Potenza del numerabile

CAPITOLO 2
Potenza del numerabile
Definizione. Chiamiamo numerabile ogni insieme equipotente all’insieme N dei numeri naturali. La
cardinalità dell’insieme N viene detta potenza del numerabile e indicata con ℵ0 (aleph-zero):
#N = ℵ0 .
———————————————————————————————————————————————Abbiamo già visto che l’insieme dei numeri pari è numerabile; in maniera del tutto simile si può dimostrare
che l’insieme dei numeri dispari o l’insieme Z degli interi sono numerabili (e quindi tutti equipotenti a N).
Basta per esempio considerare la funzione biiettiva
f:
Z
n
−→ N
(
−→
−2n
2n − 1
se n ≤ 0
se n > 0
Un po’ più complessa e molto meno ovvia è la dimostrazione che l’insieme Q dei numeri razionali è
numerabile. Ricordiamo che l’insieme Q può essere cosı̀ definito
n a
o
Q = ± | a, b ∈ N, b 6= 0 , a e b coprimi = {numeri decimali infiniti o infiniti periodici}
b
A prima vista può sembrare molto strano il fatto l’insieme dei razionali, che è denso (cioè fissato un qualsiasi
numero x0 ∈ Q e un qualsiasi numero reale ǫ, esistono sempre altri infiniti numeri razionali che distano
da x0 meno di ǫ), possa essere equipotente all’insieme degli interi, che è invece discreto. Tra gli interi è
infatti possibile parlare di numero successivo cosa che non è possibile tra i razionali (dovuto appunto al fatto
che Q è denso). Infatti fissato un numero razionale x non è possibile individuare il numero y che segue
x in grandezza. Tuttavia, come osservò Cantor, è possibile ordinare i razionali secondo una successione
r0 , r1 , r2 , . . . (non legata alla grandezza dei numeri). Cominciamo con l’ordinare i numeri razionali asoluti
Qa , non negativi secondo una successione r0 , r1 , r2 , . . . che permette quindi di definire una biiezione tra N e
l’insieme Qa dei numeri razionali assoluti:
f:
N
n
−→ Qa
−→ rn
Questa è la costruzione suggerita da Cantor: i numeri razionali assoluti possono essere disposti in una matrice
in modo tale che ab sia posizionato nella colonna a e riga b (ricordiamo che a e b sono numeri naturali). E’
chiaro che tale disposizione è unicamente determinata. Otteniamo quinti la tabella
|
−−
1|
1
−−
1
2
−−
2
3
−−
3
4
−−
4
5
−−
5
6
−−
6
−−
...
2|
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2
...
3|
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
6
3
...
4|
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
6
4
...
5|
1
5
2
5
3
5
4
5
5
5
6
5
...
...
...
Notiamo che su ogni diagonale da sinistra a destra in salita la somma a + b è costante. Seguiamo quindi
un percorso del tipo
11
12
2. POTENZA DEL NUMERABILE
0
2
1
3
4
5
6
7
8
1/2
2/2
3/2
4/2
5/2
6/2
7/2
8/2
1/3
2/3
3/3
4/3
5/3
6/3
7/3
8/3
1/4
2/4
3/4
4/4
5/4
6/4
7/4
8/4
1/5
2/5
3/5
4/5
5/5
6/5
7/5
8/5
1/6
2/6
3/6
4/6
5/6
6/6
7/6
8/6
1/7
2/7
3/7
4/7
5/7
7/7
7/7
8/7
Partiamo quindi da 0, poi 1 e 2, quindi in diagonale verso 21 e in giù verso 13 . Di nuovo in diagonale
verso 22 e 3. Ora in orizzontale verso 4, quindi di nuovo in diagonale verso 23 , 23 e 14 . Procedendo nella stessa
maniera otteniamo la successione:
0,
1,
1
,
2
2,
1 2
, , 3,
3 2
4,
3 2 1
, , ,
2 3 4
...
Tale successione contiene tutti i numeri nell’ordine in cui vengono incontrati lungo la spezzata (in sostanza i
numeri sono ordinati secondo la somma a + b e se a + b = c + d, allora ab precede dc a seconda del confronto tra
a e c). In questa successione cancelliamo poi tutti i numeri razionali ripetuti, mantenendo solo quelli ridotti
ai minimi termini (per esempio cacelliamo 22 , 33 , . . . mantenendo solo 1). Abbiamo cosı̀ ottenuto la successione
1
1
3
2
1
, r4 = , r5 = 3, r6 = 4, r7 = , r8 = , r9 = , . . .
2
3
2
3
4
r0 = 0, r1 = 1, r2 = 2, r3 =
La funzione biiettiva
f:
N
n
−→ Qa
−→ rn
dimostra che N e Qa sono equipotenti. A questo punto basta considerare la funzione
f:
−→ Q
(
rn
−→
−r−n
Z
n
se n ≥ 0
se n < 0
ottenendo che anche Z e Q sono equipotenti. Quindi N, Z e Q sono tutti equipotenti e perciò numerabili. La
loro cardinalità è appunto detta potenza del numerabile e indicata con ℵ0 .
Ripercorriamo l’ordinamento scelto su Qa . Abbiamo in sostanza definito gli insiemi
o
na
a
| a + b = n, e è ridotta ai minimi termini
n ∈ N∗
An =
b
b
Quindi
A1 = {0} , A2 = {1} , A3 =
1
1
1 2 3
, 2 , A4 =
, 3 , A5 =
, , , 4 ,...
2
3
4 3 2
Abbiamo quindi stabilito che se m < n, allora ogni elemento di Am precede ogni elemento di An . Inoltre se
a
c
b e d appartengono ad An , cioè a + b = c + d = n, allora
• Se n è dispari e a < c, allora dc precede ab ,
• Se n è pari e a < c, allora ab precede dc .
Notiamo che l’avere scelto la distinzione tra n pari e n dispari è solo giustificato dalla comodità grafica, ma
in maniera del tutto analoga si poteva scegliere un ordinamento costante all’interno di ogni insieme An .
Questo ci permette di generalizzare il risultato al seguente
Teorema: L’insieme U ottenuto dall’unione di un’infinità numerabile di insiemi numerabili U0 , U1 , . . . , Un , . . .
è ancora un insieme numerabile.
2. POTENZA DEL NUMERABILE
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Infatti gli elementi di ogni insieme Ui (numerabile) può essere ordinato e messo in corrispondenza con n.
Quindi possiamo indicare gli elementi degli elementi Ui nel seguente modo
U0 = {a0,0 , a0,1 , a0,2 , a0,3 , . . . , a0,n , . . . }
U1 = {a1,0 , a1,1 , a1,1 , a1,3 , . . . , a1,n , . . . }
U2 = {a2,0 , a2,1 , a2,1 , a2,3 , . . . , a2,n , . . . }
...
Ui = {ai,0 , ai,1 , ai,1 , ai,3 , . . . , ai,n , . . . }
...
Analogamente a prima possiamo quindi definire gli insiemi
An = {ai,j | i + j = n }
n∈N
e definire l’ordinamento per cui se m < n, allora ogni elemento di Am precede ogni elemento di An , e se ai,j
e ah,k appartengono ad An e i < h, allora ai,j precede ah,k . Questo ordinamento permette di definire una
biiezione tra N e U e dimostra che U è numerabile. Notiamo che non otterremmo una numerazione contando
prima tutti gli elementi di U0 , poi quelli di U1 e cosı̀ via, in quanto in realtà non arriveremmo mai a contare
gli elementi di U1 .
Quanto visto fino ad ora può portare all’idea che l’infinito sia uno solo, cioè che l’infinito sia l’assoluto.
In realtà non è cosı̀.