primaria

Fare geometria come e perchè
La matematica non è una materia, è un metodo. Non è
uno scaffale del sapere, quello che contiene formule,
costruzioni mentali, astrazioni, che sembrano nascere le
une dalle altre, per partenogenesi, come direbbero i
biologi, senza una fecondazione all'esterno. E’ un metodo: il
metodo che porta da situazioni fisiche a situazioni
mentali, da strutture reali a strutture astratte, che però
hanno a che fare con le strutture reali di partenza, sono
un loro estremo perfezionamento (un loro limite).
Lucio Lombardo Radice (Lina Mancini Proia)
Dalla prefazione al testo”Il metodo matematico nel mondo
moderno” 1988, Principato
La geometria si presenta dentro la realtà, come
semplificazione di una realtà, come «scarnificazione»
della realtà fino a ridurla al suo puro scheletro, anzi ad
una struttura mentale, limite ideale della struttura
fisica. Perché i punti, le rette, i piani della geometria
razionale sono «enti razionali», costruzioni della
ragione, astrazioni, che aderiscono però alla struttura
delle realtà «empiriche» dalle quali sono dedotte.
Carlo Felice Manara
È possibile...
Noi ci domandiamo: è possibile
con gli allievi una riflessione sulla
realtà e una presa di coscienza che
porti all'astrazione e alla concettualizzazione?
È possibile vivere questa esperienza concretamente
sia insieme che individualmente?
E’ possibile la costruzione del sapere?
Partiamo da ciò che ci suggerisce
la realtà, dai comportamenti
spontanei che ci accompagnano
quotidianamente e che diamo per
scontati, ma che sono le basi del nostro
agire.
Cose scontate
Nessuno di noi ha il dubbio che si possa spostare per
esempio un bicchiere da un posto ad un altro senza che
nulla cambi nella sua struttura, di fatto diamo per scontato
‘i corpi rigidi’ e gli spostamenti degli stessi che facciamo
continuamente e che li mantengono tali.
Un bambino anche piccolo si stupirebbe che lo stesso
oggetto quando gli viene sporto si afflosciasse, mentre non
si stupisce che ciò succeda per l’orsacchiotto.
Un tempo si andava ad un vetro per “tracopiare” un
disegno, eravamo sicuri, che a parte la mano tremolante,
avremmo ottenuto “la stessa cosa”…
Che fare?
•
•
Come uscire da questa situazione?
•
•
Occorre rendere esplicito ciò che è nascosto...
Come fare perché queste ‘cose che diamo per
scontate’ diventino ‘conoscenza’?
La soluzione è .......
Condividere
Per condividere si può … incominciare a parlare …
Un primo problema è allora quello della condivisione
delle “parole”.
Portiamo un esempio di dialogo concreto...
I ragazzi (scuola media) stavano tentando di descrivere
un disegno perché venisse riprodotto.
Tracce del dialogo
…già ci eravamo dovuti accordare sul significato della parola
riprodurre...
Ci sono parole che possono essere prese con significati
diversi?
Quando una cosa è creativa
In questo caso dobbiamo fare una cosa creativa?
No, perché tutti devono fare la stessa cosa” …..
Uno descrive …
... disegna un rettangolo abbastanza lungo, all’altra estremità
disegna un … non ho la parola per descrivere….
Ma esiste questa parola? Dove andate a prendere questa
parola?
Dalle elementari, sono figure geometriche.
Quando una figura è geometrica … Dici una parola, lui
subito fa una cosa …
Fareste tutti la stessa cosa?… Sì.
Sicuri? Se ci date le misure.
Senza le misure che cosa disegnereste? Lo stesso, ma
non uguale.
Che cosa sarebbe uguale per tutti? La forma.
Che cosa si intende per forma? Il perimetro, il
contorno. Che cosa vuol dire? Le linee che la chiudono.
Non possiamo dare alla parola ‘forma’ un significato che
vada bene per tutti in modo che quando parliamo di
forma tutti si sia della stessa idea?
Se bisogna descrivere … le forme geometriche variano
poco da persona a persona.
Che cosa vuol dire? In un certo modo sono comunque
definite.
Che cosa vuol dire essere definite? In generale sono
sempre uguali. Il triangolo è un esempio di forma definita.
Ma perché è definita? Che cosa sanno tutti?
Che è sempre fatto così, tre lati e tre angoli.
Ma allora che cos’è la forma?
Disegniamo un triangolo e vediamo se da esso riusciamo a
capire che cosa intendiamo per forma.
Che cosa ha di caratteristico in modo che subito tutti
hanno la capacità di avere in mente quell’”oggetto”?
Tre lati e tre angoli.
E i lati che cosa sono? Delle linee, quello è un
segmento.
Allora avete un’altra parola. Che cos’è un segmento?
Ci sono nella realtà dei “segmenti”? Sì, un gesso, una
biro, questo piccolo righello,…
E sono il segmento? Forse sono un modello.
E il segmento dove sta? Esiste? Già, nella nostra
mente!”
Ma forse è suggerito dagli oggetti che abbiamo
elencato.
E del disegno che ne facciamo? E’ il segmento?
Anche lui è un modello! Di quello che
abbiamo in testa! ..........
Oggetto idea modello
Oggetto
concreto
Idea nella
mente
Disegno come
modello
dell’idea
La presa di coscienza
Dalla realtà alle immagini, dalle immagini ai concetti.
Il percorso è lungo e imprevedibile perché la
consapevolezza cresce contemporaneamente all’età
e può essere diversa da bambino a bambino, ma con
essa si strutturano le conoscenze e la capacità di
sfruttarle in situazioni nuove.
realtà
immagini
concetti
il triangolo è....
Condividere significati
Le immagini mentali che ognuno di noi si crea
rispetto ad una certa situazione, devono diventare le
stesse per tutti se vogliamo sfruttarle per
conoscere e agire nella realtà.
La condivisione avviene attraverso il confronto e la
comunicazione, quindi attraverso il linguaggio che
permette di associare le parole alle immagini.
Da qui comincia la geometria...
La scuola
Il luogo della condivisione, della presa di
coscienza, della comunicazione è la scuola.
La scuola lo è ovviamente anche per la lingua
madre nella quale i significati delle parole hanno
una efficace ridondanza.
Nella matematica il significato deve essere
univoco per poter divenire linguaggio della
scienza.
Contributi
Ora sfruttiamo i vostri lavori per poter entrare
nel vivo del discorso
Per quanto riguarda i commenti dei bambini e la loro capacità di
mettere in relazione l’oggetto reale con le forme “concettualizzate”,
non ho le competenze psicologiche per spiegare in che modo i
bambini si sono costruiti nel corso dei loro sei anni di vita la capacità
di chiamare quadrato un quadrato, forse nello stesso modo in cui
imparano a chiamare sedia tutte le sedie (indipendentemente da
colore, forma, posizione che occupano nella casa), forse è quel
processo che li porta attraverso varie esperienze a costruirsi
prototipi e poi concetti delle cose, un processo che inizia e continua
fuori dalla scuola, che la scuola può accogliere ed accompagnare ma
certo non pensare di esaurire con un’attività, in ogni caso i bambini a
sei anni individuano e chiamano le forme con i loro nomi (sarà frutto
del lavoro anche delle colleghe della materna? Non è questo un
elemento di continuità verticale che dovremmo considerare?)
Antonietta Ciotta
Sedia e quadrato
Per chiamare ‘sedia’ una sedia il
bambino si costruisce
spontaneamente un insieme di
riferimento basandosi sulla sua
esperienza.
Nel caso del ‘quadrato’ si tratta
di costruire un oggetto
mentale che nella realtà non
esiste e che poco per volta deve
poter essere studiato come tale
(cioè puro costrutto mentale).
Usare la parola ‘quadrato’
La parola sedia ha dietro un percorso spontaneo di
elaborazione concettuale, anche se inconscio, che è
sufficiente per poter comunicare, per agire, per
ottenere dei risultati nominandola.
La parola quadrato viene usata per indicare un
modello che l’adulto offre al bambino come oggetto
concreto e facendo ciò è come se gli nascondesse il
percorso concettuale che ha portato l’umanità a
condividere la stessa immagine mentale modellizzata
in tante strutture che costruisce.
A scuola...
Noi dobbiamo far sì che i bambini si chiedano da dove
vengono quegli oggetti e come mai l’uomo usa il ‘quadrato’
come modello in tante strutture che costruisce.
A scuola...
La condivisione di immagini mentali inizia già nella scuola
materna ma è solo l’inizio del processo di astrazione:
• che cosa avete in mente quando dite ‘quadrato’?
• tu e il tuo compagno avete in mente la stessa cosa quando
dite ‘quadrato’?
Queste sono domande da porre fin da quando i bambini
sono molto piccoli.
Quando comincia la geometria?
Sostanzialmente la geometria comincia quando prendo
in esame due oggetti distinti e mi chiedo se hanno
qualche cosa in comune. In una parola li confronto!
La parola confrontare non significa ancora nulla se non
si precisa il criterio, gli strumenti con cui si opera.
La geometria come scienza è qui: nello scegliere certi
criteri con cui effettuare questo confronto tra oggetti e
nell’esaminare il risultato di questo confronto.
Le proprietà geometriche dell’oggetto che stiamo
considerando sono allora proprio quelle che, attraverso
questo confronto, si scoprono comuni al nostro
oggetto e a tutti quelli a lui accostati secondo i criteri
che abbiamo scelto.
La geometria come
scienza del confronto
Nei casi che abbiamo esaminato
(sull’attività della casetta, ad esempio)
di fatto questo confronto dà per
scontati:
•
•
i corpi rigidi
l’uguaglianza per sovrapposizione
ritaglia uno
sviluppo
fa combaciare i
pezzi per incollarli
Per ricostruire la casetta la bimba fa in modo che
combacino i ‘bordi’ di due elementi.
Ma i ‘bordi’ che cosa sono?
Nel disegno dello sviluppo che cosa erano? E le
linguette? Fanno parte dello sviluppo?
Si può da qui cominciare una descrizione per arrivare
a condividere un’immagine di forme e poterle
confrontare?
Che parole usano i bambini? Queste ci mancano…
Punto, distanza,
(segmenti?)
Sono arrivati a
condividere queste
parole? Come?
Distanza...
Seconda città
Prima città
Distanza tra due città
Che cosa abbiamo in mente
quando parliamo di ‘distanza’?
Immagine condivisa?
Possiamo modellizzare questo fatto così?
I bambini condividono questa immagine?
Questo è la partenza di tutto...
Il punto C si trova a metà del lato AB?
... calcolato: che cosa vuol dire?
la parola ‘acutangolo’ come è uscita?
Oggetti e forme
Negli esempi che abbiamo visto ci sembra che vengano
trattati nello stesso modo gli oggetti concreti su cui
si dovrebbero applicare le astrazioni delle forme
geometriche e le forme geometriche stesse,
creando confusione tra i due livelli: questo andrebbe
affrontato didatticamente proponendo attività in cui i
due aspetti vengano chiaramente individuati.
Oggetti e forme
Ogni oggetto ha una sua consistenza materiale e una sua
forma che fa riferimento a immagini mentali condivise a
cui noi abbiamo attributo un nome ad esempio ‘il
rettangolo’.
Ma l’oggetto concreto non è un rettangolo, ha la
forma di un rettangolo.
Gli oggetti geometrici non hanno nulla a che fare con gli
oggetti reali perché il rettangolo ‘geometrico’ non
esiste nel mondo reale, è un costrutto della nostra
mente che ci serve per dare il nome ad una proprietà
degli oggetti reali che si chiama ‘forma’.
Oggetti e forme
Questo è un punto chiave: se ai bambini non si fa
capire chiaramente che gli oggetti che manipolano
sono una cosa e queste immagini mentali sono un’altra
cosa
non si insegna geometria
ma si rimane nel campo delle intuizioni spontanee, non
c’è nessuna evoluzione e non si arriva alla
concettualizzazione.
Un punto chiave
Solo partendo dai concetti è possibile descrivere,
dedurre, determinare le proprietà, scoprire
caratteristiche implicite che gli oggetti vengono a
possedere per come sono stati concepiti.
L’oggetto matematico così si può evolvere.
Esempio (per noi): disegno una circonferenza e in essa
inscrivo un triangolo. Tra i vari casi che posso porre c’è
anche quello che ha un diametro come lato.
Lo studio “concettualmente” e scopro che è un
triangolo rettangolo.
Gli snodi
•dal soggettivo all’oggettivo, come viene trasferito lo
schema corporeo sull’oggetto (in particolare la
casetta)
Dagli oggetti reali alle figure geometriche come
oggetti mentali:
•seguendo le capacità concettuali dei bambini la
geometria si sviluppa costruendo immagini condivise
che attraverso ulteriori passaggi diventeranno
concetti (Vygotskij)
Da infanzia a primaria
Progressivo decentramento dal corpo:
Gli snodi
…all’utilizzo delle conoscenze geometriche per
sviluppare capacità argomentative cioè
la dimostrazione
Da primaria a media
Nei bambini della scuola primaria si vedono i
germi dell’astrazione, nella scuola media il
processo continua e si rafforza per arrivare....
Galileo
« La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che
continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico
l'universo), ma non si può intendere se prima non
s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne'
quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i
caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche,
senza i quali mezzi è impossibile a intenderne
umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente
per un oscuro laberinto. » (Galileo Galilei, Il Saggiatore,
Cap.VI)