COMPITO DI ALGEBRA
31 maggio 1994
1) Sia m un numero naturale. Determinare il numero dei divisori di 102m che nella
scrittura decimale terminano con un numero pari di zeri.
2) Sia S10 il gruppo delle permutazioni su {1, 2, . . . , 10}.
(i) determinare il centralizzatore di σ = (1 2 3 4 5 6 7)(8 9 10);
(ii) dimostrare che S10 possiede dei sottogruppi di ordine 42, ma nessuno di essi è
abeliano.
3) Sia G un gruppo finito di ordine n > 1 e sia p il piú piccolo primo che divide n. Sia H
un sottogruppo normale di G di ordine p. Dimostrare che H è contenuto nel centro di
G.
4) Siano A, B due anelli commutativi con identità finiti e sia f : A → B un omomorfismo
tale che f (1) = 1. Dimostrare che:
(i) f induce un omomorfismo di gruppi f ∗ : A∗ → B ∗ ;
(ii) |ker f ∗ | ≤ |ker f |;
(iii) se A possiede un unico ideale massimale, allora |ker f ∗ | = |ker f |.
5) Sia f (X) = (X 3 + 1)(X 3 − 5). Determinare il grado del campo di spezzamento e il
gruppo di Galois di f (X) su Q e su F7 .
COMPITO DI ALGEBRA
23 giugno 1994
1) Risolvere il seguente sistema di congruenze:
5x ≡ 9
x(x + 2) ≡ 0
(mod 16)
(mod 16)
2) Sia m ≥ 1 un numero intero. Determinare il numero delle classi di coniugio del gruppo
D2m+1 .
3) Sia G un gruppo finito e sia H un sottogruppo normale di G tale che l’ordine di H e
l’indice di H siano primi tra loro. Dimostrare che H è un sottogruppo caratteristico
di G.
4) Sia A un anello a fattorizzazione unica, sia x un elemento irriducibile di A e sia P
l’ideale generato da x. Sia inoltre S = A \ P. Dimostrare che:
(i) S è moltiplicativamente chiuso;
(ii) S −1 P è un ideale massimale di S −1 A;
(iii) S −1 A è un anello a ideali principali.
5) Sia f (X) = (X 4 + 1)(X 2 − m). Determinare il grado del campo di spezzamento e il
gruppo di Galois di f (X) su Q al variare di m tra i numeri interi.
COMPITO DI ALGEBRA
27 settembre 1994
1) Calcolare il valore di
10000
X
n
n=1
(n,10000)=1
2) Sia G un gruppo e siano H, K sottogruppi normali di G con H ∩ K = {e} e tali che
G/H e G/K sono abeliani. Dimostrare che G è abeliano.
3) Determinare il centralizzatore ed il normalizzatore della permutazione (1 2 3 4 5 6 7) in
S7 .
Dimostrare inoltre che A7 non possiede sottogruppi di ordine 14.
4) Sia A un anello commutativo con identità. Un ideale Q 6= A si dice primario se
soddisfa la seguente proprietà:
xy ∈ Q =⇒ x ∈ Q oppure y n ∈ Q per qualche n > 0
Dimostrare che:
(i) Q è primario se e solo se ogni divisore di zero di A/Q è nilpotente;
√
(ii) Q = {a ∈ A | an ∈ Q per qualche n > 0} è un ideale primo di A.
5) Sia f (X) = X 5 − X − 1. Determinare il gruppo di Galois di f (X) su F2 e su F5 .
Fattorizzare inoltre f (X) in Q[X].
COMPITO DI ALGEBRA
26 ottobre 1994
1) Si consideri il sistema di congruenze
2x ≡ a
(mod 12)
(x − 1)(x − a − 1) ≡ 0 (mod 9)
Determinare per quali valori di a il sistema è risolubile e dire quante sono le soluzioni
modulo 108.
2) Siano G un gruppo, H un sottogruppo normale di G e ϕ un automorfismo di G tale
che ϕ(H) = H. Si ponga inoltre
f (gH) = ϕ(g)H
∀g ∈ G
Dimostrare che f è un automorfismo di G/H.
3) Sia G = S3 × Z/3Z.
(i) Dimostrare che G è generato da x, y dove
x = ((12), 1̄),
y = ((13), 1̄)
(ii) Calcolare il numero degli automorfismi di G.
4) Sia A = F2 [X 3 , X 5 ]/(X 10 ).
(i) Calcolare il numero degli elementi di A.
(ii) Calcolare il numero degli elementi di A∗ .
(iii) Gli ideali di A sono tutti principali?
5) Sia α una radice complessa del polinomio X 4 − X − 1. Calcolare il polinomio minimo
su Q di 2α − 1.
COMPITO DI ALGEBRA
7 febbraio 1995
1) Determinare i valori naturali di k per i quali
k
x + x3 + x9 + . . . + x3 ≡ 0
(mod 3)
∀x ∈ Z.
Determinare inoltre i valori naturali di n per i quali
x + x2 + x3 + . . . + xn ≡ 0
(mod 3)
∀x ∈ Z.
2) Sia G il gruppo degli automorfismi di Z/100Z. Consideriamo il sottogruppo di G
H = {ϕ ∈ G | ϕ(10) = 10}
Calcolare l’ordine di H e l’indice di H in G.
H è ciclico?
3) Sia G un gruppo e H un sottogruppo normale di G. Sia
L = {x ∈ G | yxy −1 x−1 ∈ H ∀y ∈ G}
Dimostrare che H ⊆ L e che L è un sottogruppo normale di G.
4) Dimostrare che non esiste un omomorfismo di anelli surgettivo f : Z[X] → Q.
Sia S l’insieme degli interi dispari. Costruire un omomorfismo surgettivo
ϕ : S −1 Z[X] → Q
5) Determinare il campo di spezzamento e il gruppo di Galois del polinomio X 4 −2X 2 +9
su Q e su F7 .
ESERCITAZIONE DI ALGEBRA
15 febbraio 1995
1) Dimostrare che la seguente identità è vera per ogni n ∈ N :
n
X
(i7 + i5 ) = 2
i=0
n
X
!4
i
i=0
2) Determinare il numero delle funzioni
f : {1, 2, . . . , 10} → {1, 2, . . . , 20}
tali che f (x) < x + 2 ∀x ≤ 8. Quante di esse sono iniettive?
3) Risolvere il seguente sistema di congruenze:
4x ≡ 11
x2 ≡ 1
(mod 21)
(mod 45)
4) Risolvere la congruenza
2
2x ≡ 5 · 2x
(mod 9)
5) Determinare il massimo comune divisore fra tutti i numeri della forma n7 −n al variare
di n negli interi.
6) Sia G un gruppo finito di ordine pari. Dimostrare che G possiede un numero dispari
di elementi di ordine 2.
7) Sia G un gruppo e sia f : G → G un omomorfismo tale che f ◦f = f. Posto K = ker f
e I = Im f, dimostrare che
(i) K ∩ I = {e}
(ii) G = KI.
8) Dimostrare che il gruppo Q/Z possiede sottogruppi di ordine n per ogni n ∈ N ma
non possiede nessun sottogruppo proprio di indice finito.
COMPITO DI ALGEBRA
4 aprile 1995
1) Risolvere la congruenza
2
2x ≡ 2x (mod 27)
2) Sia G un gruppo e sia ϕ un automorfismo di G tale che per ogni x ∈ G si abbia
ϕ(x) = x oppure ϕ(x) = x−1 . Sia inoltre H = {x ∈ G | ϕ(x) = x}. Dimostrare che:
(i) H è un sottogruppo di G;
(ii) se a ∈
/ H, b ∈
/ H, ab ∈
/ H allora ab = ba;
(iii) se ab ∈ H allora ba ∈ H.
3) Sia A un gruppo abeliano di ordine n (n ∈ N). Dimostrare che per ogni divisore d di
n il numero di elementi di Ad = {x ∈ A | xd = e} è un multiplo di d.
4) Sia p un numero primo e si consideri l’anello
A = {(a1 , a2 , a3 , . . .) | ak ∈ Z/pk Z ak+1 ≡ ak (mod pk ) ∀k ≥ 1}
(le operazioni si effettuano componente per componente). Dimostrare che:
(i) la caratteristica di A è uguale a zero;
(ii) P = {(a1 , a2 , a3 , . . .) ∈ A | a1 = 0} è un ideale primo di A;
(iii) P è massimale?
5) Sia f (X) = X 3 − X − 3.
(i) Sia α una radice complessa di f. Determinare se i numeri α − 1, α2 , 1 + α1 sono
linearmente dipendenti o indipendenti su Q.
(ii) Sia β una radice di f in un’estensione di F7 . Determinare se i numeri β−1, β 2 , 1+
1
β sono linearmente dipendenti o indipendenti su F7 .
