generale 1°appello 03 04 - Matematica e Informatica

Esame di Complementi di Aritmetica, Algebra e Geometria.
Il minimo si raggiunge risolvendo correttamente 8 esercizi di cui almeno 2 per
ogni sezione. Svolgere ogni sezione su un foglio protocollo diverso ed apporre il
proprio nome e cognome in ogni foglio protocollo.
Complementi di Aritmetica (Prof. A. Briguglia)
1.
 Qual è la probabilità che, lanciando 8 monete, si verifichi l’evento E1: 5 teste e 3
croci? Se so che i primi tre lanci hanno dato come risultato l’evento E2: 2 teste e 1
croce qual è la probabilità condizionata P(E2|E1)?
2.
 Sapendo che x=2 è uno zero del polinomio P( x)  x 3  2 x 2  5x  6 scomporre il
polinomio in fattori di primo grado.
3.
 Dati i punti A(-1,2) e B(1,1) trovare un punto C, sul prolungamento di AB e dalla
parte di B, in modo che AC=2AB. Qual è l’equazione della retta cui appartengono A
e B? D(4, -1) appartiene a tale retta?
4.
 Fare esempi di problemi e situazioni per le quali y=cx2 può essere considerato un
modello matematico.
5.
 Se consideriamo le misure a e b dei lati di un rettangolo come ascissa e ordinata
di un punto nel piano cartesiano, su quale curva si muove P al variare dei lati del
rettangolo se resta costante l’area? A parità di area in quale caso il perimetro del
rettangolo è minimo?
Complementi di Algebra (Prof. C. Cerroni)
1. Siano A e B i seguenti insiemi:
a) A = {x N | x è un divisore di 60};
b) B = {x N | x è un divisore di 72}.
Dopo aver individuato gli insiemi A  B , A  B , A \ B e B \ A determina a quale
insieme appartiene un numero che sia divisore comune di 60 e 72, a quale un numero
che sia divisore solo di 60 ed a quale un numero che sia divisore solo di 72.
2. Si consideri l’ applicazione dall’insieme dei numeri naturali all’insieme dei
numeri naturali (senza lo zero):
 N
f: N
n
 3n  1
Si dica se f è iniettiva e/o suriettiva motivando la risposta.
3. Si verifichi che la relazione definita sull’insieme dei numeri interi Z nel modo
seguente:
a R b se e solo se a – b = 3x, con x  Z
è una relazione di equivalenza e si determini l’insieme quoziente (Sugg: Si
osservi che i numeri che hanno lo stesso resto divisi per 3 appartengono alla
stessa classe di equivalenza).
4. Si determini il Massimo Comun Divisore tra i numeri 65286 e 55440 usando
l’algoritmo di Euclide delle divisioni successive e si determini il minimo
comune multiplo tra i precedenti numeri facendo uso del Massimo Comun
Divisore.
5. Si provi che 1 + 3 + 3 + 3 + ……..+ 3
2
di induzione matematica.
3
n-1
3n  1
=
, facendo uso del principio
2
Complementi di Geometria (Prof. P. Brigaglia)
1. Quante e quali sono le simmetrie di questa figura? (Per ogni rotazione indicare il centro
di rotazione e la misura dell’angolo; per ogni riflessione segnare l’asse).
2. Conoscendo l’area dell’esagono GHILMN, come si può trovare l’area dell’esagono
ABCDEF? Motivare la risposta.
3. Un pentagono equilatero con due angoli retti ha area 30 m2. Calcolare l’area di un
pentagono simile ad esso e con il lato 2/5 del lato del primo.
4. Disegnare un trapezio rettangolo simile a quello in figura con base maggiore lunga 4
cm, spiegando come è stato determinato.
5. Disegnare lo sviluppo di una piramide esagonale regolare che abbia lo spigolo di base
di 3 cm e l’altezza di 6 cm. Motivare i calcoli. (spiegare il procedimento di costruzione
dell’esagono con riga e compasso e, se si vuole, disegnarlo con tale procedimento).