SigmaAlgebre

SIGMA ALGEBRE
RICHIAMI DI TEORIA
Def.: Algebra
Sia Ω uno spazio arbitrario non vuoto.
Una famiglia (classe) F di sottoinsiemei di Ω è detta algebra se e solo se:
1) Ω ∈ F (la famiglia contiene lo spazio)
2) A ∈ F ⇒ Ac ∈ F (la famiglia è chiusa per complementazione)
3) A, B ∈ F ⇒ A ∪ B ∈ F (la famiglia è chiusa rispetto all’unione finita)
Osservazioni:
• detta 3’) A, B ∈ F ⇒ A ∩ B ∈ F (la famiglia è chiusa rispetto all’intersezione finita),
applicando le leggi di De Morgan si deduce che 3) ⇔ 3’)
• 1) + 2) ⇒ ∅ ∈ F
• 2) + 3) ⇒ 1)
Def.: σ -algebra
Una famiglia F di sottoinsiemi di Ω è una σ-algebra se e solo se:
1) + 2) + 3) (è un’algebra)
4) A1 , A2 , K ∈ F ⇒ A1 ∪ A2 ∪ L∈ F (chiusa per unione numerabile)
Osservazioni:
• detta 4’) A1 , A2 , K ∈ F ⇒ A1 ∩ A2 ∩ L∈ F (la famiglia è chiusa rispetto
all’intersezione numerabile), applicando le leggi di De Morgan generalizzate si
deduce che 4) ⇔ 4’)
• 4) + 1) + 2) ⇒ 3)
• è facile verificare che A, B ∈ F ⇒ A − B = A ∩ B c ∈ F
• la più piccola σ-algebra su Ω è {∅, Ω}
• la più grande è l’insieme delle parti 2Ω = P (Ω )
• un insieme di una σ-algebra F viene detto F misurabile (o, in inglese, F set)
Def.: σ -algebre generata da una famiglia
Chiamiamo σ-algebra generata da una famiglia A e scriviamo σ ( A ) l’intersezione di
tutte le σ-algebre contenenti A
1) A ⊂ σ ( A )
2) σ ( A ) è una σ-algebra
3) se G ⊃ A e G è una σ-algebra allora G ⊃ σ ( A )
-1-
Esempi:
1) Sia I = ( a, b] un intervallo di Ω = ( 0,1] e sia A = U Ik l’unione finita di intervalli
n
k =1
disgiunti. Sia B0 = { A, ∅} la famiglia di tutti gli insiemi A appena definiti con
l’aggiunta dell’insieme vuoto. Questa famiglia è un’algebra ma non una σ-algebra.
Infatti non contiene i singoletti { x} anche se questi sono l’unione numerabile di
∞
1 

insiemi di B0 : { x} = I  x − , x  ∉ B0 .
n 
n =1 
2) La famiglia F degli insiemi finiti e cofiniti (ovvero a complemento finito) è
un’algebra. Se Ω è finito allora F è naturalmente una σ-algebra. Viceversa se Ω
è infinito F non è una σ-algebra. Infatti osserviamo che {ω } ∈ F e consideriamo
l’insieme A = {ω 2k } contenente gli elementi di indice pari di una qualsiasi
successione numerabile di punti di Ω . Ovviamente sia A che Ac non
appartengono alla famiglia (in quanto entrambi sono infiniti) ma entrambi sono
l’unione numerabile di singoletti.
3) La famiglia F degli insiemi numerabili o conumerabili (ovvero a complemento
numerabile) è una σ-algebra. Se Ω è non numerabile allora contiene un A tale che
sia A che Ac sono non numerabili. Allora tale insieme non appartiene alla famiglia
e ciò mostra che una σ-algebra può non contenere tutti i sottinsiemi di Ω . Di più,
questo insieme è l’unione non numerabile di singoletti che sono contenuti in F e
ciò mostra che una σ-algebra può non essere chiusa rispetto all’unione arbitraria.
4) Sia I la famiglia degli intervalli di ( 0,1] . La σ-algebra B=
= σ ( I ) generata dalla
famiglia è detta σ-algebra di Borel (e i suoi elementi borelliani)
Def.: misura
Una misura è una funzione a valori reali definita su una famiglia di sottoinsiemi di Ω
Def.: misura di probabilità
Una misura P su un’algebra F è detta misura di probabilità se:
1) 0 ≤ P ≤ 1 ∀A ∈ F
2) P ( ∅ ) = 0 , P ( Ω ) = 1
∞
3) se Ai ∈ F : Ai ∩ Aj = ∅ ∀i ≠ j , U Ai ∈ F (sempre vero se F è una σ -algebra)
i =1


allora P  U Ai  = ∑ P ( Ai ) (numerabile additività)
 i =1  i =1
∞
∞
Def.: spazio di probabilità
Se F è una σ -algebra su Ω e P una misura di probabilità su F allora la terna
( Ω, F , P ) è detta spazio di probabilità
Def.: supporto
il supporto di P è una qualunque A∈ F per cui P ( A) = 1
-2-
Def.: spazi di probabilità discreti
Sia F la σ-algebra di tutti i sottoinsiemi di uno spazio numerabile Ω e sia p (ω ) una
funzione non negativa di Ω .
Supponiamo che ∑ p ( ω ) = 1 e definiamo P ( A) = ∑ p (ω ) = 1 in cui, essendo
ω∈Ω
ω∈ A
p (ω ) ≥ 0 ∀ω ∈ Ω , l’ordine degli ω è irrilevante (th. di Dirichelet).
∞
Supponiamo che A = U Ai con gli Ai disgiunti e siano Ai = {ω i1, ω i 2 , K} allora
i =1


P ( A) = P  U Ai  = P {ω ij } = ∑ p (ω ij ) = ∑∑ p (ω ij ) = ∑ P ( Ai ) da cui ricaviamo
ij
i
j
i
 i =1 
che P è numerabilmente additiva.
La terna ( Ω, F , P ) è uno spazio di probabilità discreta.
∞
(
)
Th.: Sia P una misura di probabilità su un’algebra F allora:
1) An ↑ A ⇒ P ( An ) ↑ P ( A) (continuità dal basso)
2) An ↓ A ⇒ P ( An ) ↓ P ( A) (continuità dall’alto)
∞
 ∞
3) P  U Ak  ≤ ∑ P ( Ak ) (subadditività numerabile)
 k =1  k =1
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ESERCIZI
Riferimenti bibliografici:
BILL: Patrick Billingsley - Probability and measure third edition - Wiley Interscience
Esercizio 1 (BILL 2.3)
a) Supponiamo che Ω ∈ F e che A, B ∈ F ⇒ A − B = A ∩ B c ∈ F . Mostrare che F è
un’algebra
b) Supponiamo che Ω ∈ F e che F sia chiusa rispetto alla complementazione e
all’unione finita di insieme disgiunti. Mostrare che sotto queste ipotesi F non è
necessariamente un’algebra.
Esercizio 2 (BILL 2.8)
Supponiamo che per ogni insieme A∈ A Ac sia unione numerabile di elementi di A
Mostrare che σ ( A ) coincide con la più piccola famiglia su A che è chiusa rispetto
all’unione numerabile e all’intersezione numerabile.
Esercizio 3 (BILL 2.10)
a) mostrare che se σ ( A ) contiene ogni sottoinsieme di Ω allora per ogni coppia ω e
ω ' di punti distinti di Ω esiste un A ∈ A : I A (ω ) ≠ I A (ω ')
b) mostrare che l’implicazione inversa vale se Ω è numerabile
c) mostrare con un esempio che l’implicazione inversa non vale necessariamente se Ω
è non numerabile
Esercizio 4 (BILL 2.15)
Consideriamo l’algebra B0 delle unioni disgiunte di intervalli di Ω .
1 1

Sia Iε =  , + ε  . Definiamo P( A) = 1 se esiste un intero positivo ε = ε ( A)
2 2

dipendente da A tale per cui A ⊂ Iε e P( A) = 0 se l’intero positivo non esiste.
Mostrare che P gode dell’additività finita ma non numerabile.
-4-
SOLUZIONI
Esercizio 1
a) Dobbiamo mostrare che valgono le tre proprietà caratterizzanti le algebre:
Per ipotesi Ω ∈ F e quindi la prima proprietà sussiste.
Se A ∈ F ⇒ Ω − A = Ac ∈ F ed anche la seconda proprietà è verificata.
Osserviamo che per le leggi di De Morgan A ∪ B = ( Ac ∩ Bc ) = ( Ac − B ) quindi se
c
c
A, B ∈ F ⇒ Ac , B ∈ F ⇒ Ac − B ∈ F ⇒ ( Ac − B ) = A ∪ B ∈ F
c
b) Dimostriamolo con un controesempio. Cerchiamo cioè una famiglia F che contenga
Ω e che sia chiusa rispetto alla complementazione e all’unione finita di insieme
disgiunti. ma che non soddisfi le proprietà caratterizzanti le algebre.
Primo controesempio
Ω = {a, b, c, d} e F = {∅, Ω ,{a ,b} ,{a , c} ,{a , d} ,{b , c} , {b, d} ,{c , d }}
La famiglia è evidentemente del tipo richiesto ma non è un’algebra infatti, ad esempio,
{a, b} ∪ {b, c} ∉ F .
Secondo controesempio
 1
 1 3
Ω = ( 0,1] ; A =  0,  ; B =  ,  e F = ∅, Ω, A, Ac , B , B c .
 2
 4 4
Anche questa famiglia è del tipo richiesto ma A ∪ B ∉ F quindi non è un’algebra.
{
}
Esercizio 2
Chiamiamo A0 la più piccola famiglia su A chiusa rispetto all’unione all’intersezione
numerabile. Poichè anche σ (A ) è chiusa rispetto a unione e intersezione numerabile
concludiamo immediatamente che A0 ⊂ σ (A ) .
Non ci resta che mostrare l’inclusione opposta e per farlo basta verificare che A0 è una
σ-algebra su A e, quindi, contiene σ ( A ) .
Delle tre proprietà caratterizzanti le σ-algebre verifichiamo solo la seconda poichè la
terza vale per costruzione e la prima è banale.
Sia B=
= A : Ac ∈ A0 la classe degli insiemi di A il cui complemento appartiene ad A0 .
{
}
Osserviamo che B è chiusa rispetto a unione e intersezione numerabile.
c
∞
∞
∞ 
Infatti se Ai ∈ B ⇒  U Ai  = I Aic ∈ A0 ⇒ U Ai ∈ B .
 i =1  i =1
i =1
c
∞
∞
∞ 
c
Inoltre se Ai ∈ B ⇒  I Ai  = U Ai ∈ A0 ⇒ I Ai ∈ B .
 i =1  i =1
i =1
∞
Osserviamo che se A ∈ A ⇒ Ac = U Ai ∈ A0 ⇒ A ∈ B da cui ricaviamo che B ⊃ A .
i =1
Ma se B è chiusa rispetto a unione e intersezione numerabile e contiene A allora
contiene anche A0 pertanto se A ∈ A0 ⇒ A ∈ B ⇒ Ac ∈ A0 e questo conclude la
dimostrazione.
-5-
Esercizio 3
a) Per assurdo non esista alcun insieme che separa le coppie di punti distinti ovvero sia
I A (ω ) = I A (ω ') ∀ A ∈ A
Ma
è
facile
verificare
che
la
famiglia
F = { A ∈ A : I A (ω ) = I A (ω ')} è una σ-algebra quindi F ⊃ σ ( A ) il che è in
contrasto con le ipotesi.
b) Fissiamo ω j e facciamo variare ω i in Ω . Allora ∀i ∈ ¥ ∃Aij ∈ A : ω j ∈ Aij , ω i ∉ Aij
quindi tutti i singoletti appartengono alla σ-algebra: {ω j } = I Aij ∈ σ ( A ) ∀j ∈ ¥ e
i∈¥
per l’additività numerabile anche tutti i sottoinsiemi di Ω .
c) Come esempio basta considerare gli intervalli su ( 0,1] . In generale se Ω è non
numerabile deve contenere un sottoinsieme X non numerabile e nonostante σ ( A )
contenga tutti i singoletti, l’additività numerabile non è sufficiente a garantire che
X ∈σ ( A )
Esercizio 4
Osserviamo che se A e B sono disgiunti non possono contenere entrambi Iε .
Quindi P( A ∪ B) = 1 se uno dei due contiene Iε e P( A ∪ B) = 0 altrimenti.
Quindi P( A ∪ B) = P( A) + P( B) è vera.
1 
1 1 1
Ma consideriamo An =  + , +
con n ≥ 3 .
 2 n 2 n − 1
Osserviamo che gli An sono tutti disgiunti e nessuno contiene Iε quindi P ( An ) = 0 .
∞

1 
A
=
,1
⊃
I
1
=
quindi
P
An  ≠
n
U

ε
U


2 
n =3
 n =3 
∞
Invece
-6-
∞
∑P(A ) = 0
n =3
n