QUALCHE PASSO VERSO
L’INFINITO
... e il naufragar m’è dolce in questo mare.
FISICA/COSMOLOGIA
A lungo le teorie scientifiche si sono confrontate sul tema (e la discussione è ancora
aperta…) se l’universo sia finito o infinito. In base alla teoria della relatività generale
si ritiene che l’universo sia finito ma illimitato (si fa il paragone con la superficie di
una sfera: pur essendo finita puoi camminarci sopra in eterno senza raggiungere mai
il confine) e in espansione (le galassie si allontanano tra loro). Questa è attualmente
la convinzione più diffusa nella comunità scientifica.
Ha avuto origine dal big-bang (10-20 miliardi di anni fa). L’evoluzione futura
dipenderà dalla densità della materia presente nell’universo stesso (pare che gran
parte della materia sia oscura, quindi non visibile otticamente); le alternative sono
fondamentalmente due: espansione indefinita o contrazione con ritorno allo stato
primordiale.
TEORIA DEGLI INSIEMI
Per confrontare tra loro due insiemi finiti si stabilisce un corrispondenza biunivoca
(ossia del tipo 1 a 1) per vedere se hanno lo stesso numero di elementi (insiemi
equipotenti).
Anche gli insiemi infiniti possono essere confrontati con lo stesso criterio ottenendo
delle classi di infiniti aventi la stessa numerosità (cardinalità). Esempi:
l’ insieme dei numeri pari è equipotente all’insieme dei numeri dispari
l’insieme N (numeri naturali) è equipotente all’insieme Z (numeri interi relativi)
l’insieme N è equipotente all’insieme dei quadrati di N
Dal terzo esempio sopra riportato si nota che due insiemi sono equipotenti pur
essendo uno sottoinsieme dell’altro! Questa è una proprietà caratteristica degli
insiemi infiniti e viene presa proprio come definizione di insieme infinito (altro
esempio: la corrispondenza tra i punti di una retta/semiretta e di un segmento come
illustrato qui):
Si dicono numerabili gli insiemi infiniti che possono essere messi in corrispondenza
biunivoca con N (ad es. l’insieme Z).
Gli insiemi N e Z sono insiemi discreti. L’insieme Q (numeri razionali, ossia le
frazioni) è invece denso (ma non continuo): dati due elementi distinti a<b è sempre
possibile trovare un altro elemento c compreso tra loro: a<c<b.
Tuttavia anche l’insieme delle frazioni Q è numerabile! A prima vista sembra molto
strano che l’insieme Q, che è denso, possa essere sullo stesso piano dei numeri
interi. In verità, non si possono disporre in ordine di grandezza i numeri razionali
positivi (come per i numeri interi) dicendo che a è il primo numero razionale, b il
seguente in grandezza e così via, perché tra due qualsiasi numeri razionali assegnati
ce ne sono infiniti e perciò non esiste un numero razionale “seguente” in grandezza.
Ma trascurando la relazione di grandezza tra elementi successivi, è possibile
ordinare tutti i numeri razionali in una sola successione, analoga alla successione
dei numeri interi: essi possono venire, infatti, ordinati secondo il seguente schema
(limitandosi alle frazioni positive):
Percorrendo la spezzata disegnata otteniamo la successione 1; 2; 1/2; 1/3; 2/2; 3; 4;
3/2; 2/3; 1/4; 1/5; 2/4; 3/3; 4/2; 5; .... In questa successione cancelliamo ora tutti i
numeri a/b dove a e b hanno un fattore comune, in modo che ogni numero
razionale vi figuri una sola volta nella sua forma più semplice. Si ottiene così una
successione 1; 2; 1/2; 1/3; 3; 4; 3/2; 2/3; 1/4; 1/5; 5; ...che contiene ogni numero
razionale positivo una e una sola volta, dimostrando la numerabilità dell’insieme Q.
Ma gli infiniti non sono tutti eguali tra loro: i punti di una retta sono continui, hanno
una cardinalità maggiore dell’insieme N (cardinalità del continuo). Essi
rappresentano i numeri reali R che nascono dall’unione dei numeri razionali Q con
gli irrazionali1 (l’insieme degli irrazionali non è numerabile: se fosse numerabile
dall’unione con l’insieme Q - che è numerabile, come già detto - risulterebbe un
insieme a sua volta numerabile). Ogni numero irrazionale può essere interpretato
come misura di una grandezza geometrica (es. √2 può essere la diagonale di un
quadrato di lato 1; 𝜋 può essere la lunghezza di una circonferenza di diametro 1;
etc): è quindi lecito associare ad ogni numero irrazionale un punto della retta
(fissata l’origine e l’unità di misura, ovviamente). In altre parole c’ è una
corrispondenza biunivoca tra i punti di una retta e i numeri reali: entrambi sono
insiemi continui.
ANALISI MATEMATICA
Il concetto di infinito diviene familiare in analisi matematica con lo studio dei limiti.
Esempi di limiti di alcune semplici funzioni tendenti a
per x xo : significa che, pensato un numero positivo M grande a piacere,
esiste un intorno del punto x0 in cui la funzione assume valori maggiori del
numero M (o minori di –M se il limite è negativo).
1
Sono numeri irrazionali le radici quadrate, cubiche, etc (che non diano come risultato un numero intero), i
logaritmi e altri numeri, tipo π. Si tratta di numeri decimali illimitati non periodici: quindi possono essere
scritti in forma decimale solo per approssimazione per eccesso o per difetto. Si dimostra facilmente che un
numero irrazionale non può essere ridotto a frazione (es. √2 non è razionale, ossia √2 ≠ a/b. Se lo fosse ne
seguirebbe che: 2=a2/b2 che è assurdo perché a e b sono primi tra loro, ossia la frazione non è
semplificabile).
- la funzione goniometrica y = tanx quando x si avvicina al valore π /2 tende
all’infinito (ricordo che in questo caso x rappresenta un angolo misurato in
radianti!). Per la precisione bisognerebbe distinguere un limite da sinistra (cioè
valori x minori di π/2) dove la funzione tende a + e un limite da destra (cioè
valori x maggiori di π/2) dove la funzione tende a -
(La retta x= π/2 è un asintoto verticale. Ricordo
inoltre che la tangente è una funzione periodica con periodo π)
- la funzione razionale fratta 𝑦 =
𝑥
𝑥−3
quando x si avvicina al valore 3. Infatti il
numeratore tende al valore (finito) 3 mentre il denominatore diventa sempre più
piccolo (tende al valore 0): allora il rapporto tende a diventare infinitamente grande
(ovviamente il valore x=3 è escluso perché non ha senso un denominatore uguale a
0!). Anche qui bisognerebbe distinguere tra un limite sinistro e un limite destro
perché il denominatore, pur essendo infinitesimo, porta un segno ± .
(La retta x= 3 è un asintoto verticale)
per x : significa che, pensato un numero M grande a piacere, esiste
un valore x oltre il quale (verso destra se x>0 o verso sinistra se x< 0) la
funzione assume valori maggiori di M (o minori di –M).
- la funzione quadratica (razionale intera) y= x2 tende a diventare infinita quando i
valori di x diventano infinitamente grandi (sia per valori positivi che negativi di x).
- la funzione esponenziale y= 2x tende a +quando x tende a sua volta a +
