenti
• Per circa duemila anni, dal I secolo a.C.
fino agli inizi del secolo scorso, schiere
di pensatori si posero il problema del V
postulato e intrapresero tentativi di
dimostrarlo.
• Quelli che pensarono di esserci riusciti
fecero invariabilmente ricorso a qualche
ipotesi supplementare (che era
equivalente al V postulato).
35
Un enunciato equivalente al
V postulato
• Sono stati elencati i più significativi
enunciati proposti in sostituzione del quinto
postulato.
• Quello più usato nei libri di geometria
odierni è il seguente (di John Playfair,
1748-1819, matematico scozzese):
Per un punto esterno P ad una retta r , è
possibile condurre una ed una sola retta
parallela alla retta data.
36
18
Gerolamo Saccheri (1667-1733)
• Il più importante
tentativo di
dimostrare il V
postulato è stato
fatto nel XVIII
secolo da
Gerolamo
Saccheri.
37
Gerolamo Saccheri (1667-1733)
• Professore di matematica all’Università di Pavia,
gesuita, è autore di uno dei più seri tentativi mai
fatto prima di allora per dimostrare il quinto
postulato di Euclide nella sua opera:
Euclides ab omni naevo vindicatus, Milano,
1733 (Euclide liberato da ogni macchia)
• Punto di partenza di Saccheri è la “geometria
assoluta” o geometria neutrale (le prime 28
proposizioni degli Elementi ).
38
19
Saccheri:
non euclideo suo malgrado
• Il titolo del libro mostra come Saccheri
volesse togliere i “nei” dalla trattazione di
Euclide.
• Saccheri ipotizza che il V postulato
non sia vero e cerca di trovare una
contraddizione.
• In questa ricerca dimostra (senza
esserne consapevole) alcuni teoremi che
oggi vengono considerati i primi teoremi
della geometria non euclidea
(geometria iperbolica).
39
Dopo Saccheri…
Dopo il tentativo fatto da Saccheri
comincia a farsi strada la convinzione che:
• la geometria assoluta (o neutrale) di per
sé non implica il V postulato
• che sia logicamente possibile una
geometria alternativa a quella di Euclide
(detta “non euclidea”).
40
20
La nascita delle geometrie non
euclidee (circa 1820-1830)
• Si arriva all’idea che il V postulato sia
indipendente dai precedenti postulati. Si
può dunque introdurre la “negazione” del
V postulato (nella formulazione di John
Playfair):
Per un punto P esterno ad una retta r
passa più di una retta parallela alla
retta data.
41
La nascita delle geometrie non
euclidee
… oppure si può negare la stessa
esistenza di rette parallele (Bernhard
Riemann, 1854):
Per un punto P esterno a una retta r
data non passa alcuna retta parallela
alla retta data.
42
21
Somma degli angoli interni di un
triangolo
• Applicando il V postulato a un triangolo,
nella geometria euclidea si trova un angolo
piatto.
• Questo succede solo nel mondo di Euclide
dove le rette parallele prolungate all’infinito
continuano ad essere parallele, visto che
questo spazio non ha curvatura.
• Ma nessuno è stato all’infinito… e non
sappiamo cosa facciano le rette parallele
all’infinito…
43
• E se queste rette si unissero all’infinito
oppure se la parallela non fosse unica?
• Lo spazio potrebbe realmente avere una
curvatura e gli angoli di un triangolo
avrebbero una somma maggiore di un
angolo piatto, come succede quando si
disegna un triangolo sulla buccia di una
arancia.
• Allo stesso modo, su un’altra superficie
potrebbe succedere che la somma degli
angoli sia minore di 180°.
44
22
CURVATURA > 0
CURVATURA = 0
CURVATURA < 0
45
γ
β
geometria
iperbolica
α
62
TORINO 13-02-02
β
geometria
ellittica
γ
α
46
23
Nuove geometrie
• Negando il V postulato nascono delle
nuove geometrie (dette non euclidee)
• Si ottengono delle nuove geometrie che
sono coerenti, ossia senza
contraddizioni interne.
• Queste considerazioni
presuppongono un cambiamento
sostanziale anche nel modo di concepire
la geometria e lo spazio fisico.
47
I fondatori delle nuove geometrie
I fondatori della geometria non
euclidea sono considerati:
• Carl F. Gauss (1777-1855)
• Janos Bolyai (1802-1860)
• Nikolaj I. Lobacevskij (17931856)
• Bernhard Riemann (1826-1866)
48
24
I fondatori delle
geometrie non
euclidee
C. F. Gauss
(1777-1855)
J. Bolyai
(1802-1860)
N. Lobachevskij
(1792-1856)
B. Riemann
49
(1826-1866)
• Geometria parabolica (euclidea): per un
punto passa una ed una sola parallela a
una retta data (enunciato di John Playfair).
• Geometria iperbolica (Bolyai e
Lobacevskij): in un piano, per un punto
passano più parallele a una retta data
(negazione dell’unicità della parallela)
• Geometria ellittica (Riemann): in un
piano, per un punto non esiste alcuna
parallela a una retta data
(negazione dell’esistenza della parallela)
50
25
Nascita dei modelli di geometrie
non euclidee
• Per comprendere meglio e per visualizzare queste
nuove geometrie (iperbolica ed ellittica), nella
seconda metà del XIX secolo, vengono introdotti
dei modelli di geometria non euclidea.
• Si tratta di figure geometriche (sfera, cerchio,
semipiano, pseudosfera, ecc.) nelle quali viene
data una rappresentazione dei concetti di “punto”,
“retta”, ecc. della geometria iperbolica e della
geometria ellittica.
• Un modello per la geometria euclidea è il comune
piano con le nozioni abituali di punto e di retta. 51
•
•
•
•
Modelli delle geometrie
non euclidee
Un modello di un sistema assiomatico
formale è una interpretazione dei
termini primitivi (punti, rette, …) tale
che gli assiomi diventino enunciati
veri. I più importanti modelli sono:
Modello di Eugenio Beltrami (1868)
Modello di Felix Klein (1880)
Modello di Henri Poincaré (1882)
52
26
Modello di Beltrami
E. Beltrami (1835-1899)
53
Modello di
Poincaré (piano
iperbolico)
H. Poincaré (1854-1912)54
27
La sfera come
modello di
geometria
ellittica
B. Riemann (1826(1826-1866)
55
I modelli di geometria
non euclidea
•
•
•
•
Modello di Beltrami
Modello di Poincaré
Modello della sfera (Riemann)
Qual è la geometria dell’Universo?
56
28