Terzo foglio di esercizi

ALGEBRA E GEOMETRIA 1 PER INFORMATICA
30 FOGLIO DI ESERCIZI
1. Algoritmo euclideo
ESERCIZIO 1.
(1) Trovare il massimo comun divisore di 444 e 100.
(2) Trovare il massimo comun divisore di 220 e 121 e scriverlo come
combinazione lineare a coefficienti interi di 220 e 121.
(3) Dire, motivando la risposta, quali delle seguenti equazioni ammettono soluzioni:
35x + 28y = 14;
324x + 81y = 26;
324x + 81y = 27;
36x + 90y = 54.
2. Sistemi di congruenze
ESERCIZIO 2. Determinare le soluzioni del sistema di congruenze
(
x ≡ 7 mod 9
x ≡ 3 mod 5
ESERCIZIO 3. Determinare le soluzioni del sistema di congruenze
(
x ≡ 4 mod 6
x ≡ 2 mod 5
ESERCIZIO 4. Determinare le soluzioni del sistema di congruenze
(
x ≡ 7 mod 12
x ≡ 4 mod 5
3. Numeri complessi
ESERCIZIO 5. Calcolare le radici terze dei seguenti numeri complessi:
1
1
z1 = i,
z2 = −8,
z3 = 8,
z4 = √ − i √ .
2
2
ESERCIZIO 6. Determinare tutti i numeri complessi che verificano
le seguenti condizioni:
1
2 ALGEBRA E GEOMETRIA 1 PER INFORMATICA 30 FOGLIO DI ESERCIZI
(1) Re(z(1 + i)) + zz = 0;
(2) Im((2 − i)z) = 1.
4. Funzioni polinomiali
ESERCIZIO 7.
(1) Trovare quoziente e resto della divisione di 6x3 + 2x − 1 per
2x2 + x + 1.
(2) Trovare quoziente e resto della divisione di xn − 1 per x − 1.
ESERCIZIO 8. Calcolare il massimo comun divisore tra
(1) x3 + 6x2 + 11x + 6 e x2 − 4.
(2) x4 + 3x2 + 2x + 2 e x2 + x + 1.
(3) 5x5 + 4x4 − 2x − 2 e 5x4 − 1.
ESERCIZIO 9. Dire quali tra i seguenti polinomi
x2 + x + 1;
x3 + x + 1;
8x4 + 7x3 + 6x2 + 5x + 4
sono riducibili in R[x].