CAPITOLO 2 Potenza del numerabile Definizione. Chiamiamo numerabile ogni insieme equipotente all’insieme N dei numeri naturali. La cardinalità dell’insieme N viene detta potenza del numerabile e indicata con ℵ0 (aleph-zero): #N = ℵ0 . ———————————————————————————————————————————————Abbiamo già visto che l’insieme dei numeri pari è numerabile; in maniera del tutto simile si può dimostrare che l’insieme dei numeri dispari o l’insieme Z degli interi sono numerabili (e quindi tutti equipotenti a N). Basta per esempio considerare la funzione biiettiva f: Z n −→ N ( −→ −2n 2n − 1 se n ≤ 0 se n > 0 Un po’ più complessa e molto meno ovvia è la dimostrazione che l’insieme Q dei numeri razionali è numerabile. Ricordiamo che l’insieme Q può essere cosı̀ definito n a o Q = ± | a, b ∈ N, b 6= 0 , a e b coprimi = {numeri decimali infiniti o infiniti periodici} b A prima vista può sembrare molto strano il fatto l’insieme dei razionali, che è denso (cioè fissato un qualsiasi numero x0 ∈ Q e un qualsiasi numero reale ǫ, esistono sempre altri infiniti numeri razionali che distano da x0 meno di ǫ), possa essere equipotente all’insieme degli interi, che è invece discreto. Tra gli interi è infatti possibile parlare di numero successivo cosa che non è possibile tra i razionali (dovuto appunto al fatto che Q è denso). Infatti fissato un numero razionale x non è possibile individuare il numero y che segue x in grandezza. Tuttavia, come osservò Cantor, è possibile ordinare i razionali secondo una successione r0 , r1 , r2 , . . . (non legata alla grandezza dei numeri). Cominciamo con l’ordinare i numeri razionali asoluti Qa , non negativi secondo una successione r0 , r1 , r2 , . . . che permette quindi di definire una biiezione tra N e l’insieme Qa dei numeri razionali assoluti: f: N n −→ Qa −→ rn Questa è la costruzione suggerita da Cantor: i numeri razionali assoluti possono essere disposti in una matrice in modo tale che ab sia posizionato nella colonna a e riga b (ricordiamo che a e b sono numeri naturali). E’ chiaro che tale disposizione è unicamente determinata. Otteniamo quinti la tabella | −− 1| 1 −− 1 2 −− 2 3 −− 3 4 −− 4 5 −− 5 6 −− 6 −− ... 2| 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 ... 3| 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 ... 4| 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 4 ... 5| 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5 ... ... ... Notiamo che su ogni diagonale da sinistra a destra in salita la somma a + b è costante. Seguiamo quindi un percorso del tipo 11 12 2. POTENZA DEL NUMERABILE 0 2 1 3 4 5 6 7 8 1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2 7/2 8/2 1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3 7/3 8/3 1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 6/4 7/4 8/4 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5 7/5 8/5 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6 7/6 8/6 1/7 2/7 3/7 4/7 5/7 7/7 7/7 8/7 Partiamo quindi da 0, poi 1 e 2, quindi in diagonale verso 21 e in giù verso 13 . Di nuovo in diagonale verso 22 e 3. Ora in orizzontale verso 4, quindi di nuovo in diagonale verso 23 , 23 e 14 . Procedendo nella stessa maniera otteniamo la successione: 0, 1, 1 , 2 2, 1 2 , , 3, 3 2 4, 3 2 1 , , , 2 3 4 ... Tale successione contiene tutti i numeri nell’ordine in cui vengono incontrati lungo la spezzata (in sostanza i numeri sono ordinati secondo la somma a + b e se a + b = c + d, allora ab precede dc a seconda del confronto tra a e c). In questa successione cancelliamo poi tutti i numeri razionali ripetuti, mantenendo solo quelli ridotti ai minimi termini (per esempio cacelliamo 22 , 33 , . . . mantenendo solo 1). Abbiamo cosı̀ ottenuto la successione 1 1 3 2 1 , r4 = , r5 = 3, r6 = 4, r7 = , r8 = , r9 = , . . . 2 3 2 3 4 r0 = 0, r1 = 1, r2 = 2, r3 = La funzione biiettiva f: N n −→ Qa −→ rn dimostra che N e Qa sono equipotenti. A questo punto basta considerare la funzione f: −→ Q ( rn −→ −r−n Z n se n ≥ 0 se n < 0 ottenendo che anche Z e Q sono equipotenti. Quindi N, Z e Q sono tutti equipotenti e perciò numerabili. La loro cardinalità è appunto detta potenza del numerabile e indicata con ℵ0 . Ripercorriamo l’ordinamento scelto su Qa . Abbiamo in sostanza definito gli insiemi o na a | a + b = n, e è ridotta ai minimi termini n ∈ N∗ An = b b Quindi A1 = {0} , A2 = {1} , A3 = 1 1 1 2 3 , 2 , A4 = , 3 , A5 = , , , 4 ,... 2 3 4 3 2 Abbiamo quindi stabilito che se m < n, allora ogni elemento di Am precede ogni elemento di An . Inoltre se a c b e d appartengono ad An , cioè a + b = c + d = n, allora • Se n è dispari e a < c, allora dc precede ab , • Se n è pari e a < c, allora ab precede dc . Notiamo che l’avere scelto la distinzione tra n pari e n dispari è solo giustificato dalla comodità grafica, ma in maniera del tutto analoga si poteva scegliere un ordinamento costante all’interno di ogni insieme An . Questo ci permette di generalizzare il risultato al seguente Teorema: L’insieme U ottenuto dall’unione di un’infinità numerabile di insiemi numerabili U0 , U1 , . . . , Un , . . . è ancora un insieme numerabile. 2. POTENZA DEL NUMERABILE 13 Infatti gli elementi di ogni insieme Ui (numerabile) può essere ordinato e messo in corrispondenza con n. Quindi possiamo indicare gli elementi degli elementi Ui nel seguente modo U0 = {a0,0 , a0,1 , a0,2 , a0,3 , . . . , a0,n , . . . } U1 = {a1,0 , a1,1 , a1,1 , a1,3 , . . . , a1,n , . . . } U2 = {a2,0 , a2,1 , a2,1 , a2,3 , . . . , a2,n , . . . } ... Ui = {ai,0 , ai,1 , ai,1 , ai,3 , . . . , ai,n , . . . } ... Analogamente a prima possiamo quindi definire gli insiemi An = {ai,j | i + j = n } n∈N e definire l’ordinamento per cui se m < n, allora ogni elemento di Am precede ogni elemento di An , e se ai,j e ah,k appartengono ad An e i < h, allora ai,j precede ah,k . Questo ordinamento permette di definire una biiezione tra N e U e dimostra che U è numerabile. Notiamo che non otterremmo una numerazione contando prima tutti gli elementi di U0 , poi quelli di U1 e cosı̀ via, in quanto in realtà non arriveremmo mai a contare gli elementi di U1 . Quanto visto fino ad ora può portare all’idea che l’infinito sia uno solo, cioè che l’infinito sia l’assoluto. In realtà non è cosı̀.