Esercizi 1 - Dr. Alessio Brancolini

Alcuni esercizi: foglio 1
Alessio Brancolini
L’insieme Y X è per definizione l’insieme delle applicazioni da X a Y :
Y X := {f : X → Y }.
Ad esempio R3 è l’insieme delle applicazioni da un insieme di tre elementi in
R, perché se il nostro insieme di tre elementi è {1, 2, 3} e f è una applicazione
da questo insieme in R avremo che f (1) sarà la prima coordinata, f (2) la
seconda, etc . . .
Invece 2X (il “2” sta per un insieme di due elementi) viene usato per
indicare l’insieme delle parti di X. Questo perché se il nostro insieme di due
elementi lo rappresentiamo come {0, 1} abbiamo la seguente applicazione
biunivoca tra P(X) e 2X :
A 7→ fA
dove fA è l’applicazione X → 0, 1 tale che f (x) = 1 se x ∈ A e f (x) = 0 se
x∈
/ A.
Con questa notazione le successioni reali non sono altro che l’insieme RN ,
cioè le applicazioni da N in R.
Esercizio 1. Dimostrare che #(2A )B = #2(A×B) .
Dimostrazione. Consideriamo l’applicazione T da 2(A×B) in (2A )B che associa
a una funzione f : A × B → {0, 1} la funzione T (f ) : B → 2A cosı̀ definita:
T (f )(b) è la funzione che a a associa f (a, b). In simboli:
T (f )(b)(a) := f (a, b).
Verifichiamo l’iniettività. Prendiamo due funzioni distinte f1 , f2 : A × B →
{0, 1} tali che T (f1 ) = T (f2 ). T (f1 ), T (f2 ) sono funzioni B → 2A che sono
uguali, cioè T (f1 )(b) = T (f2 )(b) per ogni b ∈ B. T (f1 )(b), T (f2 )(b) sono a loro
volta funzioni A → {0, 1} che sono uguali, cioè T (f1 )(b)(a) = T (f2 )(b)(a).
Quest’ultima cosa implica f1 (a, b) = f2 (a, b), cioè f1 = f2 . Verifichiamo la
surgettività. Data una funzione g : B → 2A la funzione f : A × B → {0, 1}
definita da
f (a, b) = g(b)(a)
soddisfa T (f ) = g.
1
Esercizio 2. Trovare la cardinalità delle successioni reali convergenti.
Dimostrazione. La cardinalità di tutte le successioni è quella di #RN =
2
#(2N )N = #2N = #2N = #R. D’altra parte la cardinalità delle successioni convergenti è almeno R come segue considerando l’applicazione iniettiva f : R → {successioni convergenti} che a un numero reale l associa la
successione costante i cui termini sono tutti uguali a l. Abbiamo quindi che:
#R ≤ #{successioni convergenti} ≤ #RN = #R.
Esercizio 3. Trovare la cardinalità dei sottoinsiemi numerabili di R.
Dimostrazione. La funzione iniettiva R → {sottoinisiemi numerabili di R}
data da
l 7→ l + N
ci dice che #R ≤ #{sottoinisiemi numerabili di R}. D’altra parte i sottoinisiemi numerabili di R sono meno delle successioni che già sappiano hanno
cardinalità pari a quella di R.
Esercizio 4. Trovare la cardinalità dei numeri algebrici.
Ricordiamo che un numero reale x si dice algebrico se esiste un polinomio
p a coefficienti interi tale che p(x) = 0. In altre parole, un reale x è algebrico
se è soluzione di un’equazione del tipo:
an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 = 0
per un opportuno n ∈ N e opportuni a0 , a1 , . . . , an ∈ Z. Tutti i razionali
sono algebrici:
a coefficienti interi
√ infatti p/q risolve l’equazione polinomiale
2
qx + p = 0. 2 è algebrico perché è soluzione di x − 2 = 0.
Per risolvere l’esercizio è necessario un teorema molto importante noto
come Teorema fondamentale dell’Algebra. Ricordiamo che se p(z) = an z n +
an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0 con an 6= 0 allora il grado di p è per definizione n.
Teorema 5. Ogni polinomio di grado almeno uno a coefficienti in C ha almeno una radice in C, cioè dato p ∈ C[z] esiste almeno un numero complesso
z0 ∈ C tale che p(z0 ) = 0.
Combinando questo risultato con il fatto che se un polinomio p si annulla
per z = z0 allora si può scrivere nella forma (z −z0 )q(z) dove q è un polinomio
di grado n − 1, possiamo affermare che per ogni polinomio di grado n a
coefficienti in C esistono al più n numeri complessi z1 , . . . , zn tali che p(zi ) =
0, cioè un polinomio a coefficienti in C ha al più n radici.
2
Dimostrazione. Consideriamo i polinomi a coefficienti interi di grado minore
o uguale a un n prefissato. Questi sono tanti quanti gli elementi di Zn+1 .
Questo si vede semplicemente in questo modo:
an z n + . . . + a0 7→ (an , . . . , a0 )
Siccome Z è numerabile, anche Zn+1 lo è. Pertanto i polinomi a coefficienti
interi di gradi minore o uguale a un n prefissato sono un insieme numerabile.
Ne segue che i polinomi a coefficienti interi sono un insieme numerabile perché
Z[x] := {polinomi a coefficienti interi} =
[
=
{polinomi a coefficienti interi di grado minore o uguale a n}
n∈N
e l’unione numerabile di insiemi numerabili è numerabile. Possiamo quindi
dire che i reali algebrici sono un insieme numerabile in quanto:
[
{reali algebrici} =
{radici reali di p}
p∈Z[x]
ricordando che, in base al Teorema fondamentale dell’Algebra, le radici di un
polinomio sono un insieme finito e a maggior ragione lo sono le radici reali e
l’unione numerabile di insiemi finiti è numerabile.
3