LINEE DI TRASMISSIONE

LINEE DI TRASMISSIONE
Generalità
Una linea di trasmissione è costituita essenzialmente da una coppia di conduttori paralleli alle cui
estremità sono connessi un generatore e un carico.
Z
l
Fig.1
Può essere di tipo bifilare o coassiale. Lo studio della propagazione di un segnale applicato alla
linea andrebbe condotto tramite le relazioni valide per la propagazione di un campo
elettromagnetico. La trattazione può essere semplificata notevolmente considerando la linea come
un circuito elettrico equivalente. Il modello adoperato viene denominato a costanti distribuite: i
parametri elettrici sono infatti distribuiti uniformemente lungo tutta la linea.
Per adoperare i teoremi delle reti elettriche si considereranno, però, dei circuiti a costanti
concentrate (questa ipotesi è valida sino a quando la lunghezza dei componenti e dei relativi
collegamenti è molto piccola rispetto alla lunghezza d’onda di lavoro). Nel nostro caso
considerando un tratto di linea di lunghezza ∆x molto piccola rispetto alla lunghezza d’onda λ di
lavoro, è possibile approssimare tale tratto ad un circuito a costanti concentrate e l’intera linea
costituita da un numero infinito di elementi di lunghezza ∆x collegati in cascata. Ogni circuito a
costanti concentrate può essere rappresentato come in figura.
R Dx
I ( x)
V ( x)
Fig. 2
L Dx
I ( x  Dx)
G Dx
C Dx
V ( x  Dx)
Dx
Le grandezze R, L, C, G sono denominate costanti primarie ed espresse rispettivamente:
l’induttanza L in [H/m], la resistenza R in [Ω/m], la capacità C in[F/m], la conduttanza G in
[Ω‾ ¹/m].
Queste grandezze vengono introdotte per tener conto dei seguenti fenomeni fisici:
1
-
la resistenza esprime il valore ohmico del conduttore e produce una caduta di tensione. È un
elemento longitudinale ed infatti è rappresenta nel circuito come un elemento serie;
- l’induttanza L si manifesta a causa di effetti di natura elettromagnetica e anch’essa produce
una caduta di tensione. Come la resistenza è di tipo longitudinale e viene posta in serie al
circuito.
- R e L danno luogo a quella che viene chiamata impedenza longitudinale.
- La capacità C viene introdotta a causa di effetti elettrici tra i due conduttori. Determina una
caduta o perdita di corrente ed è da considerarsi un elemento trasversale. Viene
rappresentata come un elemento di tipo parallelo;
- La conduttanza G viene introdotta a causa delle imperfezioni dell’isolamento dei conduttori
e determina una perdita di corrente. Viene rappresentata come un elemento trasversale alla
linea e quindi di tipo parallelo come la capacità.
La capacità e la conduttanza danno luogo a quella che viene chiamata ammettenza trasversale.
Definiamo con precisione le grandezze appena introdotte:
Zl  R  jL
Yt  G  jC
[impedenza longitudinale]
[ammettenza trasversale]
Le costanti primarie appena introdotte produrranno in ogni elemento ∆x infinitamente piccolo della
linea una caduta di tensione ed una perdita di corrente.
Questo fatto comporta, quindi, una continua variazione della tensione e della corrente: esse
subiranno, perciò, un’attenuazione man mano che si propagano lungo la linea. Naturalmente questo
comporterà anche una perdita di energia per cui sarà opportuno introdurre dei parametri per
quantificarne il valore.
I segnali che vengono inviati in una linea di trasmissione sono segnali che variano nel tempo con
continuità ma senza un andamento prestabilito (ad esempio segnali telefonici). Sappiamo però che
segnali di questo tipo possono essere scomposti secondo il teorema di Fourier in tante grandezze
armoniche e di essi può essere valutata la banda base. Per questa ragione, essendo comunque un
segnale costituito da un numero infinitamente grande di grandezze sinusoidali di ampiezza e
frequenza diverse, si potrà studiare, per semplificare il problema, l’applicazione alla linea di un
segnale sinusoidale. Lo studio poi verrà esteso a quello in cui si applica un segnale reale.
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Deduzione delle equazioni di linea.
Circuito da prendere in esame è quello costituito da un bipolo attivo (il generatore di segnale) un
quadripolo (la linea di trasmissione) e un bipolo passivo (il carico). Il quadripolo linea in effetti
potrà essere considerato come una serie di tanti quadripoli elementari in cascata ognuno dei quali
rappresentato dal circuito equivalente con le costanti primarie. Già dallo studio dei quadripoli si è
visto che alcuni suoi parametri derivano dalla impedenza sulla quale esso è chiuso; per facilitare lo
studio e per scrivere delle relazioni matematiche più semplici si prenderà in considerazione, quindi,
un riferimento cartesiano x disposto lungo il circuito ma con origine sul carico e verso che procede
dal carico al generatore (X=0 sul carico, X= l sul generatore con l lunghezza della linea).
Vi
Zu
X=0
X=l
Fig. 3
Applicando i teoremi delle reti elettriche al circuito a costanti concentrate di lunghezza Dx che
rappresenta un elemento qualsiasi della linea si possono dedurre delle relazioni matematiche sulle
grandezze elettriche in gioco. Esse esprimono rispettivamente il valore della tensione e della
corrente in un punto qualsiasi della linea individuato dalla ascissa x (ad esempio la tensione
d’ingresso della linea sarà Vx = L mentre la tensione d’uscita sarà Vx =0).
Vx  Vd  eγx  Vr  e γx
(1)
Vd x Vr x
e 
 e  I d  ex  I r  e x
Z0
Z0
Vd
V
 Id
 r  Ir
Avendo posto:
e
Z0
Z0
Ix 
Prima di interpretare il sistema di equazioni sopra scritto occorre definire alcune grandezze che
vengono indicate col nome di costanti secondarie della linea:
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1) Impedenza caratteristica Zo: essa può essere ricavata dalla seguente relazione
Z0 
Zl
R  jL

 R0  jX 0
Yt
G  jC
(2)
Z0 rappresenta l’impedenza caratteristica del quadripolo linea e quindi è il parametro che consente
l’adattamento. Ad esempio affinché si abbia adattamento in uscita l’impedenza di carico ZL deve
essere uguale a Zo; in ingresso l’impedenza del generatore dovrà anch’essa essere uguale a Z0. In
questo modo si ottiene un completo adattamento del circuito.
2) Costante di propagazione γ : essa può essere calcolata mediante la relazione :
  Z l  Y t  ( R  jL)  (G  JC )    j
(3)
La parte reale della costante di propagazione α prende il nome di costante di attenuazione: essa
rappresenta il valore di attenuazione subita dal segnale in un km di linea per cui si misura in dB/Km
oppure in N/Km (se l’unità di misura della lunghezza della linea è il Km).
Il coefficiente β dell’immaginario esprime lo sfasamento che si verifica nel segnale durante la
propagazione nell’unità di lunghezza della linea: esso viene misurato in radianti su Km [rad/Km ] .
Definite quindi le due costanti secondarie esaminiamo le equazioni (1) scritte all’inizio del
paragrafo; esse rappresentano le equazioni di propagazione delle linee altrimenti dette equazioni
dei telefonisti. La forma in cui sono state scritte è quella più generale dove non è stato specificato
nulla nei confronti dell’impedenza di carico ZL e dell’impedenza del generatore ZG.
Come si vede esse forniscono il valore della tensione e della corrente in un punto x qualsiasi della
linea.
Si può osservare che ambedue le relazione sono composte da due termini di cui occorre specificare
il significato fisico. Prendiamo i primi termini delle due relazioni e cioè:
Vd  ex
e
(4)
I d  ex
Esse possono essere scritte in modo più completo introducendo l’espressione della costante di
propagazione :
Vd  e(  j ) x  Vd  ex  e jx
e
I d  e(  j ) x 
Vd x jx
e e
Z0
(5)
Questi due termini rappresentano onde dirette di tensione e corrente:
esse valgono Vd e I d per x=0 (cioè sul carico) e al crescere di x (verso il generatore) subiscono
una variazione in modulo e in fase. Il modulo aumenta con legge esponenziale (eαx) con parametro
α mentre la fase subisce un incremento pari a β per ogni Km (essa varia cioè con la legge lineare
β∙x).
Per quanto riguarda la corrente il discorso può ripetersi in modo identico: si può vedere, facendo il
rapporto tra le due relazioni sopra scritte, che tra le due grandezze tensione e corrente esiste uno
sfasamento costante determinato dal valore di
puramente reale e cioè
Z0
Z 0 . Se per esempio l’impedenza caratteristica fosse
= Ro esse sarebbero costantemente in fase.
4
Queste due grandezze, indicate con il nome di onde dirette di tensione e corrente, si propagano
lungo la linea muovendosi dal generatore al carico con velocità, indicata con il termine velocità di
propagazione o di fase, che si esprime con la relazione:
u


(6)
Per quanto riguarda i secondi termini delle equazioni di linea si possono ripetere discorsi simili: essi
rappresentano le onde riflesse di tensione e corrente. Queste si propagano sempre con velocità u
ma muovendosi dal carico al generatore (quindi in senso opposto alle onde dirette) subendo
un’attenuazione del modulo con legge esponenziale (e-x) e uno sfasamento negativo variabile con
legge lineare -βx.
U = /
Vx
e X
x
X
e
Fig. 4 (onda diretta di tensione)
Vx
U = /
e
- X
x
e
-
X
Fig.5 (onda inversa di tensione)
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