COMPITO DI ALGEBRA 18 giugno 1996 1) Sia p un numero primo e

COMPITO DI ALGEBRA
18 giugno 1996
1) Sia p un numero primo e sia n un numero naturale ≥ 1. Calcolare la somma
n
p
X
(i, pn )
i=1
2) Sia G il gruppo delle permutazioni di Z/10Z e siano
A = {σ ∈ G | σ(x) ≡ x (mod 5) ∀x ∈ Z/10Z}
B = {σ ∈ G | σ(x + y) ≡ σ(x) + σ(y) (mod 5) ∀x, y ∈ Z/10Z}
Dimostrare che A e B sono sottogruppi di G e che A ⊆ B. Calcolare inoltre il numero
di elementi di A e B.
3) Sia G un gruppo di ordine p2 q con p, q primi e p < q. Sapendo che il centro di G non
è costituito dalla sola identità, dimostrare che G ha un sottogruppo normale di ordine
pq.
4) Sia A = Z[i] l’anello degli interi di Gauss, e sia J 6= {0} un ideale di A.
(i) Dimostrare che J ∩ Z 6= {0};
(ii) dimostrare che A/J è un anello finito;
(iii) se J = (1 + 3i), dimostrare che A/J ∼
= Z/10Z.
5) Sia f (X) = X 4 + X 2 + 1. Calcolare il grado del campo di spezzamento ed il gruppo
di Galois di f (X) su Q e su F7 .
COMPITO DI ALGEBRA
23 luglio 1996
1. Determinare il numero di soluzioni modulo 25 35 della congruenza
x(x + 6) ≡ 0
(mod 25 35 )
2. Siano G un gruppo e H un suo sottogruppo. Denotiamo con H̄ l’intersezione di tutti
i sottogruppi normali di G contenenti H.
(i) Si dimostri che H̄ è il piú piccolo sottogruppo normale di G contenente H.
(ii) Si dimostri che H̄ coincide con il sottogruppo di G generato dall’insieme
{ghg −1 | g ∈ G, h ∈ H}.
(iii) Determinare H̄ nel caso in cui G = S4 , H = h(123)i.
3. Sia G un gruppo e sia Z il centro di G con ord(G) = n, ord(Z) = a. Sia inoltre k il
numero delle classi di coniugio di G. Dimostrare che
3a −
2a2
n+a
≤k≤
.
n
2
4. Sia A un anello commutativo con identità e siano I, J ideali di A. Dimostrare che:
(i) I + J = A ⇐⇒ I[X] + J[X] = A[X];
(ii) (I · J)[X] = I[X] · J[X];
(iii) ogni ideale primo di A[X] diverso da {0} è massimale se e solo se A è un campo.
5. Determinare il campo di spezzamento e il gruppo di Galois del polinomio f (X) =
X 5 − 1 su Q. Detta α una radice complessa di f (X) diversa da 1, si determinino i
polinomi minimi di α + 2 e di α2 + α3 .
COMPITO DI ALGEBRA
2 ottobre 1996
1. Determinare per quali valori del parametro a il seguente sistema è risolubile:
3x ≡ 1
ax ≡ 1
(mod 10)
(mod 75)
Detrminare inoltre il numero delle soluzioni modulo 750.
2. Siano σ = (1 2 3 4 5) e τ = (6 7 8 9 10) due permutazioni di S10 , e siano H, K rispettivamente i centralizzatori di σ e τ.
(i) Descrivere la struttura di H ∩ K.
(ii) Dimostrare che HK è un sottogruppo di S10 e descriverne la struttura.
3. Un gruppo G si dice metaciclico se possiede un sottogruppo normale H tale che H e
G/H siano ciclici.
(i) Dimostrare che ogni sottogruppo di un gruppo metaciclico è metaciclico.
(ii) Dimostrare che, se G è metaciclico ed N è un sottogruppo normale di G, allora
G/N è metaciclico.
4. Sia S = {f ∈ Q[X] | f non ha radici razionali} e sia A = S −1 Q[X]. Dimostrare che:
(i) A è un anello a ideali principali;
(ii) un ideale M di A è massimale se e solo se A/M ∼
= Q.
p
√
√
5. Determinare il grado su Q e su F5 del numero 2 + 3. (Con a supun campo
√
finito si intende un qualsiasi elemento algebrico α tale che α2 = a). Q( 2 + 3) è
un’estensione normale di Q?
COMPITO DI ALGEBRA
22 ottobre 1996
1. Determinare per quali valori dei numeri naturali α, β la somma dei divisori positivi di
5α 7β è divisibile per 4.
2. Sia X un insieme infinito e sia SX il gruppo delle permutazioni di X. Per ogni σ ∈ SX
definiamo inoltre N (σ) = {x ∈ X | σ(x) 6= x} e
H = {σ ∈ SX | N (σ) è finito}
(i) Dimostrare che H è un sottogruppo normale di SX .
(ii) Dimostrare che tutti gli elementi di H hanno ordine finito.
(iii) Dimostrare che SX /H possiede sia elementi di ordine infinito che elementi di
ordine finito (diverso da 1).
3. Sia G un gruppo di ordine n e sia Cl(G) l’insieme delle classi di coniugio di G. Sia
inoltre k un intero tale che (k, n) = 1.
(i) Dimostrare che Cl(G) = {C k | C ∈ Cl(G)}, dove C k = {xk | x ∈ C}.
(ii) Dimostrare che esiste C ∈ Cl(G) con C = C −1 e C 6= {e} se e solo se n è pari.
4. Sia A = Z × Z.
(i) Determinare gli elementi invertibili di A.
(ii) Dimostrare che tutti gli ideali di A sono principali.
(iii) Determinare tutti gli ideali massimali di A.
√ √ √ √
5. Determinare [Q( 2, 3 2, 4 2, 5 2) : Q]. Determinare inoltre il grado del campo di
spezzamento del polinomio (X 2 − 2)(X 3 − 2)(X 4 − 2)(X 5 − 2) su F3 .
COMPITO DI ALGEBRA
19 febbraio 1997
1. Determinare il numero delle soluzioni dell’equazione σ 4 = (1 2 3) in S7 .
2. Siano H, K, L tre sottogruppi di un gruppo G con K ⊆ L. Dimostrare che
HK ∩ L = (H ∩ L)K.
3. Siano G un gruppo ed H un suo sottogruppo normale tali che G/H ' Z. Dimostrare
che esiste un sottogruppo K di G e un omomorfismo ϕ : K → Aut(H) tali che
G ' H ×ϕ K.
4. Siano A = Q[X]/(X 2 − 1) e B = Q[X]/(X 2 − 2). Determinare tutti gli omomorfismi
di anelli f : A → B e g : B → A e descriverne il nucleo e l’immagine.
5. Sia f (X) ∈ Q[X] un polinomio irriducibile e siano α1 , . . . , αn le sue radici complesse.
Sia g(X) = (X − α12 ) · · · (X − αn2 ). Dimostrare che, se n è dispari, g(X) ∈ Q[X] ed è
irriducibile in Q[X].