Massimo Comun Divisore
Scritto da Maria Rispoli
Domenica 09 Gennaio 2011 19:15 - Ultimo aggiornamento Martedì 01 Marzo 2011 10:43
Il Massimo Comun Divisore (M.C.D.) di 2 o più numeri è il più grande numero che sia
contemporaneamente divisore di tutti i numeri dati.
Ci sono diverse procedure che ci permettono di calcolare questo valore.
Metodo di Euclide delle sottrazioni successive per il calcolo del M.C.D.
L’algoritmo euclideo per calcolare il Massimo Comun Divisore tra due o più numeri viene
esposto da Euclide nelle prime tre proposizioni del Libro VII dei suoi Elementi.
Prima di Euclide, non vi è alcun riferimento esplicito a questo metodo, noto appunto come
algoritmo euclideo, anche se alcune tracce si trovano in alcune opere precedenti gli Elementi.
Ad esempio, Aristarco di Samo (circa III sec. a. C.), nell’opera Sulle dimensioni e le distanze del
Sole e della Luna
, sostituisce il
rapporto:
con l’altro 43/37, e usa il rapporto 88/45 al posto del rapporto 7.921/4.050.
In un’epoca posteriore a quella di Euclide, Archimede di Siracusa nell’opera Misura del cerchio,
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rimpiazza la somma:
con il numero:
.
E’ chiaro che queste tre approssimazioni furono attenute usando l’algoritmo euclideo.
Nella prima proposizione del Libro VII, viene trattato il caso in cui i numeri siano primi tra loro,
aventi cioè come massimo comun divisore l’unità; nella seconda proposizione si considera il
caso di due numeri che non sono primi tra loro, e nella terza quello di tre numeri, pure loro non
primi tra loro [1] .
Consideriamo la determinazione del Massimo Comun Divisore tra due numeri.
La Proposizione II del Libro VII degli Elementi di Euclide, dice:
“Dati due numeri che non siano primi fra loro, trovare il loro massimo comun divisore”
Essa dà un metodo, espresso in un linguaggio geometrico, per la ricerca del M.C.D che è
conosciuto come metodo di Euclide delle sottrazioni successive.
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Si procede così:
“Considerati due numeri a e b, sostituiamo il maggiore tra essi con la loro differenza,
procediamo fino a quando uno dei nuovi numeri della coppia è nullo, si osserva che il Massimo
Comun Divisore è il primo numero, ottenuto mediante tali differenze e che sia diverso da zero”.
Per il massimo comun divisore tra due numeri può essere definita una procedura ricorsiva che
viene dedotta dal metodo di Euclide delle sottrazioni successive, essa è espressa dalle
seguenti formule:
f(x,x) = x
f(x,y) = f(x - y, y) se x > y
f(x,y) = f(x, y – x) se y > x
Metodo di Euclide delle divisioni successive per il calcolo del M.C.D.
Una seconda procedura per il calcolo del M.C.D. è data dall’algoritmo d’Euclide delle divisioni
successive
che afferma:
“Il massimo comun divisore di due numeri è uguale al massimo comun divisore tra il minore di
essi e il resto della loro divisione”.
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Consideriamo due numeri a e b, sostituiamo il maggiore di essi con il resto della divisione tra
quest’ultimo con il minore, il procedimento termina quando i due numeri coincidono e il valore
comune sarà proprio il Massimo Comun Divisore cercato.
La forma delle divisioni successive dell’algoritmo euclideo è più efficace della forma delle
sottrazioni successive, perché è necessario un numero minore di passi per determinarlo.
A questo proposito, il matematico francese Gabriel Lamé dimostrò che:
“Il numero di divisioni necessarie per determinare il massimo comun divisore di due numeri è al
più cinque volte il numero delle cifre del numero più piccolo”.
Una procedura ricorsiva, per le divisioni, risulta invece la seguente:
f(x,0) = x
f(x,y) = f(y, xMody).
Algoritmi per il calcolo del M.C.D.
L’algoritmo euclideo procede, quindi mediante sottrazioni successive e per un ragazzo sottrarre
un numero da un altro riesce più facile che dividere il primo per il secondo.
Didatticamente, anche se a volte può risultare più lungo, esso è agevole, ma al metodo delle
sottrazioni successive i libri scolastici adottano un altro procedimento per calcolare il massimo
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comun divisore tra due numeri, basato sul concetto di fattorizzazione di un numero composto.
Per trovare il M.C.D. possiamo calcolare i divisori di tutti i numeri dati, verificare quali sono i
divisori comuni e il più grande di questi è il Massimo Comun Divisore.
Per calcolare il M.C.D. tra due o più numeri, si scompongono questi in fattori primi e si fa il
prodotto di tutti i fattori comuni a tutte le scomposizioni, ciascuno preso una volta sola con il
minimo esponente con cui figura in esse.
Trattandosi di prendere soltanto i fattori comuni, riesce più conveniente scomporre
simultaneamente i numeri, dividendoli successivamente per i soli divisori comuni che essi
hanno.
Questo è il metodo della scomposizione simultanea.
Si dispongono i numeri su uno stesso rigo, uno di seguito all’altro e si separano con una
verticale. Si divide ciascuno di essi per il più piccolo divisore comune e i quozienti si scrivono in
un secondo rigo. Si dividono questi quozienti ancora per il loro più piccolo divisore comune e i
quozienti si scrivono in un terzo rigo e così si continua finché non si trova che tutti i quozienti
non hanno più alcun divisore comune.
Il prodotto di tutti i divisori comuni adoperati è il massimo comun divisore dei numeri dati.
Se nelle scomposizione non compaiono fattori primi comuni, il M.C.D. fra i numeri dati è 1, per
definizione.
Rappresentazione grafica del M.C.D.
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Una rappresentazione grafica ci farà capire meglio il significato di massimo comune divisore fra
due numeri.
Supponiamo di voler rappresentare graficamente il massimo comun divisore fra 10 e 15.
Essendo 10 = 2 * 5 e 15 = 3 * 5, il massimo comun divisore tra i due numeri è 5.
Servendoci delle notazioni sugli insiemi, abbiamo:
10 = {2, 5} 15 = {3, 5}
Vediamo così che i due insiemi hanno l’elemento 5 in comune, che è il massimo comun
divisore fra i due numeri.
Ora se immaginiamo di racchiudere in una linea chiusa gli elementi 2 e 5 del primo insieme di
fattori e in un’altra linea chiusa gli elementi 3 e 5 dell’altro insieme, vediamo che l’elemento 5,
cioè il massimo comun divisore dei due numeri, rappresenta la parte comune racchiusa fra le
due linee.
Vediamo che il massimo comun divisore dei due numeri è associato all’intersezione degli
insiemi dei fattori primi dei numeri dati.
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Osserviamo che:
“se due numeri sono uno multiplo dell’altro, il loro massimo comune divisore è il minore di essi”.
[1] P. Nastasi, A. Scimone, Da Euclide a Goldbach Storie di Uomini e Numeri, Sigma.
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