TOMO 1 - Tullio Buzzi

BOOK IN PROGRESS
MATEMATICA
GEOMETRIA
PRIMO ANNO
TOMO NR. 1
ITIS “Majorana” Brindisi (BR) ITC “Tosi” Busto Arsizio (VA) ITC “Calabretta” Soveraro (CZ)
ISISS “Scarambine” Lecce (LE) ITIS “Buzzi” Prato (PO) ITIS “Ferraris” Napoli (NA)
ITC “Pacioli”Crema (CR) ITIS “FerniI” Francavilla Fontana (BR)
LICEO SCIENTIFICO”Guaraci”Soverato (CZ) ITI “Malignani” Udine (UD)
LICEO “Brocchi” Bassano del Grappa (VI) ITIS “Volterra-Elia” Ancona (AN)
ITI “Cassata” Gubbio (PG) ITIS “Fermi” Isernia (IS)
In memoria del Preside Francesco Rossi
che ha sempre creduto in questo progetto
e l’ha sempre sostenuto.
SOMMARIO DEL TOMO 1
UNITÀ 1: LA GEOMETRIA DEL PIANO
1.1 Generalità
pag. 1
1.2 Figure congruenti
pag. 11
1.3 Operazioni con i segmenti
pag. 13
1.4 Operazioni con gli angoli
pag. 17
1.5 Angoli particolari
pag. 20
UNITÀ 2: I TRIANGOLI
2.1 I poligoni
pag. 25
2.2 I triangoli
pag. 28
2.3 Classificazione dei triangoli rispetto ai lati
pag. 29
2.4 La congruenza dei triangoli
pag. 30
2.5 Le disuguaglianze nei triangoli
pag. 40
2.6 Classificazione dei triangoli rispetto agli angoli
pag. 42
… E ORA I PROBLEMI
pag. 48
ESERCIZI UNITÀ 1 – 2: La geometria del piano – I triangoli.
Conoscenza e comprensione
pag. 59
Esercizi. La geometria del piano
pag. 69
Ampiezza di un angolo
pag. 82
Operazioni tra angoli
pag. 83
Problemi sui segmenti
pag. 92
Problemi sugli angoli
pag. 93
I triangoli
pag. 95
Problemi sulla congruenza
pag. 98
Problemi sulla disuguaglianza nei triangoli
pag. 103
CORRO ALLE OLIMPIADI!
pag. 104
UNITÀ 3: PERPENDICOLARITÀ E PARALLELISMO
3.1 Rette perpendicolari
pag. 106
3.2 Le proiezioni ortogonali
pag. 110
3.3 Mediane, altezze e bisettrici di un triangolo
pag. 113
3.4 Le rette parallele
pag. 116
3.5 Il criterio di parallelismo e le proprietà delle rette parallele
pag. 119
3.6 Proprietà dei triangoli
pag. 125
3.7 Somma degli angoli interni ed esterni di un poligono
pag. 127
3.8 La congruenza nei triangoli rettangoli
pag. 129
3.9 I luoghi geometrici
pag. 131
I PROBLEMI
pag. 135
ESERCIZI UNITÀ 3: Perpendicolarità e parallelismo
Conoscenza e comprensione
pag. 142
Applicazioni
pag. 150
Costruzione, con riga e squadra, della perpendicolare ad una retta data
pag. 151
Altezze, mediane, bisettrici e assi di un triangolo
pag. 155
Costruzione, con riga e squadra, della parallela ad una retta data
pag. 159
Angoli di un triangolo
pag. 163
Criteri di congruenza dei triangoli (rettangoli e non)
pag. 166
PROBLEMI
pag. 168
OCCHIO ALLE OLIMPIADI!
pag. 186
PRESENTAZIONE
Un gruppo di docenti di matematica, facenti parte di istituzioni scolastiche aderenti alla rete
nazionale denominata “Book in Progress”, in seguito, già, alla circolare n. 16 del 10 febbraio 2009
sulle adozione dei libri di testo, ha inteso proporre un testo da loro scritto, “Dispense di
Matematica”, quale strumento funzionale al conseguimento degli obiettivi didattici e formativi della
disciplina.
Il testo, accanto ai contenuti propri della disciplina, riporta attività e propone azioni (esercizi di
diversa tipologia: di completamento, del tipo vero/falso, a scelta multipla, di PROVA TU ), frutto
dell’esperienza didattica degli autori e ciò dovrebbe “accompagnare” i percorsi di apprendimento
dei singoli studenti, contribuendo ad assicurare sistematicità e coerenza all’operato quotidiano.
Con questo lavoro, che potrà arricchirsi dei completamenti di volta in volta eventualmente necessari
e proposti dai docenti “in rete”, si è inteso offrire uno strumento che guardasse costantemente agli
alunni, che li avviasse al gusto del costruire insieme, del verificare, del dimostrare, attraverso una
metodologia attiva, o più precisamente interattiva, in una classe vista sempre più come laboratorio.
Il linguaggio?
Lo sforzo è stato quello di “parlare” di matematica, cercando di non parlare difficile.
Per la geometria, in particolare, si è voluto un po’ “dilatare” il tempo di permanenza nella geometria
intuitiva o, più spesso, cercare l’integrazione del metodo intuitivo e di quello razionale.
Gli alunni vengono sollecitati, inizialmente, in esercizi di disegno, in costruzioni di figure precise e
nel riconoscimento di alcune loro proprietà mediante misure, scomposizioni in parti,
sovrapposizioni, ricorso alla carta millimetrata “avvertiti”, però, che il disegno ha lo scopo di
aiutarci a visualizzare concetti e situazioni e mai sostituire la dimostrazione razionale di
un’affermazione.
Le “Dispense di matematica” vogliono essere il compagno di banco e … di vita dell’alunno, almeno
nell’intenzione e nell’ambizione dei proponenti, convinti che l’importanza del “modo” di fare
scuola, dei tempi necessari per il “farlo”, degli “spazi”, degli “strumenti” e degli “ambienti” siano le
variabili responsabili più importanti degli eventuali successi/insuccessi scolastici.
UNITÀ 1
LA GEOMETRIA DEL PIANO
1.1 Generalità
Nello studio della geometria euclidea (da Euclide, matematico greco del III secolo a.C.) assume un
ruolo fondamentale il disegno delle varie figure. A tale scopo, useremo sempre squadra e compasso
e costruiremo le nostre figure con la massima attenzione e precisione.
Cominciamo il nostro lavoro ponendo l’attenzione su quelli che sono gli “oggetti”, gli enti, che si
studiano in geometria.
Per descriverli utilizzeremo delle definizioni. Una definizione è una frase nella quale viene
associato un nome a un ente e vengono elencate le sue caratteristiche.
Esempio:
Un parallelogramma è un quadrilatero che ha i lati opposti paralleli.
Per dare una definizione è necessario conoscere il significato di alcuni termini. Nell’esempio
precedente, per stabilire che cos’è un parallelogramma si deve sapere cosa significano le parole
“quadrilatero”, “lati”, “opposti”, “paralleli”. Se i termini usati non sono conosciuti, si devono dare
altre definizioni utilizzando altri enti che a loro volta dovranno essere definiti e così via. Per
interrompere questo procedimento «a ritroso» che non può, ovviamente, continuare all’infinito è
necessario che di alcuni concetti, detti concetti o enti primitivi, non venga data alcuna definizione.
Essi costituiranno la base sulla quale costruire, poi, l’edificio di tutte le altre definizioni.
In geometria consideriamo come enti primitivi:
-
il punto;
-
la retta;
-
il piano.
L’idea di punto ci è suggerita dal segno lasciato dalla punta della matita o dal forellino praticato
con un sottile spillo su un foglio di carta, da un granellino di sabbia, da una stella
lontanissima, etc.
Il punto è la più semplice figura geometrica e l’immagine che di essa danno i riferimenti appena
indicati è piuttosto imperfetta. In realtà il punto è un ente geometrico privo di dimensioni; esso
indica solo una posizione (Euclide, nei suoi “Elementi”, definisce il punto come ciò che non ha
parti).
Per distinguere un punto dall’altro, si pone accanto a ciascuno di essi una lettera maiuscola
dell’alfabeto; diremo perciò: punto A; punto B; punto C; etc.
.A
.B
.C
.
.
1
Un insieme qualsiasi di punti costituisce una figura geometrica; lo spazio è l’insieme di tutti i punti
e contiene quindi tutte le figure.
Una figura che appartiene ad un piano si chiama figura piana, altrimenti si chiama figura solida.
Come modello intuitivo di retta possiamo pensare al bordo di una riga da disegno, idealmente
illimitata da entrambe le parti. La retta geometrica si deve, infatti, pensare illimitata e senza
spessore: è costituita da infiniti punti ed ha un’unica dimensione (si estende solo in lunghezza,
illimitatamente).
Per distinguere una retta dall’altra, si pone accanto a ciascuna di esse una lettera minuscola
dell’alfabeto; diremo perciò: retta r ; retta s ; retta t ; etc.
t
s
r
Come modello intuitivo di piano possiamo pensare ad un sottile foglio di carta o alla superficie
dell’acqua stagnante di un lago. Si tratta, naturalmente, di immagini molto approssimative perché il
piano geometrico, oltre a non avere spessore, si deve pensare indefinitamente esteso in lunghezza e
larghezza: ha, cioè, due dimensioni.
I piani si indicano generalmente con le lettere dell’alfabeto greco; diremo perciò: piano α ; piano β ;
piano γ ; etc.
α
β
γ
Nella geometria razionale si vogliono ricavare, mediante deduzioni1, delle proprietà da altre
proprietà. Come per gli enti primitivi, bisogna, quindi, accettare che alcune proprietà vengano
assunte come primitive, ossia non siano dedotte ma accettate come vere (postulati o assiomi). Le
proprietà (o proposizioni) che si possono desumere dagli assiomi si dicono teoremi; un teorema è
quindi una proposizione di cui bisogna controllare la verità mediante un ragionamento
(dimostrazione). Una dimostrazione è, pertanto, una sequenza di deduzioni che, partendo da
affermazioni considerate vere (ipotesi), fa giungere ad una nuova affermazione (tesi).
In seguito scriveremo spesso l’enunciato dei teoremi mediante la struttura linguistica “se ….. ,
allora ……”.
1
procedimenti logici consistenti nel derivare, da una o più premesse date, una conclusione come conseguenza
logicamente necessaria.
2
La frase che segue il “se” è l’ipotesi, ossia ciò che supponiamo vero; quella dopo “allora” è la tesi,
ossia l’affermazione da dimostrare.
Dimostrazione diretta
Una dimostrazione è diretta quando, partendo dall’ipotesi ed utilizzando eventualmente postulati
e/o proprietà dimostrate in precedenza, si perviene, attraverso una sequenza di deduzioni logiche,
alla tesi.
Dimostrazione indiretta o per assurdo
Una dimostrazione è indiretta o per assurdo quando, partendo dalla negazione della tesi ed
utilizzando eventualmente postulati e/o proprietà dimostrate in precedenza, si perviene, attraverso
una sequenza di deduzioni logiche, a qualche proprietà che è in contrasto con l’ipotesi data o con
postulati o con teoremi già dimostrati (contraddizione). Bisogna, quindi, concludere che l’aver
supposto falsa la tesi è sbagliato e che, di conseguenza, la tesi è vera (principio di non
contraddizione: una proposizione non può contemporaneamente essere vera e falsa).
Se in un teorema vengono scambiate l’ipotesi e la tesi, si ottiene la proposizione inversa che prende
il nome di teorema inverso.
Un teorema che è immediata conseguenza di un altro teorema viene chiamato corollario.
Riportiamo ora di seguito alcuni postulati che caratterizzano i punti, le rette e i piani.
Dati due qualunque punti distinti A e B, esiste una ed una sola retta che li contiene
entrambi (fig. 1):
.
.
A
B
(fig. 1)
Questo postulato ci assicura che due punti sono sempre allineati, cioè appartengono ad una stessa
retta.
La retta individuata dai due punti A e B (fig. 1) viene detta anche retta congiungente i punti A e B,
o retta passante per A e B o, ancora, retta AB.
Il precedente postulato si suole anche enunciare dicendo che per due punti distinti passa una ed una
sola retta.
Dal precedente postulato discende il seguente corollario:
Due rette distinte non possono avere più di un punto in comune.
Infatti, se avessero due punti in comune, esse coinciderebbero.
3
Per un punto passano infinite rette.
Detto P un punto del piano, l’insieme delle infinite rette passanti per P è chiamato fascio di rette
proprio o, anche, fascio di rette di centro P (fig. 2):
P
(fig. 2)
Una retta può essere percorsa in due versi, l’uno opposto all’altro (fig. 3):
(fig. 3)
I punti di una retta si possono, quindi, pensare ordinati in due versi, uno opposto all’altro, in
corrispondenza dei due versi secondo cui la retta può essere percorsa.
Fissato su r uno dei due versi di percorrenza (retta orientata) e considerati due punti A e B su r, è
possibile dire se A precede B o se A segue B nel verso assegnato.
In fig. 4 si ha che A precede B (o B segue A):
.
.
A
B
r
(fig. 4)
Su di un piano esistono infiniti punti ed infinite rette (fig. 5):
.
.
α
.
.
.
(fig. 5)
Se una retta r ha due punti in comune con un piano α, allora appartiene ad α (fig. 6):
.
α
r
.
.
(fig. 6)
4
Tre punti distinti che non appartengono ad una medesima retta individuano uno ed un
solo piano (fig. 7):
B
.
A
.
.C
α
(fig. 7)
o Due rette si dicono complanari se appartengono a uno stesso piano, sghembe se
appartengono a piani diversi.
o Due rette r ed s del piano si dicono incidenti se hanno in comune uno ed un solo punto P
che prende il nome di punto di incidenza (o di incontro, o di intersezione) delle rette r ed s
(fig. 8):
.
r
α
P
s
r ∩ s = {P}
(fig. 8)
o Due rette r ed s del piano si dicono parallele se coincidono (fig. 9a) oppure se non hanno
alcun punto in comune (fig. 9b):
s
s
r
α
r≡s
(fig. 9a)
r
α
r ∩s = Ø
(fig. 9b)
Per indicare che due rette r ed s sono parallele scriviamo r // s, dove il simbolo // è detto
“simbolo di parallelismo”.
[Osserviamo che abbiamo assunto come parallele anche due rette coincidenti in quanto esse
hanno in comune infiniti punti e non uno solo, così come richiesto per le rette incidenti].
Parleremo ampiamente del parallelismo in altra unità.
5
Seguono le definizioni di nuovi enti, a partire dagli enti elementari:
o Semiretta – Data una retta r e un suo punto A, si dice semiretta, di origine A, ciascuna delle
due parti in cui r rimane divisa da A, compreso lo stesso punto A (fig. 10):
semiretta
.
A
semiretta
r
(fig. 10)
o Segmento – Un segmento è la parte di retta limitata da due suoi punti che si dicono estremi
del segmento.
Il segmento di estremi A e B si indica con AB o con BA, cioè scrivendo una di seguito all’altra le
lettere che indicano i suoi estremi (fig. 11):
.
.
r
A segmento AB B
(fig. 11)
Se i due estremi coincidono, il segmento è nullo ed è costituito da un solo punto
A≡B
.
(non ci
sono, quindi, punti interni).
o Segmenti consecutivi – Due segmenti si dicono consecutivi se hanno solo un estremo in
comune (fig. 12):
A.
AB e BC segmenti consecutivi
.
.
B
C
(fig. 12)
o Segmenti adiacenti – Due segmenti si dicono adiacenti se sono consecutivi ed
appartengono alla stessa retta (fig. 13):
.
A
.
B
.
C
AB e BC segmenti adiacenti
(fig. 13)
6
PROVA TU
In relazione alla fig. 14, stabilisci quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali false.
A.
C
.
.
.D
B
E
.
(fig. 14)
AB e BC sono adiacenti
V
F
AB e DE sono consecutivi
V
F
BC e CD sono consecutivi
V
F
CD e AB sono adiacenti
V
F
CD e DE sono adiacenti
V
F
o Spezzata (o poligonale) – Si dice spezzata o poligonale una figura geometrica formata da
più segmenti, a due a due consecutivi e non adiacenti.
Una spezzata può essere (fig. 15):
•
non intrecciata (o semplice), se i segmenti della spezzata non hanno punti interni in comune;
•
intrecciata, se almeno due segmenti hanno punti interni in comune;
•
aperta, se l’ultimo estremo non coincide con il primo;
•
chiusa, se l’ultimo estremo coincide con il primo.
A.
.E
C
.
.I
F.
.
.
B
L.
.H
D
spezzata non intrecciata aperta
G.
spezzata non intrecciata chiusa
Q.
Q.
.P
.P
M.
.N
O.
M.
spezzata intrecciata chiusa
.N
spezzata intrecciata aperta
O.
(fig. 15)
(I segmenti AB, BC, ..… sono i lati della spezzata; i punti A, B, C, ..... sono i vertici della spezzata).
7
o
Semipiano – Data una retta r di un piano α, si dice semipiano ciascuna delle due parti in cui
r divide α (fig. 16):
α
r
semipiano
semipiano
o
fig. 16: la retta r è l’origine di ciascuno dei
due semipiani.
Figura convessa – Una figura F si dice convessa se, considerati due suoi qualsiasi punti, il
segmento che li unisce è completamente contenuto in F (fig. 17):
F
(fig. 17)
o
Figura concava – Una figura G si dice concava se esistono almeno due punti per i quali il
segmento che li unisce non è completamente contenuto in G (fig. 18):
G
Q
P
fig. 18: il segmento PQ non è completamente
contenuto in G.
o
Angolo – L’angolo è ciascuna delle due parti in cui un piano viene diviso da due semirette
aventi l’origine in comune (fig. 19):
s
fig. 19: Le semirette r ed s sono dette “lati” dell’angolo;
O
r
l’origine comune O è detto “vertice” dell’angolo.
8
o
Un angolo si dice convesso se non contiene i prolungamenti dei suoi lati (fig. 20):
s
(fig. 20)
r
O
o
Un angolo si dice concavo se contiene i prolungamenti dei suoi lati (fig. 21):
s
(fig. 21)
r
O
Quando nel seguito parleremo di angolo senza ulteriore specificazione, intenderemo sempre angolo
convesso.
Per indicare l’angolo convesso della fig. 22 useremo una delle seguenti notazioni: rs , sr, rOs, sOr,
AOB, BOA, α, e, se non ci sono ambiguità di interpretazione, O.
B. s
α
.
O
A
r
(fig. 22)
Se si vuole fare riferimento ad un angolo concavo lo si deve esprimere in maniera esplicita; così, nel
caso della fig. 21, diremo “angolo rs concavo” (taluni indicano tale angolo con la scrittura rs).
Gli aggettivi convesso e concavo sono in accordo con le definizioni date di figura convessa e di
figura concava.
o
Si dice corda di un angolo convesso un qualsiasi segmento i cui estremi appartengono ai lati
dell’angolo (fig. 23):
s
B.
O
AB corda
.
A
r
(fig. 23)
9
o
Angoli consecutivi – Due angoli si dicono consecutivi se hanno lo stesso vertice, un lato in
comune e gli altri due lati situati da parte opposta rispetto al lato comune (fig. 24):
A
B
O
o
AOB e BOC angoli consecutivi
(fig. 24)
C
V
Angoli adiacenti – Due angoli si dicono adiacenti se, oltre ad essere consecutivi, hanno
i lati non comuni appartenenti ad una stessa retta (fig. 25):
B
AOB e BOC angoli adiacenti
O
A
o
C
(fig. 25)
Angoli opposti al vertice – Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati dell’uno sono
i prolungamenti dei lati dell’altro (fig. 26):
A
B'
AOB e A'OB' angoli opposti al vertice;
O
B
AOB' e A'OB angoli opposti al vertice.
A'
(fig. 26)
PROVA TU
Vero o falso?
a) Due angoli consecutivi sono anche adiacenti
V
F
b) Due angoli adiacenti sono anche consecutivi
V
F
c) Due angoli consecutivi possono essere entrambi acuti
V
F
d) Due angoli adiacenti possono essere entrambi acuti
V
F
10
1.2 Figure congruenti2
Il termine “congruente” si usa in geometria per dire che due figure possono essere sovrapposte in
modo che tutti i loro punti coincidano.
Ad esempio due segmenti si dicono congruenti se è possibile sovrapporli in modo che i loro estremi
(e, quindi, tutti i punti che sono tra loro) coincidano. Si usa lo stesso termine quando è possibile
sovrapporre altre figure geometriche come angoli, triangoli, quadrilateri, etc.
La nozione di “sovrapponibilità” è legata a quella di “movimento rigido”, ossia di movimento di
una figura senza che vi sia deformazione della stessa.
Osserviamo i due segmenti della figura seguente:
.B
A.
C.
25 cm
25 cm
.
D
(fig. 27)
I due segmenti hanno la stessa lunghezza, cioè stessa distanza tra gli estremi dei segmenti, quindi si
è soliti dire che i due segmenti sono uguali. Noi, ora, diremo che “il segmento AB è congruente al
segmento CD”, e scriveremo: AB ≅ CD (si legge “AB è congruente a CD”).
Perché “congruente” e non “uguale”? Perché questa complicazione terminologica?
Basta osservare che i due segmenti in figura non rappresentano lo stesso oggetto geometrico, non
sono la stessa figura; non possono, quindi, essere definiti “uguali” perché costituiti da punti diversi
del piano. Una figura, pertanto, può essere uguale soltanto a se stessa mentre due figure che si
corrispondono punto per punto (corrispondenza biunivoca) si dicono congruenti.
Si ha, quindi, la seguente definizione:
Due figure F1 e F2 si dicono congruenti, e si scrive F1 ≅ F2 , quando esiste un movimento rigido che
le sovrappone punto a punto.
La relazione di congruenza tra figure gode delle seguenti proprietà:
1. riflessiva:
F1 ≅ F1 (ogni figura è congruente a se stessa);
2. simmetrica: F1 ≅ F2
3. transitiva:
F2 ≅ F1 (se la figura F1 è congruente alla figura F2 , allora la figura
F2 è congruente alla figura F1);
F1 ≅ F2 ∧ F2 ≅ F3
F1 ≅ F3
(se la figura F1 è congruente alla figura F2 e la
figura F2 è congruente alla figura F3 , allora la
figura F1 è congruente alla figura F3).
La relazione di congruenza è, quindi, una relazione di equivalenza.
2
qui e nel seguito l’argomento viene presentato in maniera intuitiva, “legandolo” all’idea di movimento.
11
Assioma del trasporto di un segmento
Dati un segmento AB e una semiretta r di origine O, esiste ed è unico un punto P appartenente ad r
tale che OP ≅ AB (fig. 28):
B
.
A
.
.
.
O
P
(fig. 28)
r
Si può quindi pensare di disegnare infiniti segmenti congruenti ad un segmento dato.
La relazione di congruenza tra segmenti, essendo una relazione di equivalenza (PROVA TU),
permette di dividere l’insieme di tutti i segmenti in classi di equivalenza, ognuna delle quali si
chiama lunghezza: ad ogni classe appartengono tutti i segmenti tra loro congruenti e che hanno,
quindi, la stessa lunghezza.
Confronto tra segmenti
Confrontare due segmenti vuol dire stabilire se sono congruenti o, se non lo sono, vedere quale dei
due è il maggiore (o il minore).
Siano dati quindi due segmenti qualsiasi AB e CD (fig. 29):
B
.
D
.
A.
C.
(fig. 29)
L’assioma del trasporto ci permette il loro confronto. Consideriamo, infatti, due segmenti OP ≅ AB
e OQ ≅ CD, con l’estremo O in comune ed appartenenti alla stessa semiretta r di origine O.
Possono verificarsi i seguenti tre casi:
•
P “cade” prima dell’estremo Q, allora diciamo che OP è minore di OQ, e quindi AB è
minore di CD, e scriviamo AB < CD (fig. 30a);
•
P “coincide” con Q, allora i due segmenti OP e OQ, e quindi AB e CD, sono congruenti, e
scriviamo AB ≅ CD (fig. 30b);
•
P “cade” dopo l’estremo Q, allora diciamo che OP è maggiore di OQ, e quindi AB è
maggiore di CD, e scriviamo AB > CD (fig. 30c).
12
Q
r
OP < OQ
⇔ AB < CD
(fig. 30a)
.
O
P
.
Q
r
OP ≅ OQ
⇔ AB ≅ CD
(fig. 30b)
.
. P.
r
OP > OQ
⇔ AB > CD
(fig. 30c)
P
.
.
O
.
O
Q
Il confronto può avvenire sovrapponendo, con un movimento rigido, direttamente AB e CD,
facendo coincidere l’estremo A con l’estremo C e verificando dove “cade” l’estremo B (seguiremo
tale procedimento nel confronto tra angoli).
1.3 Operazioni con i segmenti
Somma di due segmenti. La somma di due segmenti adiacenti AB e BC è il segmento AC che ha
per estremi i loro estremi non comuni (fig. 31):
.
A
.
.
B
C
(fig. 31)
Scriviamo AB + BC = AC, usando l’usuale simbolo di addizione.
Nel caso di due segmenti AB e CD non adiacenti, la loro somma è data dal segmento AD ottenuto
trasportando, con un movimento rigido, i segmenti AB e CD in modo che siano adiacenti, con
l’estremo B coincidente con C (fig. 32):
B
.
C
.
.D
A.
A
.
B ≡. C
Abbiamo preferito, qui e in seguito,
nonostante l’operazione di “trasporto”,
mantenere lo stesso nome per i segmenti.
D
.
(fig. 32)
La somma di tre o più segmenti AB, CD, EF, ….. si ottiene addizionando alla somma dei primi due
segmenti il terzo e così via fino all’ultimo segmento.
Nel definire le operazioni con i segmenti, così come in seguito quelle con gli angoli, invece del
simbolo ≅ , abbiamo utilizzato il simbolo = , che sta per “ è il segmento …”, “ è l’angolo …”,
volendo porre l’attenzione sull’operazione in oggetto e sul risultato della stessa.
L’addizione tra i segmenti è un’operazione che gode delle proprietà commutativa e associativa.
Vale la seguente proprietà:
Segmenti somme di segmenti congruenti sono congruenti.
In simboli: se AB ≅ CD e EF ≅ GH allora AB + EF ≅ CD + GH.
PROVA TU, utilizzando l’assioma del trasporto di un segmento.
13
Differenza di due segmenti. La differenza di due segmenti AB e CD, con AB ≥ CD, è il segmento
DB che si ottiene sovrapponendo AB e CD in modo che l’estremo A coincida con l’estremo C e gli
estremi D e B siano sulla stessa semiretta di origine A (fig. 33):
C
.
B.
A.
D.
A ≡. C
D
.
B.
(fig. 33)
Scriviamo AB – CD = DB, usando l’usuale simbolo di sottrazione (DB è, quindi, quel segmento
che sommato a CD dà per somma AB).
Se AB ≅ CD, allora il segmento DB è il segmento nullo.
Vale la seguente proprietà:
Segmenti differenze di segmenti congruenti sono congruenti.
se AB ≅ CD , EF ≅ GH ∧ AB ≥ EF allora AB – EF ≅ CD – GH.
In simboli:
PROVA TU, utilizzando l’assioma del trasporto di un segmento.
Multiplo e sottomultiplo di un segmento. Il multiplo di un segmento AB, secondo il numero
naturale n, è il segmento CD che si ottiene facendo la somma di n segmenti congruenti ad AB; cioè:
CD = AB + AB + ….. + AB = n⋅AB.
n volte
In particolare:
-
se n = 1 , il multiplo di AB secondo il numero 1 è il segmento AB stesso;
-
se n = 0 , il multiplo di AB secondo il numero 0 è il segmento nullo.
Se n ≠ 0 , si dice che il segmento AB è sottomultiplo di CD secondo il numero n e si scrive:
AB =
1
CD (si legge “AB è uguale a un n-esimo di CD” o “AB è uguale all’n-esima parte di CD”).
n
In fig. 34 è n = 3, per cui AB'' è multiplo di AB secondo il numero 3 e si scrive: AB'' = 3⋅AB.
A.
A
.
B ≡. A'
B
.
B' ≡. A''
B''
.
(fig. 34)
Sempre dalla fig. 34 si ha che il segmento AB è il sottomultiplo di AB'' secondo il numero 3 e si
scrive: AB =
1
AB''.
3
14
La scrittura CD =
m
AB, con m, n ∈ N e n ≠ 0, indica che CD è il multiplo, secondo il numero m,
n
del sottomultiplo di AB, secondo il numero n; cioè: CD =
m
1

AB = m ⋅  AB  .
n
n

In altre parole, il segmento CD è m volte l’n-esima parte di AB.
Così la scrittura CD =
5
AB indica che CD è 5 volte la terza parte di AB, cioè il segmento AB è
3
diviso in 3 parti congruenti e CD è 5 di quelle parti (fig. 35):
A
*
*
*
C
B
*
*
*
*
*
D
(fig. 35)
Da quanto detto sul multiplo e sottomultiplo di un segmento segue, in particolare, che un qualsiasi
segmento può essere diviso in due parti congruenti.
Si ha quindi la seguente definizione:
Punto medio di un segmento. Dato un segmento AB, si dice punto medio di AB il punto M,
interno ad AB, equidistante dagli estremi A e B, cioè tale che AM ≅ MB (fig. 36):
.
A
.
.
M
B
(fig. 36)
Si può dimostrare che il punto medio di un segmento è unico (PROVA TU).
Assioma del trasporto di un angolo
Dati un angolo ab e una semiretta r di origine O, esiste, in ognuno dei due semipiani nei quali la
retta di r divide il piano, una ed una sola semiretta di origine O che forma con la semiretta data un
angolo congruente ad ab (fig. 37):
b
s
rs ≅ ab
a
O
r
rs' ≅ ab
s'
(fig. 37)
Si può quindi pensare di disegnare infiniti angoli congruenti ad un angolo dato.
La relazione di congruenza tra angoli, essendo una relazione di equivalenza (PROVA TU),
permette di dividere l’insieme di tutti gli angoli in classi di equivalenza, ognuna delle quali si
chiama ampiezza: ad ogni classe appartengono tutti gli angoli tra loro congruenti e che hanno,
quindi, la stessa ampiezza.
15
Confronto tra angoli
Confrontare due angoli vuol dire stabilire se sono congruenti o, se non lo sono, stabilire quale dei
due è il maggiore (o il minore).
Siano dati quindi due angoli qualsiasi ab e cd (fig. 38):
d
b
a
O
c
O'
(fig. 38)
Operando un movimento rigido, sovrapponiamo i due angoli facendo coincidere i vertici ed uno dei
lati, per esempio il lato a con il lato c, in modo che i due angoli si trovino dalla stessa parte rispetto
al lato comune.
Possono verificarsi i seguenti tre casi:
•
il lato b è interno all’angolo cd, allora diciamo che ab è minore di cd e scriviamo
ab < cd (fig. 39a);
•
il lato b coincide con il lato d e allora diciamo che ab è congruente a cd e
scriviamo ab ≅ cd (fig. 39b);
•
il lato b è esterno all’angolo cd, allora diciamo che ab è maggiore di cd e scriviamo
ab > cd (fig. 39c).
d
b
O ≡ O'
ab < cd
(fig. 39a)
ab ≅ cd
(fig. 39b)
ab > cd
(fig. 39c)
a≡c
b≡d
O ≡ O'
a≡c
b
d
O ≡ O'
a≡c
16
1.4 Operazioni con gli angoli
Somma di due angoli. La somma di due angoli consecutivi aOb e bOc è l’angolo aOc che ha per
vertice il vertice dei due angoli e per lati i due lati non comuni (fig. 40):
c
b
a
O
(fig. 40)
Scriviamo aOb + bOc = aOc , usando l’usuale simbolo di addizione.
Nel caso di due angoli aOb e cO'd non consecutivi, la loro somma è data dall’angolo aOd ottenuto
disponendo, con un movimento rigido, i due angoli in modo che risultino consecutivi (fig. 41):
d
b
β
α
a
O
c
O'
d
b≡ c
β
α+β
α
O ≡ O'
a
(fig. 41)
La somma di tre o più angoli aOb , cO'd , eO''f , … si ottiene addizionando alla somma dei primi
due angoli il terzo e così via fino all’ultimo angolo.
L’addizione tra angoli è un’operazione che gode delle proprietà commutativa e associativa.
Vale la seguente proprietà:
Angoli somme di angoli congruenti sono congruenti.
In simboli: se α ≅ β ∧ γ ≅ δ allora α + γ ≅ β + δ.
PROVA TU, utilizzando l’assioma del trasporto di un angolo.
17
Differenza di due angoli. La differenza di due angoli aOb e cO'd , con aOb ≥ cO'd , è l’angolo
dOb che si ottiene sovrapponendo, con un movimento rigido, cO'd ad aOb , come nel caso del
loro confronto (fig. 42):
b
d
aOb > cO'd
α
β
a
O
c
O'
b
α-β
d
aOb – cO'd = dOb
β α
O' ≡ O
c≡ a
(fig. 42)
Se aOb ≅ cO'd , allora dOb è l’angolo nullo.
Vale la seguente proprietà:
Angoli differenze di angoli congruenti sono congruenti
In simboli: se α ≅ β , γ ≅ δ ∧ α ≥ γ allora α – γ ≅ β – δ.
PROVA TU, utilizzando l’assioma del trasporto di un angolo.
Multiplo e sottomultiplo di un angolo. Il multiplo di un angolo ab, secondo il numero naturale n, è
l’angolo cd che si ottiene facendo la somma di n angoli congruenti ad ab; cioè:
cd = ab + ab + ….. + ab = n . ab
n volte
In particolare:
-
se n = 1 , il multiplo di ab secondo il numero 1 è l’angolo ab stesso;
-
se n = 0 , il multiplo di ab secondo il numero 0 è l’angolo nullo.
Se n ≠ 0 , si dice che l’angolo ab è sottomultiplo di cd secondo il numero n e si scrive:
ab =
1
cd (si legge “ l’angolo ab è uguale a un n-esimo dell’angolo cd ” o “l’angolo ab è uguale
n
all’n-esima parte dell’angolo cd ”).
18
In fig. 43 è n = 3 e quindi l’angolo cd è multiplo dell’angolo ab secondo il numero 3 e si scrive:
cd = 3 . ab.
d
b' ≡ a''
b
b ≡ a'
α
α
α
α
a≡ c
O ≡ O'
a
O
(fig. 43)
Sempre dalla fig. 43 si ha che l’angolo ab è il sottomultiplo secondo il numero 3 dell’angolo cd e si
scrive: ab =
1
cd.
3
La scrittura cd =
m
ab , con m, n ∈ N e n ≠ 0, indica che l’angolo cd è il multiplo, secondo il
n
numero m, del sottomultiplo dell’angolo ab, secondo il numero n; cioè:
cd =
m
1 
ab = m ⋅  ab  .
n
n 
In altre parole, l’angolo cd è m volte l’n-esima parte dell’angolo ab.
Così la scrittura cd =
5
ab indica che l’angolo cd è 5 volte la terza parte dell’angolo ab, cioè
3
l’angolo ab è diviso in 3 parti congruenti e l’angolo cd è 5 di quelle parti (fig. 44):
d
b
O
..
.
a
O
..
..
.
c
(fig. 44)
Da quanto detto sul multiplo e sottomultiplo di un angolo, segue, in particolare, che un qualsiasi
angolo può essere diviso in due parti congruenti.
19
Si ha quindi la seguente definizione:
Bisettrice di un angolo. Si dice bisettrice di un angolo la semiretta che ha origine nel vertice
dell’angolo e lo divide in due angoli congruenti (fig. 45):
s
b
bisettrice
r
O
≡
(fig. 45)
In simboli:
rOb ≅ bOs
Si può dimostrare che la bisettrice di un angolo è unica (PROVA TU).
1.5 Angoli particolari
o Angolo piatto – Un angolo si dice piatto se i suoi lati sono semirette opposte. [Si può
pensare ottenuto facendo ruotare la semiretta OA, intorno ad O, di mezzo giro, così da
assumere la posizione OB (fig. 46)]. L’angolo piatto si suole indicare con la lettera greca π
(scoprirai il perché nel corso dei tuoi studi).
π
.
.
.
A
O
π
B
Angolo piatto
180°
(fig. 46)
o Angolo giro – Un angolo concavo i cui lati sono semirette sovrapposte si dice angolo giro.
[Si può pensare ottenuto facendo ruotare la semiretta OA, intorno ad O, di un giro completo,
descrivendo così tutto il piano (fig. 47)].
.
O
B
A
Angolo giro
360°
(fig. 47)
20
o Angolo nullo – Un angolo convesso i cui lati sono semirette sovrapposte si dice angolo
nullo. [Si può pensare ottenuto quando la semiretta OA rimane nella posizione iniziale, cioè
se ha una rotazione nulla (fig. 48)].
Angolo nullo
B
A
.
O
0°
(fig. 48)
o Angolo retto – Un angolo si dice retto se è la metà di un angolo piatto (fig. 49):
C
Angolo retto
angolo retto
(fig. 49): OC è la bisettrice dell’angolo
piatto AOB.
angolo retto
B
90°
O
A
o Angolo acuto – Un angolo si dice acuto se è minore di un angolo retto (fig. 50):
B
AOB angolo acuto
Angolo acuto < 90°
O
≡
A
(fig. 50)
o Angolo ottuso – Un angolo si dice ottuso se è maggiore di un angolo retto (fig. 51):
B
AOB angolo ottuso
Angolo ottuso > 90°
O
A
(fig. 51)
21
o Angoli complementari – Due angoli si dicono complementari quando la loro somma è un
angolo retto (fig. 52):
C
AOB e BOC angoli complementari
B
AOC angolo retto
(fig. 52)
A
O
(Ovviamente i due angoli non devono essere necessariamente consecutivi).
o Angoli supplementari – Due angoli si dicono supplementari quando la loro somma è un
angolo piatto (fig. 53):
B
AOB e BOC angoli supplementari
AOC angolo piatto
O
C
A
(fig. 53)
(Ovviamente i due angoli non devono essere necessariamente adiacenti).
o Angoli esplementari – Due angoli si dicono esplementari quando la loro somma è un
angolo giro (fig. 54):
B
O
A
(fig. 54)
(Ovviamente i due angoli non devono avere necessariamente gli stessi lati).
PROVA TU
Esiste sempre il complementare di un angolo? Perché?
22
PROVA TU
Completa le seguenti affermazioni:
o il supplementare di un angolo di 85° è ampio …….…;
o il complementare di un angolo di 89° è ampio ........…;
o il complementare di un angolo di 2° è ampio ……..…;
o il supplementare di un angolo di 112° è ampio ...……;
o l’esplementare di un angolo di 60° è ampio …………;
o il supplementare di un angolo di 120° è ampio .......…;
o l’esplementare di un angolo di 107° è ampio …….… .
Vediamo alcuni teoremi sugli angoli.
TEOREMA
Angoli supplementari di angoli congruenti sono congruenti.
α
α1
β
β1
α supplementare di β
Hp.:
α1 supplementare di β1
β ≅ β1
Th.:
α ≅ α1
Dimostrazione
Dall’ipotesi discende che:
α supplementare di β ⇒ α + β ≅ π ⇒ α ≅ π – β ;
α1 supplementare di β1 ⇒ α1 + β1 ≅ π ⇒ α1 ≅ π – β1 .
Poiché tutti gli angoli piatti sono congruenti tra loro e, per ipotesi, β ≅ β1 si ha:
π – β ≅ π – β1 perché differenze di angoli congruenti,
e quindi: α ≅ α1.
C.V.D.
(Il teorema può essere visto come un corollario della proprietà di pag. 18 relativa ad angoli
differenze di angoli congruenti).
L’enunciato del teorema può, ovviamente, essere formulato come segue:
Angoli supplementari di uno stesso angolo o di angoli congruenti sono congruenti.
23
PROVA TU
In modo del tutto analogo si dimostrano i seguenti teoremi:
•
Angoli complementari di uno stesso angolo o di angoli congruenti sono congruenti.
•
Angoli esplementari di uno stesso angolo o di angoli congruenti sono congruenti.
TEOREMA
Due angoli opposti al vertice sono congruenti.
Q
N
Hp.:
MOQ opposto al vertice di PON
Th.:
MOQ ≅ PON
O
P
M
Dimostrazione
Basta osservare che gli angoli MOQ e PON sono entrambi supplementari dell’angolo QON (poiché,
per ipotesi MOQ e PON sono angoli opposti al vertice) per cui, in base al teorema precedente, si ha:
MOQ ≅ PON
C.V.D.
(Il teorema può essere visto direttamente come un corollario del teorema precedente).
PROVA TU
In relazione alla figura 55, stabilisci quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali false:
β
γ
α
δ
(fig. 55)
a) α e γ sono supplementari
V
F
b) γ e δ sono complementari
V
F
c) α e γ sono congruenti
V
F
d) β e γ sono supplementari
V
F
e) α e γ sono opposti al vertice
V
F
f) γ e β sono congruenti
V
F
g) β e δ sono complementari
V
F
24
UNITÀ 2
I TRIANGOLI
2.1 I poligoni
Si chiama poligono la figura formata da una poligonale (chiusa non intrecciata) e dalla parte finita
di piano da essa delimitata.
In un poligono chiamiamo:
•
vertici del poligono i vertici della poligonale;
•
lati del poligono i lati della poligonale;
•
contorno del poligono la poligonale stessa;
•
punti interni i punti del poligono non situati sul contorno;
•
punti esterni tutti gli altri punti del piano, esclusi quelli del contorno;
•
perimetro del poligono il segmento somma dei lati del poligono.
Per indicare un poligono fissiamo un primo vertice e scriviamo ordinatamente, una accanto all’altra,
le lettere dei successivi vertici procedendo in senso antiorario.
In fig. 1 è rappresentato il poligono ABCDEF.
D
E
C
F
B
(fig. 1)
A
Faremo sempre la distinzione tra poligono convesso e poligono concavo, in accordo con le
definizioni date di figura convessa e di figura concava (pag. 8, unità 1).
La fig. 2 ti dovrebbe permettere, comunque, di ricavare le definizioni di poligono convesso e di
poligono concavo (PROVA TU):
P
1
P
2
A
B
Poligono convesso
Poligono concavo
(fig. 2)
Quando nel seguito parleremo di poligono senza ulteriore specificazione, intenderemo sempre
poligono convesso.
25
In un poligono convesso chiamiamo:
o angolo interno o angolo del poligono ognuno degli angoli che ha vertice in un vertice del
poligono e per lati le semirette che contengono i lati uscenti da quel vertice (fig. 3a);
o angolo esterno ciascun angolo adiacente ad un angolo interno (fig. 3b).
Angolo
esterno
Angolo
esterno
Angoli
interni
Angolo
esterno
Angolo
esterno
Angolo
esterno
(fig. 3a)
(fig. 3b)
Osserva che ad ogni angolo interno si possono associare due angoli esterni, congruenti tra di loro
perché opposti al vertice (fig. 4):
Angolo esterno
Angolo interno
Angolo esterno
(fig. 4)
Inoltre (fig. 5) definiamo:
•
corda ogni segmento che unisce due qualsiasi punti del contorno del poligono che non
appartengono allo stesso lato;
•
diagonale ogni corda che unisce due vertici non consecutivi.
D
F
corda
E
G
C
.
diagonale
A
B
(fig. 5)
26
I poligoni hanno nomi diversi a seconda del numero di lati (o dei vertici o degli angoli) di cui sono
costituiti e che non possono essere meno di tre.
Nella seguente tabella sono riportati i nomi di alcuni poligoni:
Numero dei lati
Nome del poligono
3
triangolo
4
quadrilatero
5
pentagono
6
esagono
7
ettagono
8
ottagono
9
ennagono
10
decagono
11
endecagono
12
dodecagono
In generale, se i lati sono n si parlerà di poligono di n lati.
Un poligono si dice:
•
equilatero se ha tutti i lati congruenti tra loro;
•
equiangolo se ha tutti gli angoli interni congruenti tra loro;
•
regolare se è equiangolo ed equilatero.
PROVA TU
o Quante diagonali ha un triangolo?
□
2
□1
□ nessuna
□3
o Quante diagonali puoi tracciare dal vertice di un poligono di 5 lati?
□3
□5
□4
□2
o Dimostra che il numero delle diagonali di un poligono convesso di n lati è pari a n ⋅ (n − 3) .
2
o Disegna un ettagono e individua gli angoli interni, gli angoli esterni e le diagonali.
o Disegna un poligono con nove diagonali.
27
2.2 I triangoli
o Un triangolo è un poligono con tre lati (fig. 6):
C
B
A
(fig. 6)
Riferendoci al triangolo ABC della fig. 6, distinguiamo:
-
tre vertici: i punti A, B, C;
-
tre lati: i segmenti AB, BC, CA;
-
tre angoli: gli angoli convessi CAB, ABC, BCA.
I lati e gli angoli vengono detti elementi del triangolo.
L’unione dei tre lati, cioè l’insieme dei loro punti, costituisce il contorno del triangolo; il segmento
somma dei tre segmenti è il perimetro del triangolo.
Si dicono interni i punti del triangolo che non appartengono al suo contorno, esterni i punti che non
appartengono al triangolo.
In un triangolo, ogni lato si dice opposto all’angolo il cui vertice non appartiene al lato stesso e
adiacente agli altri due angoli; analogamente, ogni angolo si dice opposto al lato che non contiene
il suo vertice e adiacente agli altri due lati.
Relativamente alla fig. 6 si ha, ad esempio, che:
-
il lato AB è opposto all’angolo ACB ed è adiacente agli angoli BAC e ABC;
-
l’angolo BAC è opposto al lato BC ed è adiacente ai lati AB e AC.
PROVA TU
Riferendoti sempre alla fig. 6, completa le frasi seguenti:
a) il lato BC è opposto all’angolo ……… ed è adiacente agli angoli ……… e ……… ;
b) l’angolo ABC è opposto al lato ……... ed è adiacente ai lati …………… e ……… ;
c) il lato AC è opposto all’angolo ……… ed è adiacente agli angoli ……… e ……… ;
d) l’angolo ACB è opposto al lato ……... ed è adiacente ai lati …………… e ……… .
28
2.3 Classificazione dei triangoli rispetto ai lati
Un triangolo si dice:
•
equilatero se ha tutti i tre lati congruenti (fig. 7a);
•
isoscele se ha due lati congruenti (fig. 7b);
•
scaleno se non ha alcuna coppia di lati congruenti (fig. 7c).
C
(fig. 7a)
A
B
F
D
(fig. 7b)
E
I
G
H
(fig. 7c)
“Soffermiamoci” un po’ sul triangolo isoscele.
Consideriamo il triangolo isoscele ABC in cui AC ≅ BC (fig. 8):
C
o i due lati congruenti, AC e BC, vengono detti lati
obliqui;
o il terzo lato, AB, si chiama base;
o l’angolo ACB, opposto alla base, è detto angolo
al vertice;
A
B
(fig. 8)
o gli angoli BAC e ABC, adiacenti alla base, si
dicono angoli alla base.
29
PROVA TU
Riferendoti alla fig. 9, completa le seguenti frasi:
R
Q
(fig. 9)
P
o Il triangolo PQR è isoscele sulla base …….. ;
o L’angolo al vertice è l’angolo …….. ;
o I lati obliqui sono …………… ;
o Gli angoli adiacenti alla base sono gli angoli ……… e ……… .
♦ COSTRUIAMO un triangolo isoscele, date la base b e l’altezza h ad essa relativa:
b
h
Consideriamo il segmento AB di lunghezza b:
A
B
e determiniamo il suo punto medio M:
A
*
. *
M
B
Tracciamo la retta a perpendicolare ad AB in M:
a
A
*
. *
M
B
CONTINUA …..
30
2.4 La congruenza dei triangoli
Abbiamo già detto che due figure sono congruenti se è possibile sovrapporle in modo tale che
combacino perfettamente.
Consideriamo, in particolare, due triangoli congruenti ABC e A'B'C' (fig. 10):
C
C'
.
.
//
*
/
A
//
*
B
/
A'
(fig. 10)
B'
È possibile, qui, stabilire una corrispondenza tra i vertici dei due triangoli:
A ↔ A' , B ↔ B' , C ↔ C'
così che angoli e lati corrispondenti siano congruenti, cioè:
A ≅ A' , B ≅ B' , C ≅ C'
AB ≅ A'B' , BC ≅ B'C' , AC ≅ A'C' .
Nel caso dei triangoli, per stabilire che sono congruenti, non è necessario verificare che tutti e sei i
rispettivi elementi - lati e angoli - sono ordinatamente congruenti; è sufficiente stabilire solo la
congruenza di alcuni elementi.
Esistono, infatti, tre criteri, noti come criteri di congruenza dei triangoli, che permettono di
stabilire la congruenza di due triangoli sapendo che sono congruenti solo tre particolari coppie di
elementi.
Primo criterio di congruenza dei triangoli
Due triangoli sono congruenti se hanno due lati e l’angolo fra essi compreso ordinatamente
congruenti.
C
C'
*
A
AB ≅ A'B'
Hp.:
*
/
B
A'
AC ≅ A'C'
A ≅ A'
/
B'
Th.:
ABC ≅ A'B'C'
Dimostrazione
Poiché, per ipotesi, A ≅ A', possiamo, con un movimento rigido, trasportare l’angolo A e farlo
coincidere con l’angolo A' in maniera che il vertice A coincida con il vertice A', il lato AB si
sovrapponga al lato A'B' e il lato AC al lato A'C'.
31
Essendo:
AB ≅ A'B'
per ipotesi,
AC ≅ A'C'
per ipotesi,
il movimento rigido fa anche coincidere B con B' e C con C', cioè fa coincidere tutti e tre i vertici.
I due triangoli risultano pertanto sovrapponibili e, quindi, sono congruenti.
C.V.D.
In realtà, volendo essere rigorosi, dovremmo assumere come postulato il primo criterio di
congruenza dei triangoli e, partendo da questo, dimostrare gli altri due criteri.
Come già accennato nell’unità 1, parlando di figure congruenti (pag. 11), abbiamo “scelto” un
punto di vista intuitivo e facciamo riferimento al movimento rigido, legato alla nostra esperienza,
come spostamento di oggetti senza che questi subiscano alcuna deformazione.
Secondo criterio di congruenza dei triangoli
Due triangoli sono congruenti se hanno un lato e i due angoli ad esso adiacenti ordinatamente
congruenti.
C
C'
AB ≅ A'B'
Hp.: A ≅ A'
B ≅ B'
/
A
B
A'
/
B'
Th.:
ABC ≅ A'B'C'
Dimostrazione
Poiché:
AB ≅ A'B'
per ipotesi,
con un movimento rigido portiamo il lato AB a sovrapporsi al lato A'B' in modo che A ≡ A', B ≡ B',
l’angolo BAC vada sopra l’angolo B'A'C' e l’angolo ABC vada sopra l’angolo A'B'C'.
In questo modo:
-
la semiretta AC si sovrappone alla semiretta A'C' ;
-
la semiretta BC si sovrappone alla semiretta B'C' ,
e quindi il punto C, comune alle semirette AC e BC, coincide con il punto C', comune alle semirette
A'C' e B'C'.
Pertanto vengono a coincidere i tre vertici e quindi i due triangoli sono congruenti.
C.V.D.
32
Vediamo alcune proprietà del triangolo isoscele, conseguenze dei primi criteri di congruenza dei
triangoli.
TEOREMA
Se un triangolo è isoscele, allora gli angoli alla base sono congruenti.
C
Hp.: AC ≅ BC
Th.: BAC ≅ ABC
A
B
Dimostrazione
Tracciamo la bisettrice dell’angolo di vertice C ed indichiamo con D il suo punto di intersezione
con la base AB (“segnare ACD e BCD con il simbolo
. ”).
C
..
A
D
B
Consideriamo, quindi, i triangoli ACD e BCD; essi hanno:
AC ≅ BC
per ipotesi;
CD
in comune
ACD ≅ BCD
per costruzione.
( o CD ≅ CD per la proprietà riflessiva della congruenza);
I due triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso ordinatamente congruenti, sono
congruenti per il 1° criterio di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, gli elementi
corrispondenti congruenti, in particolare:
CAD ≅ CBD , il che è lo stesso dire:
BAC ≅ ABC
(“segnare BAC e ABC con il simbolo
”).
C.V.D.
33
[Al termine del teorema la figura si presenta come segue:
C
..
A
D
B
]
TEOREMA INVERSO
Se un triangolo ha due angoli congruenti, allora è isoscele.
C
Hp.: BAC ≅ ABC
Th.: AC ≅ BC
A
B
Dimostrazione
Tracciamo le bisettrici AD e BE rispettivamente degli angoli BAC e ABC:
C
E
A
D
B
e osserviamo che:
BAD ≅ CAD ≅ ABE ≅ CBE
perché metà di angoli congruenti (“segnare BAD , CAD ,
ABE e CBE con il simbolo
. ”).
34
Si ha quindi:
C
E
D
..
..
A
B
Consideriamo i triangoli ABD e ABE che, per maggiore chiarezza, rappresentiamo a parte:
D
E
.
.
A
A
B
B
Essi hanno:
AB
(o AB ≅ AB per la proprietà riflessiva della congruenza);
in comune
ABD ≅ BAE
per ipotesi;
BAD ≅ ABE
per precedente osservazione (metà di angoli congruenti).
I due triangoli, avendo un lato e i due angoli ad esso adiacenti ordinatamente congruenti, sono
congruenti per il 2° criterio di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli altri elementi
corrispondenti congruenti, cioè:
AD ≅ BE
(“segnare AD e BE con il simbolo * ”);
ADB ≅ AEB
(“segnare ADB e AEB con il simbolo
BD ≅ AE
(“segnare BD e AE con il simbolo ~ ”).
o
”);
Si ha quindi:
C
E
~
..
A
o
o
*
*
D
~
..
B
35
Consideriamo ora i triangoli CAD e CBE che, per maggiore chiarezza, rappresentiamo a parte:
C
C
D
E
*
.
*
.
B
A
Essi hanno:
AD ≅ BE
per precedente dimostrazione;
CAD ≅ CBE
per precedente osservazione (metà di angoli congruenti);
ADC ≅ BEC
perché supplementari rispettivamente degli angoli congruenti ADB
e AEB (“segnare ADC e BEC con il simbolo
”).
I due triangoli, avendo un lato e i due angoli ad esso adiacenti ordinatamente congruenti, sono
congruenti per il 2° criterio di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli altri elementi
corrispondenti congruenti, in particolare:
AC ≅ BC
(“segnare AC e BC con il simbolo
”).
C.V.D.
[Al termine del teorema la figura si presenta come segue:
C
E
~
o
..
A
o
*
*
D
~
..
B
]
I due ultimi teoremi si possono “unificare” nella seguente proposizione:
Condizione necessaria e sufficiente affinchè un triangolo sia isoscele è che abbia due angoli
congruenti.
Corollario:
Un triangolo equiangolo è anche equilatero (PROVA TU).
36
Terzo criterio di congruenza dei triangoli
Due triangoli sono congruenti se hanno i tre lati ordinatamente congruenti.
C
C'
//
*
/
A
AB ≅ A'B'
B
Hp.:
//
*
AC ≅ A'C'
BC ≅ B'C'
/
A'
B'
Th.:
ABC ≅ A'B'C'
Dimostrazione
Nel semipiano avente per origine la retta AB e non contenente C, conduciamo la semiretta AR che
forma con AB l’angolo BAR congruente a B'A'C' (“segnare BAR e B'A'C' con il simbolo
C
//
//
*
.
/
.
”).
C'
*
A
.
B
/
A'
B'
R
Sulla semiretta AR prendiamo il punto C'' tale che AC'' ≅ A'C' (“segnare AC'' con il simbolo * ”) e
congiungiamo C'' con B.
C'
C
//
*
A
.
/
//
*
.
B
A'
/
B'
*
C''
R
Consideriamo i triangoli ABC'' e A'B'C'; essi hanno:
AB ≅ A'B'
per ipotesi;
AC'' ≅ A'C'
per costruzione;
BAC'' ≅ B'A'C'
per costruzione.
37
I due triangoli, avendo due lati e l'angolo fra essi compreso ordinatamente congruenti, sono
congruenti per il 1° criterio di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli elementi
corrispondenti congruenti, in particolare:
BC'' ≅ B'C' (“segnare BC'' con il simbolo // ”).
La nostra figura è ora la seguente:
C
//
*
A
/
.
B
//
*
C''
R
Congiungiamo C con C'' (in figura i segmenti CC'' e AB si incontrano in un punto interno al
segmento AB):
C
//
*
A
.
/
*
B
//
C''
R
e osserviamo che:
AC ≅ AC''
per la proprietà transitiva della congruenza (AC ≅ A'C' ∧ A'C' ≅ AC'') [i lati
AC e AC'' sono già segnati con lo stesso simbolo * ],
per cui il triangolo ACC'' è isoscele sulla base CC'' e quindi:
ACC'' ≅ AC''C perché angoli alla base di un triangolo isoscele (“segnare ACC'' e AC''C
con il simbolo
”).
Analogamente:
BC ≅ BC'' ,
per cui il triangolo BCC'' è isoscele sulla base CC'' e quindi:
BCC'' ≅ BC''C
(“segnare BCC'' e BC''C con il simbolo
”).
38
Si ha, quindi, la seguente figura:
C
//
*
A
.
/
*
B
//
C''
R
Consideriamo ora i triangoli ABC e ABC''; essi hanno:
AC ≅ AC''
per precedente osservazione;
BC ≅ BC''
per precedente osservazione;
ACB ≅ AC''B
perché somma di angoli congruenti (ACC'' ≅ AC''C ∧ BCC'' ≅ BC''C).
I due triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso ordinatamente congruenti, sono
congruenti per il 1° criterio di congruenza dei triangoli.
Pertanto:
ABC ≅ ABC'' ∧ ABC'' ≅ A'B'C'.
e quindi:
ABC ≅ A'B'C' per la proprietà transitiva della congruenza.
C.V.D.
PROVA TU
Un’analoga dimostrazione può essere condotta nei seguenti casi:
•
i segmenti CC'' e AB si incontrano in B (o in A);
•
il segmento CC'' interseca il prolungamento di AB.
PROVA TU
Una sola delle seguenti affermazioni è vera. Quale?
Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti, rispettivamente:
a) tre angoli;
b) due lati e un angolo;
c) tre lati;
d) un angolo e un lato;
e) nessuna delle risposte precedenti è corretta.
39
2.5 Le disuguaglianze nei triangoli
TEOREMA (PRIMO TEOREMA DELL’ANGOLO ESTERNO)
In un triangolo, ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti
ad esso.
C
.
Hp.:
Th.:
CBD angolo esterno
CBD > ACB
CBD > BAC
A
B
D
Dimostrazione
Tracciamo la mediana AM del lato BC (“segnare BM e CM con il simbolo * ”) e sul suo
prolungamento fissiamo il punto E in modo che AM ≅ ME (“segnare AM ed ME con il simbolo
”).
Congiungiamo B con E:
C
E
.
* M
.
*
A
B
D
Consideriamo i triangoli ACM e BEM; essi hanno:
CM ≅ BM
per costruzione;
AM ≅ ME
per costruzione;
AMC ≅ BME perché angoli opposti al vertice (“segnare AMC e BME con il simbolo
o ”).
I due triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso ordinatamente congruenti, sono
congruenti per il 1° criterio di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli elementi
corrispondenti congruenti, in particolare:
ACM ≅ MBE (“segnare MBE con il simbolo
. ”).
La nostra figura è ora la seguente:
C
E
.
* M
o
.o
*
A
.
B
D
40
Osserviamo che l’angolo CBE è una parte dell’angolo CBD, per cui:
CBD > CBE
cioè:
CBD > ACB.
Analogamente, tracciando la mediana CN ……... si dimostra che: CBD > BAC (PROVA TU).
C.V.D.
COROLLARIO
In ogni triangolo, la somma di due angoli interni è sempre minore di un angolo piatto.
PROVA TU a completare la dimostrazione del corollario, con riferimento alla figura seguente:
C
Hp.: ABC triangolo
Th.:
A
B
ABC + ACB < π
D
Dimostrazione
Osserviamo che:
ACB < …….
per il teorema dell’angolo esterno;
e, aggiungendo ad ambo i membri l’angolo ABC, si ha:
ABC + ……. < ABC + …….
cioè:
…………….. < π .
C.V.D.
Conseguenze (PROVA TU):
1) Ogni triangolo può avere al massimo un angolo retto; gli altri due angoli sono acuti.
2) Ogni triangolo può avere al massimo un angolo ottuso; gli altri due angoli sono acuti.
3) Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono acuti.
41
2.6 Classificazione dei triangoli rispetto ai lati
Quanto detto permette la classificazione dei triangoli rispetto agli angoli.
Un triangolo si dice:
•
acutangolo se ha tutti i tre angoli acuti (fig.11a);
•
rettangolo se ha un angolo retto (fig.11b);
•
ottusangolo se ha un angolo ottuso (fig.11c).
α < 90°
β < 90°
γ < 90°
γ
β
α
(fig. 11a)
α = 90°
β < 90°
γ < 90°
γ
α
β
(fig. 11b)
γ
α
β
(fig. 11c)
α > 90°
β < 90°
γ < 90°
In un triangolo rettangolo, i due lati che formano l’angolo retto vengono detti cateti, il lato opposto
all’angolo retto viene detto ipotenusa.
ipotenusa
cateto
cateto
42
PROVA TU
Fra le seguenti affermazioni una è falsa. Quale?
Un triangolo può avere:
a) tutti e tre gli angoli acuti;
b) più di un angolo esterno ottuso;
c) un angolo acuto e due ottusi;
d) due angoli acuti e uno retto;
e) due angoli acuti e uno ottuso;
f) un angolo ottuso.
TEOREMA
In ogni triangolo, con due lati non congruenti, a lato maggiore si oppone angolo maggiore.
C
A
Hp.:
AC > BC
Th.:
ABC > BAC
B
Dimostrazione
Poiché per ipotesi AC > BC, si ha che esiste un punto D, interno ad AC, tale che:
CD ≅ BC
( “segnare CD e BC con il simbolo * ”).
Congiungiamo D con B , così da avere la seguente figura:
C
*
*
D
A
B
43
Osserviamo che il triangolo BCD è isoscele sulla base BD e perciò:
CDB ≅ CBD
angoli alla base di un triangolo isoscele (“segnare CDB e CBD con il
simbolo
.
”).
La figura è ora la seguente :
C
*
*
D
.
.
A
B
Poiché BD è interno all’angolo ABC, si ha che:
ABC > CBD
e quindi, essendo CDB ≅ CBD , risulta:
ABC > CDB.
Ma:
CDB > BAD in quanto l’angolo CDB è esterno al triangolo ABD (teorema pag. 40),
per cui :
ABC > BAD per la proprietà transitiva della relazione “ > ” ,
il che è lo stesso dire :
ABC > BAC.
C.V.D.
[Al termine del teorema la figura si presenta come segue:
C
(Figura riportata … per completezza)
*
D
A
.
*
.
B
]
44
TEOREMA INVERSO
In ogni triangolo, con due angoli non congruenti, ad angolo maggiore si oppone lato maggiore.
C
A
Hp.:
ABC > ACB
Th.:
AC > AB
B
Dimostrazione
Supponiamo per assurdo che non sia AC > AB.
Se:
•
AC < AB, si avrebbe, per il teorema precedente:
ABC < ACB,
contro l’ipotesi.
•
AC ≅ AB, il triangolo ABC sarebbe isoscele sulla base BC e quindi:
ABC ≅ ACB,
contro l’ipotesi.
Pertanto, non potendo essere AC < AB né AC ≅ AB, si conclude che:
AC > AB.
C.V.D.
PROVA TU
Considera un triangolo ABC isoscele sulla base AB. Prendi un punto D sul lato AC e dimostra che
BD > AD.
45
La relazione fra i lati di un triangolo è definita dal seguente teorema:
TEOREMA
In ogni triangolo un lato è minore della somma degli altri due lati e maggiore della loro
differenza.
C
Hp.:
Th.:
ABC triangolo
AB < AC + BC
AB > AC - BC
A
B
Dimostrazione
Ovviamente basta dimostrare il teorema per il lato maggiore (nel nostro caso AB). PERCHE’?
Prolunghiamo il lato AC, dalla parte di C, di un segmento CD ≅ CB (“segnare CD e CB con il
simbolo * ”) e congiungiamo D con B .
Si ottiene la seguente figura:
D
*
C
*
A
B
Osserviamo che il triangolo BCD è isoscele sulla base BD, per cui:
CBD ≅ CDB perché angoli alla base di un triangolo isoscele (“segnare CBD e CDB con il
simbolo
.
”).
Si ha:
D
.
*
C
*
.
A
B
46
Poiché BC è interno all'angolo ABD, risulta:
ABD > CBD,
e quindi anche
ABD > CDB (poiché CBD ≅ CDB).
Pertanto nel triangolo ABD si ha:
AB < AD
perché ad angolo maggiore è opposto lato maggiore,
e quindi :
AB < AC + CD,
cioè, essendo CD ≅ BC,
AB < AC + BC.
Come già detto, la disuguaglianza vale ovviamente anche per gli altri lati, cioè:
•
BC < AB + AC
•
AC < AB + BC
Inoltre:
AC < AB + BC ⇒ (sottraendo ad ambo i membri BC) ⇒ AC – BC < AB + BC – BC ⇒
⇒ AC – BC < AB ;
cioè:
AB > AC – BC .
C.V.D.
Questo teorema evidenzia che tre segmenti qualsiasi non possono essere sempre lati di un
triangolo; occorre che ciascuno di essi sia, appunto, minore della somma degli altri due e maggiore
della loro differenza.
PROVA TU
Prendi tre bastoncini di lunghezza 8 cm , 9 cm e 15 cm e costruisci un triangolo.
Prendi tre bastoncini di lunghezza 7 cm , 13 cm e 5 cm e costruisci un triangolo.
Quali conclusioni puoi trarre?
47
MA PRIMA …………. QUATTRO
CONSIGLI FONDAMENTALI
1.
2.
3.
1. LEGGI ATTENTAMENTE IL TESTO DEL PROBLEMA.
4.
2. DISEGNA, UTILIZZANDO SQUADRA E COMPASSO,
UNA FIGURA ABBASTANZA GRANDE, SECONDO LE
INDICAZIONI DEL TESTO. “SEGNA”, CON UNO
STESSO
SIMBOLO,
GLI
ELEMENTI
CHE
SAI
ESSERE CONGRUENTI.
3. SCRIVI L’IPOTESI E LA TESI.
4. UTILIZZA L’IPOTESI PER PERVENIRE ALLA TESI
(tranne nelle dimostrazioni per assurdo).
48
ANCORA ………. CONSIGLI:
o Per dimostrare che sono congruenti alcuni lati o angoli, devi considerare, in genere, triangoli
che “contengano” quei lati o quegli angoli, deducendo la loro congruenza in base ad uno dei
criteri di congruenza dei triangoli. Nel caso dovesse mancare “qualcosa”, sarà necessario
considerare altri triangoli, o altre proprietà, che ti permettano di dedurre quel “qualcosa”,
indispensabile, e propedeutico, alla dimostrazione.
o Quando ti viene detto di considerare un triangolo, senza nessuna altra ipotesi sui suoi lati o
angoli, devi disegnare un triangolo qualsiasi, cioè un triangolo non particolare [né
isoscele, né equilatero, né con angoli particolari (30°, 45°, 60°, 90°, …)].
Dato un triangolo ABC, prendere …
C
C
C
SI'
A
NO
B
A
B
NO
A
B
o Così, quando si dice di prendere un punto P su un dato segmento AB, non devi mai fissare P
“nel” punto medio,… o “vicino” al punto medio, ma in punto, interno al segmento,
“lontano” dal punto medio.
.
A
.
A
*
.
P
.
*
B
.
P
.
B
NO
SI'
o Dato un angolo AOB, considera una semiretta OC interna all’angolo AOB. PROVA TU a
disegnare una figura corretta e una figura particolare (da non fare!).
Tutto questo per evitare che figure particolari possano indurti a conclusioni affrettate e/o a
considerazioni che non abbiano rispondenza alcuna con i dati del problema in oggetto.
49
1° Problema risolto
Dato il triangolo ABC, si prolunghino i lati AB e AC, oltre A, rispettivamente di due segmenti AD
ed AE con AD ≅ AB e AE ≅ AC. Dimostrare che BC ≅ DE.
C
Hp.:
*
/
D
/
A
B
Th.:
AD ≅ AB
AE ≅ AC
BC ≅ DE
*
E
Dimostrazione
Consideriamo i triangoli ABC e ADE; essi hanno:
AB ≅ AD
per ipotesi;
AC ≅ AE
per ipotesi;
BAC ≅ DAE perché angoli opposti al vertice (“segnare BAC e DAE con il simbolo
. ”).
I due triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso ordinatamente congruenti, sono
congruenti per il 1° criterio di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli elementi
corrispondenti congruenti, in particolare:
BC ≅ DE
(“segnare BC e DE con il simbolo // ”).
C.V.D.
[Al termine del problema la figura si presenta come segue:
C
//
*
.
.A
/
D
//
/
B
*
E
]
50
2° Problema risolto
Dato il triangolo isoscele ABC, sia D un punto della base AB. Si considerino su AC il segmento
AE ≅ BD e su BC il segmento BF ≅ AD. Si dimostri che il triangolo DEF è isoscele.
C
AC ≅ BC
Hp.:
E
BF ≅ AD
F
o
Th.:
A
o
D
AE ≅ BD
DEF isoscele
B
Dimostrazione
Consideriamo i triangoli ADE e BDF; essi hanno:
AE ≅ BD
per ipotesi;
AD ≅ BF
per ipotesi;
DAE ≅ DBF
perché angoli alla base di un triangolo isoscele.
I due triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso ordinatamente congruenti, sono
congruenti per il 1° criterio di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli elementi
corrispondenti congruenti, in particolare:
DE ≅ DF
(“segnare DE e DF con il simbolo * ”),
per cui il triangolo DEF risulta isoscele sulla base EF.
C.V.D.
[Al termine del problema la figura si presenta come segue:
C
E
F
o
A
*
*
D
o
B
]
51
3° Problema risolto
Sui prolungamenti della base BC di un triangolo isoscele ABC si riportino i segmenti congruenti
BD e CE. Dimostrare che il triangolo ADE è isoscele.
A
D
//
B
C
//
AB ≅ AC
Hp.:
BD ≅ CE
Th.:
ADE isoscele
E
Dimostrazione
Consideriamo i triangoli ABD e ACE; essi hanno:
AB ≅ AC
per ipotesi;
BD ≅ CE
per ipotesi;
ABD ≅ ACE in quanto supplementari di angoli congruenti [ABC ≅ ACB perché angoli alla
base di un triangolo isoscele (“segnare ABD e ACE con il simbolo
. ”)].
I due triangoli, avendo due lati e l’angolo fra di essi compreso ordinatamente congruenti, sono
congruenti per il 1° criterio di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli elementi
corrispondenti congruenti, in particolare:
AD ≅ AE
(“segnare AD e AE con il simbolo * ”),
per cui il triangolo ADE è isoscele sulla base DE.
C.V.D.
[Al termine del problema la figura si presenta come segue:
A
D
//
*
*
.
.
B
C
//
E
]
52
4° Problema risolto
Dato un triangolo ABC, si prolunghino i lati AB e AC rispettivamente dei segmenti AD ≅ AC ed
AE ≅ AB. Detto F il punto di intersezione delle rette DE e CB, dimostrare che:
•
il triangolo BEF è isoscele;
•
la semiretta FA è bisettrice dell’angolo BFE.
F
C
AD ≅ AC
Hp.:
D
/
DE ∩ CB = {F}
B
A
AE ≅ AB
Th.:
BEF isoscele
EFA ≅ BFA
E
Dimostrazione
Osserviamo che:
AE ≅ AB
per ipotesi,
e quindi il triangolo ABE è isoscele sulla base BE.
Si ha, pertanto, che:
AEB ≅ ABE perché angoli alla base di un triangolo isoscele (“segnare AEB e ABE con il
. ” ).
simbolo
F
C
D
/
A
.
B
.
E
53
Consideriamo ora i triangoli ADE e ABC; essi hanno:
AD ≅ AC
per ipotesi;
AE ≅ AB
per ipotesi;
DAE ≅ BAC
perché angoli opposti al vertice (“segnare DAE e BAC con il simbolo
” ).
I due triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso ordinatamente congruenti, sono
congruenti per il 1° criterio di congruenza dei triangoli. Avranno, quindi, tutti gli elementi
corrispondenti congruenti, in particolare:
AED ≅ ABC
(“segnare AED e ABC con il simbolo
” ).
F
C
D
/
A
.
B
.
E
Si ha, pertanto, che:
FEB ≅ FBE
perché somme di angoli congruenti,
e quindi il triangolo BEF risulta isoscele sulla base BE, per cui:
FE ≅ FB
(“segnare FE e FB con il simbolo // ” ).
Congiungiamo A con F (solo ora!):
F
C
//
D //
/
A
.
B
.
E
54
Consideriamo i triangoli FAE e FAB; essi hanno:
FE ≅ FB
per quanto precedentemente osservato;
AE ≅ AB
per ipotesi;
AF
in comune (o AF ≅ AF per la proprietà riflessiva della congruenza).
I due triangoli, avendo i tre lati ordinatamente congruenti, sono congruenti per il 3° criterio di
congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli elementi corrispondenti congruenti, in
particolare:
EFA ≅ BFA
(“segnare EFA e BFA con il simbolo
o
”).
C.V.D.
[Si poteva dimostrare la congruenza dei triangoli FAE e FAB con il 1° criterio di congruenza
(AE ≅ AB; FE ≅ FB; AEF ≅ ABF)].
[Al termine del problema la figura si presenta come segue:
F
o
o
C
//
D //
/
A
.
B
.
E
]
OSSERVAZIONE (volutamente … ritardata)
Nella risoluzione dei problemi, avrai notato che, una volta dimostrata la congruenza di due
triangoli, ci siamo spesso limitati a dedurre la congruenza solo di alcuni elementi corrispondenti (o
perché era quanto direttamente richiesto dal problema o perché, “lungimiranti”, avevamo compreso
quali relazioni ci servivano nel proseguo del nostro lavoro). Altre volte, “meno lungimiranti”, ma in
ogni caso non per miopia matematica, abbiamo preferito, nel dubbio, elencare tutti gli elementi
corrispondenti congruenti, anche se qualche relazione non è stata poi utilizzata nel proseguo della
dimostrazione.
55
PROVA TU a completare il seguente problema:
Sulla bisettrice di un angolo XAY si prenda un punto M e per esso si conducano due rette r, s non
parallele ai lati dell’angolo e tali che AM sia bisettrice di due degli angoli rs. Siano B e C le
intersezioni di r con i lati dell’angolo XAY, e D, E le intersezioni di s rispettivamente con gli stessi
lati. Dimostrare che BD ≅ EC.
Y
C
XAM ≅ …..
E
Hp.:
M
….. ≅ AME
.
.
Th.:
B
A
D
BD ≅ EC
X
s
r
Dimostrazione
Consideriamo i triangoli ABM e ……. ; essi hanno:
AM
……………..
(o AM ≅ ….. per la proprietà riflessiva della congruenza);
BAM ≅ EAM …………… ;
AMB ≅ AME …………… .
I due triangoli, avendo un lato e i due angoli ad essi adiacenti ordinatamente congruenti, sono
congruenti per il …. criterio di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli elementi
corrispondenti congruenti, in particolare:
….. ≅ AE
(“segnare ....... e ....... con il simbolo
/ ”).
Osserviamo inoltre che:
BMD ≅ …… perché angoli opposti al vertice (“segnare BMD e …… con il simbolo
”),
per cui:
…… ≅ AMC perché somme di angoli congruenti (AMB ≅ …… e …… ≅ CME).
Consideriamo ora i triangoli AMC e …… ; essi hanno:
AM
…………...
(o ….. ≅ AM per la proprietà …………… della congruenza);
…… ≅ CAM per ipotesi;
AMD ≅ …… per quanto precedentemente osservato.
56
I due triangoli, avendo un lato e i due angoli ad essi adiacenti ordinatamente congruenti, sono
congruenti per il ….. criterio di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli elementi
corrispondenti congruenti, in particolare:
AD ≅ …..
(“segnare AD e ..... con il simbolo
~ ”).
Si ha allora che:
BD ≅ EC
per …………………… di segmenti congruenti.
C.V.D.
[Al termine del problema la figura si presenta come segue:
Y
C
E
~
M
..
A
B
~
r
D
s
X
]
57
ESERCIZI UNITÀ 1 – 2: La geometria del piano – I triangoli.
BASTA CON LE ESPRESSIONI
CHILOMETRICHE!!!
VOGLIO FARE GEOMETRIA!
E ALLORA ADOTTIAMO
IL “BOOK IN PROGRESS”!
58
Conoscenza e comprensione
1) Cosa si intende con l’espressione “concetti o enti primitivi”?
2) Quali sono i concetti primitivi della geometria euclidea?
3) Che cos’è un assioma o postulato?
4) Che cos’è un teorema? E un corollario?
5) Quali sono le parti di un teorema?
6) Cosa vuol dire “dimostrare” un teorema?
7) Qual è la differenza fra una dimostrazione diretta ed una indiretta?
8) Scrivi almeno tre postulati della geometria euclidea.
9) Che cos’è un fascio di rette proprio?
10) Cosa vuol dire “orientare” una retta?
11) Che cos’è una semiretta? Ed un segmento?
12) Quando due segmenti si dicono consecutivi? E quando adiacenti?
13) Riferendoti alla seguente figura:
D
.
A.
.
C
.
.E
B
F
.
quale delle seguenti proposizioni è vera?
a)
BC e CD sono segmenti consecutivi, DE e EF sono segmenti adiacenti.
b)
AB e BC sono segmenti consecutivi, CD e DE sono segmenti adiacenti.
c)
AB e BC sono segmenti consecutivi, CD e EF sono segmenti adiacenti.
d)
BC e CD sono segmenti adiacenti, AB e BC sono segmenti adiacenti.
e)
AB e BC sono segmenti consecutivi, BC e CD sono segmenti adiacenti.
59
14) Che cos’è una spezzata?
15) Spiega la differenza fra una spezzata chiusa ed una spezzata aperta.
16) Quando una spezzata si dice intrecciata?
17) Una sola delle seguenti proposizioni è vera. Quale?
a) Due segmenti sono consecutivi se la loro intersezione è almeno un punto.
b) Due segmenti consecutivi sono sempre adiacenti.
c) Se l’intersezione di due segmenti è estremo sia di un segmento che dell’altro, allora i
due segmenti sono consecutivi.
d) L’intersezione di due segmenti è sempre un segmento nullo.
e) Se l’intersezione di due segmenti è l’estremo di un segmento, allora i due segmenti
sono consecutivi.
18) Stabilisci quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali false:
a) due rette si dicono complanari se appartengono a piani diversi.
V
F
b) per un punto del piano passano due sole rette.
V
F
c) per un punto del piano passano almeno tre rette.
V
F
d) per un punto del piano passano infinite rette.
V
F
e) su una retta vi sono almeno 10 punti.
V
F
f) due segmenti adiacenti non sono consecutivi.
V
F
g) due segmenti consecutivi non sono mai adiacenti.
V
F
h) se due rette r ed s sono tali che r ∩ s = Ø, allora le due rette sono coincidenti. V
F
i) un piano è individuato da tre punti distinti e allineati.
V
F
l) un piano è individuato da due rette incidenti.
V
F
m) un piano è individuato da una retta e da un punto su di essa.
V
F
n) un piano è individuato da una retta e da un punto non appartenente ad essa.
V
F
o) due rette possono avere almeno due punti in comune.
V
F
p) per tre punti distinti del piano può passare una sola retta.
V
F
60
19) Completa le seguenti affermazioni, aiutandoti con le opportune figure:
a) se P è un punto non appartenente ad una retta r, le rette passanti per P ed incidenti r
sono …………………… ;
b) un punto O di una retta r individua su r due ……………………… ;
c) per un punto A passano ……………..… rette, il cui insieme si dice ………….… di
….…..….... di …………….. A ;
d) due punti A e B di una retta r individuano su r due ..…………..…….….. e un
………...………….. ;
e) due segmenti AB e BC si dicono …………..……..…….. se hanno in comune solo
l’estremo ….. ;
f) due segmenti AB e BC si dicono adiacenti se ……………………………….…………
e ……………………………………………………………. ;
g) su una retta vi sono …………………… punti;
h) una retta di un piano lo divide in ……………………………… .
20) Stabilisci se sono vere o false le seguente affermazioni:
a) Una semiretta è la metà di una retta.
V
F
b) Due rette possono avere più di due punti in comune.
V
F
c) Due rette che hanno almeno due punti in comune sono parallele.
V
F
d) Per tre punti passano sempre almeno due rette.
V
F
e) Due rette sono sghembe se appartengono allo stesso piano.
V
F
f) Un segmento è un insieme infinito di punti.
V
F
g) Se l’intersezione di due segmenti è un segmento non nullo, allora
V
F
h) L’unione di due semirette aventi la stessa origine è una retta.
V
F
i) Se l’intersezione di due semirette è un segmento nullo, allora le
V
F
V
F
i due segmenti appartengono alla stessa retta.
semirette appartengono alla stessa retta.
l) L’intersezione di due rette complanari è sempre diversa dall’insieme vuoto.
61
21) Una sola delle seguenti proposizioni è vera. Quale?
a) Due segmenti appartenenti a semirette opposte sono adiacenti.
b) Due segmenti che hanno un punto in comune sono adiacenti.
d) Due segmenti sono adiacenti se la loro intersezione è un segmento non nullo.
e) Se due segmenti appartengono alla stessa retta e hanno un solo punto in comune, allora
sono adiacenti.
f) Due segmenti appartenenti alla stessa semiretta sono adiacenti.
22) Siano R, S, T tre punti di una retta orientata r ; se S precede R e T segue S, quale delle seguenti
affermazioni è sicuramente vera?
a) T precede R.
b) R segue T.
c) T segue R.
d) R coincide con T.
e) Nessuna delle precedenti proposizioni è vera.
23) Osserva la seguente figura:
.
.
.
.
A
C
B
D E
.
r
e completa le scritture date, inserendo al posto dei puntini, il termine “precede” o “segue”.
A ………………... C
C ………………... E
B ………………... E
E ………………... A
D ………………... A
A ………………... B
A ………………... D
B ………………... D
24) Facendo riferimento alla figura dell’esercizio precedente, stabilisci se se seguenti affermazioni
sono vere o false:
a)
B è interno al segmento BE
V
F
b)
D è esterno al segmento AB
V
F
c)
C è interno al segmento AD
V
F
d)
A è esterno al segmento AB
V
F
62
25) Con riferimento alla seguente figura, stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false:
D
.
F.
A
.
R.
r
a) F segue D
V
F
b) A precede D
V
F
c) R precede F
V
F
d) A segue R
V
F
e) R segue D
V
F
f) A precede F
V
F
g) D segue F
V
F
26) Cosa vuol dire che una figura è convessa? E che è concava?
27) Che cos’è un angolo? Quando due angoli si dicono consecutivi? E quando si dicono adiacenti?
28) Data la seguente figura:
b
β
α
O
a
Completa le seguenti scritture, sostituendo al posto dei puntini i termini corretti:
▪
O ………………… degli angoli α e β;
▪
…………………………... a e b : ………… degli ………………………… ;
▪
α angolo …………………. ;
▪
β …………………………. .
63
29) Osserva la seguente figura e completa:
a) L’angolo α si indica con …..… oppure con B......;
A
α
D
β
γ
B
C
b) L’angolo β si indica con ……..
oppure ……, ma
……… si indica con D;
c) DCB indica l’angolo …….;
d) BDA ….. indica l’angolo α;
e) BCD …. indica l’angolo β, ma indica l’angolo ……. .
30) Una sola delle seguenti affermazioni è falsa. Quale?
a) Un angolo acuto è una figura convessa.
b) L’intersezione di due figure convesse è sempre una figura convessa.
c) L’intersezione di due figure concave è sempre una figura concava.
d) Una semiretta è una figura convessa.
e) Un angolo piatto è una figura convessa.
31) Dato un angolo, esiste sempre il suo complementare? E il suo supplementare? E il suo
esplementare? Motiva le risposte.
32) Completa:
a) Due angoli si dicono consecutivi se hanno il ……………….. e un ………… in comune.
b) Due angoli si dicono adiacenti se sono ………………… e i lati ……………………….
…… appartengono alla ………… retta.
c) Due angoli sono opposti al vertice se i ……….... di uno sono i ………………………..
dei ………. dell’altro.
d) Due angoli sono ………….…………... quando la loro somma è un angolo retto.
e) Due angoli sono supplementari quando la ……….. ….……………
è un angolo
………….. .
f) Due angoli sono …………….…………… quando la loro ………….. è un angolo giro.
64
33) Stabilisci quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali false:
a) due angoli adiacenti sono anche consecutivi.
V
F
b) due angoli consecutivi sono anche adiacenti.
V
F
c) un angolo i cui lati sono coincidenti e che contiene tutti punti del piano
V
F
d) un angolo si dice concavo se contiene i prolungamenti dei suoi lati.
V
F
e) la somma di due angoli acuti è un angolo ottuso.
V
F
f) la somma di due angoli acuti può essere un angolo ottuso.
V
F
g) il doppio di un angolo acuto può essere ancora un angolo acuto.
V
F
h) il complementare di un angolo acuto è un angolo ottuso.
V
F
i) il supplementare di un angolo acuto è un angolo ottuso.
V
F
l) due angoli che hanno il vertice in comune sono consecutivi.
V
F
è l’angolo nullo.
34) Osserva la figura:
γ
δ
β
α
ϕ
r
Una sola delle seguenti affermazioni è vera. Quale?
a) α ≅ δ
b) γ è complementare di α
c) β è supplementare di ϕ
d) δ > β
e) ϕ è complementare di γ
65
35) Osserva la figura:
ϕ
β
δ
α
ω
r
γ
Una sola delle seguenti affermazioni è falsa. Quale?
a) β è complementare di δ
b) β > γ
c) α ≅ δ
d) ϕ è il supplementare di δ + γ
e) γ è il complementare di δ
36) Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) Il supplementare di un angolo acuto è ancora un angolo acuto.
b) Due angoli opposti al vertice sono supplementari.
c) L’esplementare di un angolo retto è l’angolo piatto.
d) Il supplementare di un angolo ottuso è sempre un angolo ottuso.
e) Due angoli opposti al vertice sono congruenti.
37) Che cos’è un poligono?
38) Che cosa si intende per diagonale di un poligono?
39) Quando un poligono si dice regolare?
40) Classifica i triangoli rispetto ai lati.
66
41) Riferendoti alla seguente figura, completa le scritture seguenti distinguendo i vari elementi:
C
A
B
a)
i punti A, B, C sono i ……………….. del triangolo;
b)
i segmenti …… , …… , …… sono i tre lati del triangolo;
c)
gli angoli convessi …… , ….… , ….… sono gli ……………………………….…
42) Quando due figure si dicono congruenti?
43) Perché la relazione di congruenza fra figure è una relazione d’equivalenza?
44) Stabilisci quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali false:
a)
Per ogni lato di un triangolo vi è un solo angolo adiacente.
V
F
b)
Ogni triangolo equilatero è isoscele.
V
F
c)
Se un triangolo non è isoscele, allora è scaleno.
V
F
d)
Ogni triangolo ha tre vertici.
V
F
e)
Un triangolo isoscele non può essere ottusangolo.
V
F
f)
Un triangolo acutangolo è sempre scaleno.
V
F
g)
Ogni segmento che ha per estremi due punti interni di un triangolo è
V
F
sempre interno al triangolo. (Cosa significa?)
h)
Un triangolo rettangolo può anche essere ottusangolo.
V
F
i)
Un angolo di un triangolo e l’angolo esterno adiacente ad esso sono
V
F
supplementari.
l)
Un triangolo isoscele può avere un solo angolo acuto.
V
F
m)
Un triangolo rettangolo non può essere isoscele.
V
F
67
45) Quali sono i criteri di congruenza dei triangoli? Scrivi il loro enunciato.
46) Se α, β e γ sono angoli di un triangolo e δ è l’angolo esterno adiacente a β, una sola delle
seguenti affermazioni è vera. Quale?
a) δ < β
b) γ ≅ δ
c) δ < α
d) δ > β
e) δ > γ
47) Le seguenti terne di numeri rappresentano le misure di tre segmenti; con quali di esse si può
formare un triangolo?
a) 15; 9; 6
b)
7; 7; 5
c) 25; 15; 8
d) 32; 20; 52
e)
7; 5; 13
f) 46; 23; 24
g) 38; 40; 70
48) Del triangolo FGK si sa che: FG < FK, KFG < KGF e KG > FG. Una sola delle seguenti
affermazioni è vera. Quale?
a) FG < FK < KG
b) KFG < FGK < FKG
c) FG < KG < FK
d) KFG < FKG < KGF
e) FK < FG < KG
68
Esercizi
La geometria del piano
1) Completa, utilizzando i simboli opportuni (∈ , ∉, ⊂ , ⊄ , ∩ , ≅ , // , … ), le relazioni tra gli enti
geometrici rappresentati in ciascuna delle seguenti figure:
r
s
.
r …. s = {P}
P
.A
A …. r
r
AB …… r = {B}
B …. r
.
B
r
s
r ….. s
.
A
*
.
.
*
M
B
.A
;
r …… = Ø
AM ….. MB
A ….. α
α
r
r ….. β
β
69
2) Disegna, nel piano, le seguenti figure geometriche:
a) due semirette tali che la loro intersezione sia un segmento;
b) due rette r ed s incidenti in un punto P;
c) le rette che passano per due punti distinti A e B;
d) le rette che passano per un punto D;
e) una retta orientata s e su di essa tre punti O, P, Q, tali che Q precede O e Q segue P;
f) due semirette aventi la stessa origine A;
g) due segmenti consecutivi;
h) due segmenti adiacenti;
i) una spezzata non intrecciata chiusa di 6 lati;
j) una spezzata intrecciata aperta di 5 vertici;
k) quattro punti, a tre a tre non allineati, e tutte le possibili rette da essi individuate;
l) quattro punti di cui tre allineati e tutte le possibili rette da essi individuate.
3) Completa, osservando la seguente figura:
.D
.
C
E.
r
.
.
A
B
t
s
r ∩ … = {A}
s ∩ t
= ….
E … t
… ∩ t = {B}
D …. t
ED ∩ …. = {D}
ED ∩ r = ….
BC ∩ …. = {C}
r ∩ BC = ....
D ...... s
AC ∩ .... = {C}
C ..... t
70
4) Confronta i segmenti della seguente figura e ridisegnali sul tuo quaderno in ordine crescente
(dal più piccolo al più grande) e, successivamente, in ordine decrescente (dal più grande al più
piccolo).
.
.
.
.
B
G
H
.
D
.
C
.
A
L
.
.
E
F
.
I
5) Confronta, utilizzando il compasso o per sovrapposizione con carta trasparente, i segmenti della
figura seguente. Sostituisci, poi, al posto dei puntini il simbolo corretto ( ≅ , < , >).
.
.
.
A
B
G
.
D
.
.
.
E
F
C
.
H
AB ….. CD
AB ….. EF
GH ….. AB
CD ….. EF
CD ….. GH
EF ….. GH
EF + CD ….. ….. + CD
GH − EF ….. CD
6) Riferendoti ai segmenti dell’esercizio precedente, costruisci le seguenti figure:
AB + CD
AB – CD
AB + EF
AB – EF
AB + GH
AB – GH
CD + EF
EF – CD
CD + GH
EF – GH
EF + GH
GH – CD
71
7) Riconosci quali delle seguenti figure sono convesse e quali concave:
8) Considera due segmenti AB e CD, con AB > CD. Costruisci, utilizzando squadra e compasso,
le seguenti figure:
a) il segmento somma;
b) il segmento differenza;
c) il segmento multiplo di AB secondo il numero 2;
d) il segmento multiplo di CD secondo il numero 3;
e) il segmento congruente al doppio di AB;
f) il segmento congruente ai
2
di AB;
3
g) il segmento congruente ai
3
di CD.
2
72
9) Dati due segmenti AB e CD, tali che 5AB ≅ 3CD, quale sottomultiplo comune puoi
individuare?
10) Osserva la figura e completa come nell’esempio:
GB ≅
1
PQ;
2
…. ≅ PQ;
…. ≅
5
PQ;
6
HR ≅ ….DI;
DI ≅ …. PQ;
SN ≅ …. HR;
7
….;
6
BG ≅ …. DI;
FM ≅
SN ≅ ….GB;
AE ≅ 7 ….;
…. ≅
2
AE;
5
…. ≅
3
….
7
11) Data la figura seguente:
r
.
.
A
B
determina su r, riproducendo ogni volta la figura data:
− il punto C tale che AC ≅ AB;
− il punto D tale che AD ≅ 2AB;
− il punto E tale che AE ≅
1
AB;
2
− il punto F tale che AF ≅
5
AB;
2
− il punto G tale che AG ≅
2
AB.
3
73
12) Disegna un triangolo ABC avente i lati di 5 cm, 3 cm e 2,7 cm. Costruisci, poi, un segmento
avente lunghezza pari al perimetro del triangolo.
13) Una spezzata di quattro lati ha il primo lato congruente al doppio del secondo, il terzo lato
congruente al secondo e il quarto lato congruente al doppio del primo. Sapendo che la somma
dei lati della spezzata misura 208 cm, quanto misura ogni lato?
[52 cm; 26 cm; 26 cm; 104 cm]
Esercizio guidato
14) In un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, i lati AB e AC superano ciascuno di 6 cm la base.
Sapendo che il perimetro del triangolo è 36 cm, calcola le misure dei lati.
COMPLETA:
A
AB ≅ AC
Hp.:
*
AB + BC + AC = 36 cm ( * )
*
Th.:
B
AB ≅ AC ≅ BC + 6 cm
AB = ? ; BC = ? ; AC = ?
C
[( * ) per la misura della lunghezza dei segmenti utilizziamo il segno di uguaglianza].
È opportuno il seguente ausilio grafico:
base
lato
lato
6 cm
6 cm
Si ha quindi:
3 . BC = 36 – (…. + ….) = …. – 12 = ….
BC = …. : 3 = .... cm
AB ≅ AC = …. + 6 = .… cm
74
15) Una spezzata aperta di quattro lati è lunga 84 cm. Il primo lato misura 36 cm, il secondo è la
quarta parte del primo e il terzo è congruente alla differenza dei primi due. Calcola la misura
del quarto lato.
[12 cm]
16) In un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, ciascuno dei lati supera di 12 cm la base. Sapendo
che il perimetro del triangolo è 72 cm, calcola la misura dei lati.
[16 cm; 28 cm; 28 cm]
17) In un triangolo ABC, retto in A, la somma delle lunghezza dei due cateti è 84 cm e uno è i
dell’altro. Sapendo che l’ipotenusa è i
3
4
5
del cateto maggiore, calcola il perimetro del triangolo.
4
[144 cm]
18) Un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, ha il perimetro di 55 cm. Sapendo che ciascuno dei
lati è i
3
della base, calcola la misura dei lati.
5
[25 cm; 15 cm; 15 cm]
19) Utilizzando squadra e compasso, determina il punto medio di ciascuno dei seguenti segmenti:
G.
F.
S.
.
L
.
.
M
T
20) Utilizzando squadra e compasso, disegna le seguenti figure:
a) un angolo concavo e un angolo convesso.
b) due angoli consecutivi.
c) due angoli adiacenti.
d) due angoli opposti al vertice.
e) un angolo convesso AOB e la sua bisettrice OC.
f) due angoli complementari.
g) due angoli supplementari.
h) due angoli esplementari.
75
21) Rappresenta le seguenti figure:
a. due angoli consecutivi complementari.
b. due angoli consecutivi supplementari (come si chiamano?).
c. due angoli consecutivi esplementari.
d. un angolo acuto AOB e il suo multiplo secondo il numero 3.
e. l’angolo acuto AOB del punto d) e il suo sottomultiplo secondo il numero 3.
f. un angolo triplo di un angolo retto.
22) Utilizzando squadra e compasso, costruisci un angolo congruente ad ognuno dei seguenti
angoli:
γ
α
ω
δ
β
76
23) Confronta, utilizzando squadra e compasso, o per sovrapposizione con carta trasparente, gli
angoli della figura seguente.
Sostituisci, quindi, al posto dei puntini il simbolo corretto ( ≅ , < , >).
δ
α
ϕ
γ
ω
β
α …β
β …γ
δ …ϕ
α …γ
δ …β
γ …ω
δ …α
β …ω
ω…ϕ
α …ω
β …ϕ
ω…δ
ϕ …α
γ …ϕ
γ …δ
24) Riferendoti agli angoli dell’esercizio precedente, costruisci i seguenti angoli:
α+β ; α+γ ; γ+ ϕ ; δ+α
α–ω ; ϕ –β ; δ– γ ; δ– ϕ
77
25) Utilizzando squadra e compasso, costruisci la bisettrice dei seguenti angoli:
B
R
Q
P
A
O
F
M
L
G
E
I
D
.
H
I
Fissato l’angolo di ciascuno degli esercizi seguenti, disegna l’angolo indicato:
26)
disegna 2α
α
27)
disegna
1
β
2
β
78
28)
disegna
1
γ
3
disegna
2
δ
3
γ
29)
δ
30)
disegna 4ω
ω
31)
disegna
5
ϕ
2
ϕ
79
32) Nella seguente figura, le semirette b1 e b2 sono le bisettrici, rispettivamente, dei due angoli
consecutivi AOB e BOC:
b2
C
B
b1
A
O
Stabilisci se sono vere o false le seguenti affermazioni:
AOb1 ≅ BOb1
V
F
BOb2 ≅ AOB
V
F
COb2 ≅ BOb1
V
F
AOb2 ≅ AOb2 + BOb2
V
F
b1Ob2 ≅ AOb1 + COb2
V
F
BOC supplementare di AOB
V
F
33) Dato l’angolo della figura seguente:
E
D
C
B
O
A
completa le seguenti relazioni:
AOB ≅ … AOE
DOE ≅ … BOE
AOB ≅ … AOC
AOD ≅ … COD
BOD ≅ … AOE
BOE ≅ … AOE
BOD ≅ … AOD
COD ≅ … AOC
80
34) Individua, tra gli angoli delle figure seguenti, l’angolo nullo, l’angolo acuto, l’angolo retto,
l’angolo ottuso, l’angolo piatto, l’angolo giro.
s
B
A
.
r
O
O
s
B
A
.
O
O
r
s
O
r
.
O
r
81
35) Completa, se possibile, la seguente tabella:
angolo
complementare
supplementare
esplementare
32°
…
…
…
…
…
110°
…
…
18°
…
…
…
…
…
252°
…
47°
…
…
59°
…
…
…
…
…
…
281°
…
…
82°
…
Ampiezza di un angolo
Ricorderai che, per quanto riguarda la misura degli angoli (ampiezza), è stata fissata come unità di
misura il grado, cioè la novantesima parte dell’angolo retto, con i suoi sottomultipli:
▪
il primo che è la sessantesima parte del grado
0


1 

'
1 =   ⇒ 10 = 60 '  ;


 60 
▪
il secondo che è la sessantesima parte del primo, cioè la tremilaseicentesima parte del grado
'
0


1 
1 


''
'
''
0
''
1 =   = 
 ⇒ 1 = 60 ⇒ 1 = 3600  .
60
3600


 




La scrittura 27° 52' 13'' sta ad indicare che l’ampiezza di un angolo è di 27 gradi , 52 primi e 13
secondi (tale scrittura è in forma normale perché i “primi” e i “secondi” sono inferiori a 60).
La scrittura α = 537' sta ad indicare che l’ampiezza dell’angolo α non è espressa in forma normale,
perché i “primi” sono superiori a 60.
PROVA TU ad esprimere l’ampiezza dell’angolo α in forma normale (dovresti, in ogni caso,
riuscirci dopo aver studiato le pagine successive).
82
Operazioni tra angoli
Esempi
36) α = 32° 20' 50''
β = 12° 15' 7''
α+β=?
32°
20'
50'' +
12°
15'
7'' =
44°
35'
57''
Quindi:
α + β = 44° 35' 57''
(misura espressa in forma normale perché i primi e i secondi sono
inferiori a 60).
37) α = 45° 37' 28''
β = 13° 15' 46''
α+β=?
45°
37'
28'' +
13°
15'
46'' =
58°
52'
74''
(misura non espressa in forma normale
perché i secondi sono superiori a 60).
Quindi:
α + β = 58° 52' 74''
= (poiché 74'' = 60'' + 14'' = 1' + 14'') = 58° 53' 14'' (misura espressa in
forma normale).
38) α = 52° 13' 28''
β = 12° 8' 13''
α–β=?
52°
13'
28'' –
12°
8'
13'' =
40°
5'
15''
Quindi:
α – β = 40° 5' 15''
83
39) α = 33° 16' 28''
β = 10° 18' 13''
α–β=?
33°
16'
28'' –
10°
18'
13'' =
COMPLETA
32°
76'
28'' –
10°
18'
13'' =
…°
…'
…''
Quindi:
α – β = …° …' …''
40) α = 12° 7' 15''
3α = ?
12°
7'
36°
21'
15'' *
3 =
45''
Quindi:
3α = 36° 21' 45''
41) α = 18° 27' 36''
2α = ?
18°
27'
36'' *
2 =
36°
54'
72''
35°
20'
32'' *
COMPLETA
…° …' 12''
Quindi:
2α = …° …' 12''
42) α = 35° 20' 32''
4α = ?
4 =
140°
80' 128''
140° 82' 8''
COMPLETA
…° …' …''
Quindi:
4α = …° …' …''
84
43) α = 72° 20' 18''
1
α=?
2
72°
20' 18''
2
36° 10' 9''
Quindi:
1
α = 36° 10' 9''
2
44) α = 73° 20' 18''
1
α=?
2
73°
20'
1° = 60'
80'
18''
2
36° 40' 9''
Quindi:
1
α = 36° 40' 9''
2
45) α = 73° 21' 18''
1
α=?
2
21' 18''
1° = 60'
81'
1' = 60''
78''
73°
2
36° 40' 39''
Quindi:
1
α = 36° 40' 39''
2
46) α = 74° 22' 18''
1
α=?
3
74°
22' 18''
2° = 120'
142'
1' = 60''
78''
3
24° 47' 26''
Quindi:
1
α = 24° 47' 26''
3
85
Esercizio svolto
Due angoli α e β hanno ampiezza rispettivamente di 25° 39' 12'' e 28° 22' 30''. Determina
l’ampiezza dell’angolo γ supplementare della loro somma.
Si ha che:
α = 25° 39' 12''
β = 28° 22' 30''
α + β = 25° 39' 12'' + 28° 22' 30''
25°
39'
12'' +
28°
22'
30'' =
53°
61'
42''
54° 1' 42'' (ricorda che 60' = 1°)
Quindi:
α + β = 54° 1' 42''
Pertanto:
γ = 180° – (α + β) = 180° – 54° 1' 42''
Si ha:
180°
54°
–
1'
42'' =
⇒
179°
60'
–
54°
1'
42'' =
⇒
179°
59'
60'' –
54°
1'
42'' =
125°
58'
18''
In definitiva:
γ = 125° 58' 18''
47) Due angoli α e β hanno ampiezza rispettivamente di 25° 22' 18'' e 36° 34' 40''. Determina
l’ampiezza dell’angolo γ complementare della loro somma.
[28° 3' 2'']
48) Due angoli α e β hanno ampiezza rispettivamente 53° 45' 35'' e 37° 29' 56''. Determina
l’ampiezza dell’angolo γ supplementare della loro somma e dell’angolo ϕ complementare della
loro differenza.
[88° 44' 29'' ; 73° 44' 21'']
49) L’angolo α ha ampiezza 48° 35' 23'' e l’angolo β è il triplo di α. Qual è l’ampiezza di β? Qual è
l’ampiezza dell’angolo δ esplementare dell’angolo somma fra α e β?
[145° 46' 9'' ; 165° 38' 28'' ]
86
50) L’angolo ϕ, che ha ampiezza 245° 37' 56'', è la somma di due angoli α e β tali che α è il triplo
di β. Qual è l’ampiezza di ciascuno degli angoli α e β? Qual è l’ampiezza dell’angolo δ
supplementare dell’angolo differenza fra α e β?
[184° 13' 27'' ; 61° 24' 29'' ; 57° 11' 2'']
51) Due angoli sono, rispettivamente, la metà e la terza parte di un angolo retto. Quanto misura il
complementare della loro somma, e quanto il complementare della loro differenza? E il
supplementare della loro somma?
[15°; 75°; 105°]
52) Due angoli α e β sono complementari. Sapendo che α supera β di 32°, quali sono le ampiezze
dei due angoli?
[61° ; 29°]
53) Un angolo γ è quadruplo del suo complementare. Qual è la sua ampiezza?
[72°]
54) Un angolo è il triplo del suo supplementare. Qual è la sua ampiezza?
[135°]
55) Due angoli α e β sono, rispettivamente,
.
1
2
ei
di un angolo retto. Allora:
6
3
a) α + β è maggiore di un angolo piatto.
V
F
b) Il complementare di α + β è congruente ad α.
V
F
c) Il complementare di β − α è la metà dell’angolo retto.
V
F
d) Il supplementare di α + β è maggiore di α + β.
V
F
e) Il complementare di β − α è la quarta parte dell’angolo piatto.
V
F
f) La somma dei complementari di α e β è un angolo ottuso.
V
F
g) Il complementare della somma di α e β è congruente alla
V
F
V
F
somma dei complementari di α e β.
h) La differenza fra il supplementare di α e il supplementare
di β è congruente al complementare della differenza tra β e α.
87
i) L’esplementare della somma fra il supplementare di α e il
V
F
V
F
V
F
supplementare di β è un angolo ottuso.
l) La differenza fra il complementare di α e il complementare di β
è congruente al complementare di β − α.
m) L’esplementare della somma fra il complementare di α e il
complementare di β è maggiore di un angolo piatto.
Disegna le figure corrispondenti alle seguenti descrizioni:
56) Due segmenti AB e CD si intersecano nel loro punto medio S; unisci A con C e B con D.
57) Due segmenti AB e CD si intersecano in un punto M; unisci il punto B con il punto medio N di
MD e prolunga BN di un segmento NF congruente a BN. Traccia il segmento FD e, poi, il
segmento AG, passante per il punto medio T di CM, tale che AT sia congruente a TG. Unisci C
con G.
58) Disegna due angoli acuti ABC e CDE tali che il vertice D appartenga al semipiano di origine la
retta AB non contenente C e il punto E appartenga al semipiano di origine BC non contenente
A. Unisci A con E.
59) Gli angoli ABC e DBE sono opposti al vertice; la semiretta s di origine B è interna a ABD,
mentre la semiretta t di origine B è interna a CBE; traccia il segmento FG con F appartenente a
s e G appartenente a t.
60) Due segmenti AB e AC sono consecutivi e formano un angolo acuto, inoltre AB è i
segmento BE, che è i
3
di AC. Il
2
2
di AB, è adiacente ad esso. Congiungi il punto C con il punto B e con
3
il punto E.
61) FKH è un angolo piatto, FK ≅ KH, MKH < 90°, T appartiene al semipiano di origine FH
contenente M. TKF > 90° e TK esterno a MKH.
62) Due semirette s e m, aventi la stessa origine B, formano un angolo retto. D appartiene alla
semiretta s e F alla semiretta m, inoltre BF è il triplo di BD; traccia il segmento DF.
88
63) Dal vertice A di un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, ed esternamente ad esso, conduci
due semirette che formino con i lati del triangolo due angoli congruenti.
Le due semirette incontrano il prolungamento della base BC, dalla parte di B, nel punto E e
dalla parte di C nel punto F.
64) ……. al telefono
Marta: “Lucia, mi puoi dire quali sono i compiti di matematica per domani?”
Lucia: “Il prof ha disegnato una figura alla lavagna e ha detto di completare alcune relazioni”.
Marta: “Mandamela per e-mail”.
Lucia: “Non posso, ho problemi con internet; è da ieri sera che non riesco a connettermi”.
Marta: “Spiegala per telefono; io provo a disegnarla”.
Lucia: “Va bene; ci provo! Il prof ha disegnato due segmenti consecutivi AB e BC in modo che
BC sia il doppio di AB e che formino tra loro un angolo retto; poi dal punto medio H di BC
ha disegnato un segmento HE congruente ad AB e che forma con BC un angolo retto; infine ha
disegnato un segmento che unisce C con il punto medio S di HE e un segmento che unisce A
con E”.
Marta: “Grazie! E le relazioni da completare?”
Lucia: “Ah, dimenticavo. Devi inserire i simboli di congruenza, maggiore o minore, appartiene,
non appartiene”.
Scrivi:
AB …. BH;
HEA …. 90°;
ES…. AB;
H …. CB;
HC …. HE;
HCS …. 90°;
AE ∩ CB = {…..};
SHC…. 90°;
AE …. BH.
Quale figura avrà disegnato Marta? Come avrà completato le relazioni? Prova a farlo tu!
65) …… il giorno dopo
Lucia: “Marta, mi fai vedere la tua figura? Controlliamo le relazioni?”
Marta: “Subito! Guarda.
Lucia: “Ma sono diverse! Eppure pensavo di essere stata molto precisa. E poi, nella mia figura
AE e CB non si incontrano, invece nella tua figura sì. Anche per l’angolo HEA abbiamo scritto
due cose diverse: per me è retto, invece per te è un angolo acuto.”
Cosa avrebbe dovuto dire Lucia affinché Marta, disegnando la figura, completasse le relazioni
nello stesso modo?
89
Osserva le seguenti figure e descrivile in modo che possano essere riprodotte dai tuoi compagni di
classe:
66)
.C
*
.
*
A
.
M
.
*
.
*
N
B
COMPLETA:
•
È dato un ……………………. AB;
•
su AB prendi due ………………. M ed N tali che AM ≅ ….. ≅ …… ;
•
traccia la bisettrice dell’angolo AMN e prendi su di essa un punto …. tale che …… ≅
…... ≅ ….. ≅ …..;
•
unisci …… con A, ….. e ….. .
67)
r
P
2α
A
*
.
M
//
α
*
B
//
Q
90
68)
C
*
A
*
O
.
*
*
r
B
69)
b1
A
r
o
D
*
O
.
.
*
C
b2
o
s
B
91
Problemi
Problemi sui segmenti
Esercizio svolto
Dati due segmenti adiacenti e congruenti AB e BC, siano M e N i rispettivi punti medi.
Dimostra che:
ABC ≅ π
a) MN ≅ AB
b) AC ≅ 2MN
Hp.:
AB ≅ BC
AM ≅ MB
BN ≅ NC
A
M
B
N
C
Th.:
MN ≅ AB
AC ≅ 2MN
Dimostrazione
Osserviamo che:
AM ≅ MB ≅ BN ≅ NC perché metà di segmenti congruenti (in figura abbiamo segnato i
quattro segmenti con lo stesso simbolo
).
Pertanto:
MN ≅ MB + BN ≅ (poiché BN ≅ AM) MB + AM ≅ AB
AC ≅ AM + MN + NC ≅ (poichè AM ≅ MB e NC ≅ BN) MB + MN + BN ≅
(MB + BN) + MN ≅ MN + MN ≅ 2MN.
C.V.D.
70) Dati due segmenti adiacenti AB e BC, siano M e N i rispettivi punti medi.
Dimostra che:
MN ≅ AB + BC
2
71) Dati su una retta orientata r tre punti A, B, C, tali che A precede B e B precede C, siano M e N i
punti medi, rispettivamente, di AB e AC.
Dimostra che:
NB ≅ AB – BC
2
(se AB > BC)
92
72) Considera i seguenti AB, BC, CD, adiacenti e congruenti tra loro. Detto M il punto medio di
BC, dimostra che:
AM ≅ MD.
73) Dati due segmenti AB e CD, con AB < CD, considera la loro somma s e la loro differenza d.
Dimostra che:
a) CD ≅
s+d
2
b) AB ≅ s – d
2
74) Ad un segmento BC sono adiacenti, uno da una parte e uno dall’altra, due segmenti congruenti
AB e CD.
Dimostra che il punto medio di BC è anche punto medio di AD.
75) Dati su una retta due segmenti AB e BC tali che BC sia il quadruplo di AB, siano M e N
rispettivamente i punti medi di AB e BC.
Dimostra che:
MN ≅
5
BC.
8
Problemi sugli angoli
76) Nella seguente figura:
D
C
.
A
.
O
B
si ha che: AOD ≅ BOC.
Dimostra che: AOC ≅ BOD.
77) Dati due angoli consecutivi AOB e BOC, sia OM la bisettrice dell’angolo AOB e ON la
bisettrice dell’angolo BOC. Dimostra che:
MON ≅
1
(AOB + BOC).
2
93
78) Nella seguente figura:
M
B
C
D
A
O
OM è bisettrice dell’angolo BOC e AOB ≅ DOC.
Dimostra che OM è bisettrice dell’angolo AOD.
79) Dimostra che le bisettrici di due angoli adiacenti formano un angolo retto.
80) Dimostra che se le bisettrici di due angoli consecutivi formano un angolo retto, tali angoli sono
adiacenti.
81) Dato un angolo AOB, sia OC la sua bisettrice e OD una semiretta interna all’angolo AOC.
Dimostra che:
DOC ≅ DOB – AOD
2
82) Dato un angolo AOB, sia OC la sua bisettrice e OD una semiretta esterna all’angolo.
Dimostra che:
COD ≅ AOD + BOD
2
83) Dati due angoli consecutivi AOB e BOC (con AOB > BOC), siano OD e OE le rispettive
bisettrici.
Dimostra che:
AOD – COE ≅ AOB – BOC
2
84) Dati due angoli consecutivi AOB e BOC, tali che AOB ≅
4
BOC, siano OD e OE le rispettive
3
bisettrici. Dimostra che:
DOE ≅
7
BOC.
6
94
I triangoli
Utilizzando squadra e compasso, disegna le seguenti figure:
85) un triangolo ABC, isoscele sulla base AB.
86) un triangolo ABC, retto in C.
87) un triangolo acutangolo ABC.
88) un triangolo ABC, ottusangolo in B.
89) un triangolo equilatero ABC. Verifica, con un goniometro, che i tre angoli sono congruenti.
90) un triangolo scaleno acutangolo.
91) un triangolo scaleno ottusangolo.
92) Nel piano π, indica con:
•
P l’insieme dei poligoni;
•
T l’insieme dei triangoli;
•
I l’insieme dei triangoli isosceli;
•
E l’insieme dei triangoli equilateri.
Rappresenta graficamente la relazione tra gli insiemi P , T , I , E .
Costruisci un triangolo isoscele che abbia come base il segmento indicato.
93)
.
.
A
B
94)
.
.
D
C
95
95)
.E
.F
Costruisci un triangolo equilatero che abbia come base il segmento indicato.
96)
.
B
.
A
97)
C
.
.
D
98)
E
.
.
F
96
Enuncia il problema espresso dalla figura, dall’ ipotesi e dalla tesi indicata.
99)
C
o
o
Hp.:
A
B
~
~
D
Th.:
AC ≅ BC
AD ≅ BE
CDE isoscele
E
100)
A, B, C allineati
D
Hp.:
.
. *
*
A
*
B
Th.:
AB ≅ 2BC
ABD ≅ CBD
AC > CD
C
(PROVA TU, poi, a dimostrarlo dopo aver studiato “le disuguaglianze nei triangoli”).
101)
A
AB ≅ AC
o
o
Hp.:
M
N
~
~
B
O
*
AN ≅ NC
BO ≅ OC
Th.:
*
AM ≅ MB
MO ≅ NO
C
97
Problemi sulla congruenza
102) Dato il triangolo ABC, sia CM la mediana relativa al lato AB. Prolunga CM di un segmento
MD tale che MD ≅ CM.
Dimostra che:
ACB ≅ ADB.
103) Dato il triangolo ABC, conduci la bisettrice dell’angolo A e su di essa prendi due punti D ed
E, tali che AD ≅ AB e AE ≅ AC.
Dimostra che:
BE ≅ CD.
104) Disegna due segmenti AB e BC, congruenti e consecutivi. Dopo aver indicato con M il punto
medio di AB e con N il punto medio di BC, unisci C con M e A con N.
Dimostra che i triangoli ABN e CBM sono congruenti.
105) Disegna un triangolo ABC; prolunga il lato BC, oltre C, di un segmento CD ≅ BC e il lato
AC, sempre oltre C, di un segmento CE ≅ AC; congiungi E con D.
Dimostra che gli angoli BAC e CED sono congruenti.
106) Siano r e s due rette incidenti e sia O il loro punto intersezione. Prendi due punti Q e P sulla
retta r tali che OQ ≅ OP e due punti F e G sulla retta s tali che OF ≅ OG.
Indica con M il punto medio di FP e prolunga il segmento OM, dalla parte di O, fino ad
incontrare il segmento QG nel punto N. Perché è possibile affermare che N è punto medio di
QG ?
107) Disegna un angolo di vertice P e la sua bisettrice. Considera sui lati dell’angolo due punti A e
B tali che PA ≅ PB e prendi un punto qualsiasi Q sulla bisettrice.
Dimostra che i triangoli PAQ e PBQ sono congruenti.
Considera, poi, sulla bisettrice un punto C, esterno al segmento PQ.
Dimostra che i triangoli AQC e BQC sono congruenti.
108) Dato il triangolo ABC, prolunga il lato AB di un segmento BD ≅ AB e il lato BC di un
segmento BE ≅ BC. Detti M ed N, rispettivamente, i punti medi di AC e DE, dimostra che i
punti M, B e N sono allineati.
(suggerimento: tre punti sono allineati se formano un angolo piatto)
98
109) Dagli estremi di un segmento AB, conduci, da parti opposte rispetto ad AB, due semirette a e
b che formino con AB angoli congruenti.
Dal punto medio M di AB conduci, poi, una qualsiasi retta r che incontri le semirette a e b in
C e D rispettivamente.
Dimostra che i triangoli ACM e BDM sono congruenti.
110) Dei seguenti triangoli:
A
D
. .
o o
B
G
C
E
H
F
AB ≅ DE
AG ≅ DH
si sa che:
BAG = GAC ∧ EDH ≅ HDF
BAC ≅ EDF
Dimostra che i triangoli ABC e EDF sono congruenti.
(suggerimento: applica prima il 1° criterio di congruenza ai triangoli ………)
111) I triangoli ABC e A'B'C' delle seguenti figure sono congruenti:
A
B
A'
DM
C
B'
D' M'
C'
Si sa inoltre che:
BM ≅ MC
; B'M' ≅ M'C'
BAD ≅ DAC
; B'A'D' ≅ D'A'C'
Dimostra che i triangoli ADM e A'D'M' sono congruenti.
99
112) Disegna un triangolo ABC, isoscele sulla base BC. Prolunga il lato AB di un segmento BD e
il lato AC di un segmento CE ≅ BD. Congiungi C con D e B con E.
Dimostra che:
BE ≅ CD.
113) Disegna un triangolo equilatero ABC; considera un punto P sul lato AB, un punto Q su BC e
un punto R su CA in modo che AP ≅ BQ ≅ CR.
Dimostra che il triangolo PQR è equilatero.
114) Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AC; indica con F il punto intersezione delle bisettrici
AT e CS degli angoli congruenti. Dimostra che i segmenti FS e FT sono congruenti e che il
triangolo BST è isoscele.
115) Prolunga i lati AB e AC di un triangolo isoscele ABC, di due segmenti congruenti BM e CN.
Dimostra che:
a) BN ≅ CM;
b) BO ≅ CO, essendo BN ∩ CM = {O} ;
c) BAO ≅ CAO.
116) Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, siano BN e CM le mediane relative ai lati
congruenti. Prolunga BN di un segmento ND e CM di un segmento ME tale che ND ≅ ME.
Dimostra che:
a) BE ≅ CD;
b) AD ≅ AE.
(suggerimento: dimostra prima la congruenza dei triangoli BMC e BNC)
117) Dato il triangolo isoscele ABC, prolunga la base BC di due segmenti congruenti BD e CE.
Considera internamente alla base BC due punti P e Q tali che BP ≅ QC.
Dimostra che i triangoli APD e AQE sono congruenti.
118) Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, dimostra che:
a) le mediane relative ai lati congruenti sono congruenti;
b) le bisettrici relative ai lati congruenti sono congruenti.
100
119) Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, prolunga i lati CA e CB secondo le semirette
AX e BY. Traccia le bisettrici degli angoli XAB e YBA e sia P il loro punto d’intersezione.
Dimostra che:
AP ≅ BP;
Detti {Q} = AC ∩ BP e {R} = BC ∩ AP, dimostra che il triangolo PQR è isoscele.
120) Sui lati OX e OY di un angolo XOY, considera, rispettivamente, due punti A e B tale che
OA ≅ OB. Dai punti A e B traccia due semirette che formino angoli congruenti con i segmenti
considerati e indica con P il loro punto d’intersezione. Dimostra che:
a) AP ≅ PB;
b) OP è bisettrice dell’angolo AOB.
(suggerimento: unisci A con B¸ il triangolo AOB è ……..…. sulla base …… , quindi …… )
121) Sia XOY e YOZ due angoli acuti consecutivi congruenti. Sui lati OX, OY, OZ prendi
rispettivamente i punti A, B e C tale che OA ≅ OB ≅ OC.
Sulle bisettrici degli angoli XOY e YOZ considera, rispettivamente, i punti R e S tali che sia
OR ≅ OS.
Dimostra che i triangoli ARB e BSC sono isosceli e tra loro congruenti.
122) Dimostra che, se la bisettrice dell’angolo in A di un triangolo ABC forma con il lato opposto
BC angoli congruenti, il triangolo ABC è un triangolo isoscele.
123) Dal vertice A di un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, conduci, esternamente al triangolo,
due semirette che formano angoli congruenti con i lati del triangolo. Detti D ed E i punti in cui
tali semirette incontrano il prolungamento della base BC, dimostra che il triangolo ADE è
isoscele.
124) Le bisettrici degli angoli congruenti di un triangolo isoscele ABC di vertice A incontrano i lati
AB e AC, rispettivamente, nei punti D ed E.
Dimostra che BD ≅ CE.
125) Dato il triangolo ABC, isoscele sulla base BC, prendi su AB un punto D e su AC un punto E
tale che AD ≅ AE. Congiungi il punto medio M di BC con i punti D ed E.
Dimostra che:
a) AMD ≅ AME;
b) il triangolo DME è isoscele.
101
126) Dato il triangolo ABC, isoscele sulla base BC, dimostra che unendo i punti medi dei tre lati si
ottiene un triangolo isoscele.
127) Dimostra che sono congruenti due triangoli isosceli aventi ordinatamente congruenti due lati e
gli angoli al vertice.
128) Dimostra che sono congruenti due triangoli isosceli aventi ordinatamente congruenti le basi e
una coppia di angoli adiacenti.
129) Dato il triangolo ABC, costruisci sui suoi lati, esternamente al triangolo, i triangoli equilateri
ABD, BCE e ACF. Dimostra che:
AE ≅ BF ≅ CD.
130) Dato il triangolo ABC, isoscele sulla base AB, considera sui lati AC e BC, rispettivamente, i
punti D ed E tali che CD ≅ CE. Dimostra che:
a) i triangoli ABD e ABE sono congruenti;
b) se AE ∩ BD = {F} , i triangoli ABF e DEF sono isosceli.
131) Siano PQ e PR i lati congruenti del triangolo isoscele PQR. Prendi un punto S su PQ ed un
punto T su PR tali che QS sia congruente a RT; è corretto affermare che RS è congruente a
QT? Giustifica la tua risposta.
Indicato con E il punto intersezione di RS e QT, dimostra che i triangoli QER e SET sono
isosceli.
132) Dato il triangolo ABC, conduci la bisettrice dell’angolo in A ed indica con D il suo punto
d’incontro con il lato BC. Dal punto D traccia la semiretta che incontra AB in E tale che
ADE ≅ ADC. Dimostra che i segmenti CD e DE sono congruenti.
133) Dimostra che sono congruenti due triangoli che hanno ordinatamente congruenti un lato e i
due angoli esterni aventi come vertici gli estremi dei lati congruenti.
134) Siano ABC e ABD due triangoli isosceli sulla base AB, con i vertici C e D situati in semipiani
opposti di origine AB. Dimostra che i triangoli ACD e BCD sono congruenti.
135) Dimostra che sono congruenti due triangoli che hanno ordinatamente congruenti due lati e la
mediana relativa ad uno di essi.
102
Problemi
Problemi sulla disuguaglianza nei triangoli
136) Puoi costruire un triangolo i cui lati misurano 12 cm, 8 cm e 24 cm?
In caso di risposta negativa, modifica la lunghezza di uno dei lati al fine di rendere possibile la
costruzione.
137) Nel triangolo ABC, con AB > BC, prolunga il lato BC, dalla parte di B, di un segmento
BD ≅ BC.
Dimostra che:
DAC < ACD + ADC
138) Dato l’angolo acuto rOs, conduci la sua bisettrice b. Prendi sul lato r un punto A e sul lato s
un punto B tale che OA ≅ OB; indica con D il punto di incontro di b con il segmento AB.
Dimostra che:
a) ADO > AOD;
b) OA > AD e OB > DB.
139) Dato il triangolo ABC, isoscele sulla base BC, considera un punto P sul lato AC.
Dimostra che BP > PC.
140) Sia PQR un triangolo con RPQ acuto. Prolunga il lato PQ, dalla parte di P, e sul
prolungamento prendi un punto S.
Dimostra che RS > RP.
141) Dato un triangolo ABC, prendi tre punti qualsiasi D, E ed F, rispettivamente, su AB, BC e
CA.
Dimostra che:
DE + EF + FD < AB + BC + CA
103
CORRO ALLE
OLIMPIADI!
142) Un angolo AOB viene trisecato dalle semirette OP, OQ; anche l’angolo BOC (supplementare
di AOB) viene trisecato dalle semirette OR e OS. Quanto vale l’angolo QOR?
R
B
S
Q
P
C
(a) 45°;
O
(b) 60°;
(c) 90°;
A
(d) Dipende dall’angolo AOB;
(e) La costruzione non si può fare.
[Olimpiadi Matematica, Giochi di Archimede, 2002]
[B]
143) Vi sono cinque sagome di cartoncino identiche, che sono bianche da un lato e nere dall’altro.
Poste su un tavolo esse si trovano nelle posizioni in figura; quattro mostrano la faccia nera e
una quella bianca. Qual è la sagoma bianca?
[Olimpiadi Matematica, Gara provinciale 1997]
[D]
104
144) La città del mistero dista 500 km da Topolinia e 1200 km da Paperopoli. Qual è il minimo
valore possibile per la distanza tra Topolinia e Paperopoli?
(A)
500 km;
1300 km;
(B) 700 km;
(E)
(C)
1200 km;
(D)
1700 km .
[Olimpiadi Matematica, Giochi di Archimede, 1998]
[B]
145) Se ordiniamo le cifre seguenti secondo la somma delle lunghezze dei segmenti di cui sono
composte, quale cifra occupa la posizione centrale?
(A) Il 3; (B)
Il 2;
(C)
Il 4;
(D)
Ce n’è più di una;
(E)
Nessuna
delle precedenti .
[Olimpiadi Matematica, Giochi di Archimede 1998]
[A]
146) Quanti triangoli equilateri sono presenti nella figura a fianco?
(A)
16;
(B)
20;
(C)
25;
(D)
26;
(E)
27 .
[Olimpiadi Matematica, Giochi di Archimede 1998]
[E]
105
UNITÀ 3
PERPENDICOLARITA’ E PARALLELISMO
3.1 Rette perpendicolari
Nell’unità 1 abbiamo visto che due rette r ed s del piano si dicono incidenti se hanno in comune
uno ed un solo punto P.
In particolare, due rette incidenti si dicono perpendicolari se dividono il piano in quattro angoli
congruenti, cioè retti (fig. 1):
s
.
r
P
(fig. 1)
r perpendicolare ad s
Per indicare che la retta r è perpendicolare alla retta s si scrive r ⊥ s (si legge “ r perpendicolare
ad s ”).
In realtà, per stabilire che r ⊥ s è sufficiente sapere che uno dei quattro angoli è retto. PERCHE’?
•
Due rette incidenti che non sono perpendicolari si dicono oblique.
TEOREMA DELL’ESISTENZA E DELL’UNICITÀ DELLA PERPENDICOLARE
Per un punto P del piano passa una ed una sola retta perpendicolare ad una data retta r.
P punto del piano
Hp.:
Th.:
Dimostrazione
1° caso: P ∈ r
r retta qualsiasi
esiste una retta s ⊥ r , passante per P
la retta s è unica
(fig. 2)
.
P
r
(fig. 2)
106
È sufficiente prendere su r due punti A e B disposti da parti opposte rispetto a P:
.
.
.
A
P
B
r
e osservare che l’angolo piatto APB ha un’unica bisettrice (pagg. 20 e 21, unità 1). Pertanto la retta
s su cui giace tale bisettrice è la retta cercata:
s
.
.
A
2° caso: P∉r
P
(fig. 3)
.
r
B
.P
r
(fig. 3)
Consideriamo, in tal caso, un punto Q ∈ r :
•
se la congiungente PQ forma con la retta r due angoli congruenti (e quindi retti) [ne basta
uno, ricordi?], la retta s su cui giace PQ è la perpendicolare cercata:
P.
.
•
s
r
Q
se la congiungente PQ forma con la retta r due angoli non congruenti:
.P
.
Q
r
107
si considera nel semipiano di origine r, non contenente P, la semiretta s di origine Q tale che:
sQr ≅ PQr
(“segnare sQr con il simbolo
”):
.P
.
Q
r
s
Prendiamo, poi, su s un punto R tale che QR ≅ QP (“segnare QR e QP con il simbolo / ”) e
congiungiamo P con R, indicando con H il punto d’incontro di PR con la retta r :
.P
/
.
.
Q
H
r
/
.
R
s
Consideriamo i triangoli QPH e QRH; essi hanno:
(o QH ≅ QH per la proprietà riflessiva della congruenza);
QH
in comune
QP ≅ QR
per costruzione;
PQH ≅ RQH per costruzione.
I due triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso ordinatamente congruenti, sono
congruenti per il 1° criterio di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli elementi
corrispondenti congruenti, in particolare:
QHP ≅ QHR
che, essendo adiacenti, risultano entrambi retti (“segnare QHP e QHR con il simbolo
”) e quindi:
la retta che contiene PR è perpendicolare ad r.
E’ così dimostrata l’esistenza di una retta s ⊥ r, passante per P.
108
[Al termine della 1^ parte del teorema la figura si presenta come segue:
.P
/
.
.
Q
H
r
/
.
R
s
]
Rimane da dimostrare l’unicità di tale perpendicolare.
Sappiamo che PH ⊥ r e consideriamo una qualsiasi retta per P che incontra r in un punto A diverso
da H (fig. 4):
P.
H
.
.
r
A
(fig. 4)
Dimostriamo che PA non è perpendicolare ad r. A tale scopo consideriamo l’angolo PAB, esterno
al triangolo PAH (fig. 5):
P.
H
.
.
A
.
B
r
(fig. 5)
e osserviamo che PAB > AHP (per il teorema dell’angolo esterno) per cui, essendo AHP retto,
PAB è ottuso e quindi la retta PA non è perpendicolare ad r.
C.V.D.
[L’unicità della perpendicolarità poteva essere dimostrata osservando che, se anche PA fosse
perpendicolare ad r, il triangolo PAH avrebbe due angoli retti, il che è assurdo (pag. 41, unità 1)].
109
In conclusione dati una retta r ed un punto P, esiste ed è unica la perpendicolare per P ad r :
P ∈ r (fig. 6.1)
P∉r (fig. 6.2)
P.
.
.
r
P
r
H
(fig. 6.2)
(fig. 6.1)
3.2 Le proiezioni ortogonali
Data una retta r, si chiama piede della perpendicolare, o proiezione ortogonale, di P su r, il punto
in cui la perpendicolare per P ad r interseca la retta data.
-
In fig. 6.1, il piede della perpendicolare condotta da P ad r è il punto P stesso;
-
in fig. 6.2, il piede della perpendicolare condotta da P ad r è il punto H.
Il segmento di perpendicolare PH (fig. 6.2) rappresenta la distanza del punto P dalla retta r (nel
caso della fig. 6.1 tale distanza è nulla).
PROVA TU
Riferendoti alla seguente figura:
.P
.
H
r
dimostra che il segmento PH è minore di ogni segmento obliquo condotto da P alla retta r.
OSSERVAZIONE:
Quanto sopra ti permette di dedurre che il segmento di perpendicolare PH è il segmento di minima
lunghezza che congiunge P con r.
110
CURIOSITA’
FIUME RUME’
“Punto dritto” verso il piede
della perpendicolare
condotta “da me” all’argine
del fiume.
Ho tanta sete!
“Aggiusta” la
perpendicolare!
Ho sete!
PROVA TU
Indica la distanza punto – retta nelle seguenti figure:
.O
r
s
.
.
Q
t
P
111
•
Dati un segmento PQ ed una retta r, siano P' e Q' le proiezioni ortogonali rispettivamente di
P e Q su r.
Il segmento P'Q' si dice proiezione ortogonale di PQ su r.
Si hanno i casi illustrati nelle seguenti figure:
Q
Q
.
.
(fig. 7a)
.P
.
.
P'
Q'
.P
Q
(fig. 7b)
.
P ≡ P'
r
.
Q'
r
.
(fig. 7c)
(fig. 7d)
Q
.
.
.
P'
.
r
Q'
P'
.
.
Q'
r
P
Q.
P
.
.
P' ≡ Q'
r
(fig. 7e)
COMPLETA:
Relativamente alla fig. 7e, il segmento PQ appartiene ad una retta ……..............................… ad r.
In tal caso la proiezione ortogonale di PQ su r si riduce ad …...…………..… (segmento ……....…).
PROVA TU
TEOREMA
Due segmenti obliqui, condotti da un punto ad una retta e aventi su questa proiezioni
congruenti, sono congruenti.
112
La relazione di perpendicolarità ci permette di dare nuove definizioni:
•
Si chiama asse di un segmento AB la perpendicolare ad AB passante per il suo punto medio
M (fig. 8):
asse di AB
.
.
*
A
*
M
.
B
(fig. 8)
Parleremo compiutamente dell’asse di un segmento al termine della presente unità.
3.3 Mediane, altezze e bisettrici di un triangolo
•
Dato un triangolo ABC si dice:
- mediana relativa al lato AB il segmento CM che unisce il vertice C con il punto
medio M del lato opposto AB (fig. 9):
C
CM: mediana relativa al lato AB
A
.
*
M
*
B
(fig. 9)
- altezza relativa al lato AB il segmento di perpendicolare CH condotto dal vertice C
alla retta AB (fig. 10):
C
CH: altezza relativa al lato AB
A
.
H
B
(fig. 10)
113
- bisettrice relativa al vertice C, o all’angolo interno di vertice C, il segmento della
bisettrice dell’angolo C compreso fra il vertice C e il punto D di intersezione con il
lato opposto AB (fig. 11):
C
CD: bisettrice relativa al vertice C
A
.
D
B
(fig. 11)
OSSERVAZIONE:
In ogni triangolo vi sono quindi:
•
tre mediane (ciascuna relativa ad un lato);
•
tre altezze (ciascuna relativa ad un lato);
•
tre bisettrici (ciascuna relativa ad un angolo interno).
PROVA TU
Traccia le mediane relative a ciascun lato di un triangolo ABC, nei tre diversi casi di un
triangolo acutangolo, rettangolo, ottusangolo.
Traccia le altezze relative a ciascun lato di un triangolo PQR, nei tre diversi casi di un
triangolo acutangolo, rettangolo, ottusangolo.
Traccia le bisettrici degli angoli interni di un triangolo STU, nei tre diversi casi di un
triangolo acutangolo, rettangolo, ottusangolo.
COMPLETA le seguenti affermazioni mettendo al posto dei puntini la parola “sono” o “non sono”:
• Le mediane …………….. sempre interne al triangolo;
• Le altezze ……………. sempre interne al triangolo;
• Le bisettrici ……………. sempre interne al triangolo.
A questo punto dimostriamo un’altra proprietà del triangolo isoscele, premettendo la seguente
OSSERVAZIONE:
Quando in un teorema (o in un problema) viene “dato” un triangolo isoscele, nell’ipotesi
indicheremo la congruenza dei due lati (obliqui), in figura segneremo tali lati con uno stesso
simbolo e analogamente faremo per gli angoli alla base (pagg. 33 e 34, unità 1).
114
TEOREMA
In un triangolo isoscele la bisettrice dell’angolo al vertice, è anche altezza e mediana relativa
alla base.
C
. .
Hp.:
Th.:
A
D
AC ≅ BC
ACD ≅ BCD
CD ⊥ AB
AD ≅ DB
B
Dimostrazione
Consideriamo i triangoli ACD e BCD; essi hanno:
AC ≅ BC
per ipotesi;
CAD ≅ CBD
perché angoli alla base di un triangolo isoscele;
ACD ≅ BCD
per ipotesi.
I due triangoli, avendo un lato e i due angoli ad esso adiacenti ordinatamente congruenti, sono
congruenti per il 2° criterio di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli elementi
corrispondenti congruenti, in particolare:
ADC ≅ BDC ⇒ poiché ADB piatto, si ha che ADC e BDC retti (“segnare ADC e BDC con
il simbolo
AD ≅ BD
”), quindi CD ⊥ AB ⇒ CD è altezza relativa ad AB;
⇒ CD mediana relativa ad AB (“segnare AD e BD con il simbolo
*
”).
C.V.D.
[Al termine del teorema la figura si presenta come segue:
C
. .
A
*
D
*
B
]
115
PROVA TU
Dimostra il teorema precedente utilizzando il 1° criterio di congruenza dei triangoli.
Possiamo quindi concludere che in un triangolo isoscele, la bisettrice dell’angolo al vertice,
l’altezza e la mediana relative alla base coincidono.
3.4 Le rette parallele
Abbiamo già parlato (pag. 5, unità 1) delle rette parallele. Ricordiamo che:
r // s ⇔ r ≡ s ∨ r ∩ s = Ø .
Non sempre, però, è possibile “vedere” rette che si incontrano o meno, dal momento che non
possiamo “seguirle”, essendo infinite.
Vale, però, il seguente teorema che ci assicura l’esistenza di rette che non si incontrano, cioè di
rette che sono parallele.
TEOREMA
Se due rette distinte s e t sono perpendicolari ad una stessa retta r, allora non hanno alcun
punto in comune (fig. 12):
r
s≠ t
A.
s
Hp.:
s⊥r
t⊥r
B.
t
Th.:
s∩t = Ø
(fig. 12)
Dimostrazione
Supponiamo per assurdo che s ∩ t ≠ Ø, cioè che le rette s e t non siano parallele e che, quindi, si
incontrino in un punto P (fig. 13).
r
s
A.
.
t
B.
P
(fig. 13)
116
Avremmo, pertanto, due rette, s e t, passanti per P e perpendicolari ad r ma ciò è assurdo per
l’unicità della perpendicolare condotta da un punto ad una retta (pag. 106). L’assurdo deriva per
aver negato la tesi; pertanto le rette s e t non hanno alcun punto in comune e, quindi, sono parallele.
(Si poteva anche osservare che, negando la tesi, il triangolo ABP avrebbe gli angoli PAB e PBA
entrambi retti, il che è assurdo).
C.V.D.
OSSERVAZIONE
La relazione di parallelismo tra le rette del piano è una relazione di equivalenza (PROVA TU).
Tale relazione ripartisce, quindi, l’insieme delle rette del piano, in classi di equivalenza, ciascuna
formata da rette tra loro parallele.
Ciascuna classe, che è un elemento dell’insieme quoziente, si chiama direzione.
L’insieme delle rette che hanno la stessa direzione si dice fascio di rette parallele o anche fascio di
rette improprio (fig. 14).
(fig. 14)
COMPLETA:
Poiché in un piano vi sono ……………… rette, si ha che in esso vi sono ……………… direzioni.
POSTULATO DELLE PARALLELE (o V POSTULATO DI EUCLIDE)
Dati nel piano una retta r ed un punto P, esiste ed è unica la retta s, parallela ad r, passante per P
(fig. 15).
.
P
s
r
(fig. 15)
Se P ∈ r , si ha che s ≡ r (fig. 16):
.
s
P
r
(fig. 16)
117
APPROFONDIMENTI
La formulazione data del postulato delle parallele va attribuita a Proclo, filosofo greco (V secolo
d.C.), commentatore del I libro degli Elementi di Euclide.
L’enunciato originale di Euclide era il seguente:
“Se una retta, venendo a cadere su due rette, forma angoli interni e dalla stessa parte la cui somma è
minore di due retti, le due rette prolungate illimitatamente verranno ad incontrarsi da quella parte in
cui sono gli angoli minori di due retti” (fig. 17).
r
α + β < π
α
β
.
P
r'
(fig. 17)
t
Molte erano le perplessità in merito a tale postulato in quanto si aveva difficoltà ad accettarlo come
verità evidente, cioè conseguenza della esperienza fisica diretta: vi era la necessità, infatti, di
immaginare spesso il punto d’intersezione molto … molto lontano e, oltretutto, le rette potrebbero
anche avvicinarsi sempre di più, senza però incontrarsi.
Lo stesso Euclide considerava il V postulato “meno naturale” degli altri quattro, di seguito riportati:
I.
si può condurre una linea retta da un qualsiasi altro punto;
II.
una retta terminata si può prolungare continuamente in linea retta;
III.
si può descrivere un cerchio con ogni centro ed ogni raggio;
IV.
tutti gli angoli retti sono uguali tra loro,
e cercò di non utilizzarlo nelle varie dimostrazioni.
Dopo Euclide, molti matematici hanno cercato di “rinunciarvi” ma inutilmente, vista la necessità di
ricorrervi per la dimostrazione di tanti teoremi (come vedremo in seguito).
Si è cercato, allora, di dimostrarlo a partire dagli altri quattro, così da non assumerlo più come
postulato.
Furono costruiti, così, nuovi insiemi di postulati formati dai primi quattro e da un quinto postulato,
negazione del V postulato di Euclide. Il fatto che tali nuovi sistemi non portassero a contraddizioni
e, anzi, si dimostrassero coerenti, fece concludere che il V postulato non poteva essere dedotto dagli
altri quattro (studi condotti, in particolare, da Gauss, Boljai, Lobacewskii, all’inizio dell’Ottocento).
Si pervenne, così, alla costruzione delle “geometrie non euclidee” e precisamente:
-
alla geometria ellittica, ammettendo che per un punto non si possono condurre rette parallele
a una retta data (modello di Riemann);
118
-
alla geometria iperbolica, ammettendo che per un punto si possono condurre più parallele
distinte a una retta data (modello di Klein).
3.5 Il criterio di parallelismo e le proprietà delle rette parallele
Abbiamo già detto della difficoltà di stabilire se due rette r ed s sono parallele tra loro.
Il teorema del paragrafo 3.4 assicura l’esistenza di rette distinte parallele tra loro quando si riesce ad
individuare una perpendicolare comune a due rette date, cosa però non sempre possibile.
Si cerca, quindi, di risolvere il problema “ricercando” una condizione generale per affermare che
due rette sono parallele.
A tale scopo consideriamo due rette distinte r ed s e una retta t, detta trasversale, che le incontra
entrambe formando otto angoli (fig. 18):
t
2
1
4
3
r
6
5
s
8
7
(fig. 18)
•
Le coppie di angoli ( 3 ; 5 ) e ( 4 ; 6 ) si dicono angoli alterni interni [gli angoli di ogni
coppia si trovano da parte opposta rispetto alla trasversale t e all’interno della regione di
piano delimitata dalle due rette r ed s].
•
Le coppie di angoli ( 1 ; 7 ) e ( 2 ; 8 ) si dicono angoli alterni esterni [gli angoli di ogni
coppia si trovano da parte opposta rispetto alla trasversale t e all’esterno della regione di
piano delimitata dalle due rette r ed s].
•
Le coppie di angoli ( 1 ; 5 ) , ( 2 ; 6 ) , ( 3 ; 7 ) e ( 4 ; 8 ) si dicono angoli corrispondenti
[gli angoli di ogni coppia si trovano dalla stessa parte rispetto alla trasversale t e sono uno
interno e uno esterno alla regione di piano delimitata dalle due rette r ed s].
•
Le coppie di angoli ( 3 ; 6 ) e ( 4 ; 5 ) si dicono angoli coniugati interni [gli angoli di ogni
coppia si trovano dalla stessa parte rispetto alla trasversale t e sono entrambi interni alla
regione di piano delimitata dalle due rette r ed s].
119
•
Le coppie di angoli ( 1 ; 8 ) e ( 2 ; 7 ) si dicono angoli coniugati esterni [gli angoli di ogni
coppia si trovano dalla stessa parte rispetto alla trasversale t e sono entrambi esterni alla
regione di piano delimitata dalle due rette r ed s].
TEOREMA
Se due rette tagliate da una trasversale formano angoli alterni interni congruenti, allora le
due rette sono parallele (fig. 19).
t
A.
Hp.: α ≅ α'
s
α
Th.: r // s
α'
B.
r
(fig. 19)
Dimostrazione
Ragioniamo per assurdo e neghiamo la tesi, cioè supponiamo che le rette r ed s non siano parallele
ma si incontrino in un punto P (fig. 20):
t
A.
α
s
.
B.
P
α'
r
(fig. 20)
Osserviamo che l’angolo α risulta esterno al triangolo ABP per cui:
α > α'
per il teorema dell’angolo esterno (pag. 40, unità 2),
il che è un assurdo perché contraddice l’ipotesi.
L’assurdo deriva dall’aver supposto che le rette r ed s non sono parallele e pertanto, per non cadere
in un assurdo, dobbiamo ammettere che r // s.
C.V.D.
120
PROVA TU
Si può generalizzare il teorema precedente dimostrando il seguente:
Criterio generale di parallelismo
Se due rette tagliate da una trasversale formano:
•
angoli alterni (interni o esterni) congruenti;
oppure
•
angoli corrispondenti congruenti;
oppure
•
angoli coniugati (interni o esterni) supplementari;
allora le due rette sono parallele.
Risulta, infatti, agevole ricondurre le varie situazioni al caso già dimostrato degli angoli alterni
interni congruenti.
Per esempio, se due rette r ed s, tagliate da una trasversale t, formano angoli alterni esterni
congruenti (fig. 21):
t
α
r
s
β
(fig. 21)
basta osservare, fig. 22, che sono congruenti gli angoli alterni interni α' e β' , essendo:
α' ≅ α
angoli opposti al vertice
β' ≅ β
angoli opposti al vertice
t
α
r
α'
β'
s
β
(fig. 22)
e si è così ricondotti al teorema precedente.
121
PROVA TU
Dimostra il criterio di parallelismo nei casi in cui due rette tagliate da una trasversale formano:
o angoli corrispondenti congruenti;
o angoli coniugati (interni o esterni) supplementari.
[Questi teoremi possono essere visti come corollari del teorema di pag. 120].
Quanto detto permette di concludere che se due rette r ed s, tagliate da una trasversale t,
formano due angoli alterni (interni o esterni) congruenti, o due angoli corrispondenti
congruenti, o due angoli coniugati (interni o esterni) supplementari, allora:
•
tutte le coppie di angoli alterni (interni o esterni) sono congruenti;
•
tutte le coppie di angoli corrispondenti sono congruenti;
•
tutte le coppie di angoli coniugati (interni o esterni) sono supplementari.
COMPLETA: nel caso di due rette parallele, tagliate da una trasversale, si ha che gli angoli
coniugati (interni o esterni) sono congruenti se …………………………………………………….. .
TEOREMA INVERSO
Se due rette sono parallele, allora, tagliate da una trasversale, formano con essa angoli alterni
interni congruenti (fig. 23).
t
r
A
Hp.: r // s
α
Th.: α ≅ α'
α'
s
B
(fig. 23)
Dimostrazione
Ragioniamo per assurdo e neghiamo la tesi. Supponiamo, cioè, che gli angoli α e α' non siano
congruenti e che sia, per esempio, α' > α. In tal caso è possibile condurre per B una retta CD,
distinta da s, tale che: DBA ≅ α (fig. 24):
t
r
A
α
α'
s
α
D
B
C
(fig. 24)
122
Allora le rette r e CD, tagliate dalla trasversale t, formano due angoli alterni interni congruenti per
cui, per il criterio generale di parallelismo, esse risultano parallele. Ciò è un assurdo perché per il
punto B passerebbero due rette distinte s e CD, parallele entrambe alla retta r e ciò contraddice il V
postulato di Euclide.
Se α > α', si ripete lo stesso ragionamento pervenendo sempre ad un assurdo (PROVA TU).
Pertanto, per non cadere in un assurdo, dobbiamo concludere che la tesi è vera, cioè che α ≅ α' .
C.V.D.
Si può generalizzare il teorema precedente dimostrando il seguente:
TEOREMA (INVERSO DEL TEOREMA DEL CRITERIO GENERALE DI PARALLELISMO)
Se due rette sono parallele e distinte, allora, tagliate da una trasversale, formano con essa:
•
angoli alterni (interni o esterni) congruenti;
•
angoli corrispondenti congruenti;
•
angoli coniugati (interni o esterni) supplementari.
PROVA TU
Dimostra il teorema precedente nei casi in cui due rette parallele, tagliate da una trasversale,
formano:
o angoli alterni esterni congruenti;
o angoli corrispondenti congruenti;
o angoli coniugati (interni o esterni) supplementari.
Questi teoremi possono essere visti, così come fatto per il criterio generale di parallelismo, come
corollari del teorema di pag. 122 .
Il criterio generale di parallelismo ed il suo inverso possono essere espressi nel seguente unico
teorema:
TEOREMA FONDAMENTALE DELLE RETTE PARALLELE
Due rette distinte del piano sono parallele se e solo se, tagliate da una trasversale, formano:
•
due angoli alterni (interni o esterni) congruenti;
oppure
•
due angoli corrispondenti congruenti;
oppure
•
due angoli coniugati (interni o esterni) supplementari.
123
Il teorema fondamentale delle rette parallele può, anche, essere formulato nel seguente modo:
Condizione necessaria e sufficiente affinchè due rette siano parallele è che, tagliate da una
trasversale, formino due angoli alterni (interni o esterni) congruenti oppure due angoli
corrispondenti congruenti oppure due angoli coniugati (interni o esterni) supplementari.
PROVA TU
Dimostra i seguenti COROLLARI:
Se due rette sono parallele, ogni perpendicolare all’una è perpendicolare anche
all’altra.
Due rette perpendicolari ad una terza retta sono parallele.
COMPLETA la seguente dimostrazione:
•
Rette perpendicolari a due rette incidenti sono incidenti:
D
s
r ∩ s = {P}
B
C
Hp.:
.
AB ⊥ ….
…. ⊥ s
.
.
A
P
r
Th.:
……………..
Dimostrazione
Congiungiamo A con C e segnamo gli angoli BAC e DCA con due simboli diversi:
D
s
B
C
.
.
P
.
A
r
Osserviamo che gli angoli BAC e DCA sono angoli ..………….. perché minori, rispettivamente,
degli angoli …….. e …….. che sono retti per ipotesi.
Pertanto, le due rette AB e CD tagliate dalla ……..………….. formano …………………………...
………………. non ………………… e quindi le rette AB e CD …………………………………. .
C.V.D.
124
3.6 Proprietà dei triangoli
TEOREMA (SECONDO TEOREMA DELL’ANGOLO ESTERNO)
In ogni triangolo, ciascun angolo esterno è congruente alla somma degli angoli interni ad esso
non adiacenti.
C
A
B
Hp.:
CBD angolo esterno
del triangolo ABC
Th.:
CBD ≅ BAC + ACB
D
Dimostrazione
Conduciamo dal vertice B la parallele BE al lato AC:
C
E
A
B
D
e osserviamo che:
DBE ≅ BAC
perché angoli corrispondenti formati dalle parallele BE e AC tagliate dalla
trasversale AD (“segnare DBE e BAC con il simbolo
CBE ≅ ACB
. ”);
perché angoli alterni interni formati dalle parallele BE e AC tagliate dalla
trasversale BC (“segnare CBE e ACB con il simbolo
”);
Si ha quindi:
C
E
.
A
.
B
per cui:
CBD ≅ DBE + CBE ≅ BAC + ACB
D
C.V.D.
125
Questo teorema permette di “completare” il 1° teorema sull’angolo esterno di un triangolo (pag. 40,
unità 1) nel senso che ogni angolo esterno non solo è maggiore di ciascuno dei due angoli interni
non adiacenti, ma è congruente alla somma di tale angoli.
Dovresti, ora, essere in grado di stabilire quanto vale la somma degli angoli interni di ogni
triangolo.
Osserva, infatti, la seguente figura e COMPLETA:
C
E
γ
…
α
…
β
A
B
D
Per il teorema precedente puoi concludere che:
α+β+γ ≅…
Si ha, quindi, il seguente:
TEOREMA SULLA SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN TRIANGOLO
La somma degli angoli interni di ogni triangolo è congruente ad un angolo piatto.
PROVA TU
Dimostra i seguenti COROLLARI:
Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari.
In ogni triangolo equilatero, ciascuno degli angoli è la terza parte di un angolo piatto.
Se due triangoli hanno due angoli ordinatamente congruenti, hanno congruenti anche
il terzo angolo.
L’ultimo corollario permette di “generalizzare” il secondo criterio di congruenza dei triangoli,
formulando, così, il seguente:
SECONDO CRITERIO GENERALIZZATO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI
Due triangoli sono congruenti se hanno un lato e due angoli ordinatamente congruenti.
126
3.7 Somma degli angoli interni ed esterni di un poligono
Quanto vale la somma degli angoli interni di un poligono di n lati?
Per rispondere a questa domanda, fai riferimento al pentagono della figura seguente:
D
E
C
A
B
e COMPLETA.
Unisci i vertici del pentagono con il punto P (un qualsiasi punto interno del pentagono):
D
E
C
P.
A
B
Il poligono resta diviso in ............ triangoli, cioè in tanti triangoli ………… sono i lati del poligono.
Segna gli angoli interni di tutti i triangoli. Poiché la somma degli angoli interni di ogni triangolo è
congruente a …. , la somma degli angoli interni di tutti i triangoli, in cui resta diviso il pentagono, è
congruente a …. . …. .
Quindi la somma degli angoli interni del poligono è congruente alla differenza fra la …………
degli angoli interni di tutti i triangoli e la ………… degli angoli di vertice …. che vale ……
Indicando con Si la somma degli angoli interni del pentagono, si ha:
Si = 5 . … – 2 . … e, applicando la proprietà distributiva, Si = ( … – 2) π = ….. .
In generale, per un poligono di n lati, si ha:
Si = ( … - 2) π [= n π – 2 π ] .
Vale, quindi, il seguente:
TEOREMA
La somma degli angoli interni di un poligono convesso di n lati è congruente ad (n – 2) angoli
piatti (cioè a tanti angoli piatti quanti sono i lati meno un angolo giro).
127
E ancora ….. osserva la seguente figura, dove la lettera “e” indica l’angolo esterno; COMPLETA:
e
D
e
E
C
e
e
A e
B
Ogni angolo esterno è ...……………….. ad un angolo interno che ha lo stesso vertice, quindi la
somma di un angolo esterno e dell’angolo interno con lo stesso vertice vale ….. .
Indicando con:
Si = somma degli angoli interni del pentagono;
Se = somma degli angoli esterni del pentagono,
si ha:
Si + Se = …. . …. ,
e poiché, per il pentagono risulta che:
Si = 3 ⋅ π ,
puoi concludere che:
Se = ….. .
RIPETI lo stesso ragionamento per:
un poligono di 4 lati;
.
un poligono di 6 lati;
un poligono di 7 lati;
un poligono di 8 lati.
Ora “GENERALIZZA” il ragionamento per un poligono di n lati, così da dimostrare che:
Se = 2 ⋅ π , qualunque sia il numero dei lati del poligono.
Vale, dunque, il seguente:
TEOREMA
La somma degli angoli esterni di un poligono convesso di n lati è congruente ad un angolo
giro, qualunque sia il numero dei lati del poligono.
128
3.8 La congruenza nei triangoli rettangoli
TEOREMA (O CRITERIO) DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI RETTANGOLI
Due triangoli rettangoli sono congruenti se, oltre all’angolo retto, hanno due altri elementi
ordinatamente congruenti, che non siano i due angoli acuti.
Ai fini di una puntuale dimostrazione del teorema diamo, dello stesso, la seguente formulazione:
Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti:
•
i due cateti (PROVA TU);
oppure
•
un cateto e un angolo acuto (PROVA TU);
oppure
•
l’ipotenusa ed un angolo acuto (PROVA TU);
oppure
•
l’ipotenusa ed un cateto (PROVA TU).
Relativamente al quarto caso, COMPLETA la seguente dimostrazione:
C
C'
ABC ≅
Hp.:
π
2
A'B'C' ≅
π
2
AC ≅ A'C'
A
°
B
A'
~
°
AB ≅ A'B'
B'
Th.:
ABC ≅ A'B'C'
Dimostrazione
Prolunghiamo il cateto BC di un segmento BD ≅ B'C' (“segnare BD e B'C' con il simbolo * ”) e
congiungiamo A con D:
C
C'
*
A
°
B
A'
°~
B'
*
D
129
Consideriamo i triangoli ABD e A'B'C'; essi hanno:
AB ≅ …
………………………………
… ≅ B'C'
………………………………
ABD ≅ …
perché entrambi …………..... (“segnare ABD con il simbolo …. ”).
I due triangoli, avendo ………………………………………………………………………………. ,
sono congruenti per …………………………………………………………. .
Avranno, pertanto, tutti gli elementi corrispondenti congruenti, in particolare:
AD ≅ …
(“segnare AD con il simbolo … ”).
Si ha, quindi:
AD ≅ AC
per la proprietà ………………………………………………… ,
e quindi il triangolo ACD risulta ….……………… sulla base ….... e AB è …………………..
relativa alla base, per cui è anche ……………….. .
Pertanto:
BC ≅ … ,
ed essendo:
BD ≅ B'C'
per ……………………... ,
BC ≅ …
per la proprietà transitiva della congruenza.
si ha:
I due triangoli ABC e A'B'C', avendo …………………………………………………………………
………………………….……… risultano quindi congruenti per ……………………………………
……………..……………………. .
C.V.D.
130
3.9 I luoghi geometrici
Si dice luogo geometrico, o semplicemente luogo, la figura costituita da tutti e soli i punti (del
piano) che godono di una determinata proprietà.
Quindi, una figura F è un luogo, definito da una proprietà P, se:
1. ogni punto di F gode della proprietà P;
2. ogni punto, che gode della proprietà P, appartiene ad F.
Vediamo due esempi di “luoghi”:
la bisettrice di un angolo;
l’asse di un segmento.
TEOREMA
La bisettrice di un angolo è il luogo dei punti del piano equidistanti dai lati dell’angolo.
“Riteniamo opportuno” esplicitare per esteso l’ipotesi e la tesi del teorema.
Hp.: Sia b la bisettrice dell’angolo rOs .
Th.: - Ogni punto P della bisettrice è equidistante dai lati dell’angolo;
- se un punto Q del piano è equidistante dai lati dell’angolo, allora Q appartiene alla bisettrice.
Si ha, quindi:
s
K
b
P generico punto della
bisettrice dell’angolo rOs
P
PH distanza di P da r
.
.
O
H
r
PK distanza di P da s
Dimostrazione
Consideriamo i triangoli OPH e OPK; essi hanno:
OHP ≅ OKP
perché retti;
OP in comune
(o OP ≅ OP per la proprietà riflessiva della congruenza);
POH ≅ POK
per ipotesi.
I due triangoli, oltre all’angolo retto, hanno due altri elementi ordinatamente congruenti (che non
sono i due angoli acuti) e quindi sono congruenti per il criterio di congruenza dei triangoli
rettangoli.
131
Avranno, pertanto, tutti gli elementi corrispondenti congruenti, in particolare:
PH ≅ PK
e quindi, vista la generalità del punto P sulla bisettrice b, si ha che ogni punto della bisettrice è
equidistante dai lati dell’angolo.
Dimostriamo, ora, la seconda parte del teorema.
Sia Q un punto del piano equidistante dai lati dell’angolo (QH' ≅ QK'):
s
K'
.Q
O
H'
r
Congiungiamo O con Q:
s
K'
.Q
O
H'
r
e consideriamo i triangoli OQH' e OQK'; essi hanno:
OH'Q ≅ OK'Q
perché retti (QH' distanza di Q da r ; QK' distanza di Q da s);
OQ in comune (o OQ ≅ OQ per la proprietà riflessiva della congruenza);
QH' ≅ QK'
per ipotesi.
I due triangoli, oltre all’angolo retto, hanno due altri elementi ordinatamente congruenti (che non
sono i due angoli acuti) e quindi sono congruenti per il criterio di congruenza dei triangoli
rettangoli. Avranno, pertanto, tutti gli elementi corrispondenti congruenti, in particolare:
QOH' ≅ QOK' ,
per cui OQ è bisettrice dell’angolo rOs e quindi Q ∈ b.
C.V.D.
132
TEOREMA
L’asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi del segmento
stesso.
Anche per questo teorema, “decidiamo” di esplicitare per esteso l’ipotesi e la tesi.
Hp.:
Sia AB un segmento ed r il suo asse, cioè la perpendicolare al segmento condotta dal suo
punto medio M (pag. 113).
Th.:
- Ogni punto P di r è equidistante dagli estremi A e B, cioè si ha PA ≅ PB;
- se Q è un punto del piano equidistante dagli estremi del segmento, cioè tale che QA ≅ QB,
allora Q appartiene ad r.
Si ha, quindi:
r
.P
.
A
*
.
M
*
.
B
COMPLETA la dimostrazione:
Consideriamo i triangoli APM e ……… ; essi hanno:
AMP ≅ …..
perché …………. (per ipotesi r è ……………. del segmento ……. );
…… ≅ BM
per …………….. ;
PM ………
(o PM ≅ ……. per la proprietà ………………… della …………….…... ).
I due triangoli avendo, oltre all’angolo ….. , due elementi congruenti (che non sono i due angoli
………. ), sono congruenti per il ……………………………………………………………………. .
Avranno, pertanto, tutti gli elementi corrispondenti congruenti, in particolare:
…. ≅ …. .
Vista la generalità del punto P sull’asse del segmento AB, possiamo concludere che ogni punto
………..… è equidistante dagli …………….... del segmento.
[Si può dedurre subito che PA ≅ PB in quanto le loro proiezioni AM e BM sono congruenti
(teorema pag. 112)].
133
Dimostriamo, ora, la seconda parte del teorema.
Sia Q un punto del piano equidistante dagli estremi del segmento AB, cioè tale che QA ≅ QB.
Q
.
.
A
*
.
M
*
.
B
Osserviamo che il triangolo …..… è ……………..… sulla base ….. e quindi la …………….. QM,
relativa alla ………… AB, risulta anche ………………… relativa alla base stessa .
Si ha, pertanto, che QM è …………………..…… ad AB, per cui Q ……………………… all’asse
di ….... .
C.V.D.
134
I PROBLEMI
… SOLO IL TEMPO PER QUALCHE ALTRO CONSIGLIO
NELLA RISOLUZIONE DEI PROBLEMI.
Ipotesi (…“parallelismo”):
Tesi:
r // s (o AB // CD, …)
-----------------
Nel corso della dimostrazione dovrai sicuramente utilizzare qualcuna delle seguenti
proprietà che derivano dall’ipotesi:
•
la congruenza di angoli alterni (interni o esterni) formati dalle rette parallele r ed s
(o dai segmenti paralleli AB e CD), con un’opportuna trasversale;
•
la congruenza di angoli corrispondenti formati dalle rette parallele r ed s (o dai
segmenti paralleli AB e CD), con un’opportuna trasversale;
•
la supplementarietà di angoli coniugati (interni o esterni) formati dalle rette
parallele r ed s (o dai segmenti paralleli AB e CD), con un’opportuna trasversale.
Ipotesi:
Tesi (…“parallelismo”):
r, s, … (AB, CD, …)
r // s (o AB // CD, …)
Perverrai alla tesi se dimostrerai una delle seguenti relazioni:
•
la congruenza di angoli alterni (interni o esterni) formati dalle rette r ed s (o dai
segmenti AB e CD), con un’opportuna trasversale;
•
la congruenza di angoli corrispondenti formati dalle rette r ed s (o dai segmenti
AB e CD), con un’opportuna trasversale;
•
la supplementarietà di angoli coniugati (interni o esterni) formati dalle rette r ed s
(o dai segmenti AB e CD), con un’opportuna trasversale.
135
1° Problema risolto
Dato il triangolo ABC, isoscele sulla base BC, sia r la retta passante per A parallela a BC. Dimostra
che la bisettrice dell’angolo in B interseca r in un punto P tale che AP ≅ AC.
A
P
r
AB ≅ AC
Hp. r // BC
ABP ≅ CBP
..
Th.: AP ≅ AC
B
C
Dimostrazione
Osserviamo che:
APB ≅ CBP
perché angoli alterni interni rispetto alle parallele AP e BC tagliate dalla
trasversale BP (“segnare APB con il simbolo
. ”);
e poiché:
CBP ≅ ABP
per ipotesi,
si ha, per la proprietà transitiva della congruenza, che:
APB ≅ ABP.
Il triangolo ABP risulta quindi isoscele sulla base BP, per cui si ha:
AP ≅ AB (“segnare AP con il simbolo
”);
ed essendo:
AB ≅ AC
per ipotesi,
si ha, per la proprietà transitiva della congruenza, che:
AP ≅ AC.
C.V.D.
[Al termine del problema la figura si presenta come segue:
A
.
P
r
..
B
C
]
136
2° Problema risolto
Dato un triangolo ABC, sia AD la bisettrice dell’angolo A. Conduci dal punto D la parallela al lato
AB che incontri AC in E. Tracciata da E la parallela ad AD, sia F il suo punto d’incontro con il lato
BC.
Dimostra che:
a) il triangolo EAD è isoscele;
b) EF è bisettrice dell’angolo CED.
C
BAD ≅ CAD
F
E
Hp.
D
DE // AB
EF // AD
..
Th.
B
A
EAD isoscele
CEF ≅ DEF
Dimostrazione
Osserviamo che:
ADE ≅ BAD perché angoli alterni interni rispetto alle parallele DE e AB tagliate dalla
trasversale AD (“segnare ADE con il simbolo
. ”);
e poiché
BAD ≅ EAD per ipotesi,
segue che:
ADE ≅ EAD per la proprietà transitiva della congruenza,
per cui il triangolo EAD risulta isoscele sulla base AD.
Inoltre:
CEF ≅ CAD
perché angoli corrispondenti rispetto alle parallele EF e AD tagliate dalla
trasversale AC (“segnare CEF con il simbolo
DEF ≅ ADE
. ”);
perché angoli interni rispetto alle parallele EF e AD tagliate dalla trasversale
DE (“segnare DEF con il simbolo
. ”);
137
e poiché:
CAD ≅ ADE
per quanto precedentemente dimostrato,
si ha che:
CEF ≅ DEF
per la proprietà transitiva della congruenza (la tua figura si presenta, infatti,
con i due angoli contrassegnati con lo stesso simbolo . ).
C.V.D.
[Al termine del problema la figura si presenta come segue:
C
F
E
..
.
D
..
A
B
]
N.B.: Quando abbiamo dimostrato che il triangolo EAD risultava isoscele sulla base AD, non
abbiamo volutamente scritto “segnare AE e DE con il simbolo … ”, in quanto avevamo compreso
che tale indicazione non era utile per la seconda parte della tesi, né volevamo “sporcare” la nostra
figura, aggiungendo simboli che potevano oltretutto essere motivo di “disturbo” nel proseguo del
problema.
138
3° Problema risolto
Dato un triangolo isoscele ABC, di base AB, traccia la bisettrice dell’angolo A e dal punto D di
intersezione di questa con il lato BC manda la parallela al lato AC che incontri AB in E.
Dimostra che:
AE ≅ DE ≅ DB.
C
AC ≅ BC
Hp.
DE // AC
D
Th.:
.
BAD ≅ CAD
AE ≅ DE ≅ DB
.
E
A
B
Dimostrazione
PRIMA DI INIZIARE LA DIMOSTRAZIONE RIFLETTIAMO SULL’IPOTESI (E QUINDI
SULLA FIGURA!!!, VISTO CHE VI ABBIAMO RIPORTATO TUTTI I DATI) E SU QUANTO
DOBBIAMO DIMOSTRARE.
LA TESI, CIOÈ LA CONGRUENZA DEI LATI RICHIESTI, DOVRÀ DERIVARE
RAGIONANDO SULL’IPOTESI DE // AC (NELLA FIGURA “NON CI SEMBRA” VI SIANO
INFATTI TRIANGOLI CONGRUENTI).
Osserviamo che:
ADE ≅ CAD perché angoli alterni interni formati dalle parallele DE e AC tagliate dalla
trasversale AD (“segnare ADE con il simbolo . ”),
e poiché:
CAD ≅ DAE per ipotesi,
si ha, per la proprietà transitiva della congruenza, che:
ADE ≅ DAE
per cui il triangolo ADE è isoscele sulla base AD e quindi:
139
AE ≅ DE.
(1) (“segnare AE e DE con il simbolo * ”).
Inoltre:
BED ≅ BAC perché angoli corrispondenti rispetto alle parallele DE e AC tagliate dalla
trasversale AB (“segnare BDE con il simbolo
”),
e poiché:
BAC ≅ ABC perché angoli alla base di un triangolo isoscele,
si ha:
BED ≅ ABC
per la proprietà transitiva della congruenza,
per cui il triangolo BED è isoscele sulla base BE e quindi:
DE ≅ DB.
(2) (“segnare DB con il simbolo * ”).
Da (1) e (2) segue, per la proprietà transitiva della congruenza che:
AE ≅ DE ≅ DB.
C.V.D.
[Al termine del problema la figura si presenta come segue:
C
.
.
A
*
.
*
E
D
*
B
]
140
4° Problema
Dato un triangolo ABC, conduci le bisettrici degli angoli B e C e, dal loro punto O di intersezione,
traccia la parallela al lato BC. Detti M ed N i punti di incontro rispettivamente con i lati AB e AC,
dimostra che:
MN ≅ BM + CN.
A
ABO ≅ CBO
Hp.
O
M
ACO ≅ BCO
MN // BC
N
Th.:
..
MN ≅ BM + CN
C
B
Dimostrazione
PROVA TU
…………….
…………….
…………….
…………….
…………….
[Al termine del problema la figura si deve presentare come segue:
A
M
/
O
.
*
N
*
B
..
C
]
141
ESERCIZI UNITÀ 3
Perpendicolarità e parallelismo
Conoscenza e comprensione
1) Quando due rette si dicono incidenti?
2) Quando due rette si dicono perpendicolari?
3) Quando due rette si dicono oblique?
4) Cosa si intende per distanza di un punto P da una retta r ?
5) Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false:
a) dati un punto P e una retta r, esiste sempre una retta che passa per P e che è
V
F
b) per un punto P possono esistere due perpendicolari ad una retta r.
V
F
c) la proiezione ortogonale di un segmento su una retta può essere maggiore
V
F
V
F
V
F
V
F
g) la relazione di perpendicolarità fra rette è una relazione di equivalenza.
V
F
h) la proiezione di un punto P su una retta è il punto Q di r che ha la minore
V
F
V
F
perpendicolare ad r.
del segmento stesso.
d) la proiezione ortogonale di un segmento su una retta è sempre minore del
segmento stesso.
e) la proiezione ortogonale di un segmento su una retta è sempre minore o
congruente al segmento stesso.
f) due segmenti obliqui, condotti da un stesso punto ad una retta e aventi su
questa proiezioni ortogonali non congruenti, possono essere congruenti.
distanza da P.
i) dati un punto P e una retta r, il segmento di perpendicolare PH è maggiore
di ogni segmento obliquo condotto da P alla retta r.
142
6) Riferendoti alla seguente figura, completa le seguenti affermazioni:
s
.P
.
r
H
▪
il punto H è la ………………………………………………… di … su r ;
▪
il punto H è il …………… della ………………………………… condotta da P su …;
▪
il segmento PH si dice ………………………. di P da …;
▪
il segmento PH si dice il segmento di …………………………… condotto da … ad …;
▪
la retta s è la perpendicolare alla retta ….. , passante per … ;
▪
le rette r ed s dividono il piano in ……..…. angoli ……….… ;
▪
la retta r è la perpendicolare alla retta ….. , passante per … .
7) Una sola delle seguenti affermazioni è vera. Quale?
L’asse di un segmento AB è:
a) la retta che passa per un qualsiasi punto del segmento AB ed è perpendicolare al
segmento stesso;
b) la retta che passa per il punto A ed è perpendicolare al segmento AB;
c) la retta che passa per il punto B ed è perpendicolare al segmento AB;
d) la retta che passa per il punto medio del segmento AB ed è perpendicolare al segmento
stesso;
e) una retta passante per il punto medio del segmento AB;
f) un segmento con un estremo nel punto medio di AB, perpendicolare e congruente ad AB
stesso.
143
8) Dato un triangolo ABC, definisci:
la mediana relativa al lato AC;
l’altezza relativa al lato AB;
la bisettrice relativa al vertice B;
l’asse del segmento BC.
9) Osserva la figura e completa le proposizioni relative al triangolo ABC:
H
C
D
.
.
A
*
M
*
B
a
▪
AD è la …………………… relativa all’angolo ……. ;
▪
M è il …………………….. del lato ……. ;
▪
……. è …………………… relativo al lato AB;
▪
H è il ……………………... della ………………… condotta da A alla retta ……. ;
▪
AH è ……………………... relativa al lato ……. ;
▪
CM è la …………………... relativa al ………… .
10) Quando due rette si dicono parallele?
11) Quando un fascio di rette si dice improprio?
12) Cosa si intende per direzione di una retta?
13) Cosa dice il V postulato di Euclide?
14) Cosa si intende per geometria non euclidea?
15) Perché sono nate le geometrie non euclidee?
144
16) Enuncia il criterio generale di parallelismo.
17) Enuncia il teorema inverso del criterio generale di parallelismo.
18) Enuncia il teorema fondamentale delle rette parallele.
19) Cosa afferma il secondo criterio generalizzato di congruenza dei triangoli?
20) Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false:
a) se due rette parallele hanno almeno un punto in comune, allora coincidono.
V
F
b) due rette parallele formano con una terza retta incidente angoli alterni
V
F
V
F
d) due rette coincidenti sono parallele.
V
F
e) se due rette distinte r e t sono perpendicolari ad una stessa retta s,
V
F
f) la relazione di parallelismo è una relazione di equivalenza.
V
F
g) esiste una ed una sola parallela ad una retta data.
V
F
h) esiste una ed una sola parallela ad una retta data, passante per un dato
V
F
i) due rette parallele non hanno mai alcun punto in comune.
V
F
j) date tre rette r, s, t, se r non è parallela ad s ed s non è parallela a t, allora
V
F
k) esistono infinite rette parallele ad una retta data.
V
F
l) due rette parallele sono rette equidistanti.
V
F
interni supplementari.
c) se una retta r è perpendicolare ad una retta s ed s è perpendicolare ad
una retta t, allora le rette r e t sono parallele.
allora le rette r e t sono incidenti.
punto.
anche r non è parallela a t (cosiddetto “criterio di non parallelismo”).
145
21) Indica il nome degli angoli indicati in ognuna delle seguenti figure:
a)
r
s
t
b)
r
s
t
c)
r
s
t
d)
r
s
t
146
e)
r
s
t
22) Nella figura a lato, le rette r ed s sono parallele.
t
2
1
4
s
6
5
8
3
7
r
Completa:
1–8
1–7
2–8
3–5
angoli ……………….
angoli ……………….
4–6
2–7
angoli ……………….
3–6
4–5
angoli ……………….
1–5
2–6
3–7
angoli ……………….
4–8
Verifica, poi, con il goniometro o per sovrapposizione con carta trasparente, che:
▪
gli angoli alterni (interni o esterni) sono congruenti;
▪
gli angoli corrispondenti sono congruenti;
▪
gli angoli coniugati (interni o esterni) sono supplementari.
147
23) Completa le seguenti affermazioni:
▪
in un triangolo, ciascun angolo ………………… è congruente alla somma degli …………...
………………… ad esso non …………………… .
▪
la somma degli angoli interni di ogni triangolo è ………………… ad un angolo …………. .
▪
gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono ……..………………… .
▪
in un triangolo rettangolo isoscele, ciascun angolo acuto è ………………….….. di un
angolo retto.
▪
ciascun angolo di ogni triangolo equilatero è congruente alla ………. parte di un angolo
piatto.
▪
la somma degli angoli interni di un pentagono è congruente a …….. angoli piatti.
▪
la somma degli angoli interni di un ottagono è congruente a …….. angoli piatti.
▪
la somma degli angoli interni di un poligono di n lati è congruente a ………….. angoli
piatti.
▪
la somma degli angoli esterni di un esagono è congruente a ………………… piatti.
▪
la somma degli angoli esterni di un decagono è congruente a ………………… piatti.
▪
la somma degli angoli esterni di un poligono di n lati è congruente a ……… angoli piatti.
24) Uno dei seguenti enunciati è falso. Quale?
a)
Un angolo esterno di un triangolo può essere congruente ad un angolo interno ad esso
adiacente.
b)
La somma degli angoli interni di un triangolo è congruente alla somma dei suoi angoli
esterni.
c)
Ogni angolo esterno di un triangolo è maggiore di ciascun angolo interno, ad esso non
adiacente.
d)
Un triangolo può essere contemporaneamente isoscele e rettangolo.
e)
In un triangolo, due angoli esterni sono sempre ottusi.
f)
Ogni angolo esterno di un triangolo equilatero è congruente al doppio dell’angolo interno
adiacente.
g)
La somma degli angoli interni di un quadrilatero è congruente ad un angolo giro.
148
25) Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false:
a) due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno almeno un lato congruente.
V
F
b) due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
l’ipotenusa e l’angolo retto.
c) due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti
un cateto e l’ipotenusa.
d) due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti
un cateto e l’angolo ad esso opposto.
e) due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti
i due cateti.
f) due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti
un cateto e l’angolo retto.
[ovviamente, parlando di triangoli rettangoli, gli angoli retti sono sempre congruenti]
26) Completa le seguenti affermazioni:
▪
un luogo geometrico è la figura costituita da ………………………….. i punti del piano che
godono di una determinata proprietà.
▪
la bisettrice di un angolo è il luogo dei punti ……………………….….….. dai ………….
dell’angolo.
▪
l’asse di un segmento è il luogo dei punti …………………….….. dagli ………….………
del ………………..…… .
▪
il luogo geometrico dei punti P del piano che sono allineati con due punti distinti A e B è
………………………………………………………… .
▪
il luogo geometrico dei punti medi dei segmenti aventi un estremo su una retta r e l’altro su
una retta s, parallela ad r, è ………………………………………………………………….. .
▪
il luogo geometrico dei punti aventi una fissata distanza h da una data retta r sono due
………… parallele ad … , ciascuna a distanza … da … .
149
Applicazioni
1) Segui e COMPLETA la costruzione di una retta s perpendicolare alla retta r data in figura.
Sia data una retta r:
r
Prendi un punto qualsiasi P sulla retta r:
.
r
P
Facendo centro con il compasso in P, con apertura a piacere, determina su r due punti A e B:
.
.
.
A
P
B
r
Si ha che: PA ≅ …..
Punta, ora, il compasso in A e, con apertura maggiore di AP, traccia un arco.
Analogamente, dal punto ….. , con la stessa apertura, traccia un secondo arco che incontrerà il
primo in un punto Q. [Perché l’apertura del compasso deve essere maggiore di AP (o di BP)?]
.Q
.
.
.
A
P
B
r
Conduci la retta s passante per i punti P e Q:
.Q
.
A
.
.
P
B
r
Si ha che le rette r ed s sono …….…………….…… (VERIFICA le tue conclusioni,
utilizzando il goniometro).
150
2) Riproduci sul quaderno le rette della seguente figura e traccia, per ognuna, secondo l’esercizio
precedente, la perpendicolare in un loro punto a tua scelta:
r
s
Costruzione, con riga e squadra, della perpendicolare ad una retta data
Osserva la costruzione della perpendicolare alla retta r assegnata, passante per un suo punto P, con
l’utilizzo di riga e squadra:
.
P
r
P .
r
.
P
r
151
PROVA TU
Puoi facilmente procedere con la stessa costruzione nel caso della perpendicolare alla retta data,
passante per un punto Q qualsiasi del piano.
3) Per ogni retta della figura, traccia una qualsiasi retta perpendicolare ad essa.
r
s
t
u
4) Per ogni retta della figura, traccia la retta passante per il punto indicato e perpendicolare alla
retta data.
s
.P
r
.Q
.
N
.
O
v
u
152
5) Rappresenta la distanza dalla retta r di ciascuno dei punti indicati nella seguente figura:
.A
.P
r
.
Q
.B
6) Disegna la proiezione ortogonale P'Q' del segmento PQ sulla retta r, nei casi indicati dalle figure
seguenti:
P.
P
.
.Q
.
r
P
.
Q
.
r
Q
.Q
r
r
P
.Q
P
.
.
P
r
.
.
Q
r
153
7) Traccia le proiezioni ortogonali dei punti A, B, C e dei segmenti DE e FG sulla retta r.
E.
.B
F.
D.
.
r
C
.
G
.A
Disegna le seguenti figure geometriche:
8) Una retta r , due punti distinti A e B che appartengono ad r e la retta s perpendicolare ad r,
passante per il punto medio del segmento AB (“chi è” quest’ultima retta?).
9) Due rette r ed s , incidenti in O, un punto A su r , un punto B su s e le proiezioni ortogonali di A
e B, rispettivamente, su s e su r.
10) Una retta r , due punti A e B nei due semipiani opposti di origine r e le proiezioni ortogonali di
A e B su r .
11) Una retta s , un punto P non appartenente ad s , la distanza PH di P da s , un punto Q di s ,
distinto da H, la proiezione ortogonale di H sulla retta PQ.
12) Una retta t , due punti P e Q su t , le perpendicolari a t condotte da P e da Q, una retta passante
per il punto medio M del segmento PQ che incontri la perpendicolare in P nel punto A e la
perpendicolare in Q nel punto B.
13) Un triangolo ABC, un punto P interno al triangolo, le proiezioni H, K e T del punto P,
rispettivamente, sui lati AB, BC e AC.
14) Un triangolo ABC, ottusangolo in A, la proiezione ortogonale AH del lato AB sulla retta del
lato AC, la distanza del punto H dal lato AB.
154
Altezze, mediane, bisettrici e assi di un triangolo
Riproduci sul quaderno i triangoli in figura e traccia le altezze relative a ciascun lato. Verifica che
le tre altezze, o i loro prolungamenti, si incontrano in uno stesso punto (ortocentro del triangolo).
15)
C
A
B
16)
F
D
E
17)
I
G
H
COMPLETA:
L’ortocentro è ……………… al triangolo, se il triangolo è ……………..……. ; coincide con il
vertice dell’angolo ……… , se il triangolo è rettangolo; è …………… al triangolo, se il triangolo è
………………..……. .
155
Riproduci sul quaderno i triangoli in figura e traccia le mediane relative a ciascun lato. Verifica
che le tre mediane si incontrano in uno stesso punto (baricentro del triangolo).
18)
C
A
B
19)
F
D
E
20)
I
G
H
COMPLETA:
Il baricentro è sempre …………….… al triangolo.
“Verifica” con la squadretta che il baricentro divide ciascuna mediana in due parti, delle quali
quella che contiene il vertice è doppia dell’altra.
156
Riproduci sul quaderno i triangoli in figura e traccia le bisettrici relative a ciascun lato. Verifica
che le tre bisettrici si incontrano in uno stesso punto (incentro del triangolo).
21)
C
A
B
22)
F
D
E
23)
I
G
H
COMPLETA:
L’incentro è sempre …………… al triangolo.
“Verifica” con il compasso che l’incentro è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo
(“tocca”, cioè, i tre lati del triangolo).
157
Riproduci sul quaderno i triangoli in figura e traccia gli assi relativi a ciascun lato. Verifica che i
tre assi, o i loro prolungamenti, si incontrano in uno stesso punto (circocentro del triangolo).
24)
C
A
B
25)
F
E
D
26)
I
G
H
COMPLETA:
Il circocentro non è sempre …………… al triangolo.
“Verifica” con il compasso che il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo
(“passa”, cioè, per i tre vertici del triangolo).
158
Costruzione, con riga e squadra, della parallela ad una retta data
Osserva la costruzione di una retta s parallela alla retta r data:
r
r
s
r
Quindi:
s
s // r
r
159
27) Costruisci, con riga e squadra, una parallela a ciascuna retta data:
a)
r
b)
s
c)
t
d)
u
160
28) Per ogni retta della figura, traccia la parallela passante per il punto indicato.
a)
r
.A
b)
.B
s
c)
. C
t
d)
. D
u
161
29) In riferimento alla seguente figura, sapendo che r // s, COMPLETA le relazioni indicate.
t
1
4
6
5
8
3
r
7
4–6
5 = ….
; 3 = ….
3–5
1 = ….
; 7 = ….
1–7
2 = ….
; 8 = ….
2–8
1 = ….
; 5 = ….
1–5
2 = ….
; 6 = ….
2–6
3 = ….
; 7 = ….
3–7
4 = ….
; 8 = ….
4–8
3–6
4 + 5 = ….
4–5
1 + 8 = ….
1–8
2 + 7 = ….
2–7
s
74°
6 = 74° ; 4 = ….
3 + 6 = ….
2
angoli ……………….
angoli ……………….
angoli ……………….
angoli ……………….
angoli ……………….
30) Due rette parallele a e b sono tagliate da una trasversale t che forma con la retta a un angolo di
53°. Calcola le ampiezze di tutti gli angoli formati da a e da b con la trasversale t.
31) Due rette parallele p e q sono tagliate da una trasversale t che forma con la retta q un angolo di
27° 42'. Calcola le ampiezze di tutti gli angoli formati da p e da q con la trasversale t.
162
Angoli di un triangolo
Calcola l’ampiezza degli angoli indicati con il simbolo x.
32)
C
x = …..
x
32°
A
B
33)
C
x
x = …..
33°
75°
A
B
34)
R
40°
x = …..
x
28°
P
Q
35)
L
M
30°
x
107°
x = …..
N
163
36)
Q
36°
x = …..
x
O
P
37)
T
x
*
*
x = …..
62°
R
S
38)
Z
31°
*
*
x = …..
x
U
V
39)
C'
x
*
A'
x = …..
*
*
B'
164
40)
F'
x
125°
D'
x = …..
G'
E'
41)
L'
48°
*
*
x = …..
x
I'
H'
42)
P'
O'
134°
*
*
x = …..
x
M'
N'
43)
S'
x = …..
*
Q'
x
*
R'
T'
165
Criteri di congruenza dei triangoli (rettangoli e non)
In base ai dati riportati nelle varie figure (lati e/o angoli congruenti “segnati” con uno stesso
simbolo), indica se i triangoli sono congruenti e, in caso affermativo, scrivi in base a quale criterio
di congruenza lo sono.
44)
C
E
o
*
SI
NO
*
D
Criterio ………………….
o
A
B
F
45)
I
N
SI
*
o
*
o
L
G
NO
Criterio ………………….
M
H
46)
T
P
SI
*
NO
*
O
Criterio ………………….
Q
R
S
166
47)
W
Z
SI
NO
Criterio ………………….
//
U
//
J
V
K
48)
F'
C'
SI
NO
Criterio ………………….
B'
A'
E'
D'
49)
N'
I'
SI
o
NO
Criterio ………………….
G'
o
H'
L'
M'
167
PROBLEMI
1) Siano AB e BC due segmenti consecutivi e congruenti. Dimostra che le proiezioni dei due
segmenti sulla retta AC sono congruenti.
2) Dato un triangolo qualsiasi, considera l’angolo interno e l’angolo esterno relativo ad uno stesso
vertice. Dimostra che le loro bisettrici sono perpendicolari.
3) Dati due segmenti AB e BC, consecutivi e congruenti, conduci la bisettrice dell’angolo ABC.
Dimostra che tale bisettrice è l’asse del segmento AC.
4) Siano AB e BC due segmenti consecutivi congruenti. Conduci dagli estremi A e C (vedi figura)
due semirette r ed s che formano angoli congruenti, rispettivamente, con AB e BC. Detto P il
punto d’incontro di tali semirette, dimostra che AP ≅ CP.
r
s
P
.
AB ≅ BC
.C
Hp.:
A
*
.
r ∩ s = {P}
BAP ≅ BCP
*
.
A∈ r ; C∈ s
Th.:
AP ≅ CP
B
168
[Osserva che, unendo B con P, ottieni la seguente figura:
r
s
P
.
.C
*
.
.
*
A
B
e che ai triangoli ABP e BCP non è applicabile alcun criterio di congruenza, né è possibile fare
alcuna utile considerazione].
Segui ...... l’altra strada:
Unisci A con C:
r
s
P
.
.C
*
.
A
*
.
B
COMPLETA:
Osserva che il triangolo ABC è ………………… sulla base …… perché …… ≅ …… per ipotesi.
Segue quindi che:
BAC ≅ ……
perché angoli alla base del triangolo …………………. ABC (segna BAC e
……. con il simbolo
.
).
169
r
s
P
.
.C
(completare la figura)
*
.
.
A
*
.
B
Pertanto:
PAC ≅ ……
perché differenze di angoli congruenti (…… ≅ PCB e BAC ≅ ……),
per cui il triangolo ACP è isoscele sulla base …… e, quindi, risulta: …… ≅ …… .
[BP è l’asse del segmento …….. PROVA TU]
C.V.D.
5) Dal punto medio M del lato BC di un triangolo ABC, conduci la perpendicolare al lato stesso e
sia P la sua intersezione con la retta AC.
Dimostra che il triangolo PBC è isoscele.
6) Nel triangolo scaleno ABC, con AB > BC, prolunga il lato AB di un segmento BP tale che
BP ≅ BC. Traccia la bisettrice dell’angolo CBP e indica con Q il punto di intersezione con la
retta AC.
Dimostra che:
a) BQ è perpendicolare a CP;
b) il triangolo CPQ è isoscele.
7) Disegna un angolo convesso XOY. Da un punto P qualsiasi della sua bisettrice manda la
perpendicolare alla bisettrice stessa che incontra in A e B i lati dell’angolo.
Dimostra che il triangolo AOB è isoscele.
8) Sia dato un triangolo ABC, con AB > BC. Traccia la bisettrice dell’angolo B ed indica con D il
suo punto di intersezione con AC. Detto E il punto di AB tale che BDE ≅ BDC, dimostra che
BD è l’asse del segmento CE.
170
9) Considera due rette parallele tagliate da una trasversale.
Dimostra che:
a) le bisettrici di angoli corrispondenti sono parallele;
b) le bisettrici di angoli alterni interni sono parallele;
c) le bisettrici di angoli alterni esterni sono parallele.
10) Siano r ed s due rette parallele, tagliate da una trasversale t. Dimostra che le bisettrici di due
angoli coniugati interni, formati da r ed s con la trasversale t, sono fra loro perpendicolari.
Cosa puoi dire nel caso delle bisettrici di due angoli coniugati esterni?
Alla luce della considerazione che farai, come si può generalizzare l’enunciato del presente
problema?
11) Disegna un angolo acuto AOB e da un punto P del lato OA traccia la perpendicolare PH al lato
OB. Dal punto P traccia poi la bisettrice dell’angolo OPH che incontra in Q il lato OB. Conduci,
infine, dal punto Q la perpendicolare al lato OB che incontra in R il lato OA.
Dimostra che:
▪
PR ≅ QR
12) Sia BP la bisettrice dell’angolo B del triangolo ABC, retto in A. Conduci da P la perpendicolare
all’ipotenusa BC che incontra l’ipotenusa e la retta del lato AB, rispettivamente, in D ed E.
Dimostra che:
a) PE ≅ PC;
b) il triangolo BEC è isoscele;
c) il triangolo ABD è isoscele;
d) AD // EC.
13) Dato un triangolo PQR, retto in R, conduci da P la perpendicolare a PR e da Q la perpendicolare
a QR. Detto S il punto d’incontro di tali perpendicolari, dimostra che il triangolo PQS è
congruente al triangolo PQR.
14) Considera un triangolo isoscele ABC e traccia una retta parallela alla base BC che incontra i lati
congruenti AB e AC, rispettivamente, in D ed E.
Dimostra che:
▪
BE ≅ CD
171
15) Considera un triangolo isoscele ABC e traccia una retta parallela alla base BC che incontra i
prolungamenti dei lati congruenti AB e AC, dalla parte di A, rispettivamente nei punti D ed E.
Dimostra che:
▪
BE ≅ CD
16) Disegna un angolo convesso XOY e sia OZ la sua bisettrice. Considera su tale bisettrice due
punti R ed S tali che OR > OS.
Dai punti R ed S conduci:
o le perpendicolari al lato OX che lo incontrano, rispettivamente, in A e B;
o le perpendicolari al lato OY che lo incontrano, rispettivamente, in C e D.
Dimostra che:
a) OA ≅ OC e OB ≅ OD;
b) AC // BD.
17) Dato il triangolo ABC, conduci per il vertice C la retta r parallela ad AB. Considera nel
semipiano di origine BC, non contenente A, un punto P ∈ r tale che PC ≅ AB.
Dimostra che i triangoli ABC e PBC sono congruenti e che AC // BP.
18) Dato il triangolo ABC, retto in A, sia AH l’altezza relativa all’ipotenusa BC. Conduci dal
vertice B la perpendicolare al cateto AB ed indica con D il suo punto d’intersezione con la retta
AH. Dimostra che i triangoli ACH e BDH hanno gli angoli congruenti.
[Dopo la dimostrazione, “segna” tutti gli angoli dei vari triangoli. Cosa deduci?]
19) Dato il triangolo ABC, conduci la bisettrice dell’angolo A ed indica con D il suo punto
d’incontro con il lato BC.
Dal punto D conduci:
o la parallela ad AB, indicando con E il suo punto d’incontro con AC;
o la parallela ad AC, indicando con F il suo punto d’incontro con AB.
Dimostra che:
▪
AE ≅ ED ≅ DF ≅ FA
20) Dato un triangolo ABC, conduci dal vertice A la parallela al lato BC e dal vertice C la parallela
al lato AB. Detto D il punto di incontro di tali parallele, dimostra che i triangoli ABC e ACD
sono congruenti.
172
21) Dato il segmento AB, indica con M il suo punto medio. Conduci per M una retta r, distinta dalla
retta AB, e prendi su di essa due punti P e Q tali che MP ≅ MQ.
Dimostra che:
▪
AQ // BP;
▪
AP // BQ.
22) Associa ciascuna delle seguenti figure:
δ
β
α
γ
fig. 2
fig. 1
ω
φ
fig. 3
ai tre casi di seguito elencati:
a) due angoli con i lati paralleli e concordi (stesso verso);
b) due angoli con i lati paralleli e discordi (verso contrario);
c) due angoli con i lati paralleli, di cui due concordi e due discordi.
Dimostra che:
▪
nel caso a) gli angoli sono congruenti;
▪
nel caso b) gli angoli sono congruenti;
▪
nel caso c) gli angoli sono supplementari.
173
23) Dimostra che sono congruenti due triangoli rettangoli che hanno ordinatamente congruenti un
angolo acuto e la bisettrice relativa.
24) Dato un triangolo ABC, traccia dal vertice C la parallela al lato AB e prendi su di essa due punti
distinti D ed E tali che CD ≅ CE ≅ BC.
Dimostra che le semirette BD e BE sono le bisettrici dell’angolo interno e dell’angolo esterno di
vertice B.
25) Dato il triangolo rettangolo ABC della seguente figura:
C
α
β
A
B
dimostra che, conducendo le bisettrici dei due angoli acuti, l’ampiezza del minore degli angoli
formati da tali bisettrici è indipendente dalle ampiezze di α e di β [tale ampiezza vale, infatti,
45°].
26) Relativamente alla seguente figura:
C
γ
δ
A
α
β
B
φ
Dimostra che:
δ + φ ≅ 2 (β + γ)
δ≅ φ
2 …. ≅ ……………
COMPLETA
cioè “la somma dei due angoli esterni di vertice A ………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………… .
174
27) Riferendoti al triangolo dell’esercizio precedente dimostra che:
COMPLETA
la somma dei due angoli esterni di vertice B ………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………..… ;
COMPLETA
la somma dei due angoli esterni di vertice C ………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………..… .
28) PROVA TU a generalizzare i risultati dei due esercizi precedenti, completando il seguente
enunciato:
“la somma dei due angoli esterni di ciascun vertice ………………………………………………
………………………………………………………………………………………………........”
29) Dimostra che in un triangolo isoscele la somma dei due angoli esterni, aventi come vertice un
estremo della base, è congruente alla somma degli angoli alla base e del doppio dell’angolo al
vertice.
30) Dato un triangolo isoscele MNP, da un punto Q della base MN conduci la parallela al lato PN
che incontra PM in R. Dimostra che il triangolo MQR è isoscele.
31) Dato un triangolo ABC, conduci dal vertice B la parallela alla bisettrice dell’angolo in A e sia D
il punto d’intersezione di tale parallela con il prolungamento del lato AC.
Dimostra che AB ≅ AD.
32) Dato un triangolo ABC, retto in A, conduci la bisettrice dell’angolo retto e sia D il suo punto
d’intersezione con BC. Dal punto B manda la perpendicolare ad AD ed indica con E il suo
punto d’intersezione con AC (o con il suo prolungamento). Dimostra che il triangolo ABE è
isoscele.
33) Siano A e B i punti in cui una retta t interseca, rispettivamente, due rette a e b tra loro parallele.
Detto M il punto medio del segmento AB, conduci per M una retta, distinta da t, che interseca a
in P e b in Q. Dimostra che PM ≅ MQ.
34) Sia AD la bisettrice dell’angolo A di un triangolo ABC. Traccia da un qualsiasi punto P del lato
AC la parallela ad AD che incontra in Q la retta del lato AB.
Dimostra che APQ è un triangolo isoscele.
175
35) Prolunga i lati AB e AC di un triangolo ABC oltre B e C. Traccia le bisettrici degli angoli
esterni così ottenuti e indica con F il loro punto d’intersezione. Manda da F la parallela al lato
BC e siano D ed E i punti di intersezione, rispettivamente, con le rette dei lati AB e AC.
Dimostra che DE ≅ BD + CE.
36) La bisettrice AD di un triangolo ABC è tale che AD ≅ DC. Manda da D la parallela ad AC e da
B la parallela ad AD e indica con E il punto di intersezione di tali parallele.
Dimostra che il triangolo BDE è isoscele.
37) Dato un triangolo isoscele ABC, di base BC, traccia l’altezza AH e dai punti B e C manda le
parallele a tale altezza. Indica con D ed E gli ulteriori punti in cui tali rette intersecano,
rispettivamente, i prolungamenti dei lati AC e AB.
Dimostra che i triangoli ABD e ACE sono isosceli e congruenti tra loro.
38) Dato un segmento AB, traccia dai suoi estremi due rette parallele r ed s. Considera su tali
parallele, nei semipiani opposti individuati dalla retta AB, due punti C e D tali che AC ≅ BD.
Unisci C con D e indica con E il punto di intersezione tra AB e CD.
Dimostra che E è il punto medio sia di AB che di CD.
39) Dato un triangolo ABC, conduci da ogni vertice la parallela al lato opposto. Dimostra che i tre
triangoli che si vengono a formare sono congruenti al triangolo dato.
40) Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, prolunga BC di un segmento CD ≅ AC.
Congiungi D con A e considera sul prolungamento del segmento DA, dalla parte di A, un punto
qualsiasi E. Dimostra che:
▪ BAE ≅ 3 . BDA
41) Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, prolunga AB di un segmento BD ≅ BC.
Congiungi D con C e dimostra che:
▪
DCA ≅ 3 . ADC
42) Dato un triangolo ABC, retto in A, conduci la bisettrice dell’angolo in A e indica con D il suo
punto d’incontro con la perpendicolare ad AB condotta da B.
Dimostra che il triangolo ABD è un triangolo rettangolo isoscele.
176
43) Date due rette parallele r ed s, sia t una trasversale che tagli r in A ed s in B.
Considera su r un segmento AC e su s, nello stesso semipiano individuato dalla trasversale t, il
segmento BD ≅ AC. Dimostra che le rette AB e CD sono parallele.
[suggerimento: unisci B con C e considera i triangoli ………..]
44) Dato un triangolo ABC, retto in A, conduci la bisettrice dell’angolo B e indica con P il punto in
cui tale bisettrice interseca il lato AC.
Conduci da P la perpendicolare all’ipotenusa BC e sia D la loro intersezione.
Dimostra che PD ≅ AP.
45) Dato un triangolo equilatero ABC, prolunga il lato AB, dalla parte di B, di un segmento BD
congruente ad AB. Dimostra che il triangolo ACD è retto in C.
46) Dimostra che:
▪
in ogni triangolo rettangolo, la mediana relativa all’ipotenusa è congruente a metà
dell’ipotenusa;
[suggerimento: prolunga la mediana di un segmento congruente ad essa e unisci
……………….]
Viceversa
▪
se in un triangolo, la mediana relativa al lato maggiore è congruente alla sua metà,
allora il triangolo è rettangolo.
[suggerimento: detto α l’angolo al vertice di uno dei due triangoli isosceli, si ha
………….]
47) Dato un triangolo acutangolo ABC, dimostra che la somma dei complementari degli angoli
interni del triangolo acutangolo è congruente ad un angolo retto.
48) Dato un triangolo isoscele ABC, retto in A, conduci dal vertice A, esternamente al triangolo,
una retta r. Siano:
o
AH l’altezza relativa all’ipotenusa;
o
BK la distanza di B dalla retta r;
o
CT la distanza di C dalla retta r.
Dimostra che:
▪
KT ≅ CT + BK.
177
49) Dato un triangolo acutangolo ABC, siano AH e CK le altezze relative, rispettivamente, ai
lati BC e AB. Detto P il punto di incontro di tali altezze, conduci da P la perpendicolare PQ al
lato AC e, sul suo prolungamento, prendi il segmento QR ≅ PQ.
Dimostra che:
a) i triangoli ACP e ACR sono congruenti;
b) gli angoli ABC e ARC sono supplementari.
50) L’angolo ottuso formato dalle bisettrici di due angoli interni di un triangolo qualunque è
congruente alla somma di un angolo retto con la metà del terzo angolo.
51) Dato il triangolo ABC, retto in B, conduci la bisettrice AD dell’angolo A . Dal punto C manda
la parallela ad AD e sia E il suo punto di incontro con il prolungamento dell’altezza BH, relativa
al lato AC. Dimostra che il triangolo BCE è isoscele sulla base CE.
52) Disegna un angolo convesso XOY e conduci la sua bisettrice b Dopo aver preso un punto P su
b, traccia l’asse del segmento OP ed indica con C e D i suoi punti di intersezione,
rispettivamente, con OX e OY.
Dimostra che:
a) OD ≅ DP;
b) DP // OC ∧ OD // PC.
53) Dato un angolo convesso XOY, considera sul lato OX un punto A e sul lato OY un punto B in
modo che OA ≅ OB. Conduci da A e B le perpendicolari, rispettivamente, ad OX e ad OY.
Detto P il punto di incontro di tali perpendicolari, dimostra che P appartiene alla bisettrice
dell’angolo XOY.
54) Dato il segmento AB, indica con M il suo punto medio. Traccia una retta qualsiasi r passante
per M, distinta dalla retta AB, ed indica con A' e B', rispettivamente, le proiezioni ortogonali di
A e B su r. Dimostra che:
▪
AA' ≅ BB'.
55) Dato un triangolo ABC, considera un punto D sul lato BC e conduci gli assi a e b,
rispettivamente, dei segmenti BD e DC. Indica con E ed F i punti d’intersezione di a e b,
rispettivamente, con le rette dei lati AB e AC. Dimostra che EDF ≅ BAC.
178
56) In un triangolo ABC, conduci l’altezza CH e la mediana CM. Prolunga l’altezza di un segmento
HD ≅ CH e la mediana di un segmento ME ≅ CM. Dopo aver congiunto A con D e B con E,
dimostra che:
a) AC // BE;
b) AC ≅ AD ≅ BE.
57) Dato un triangolo isoscele DEF, di base EF, dal vertice D manda la parallela alla base.
Dimostra che tale retta è bisettrice dell’angolo esterno di vertice D.
58) Sia dato il triangolo ABC della figura seguente:
C
γ
α
β
A
B
Conduci le bisettrici degli angoli β e γ. Dal punto A traccia le parallele a tali bisettrici ed indica
con D ed E i loro punti di intersezione con la retta BC.
Dimostra che:
a) DE ≅ AB + BC + CA;
b) DAE ≅ α + β/2 + γ/2 ; D ≅ β/2 ; E ≅ γ/2 .
59) Dato un triangolo ABC, retto in A, prendi il punto D su BC tale che BD ≅ AD. Dimostra che D
è equidistante dai tre vertici del triangolo dato.
60) Di un triangolo rettangolo PQR sappiamo che l’ipotenusa QR è doppia del cateto PQ. È corretto
affermare che PQR è il doppio di PRQ?
(Motiva la tua risposta)
61) Di un triangolo PQR, retto in P, sappiamo che PQR è il doppio di PRQ. È corretto affermare che
l’ipotenusa QR è doppia del cateto PQ? (Motiva la tua risposta)
179
62) Dato un triangolo ABC, retto in A, conduci le proiezioni del cateto AB sull’ipotenusa e sulla
retta della mediana relativa all’ipotenusa.
Dimostra che tali proiezioni sono congruenti.
63) Dato un triangolo acutangolo ABC, prolunga il lato AB, dalla parte di A, del segmento
AD ≅ AC e, dalla parte di B, del segmento BE ≅ BC.
Dimostra che:
a) ADC ≅
b) DCE >
1
BAC
2
π
2
;
BEC ≅
1
ABC ;
2
.
64) Nel triangolo ABC, isoscele sulla base BC, l’asse di AC interseca la retta BC in D. Prolunga il
segmento DA di un segmento AE ≅ BD.
Dimostra che:
a) il triangolo ACD è isoscele;
b) il triangolo CDE è isoscele.
65) Considera due rette parallele r ed s. Da un punto A di r traccia una semiretta che incontri s nel
punto B. Conduci le bisettrici degli angoli BAr e siano C e D i loro punti di intersezione con la
retta s.
Dimostra che:
a) il triangolo ACD è rettangolo;
b) i triangoli ABC e ABD sono isosceli.
66) Dato un quadrilatero convesso ABCD, conduci le sue diagonali AC e BD. Detto O il loro punto
di intersezione, dimostra che:
a) OAB + OBA ≅ OCD + ODC;
b) OBC + OCB ≅ OAD + ODA.
67) Dato un triangolo ABC, retto in C, sia CH l’altezza relativa all’ipotenusa AB. Dimostra che i
triangoli ACH e BCH hanno gli angoli congruenti a quelli del triangolo ABC.
180
68) In un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, conduci l’altezza CH e da un suo punto D manda
le parallele ai lati AC e BC. Detti E ed F i punti di incontro di tali parallele, rispettivamente, con
i lati AC e BC, dimostra che:
a) i triangoli CDE e CDF sono congruenti;
b) i triangoli ADE e BDF sono congruenti.
69) Dal punto medio M della base BC di un triangolo isoscele ABC, conduci le perpendicolari MH
e MK ai lati congruenti AB e AC.
Dimostra che:
a) MH ≅ MK;
b) i triangoli AMH e AMK sono congruenti.
70) Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, considera un punto D sul lato AC e da tale
punto conduci la parallela alla bisettrice dell’angolo ABC. Indica con P e Q i punti di incontro
di tale parallela, rispettivamente, con le rette dei lati AB e BC.
Dimostra che BP ≅ BQ.
71) Date due rette parallele r ed s, sia t una perpendicolare alle due rette che intersechi r in A ed s in
B. Dal punto medio M del segmento AB conduci una retta u, distinta da t, che intersechi r ed s,
rispettivamente, in C e D.
Conduci, poi, l’asse del segmento CD ed indica con E ed F, rispettivamente, i suoi punti di
intersezione con le rette r ed s.
Dimostra che:
▪
ED // CF.
[suggerimento: dimostra prima che CM ≅ MD]
72) Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, considera su di essa due punti D ed E. Conduci:
o dal punto D la parallela al lato AC e sia F il punto d’intersezione con il lato BC;
o dal punto E la parallela al lato BC e sia G il punto d’intersezione con il lato AC.
Detto I il punto d’intersezione di DF con EG, dimostra che:
a) i triangoli AEG, DBF e DEI sono isosceli;
b) gli angoli dei triangoli AEG, DBF e DEI sono congruenti agli angoli del triangolo
ABC.
181
73) Dato un triangolo ABC, retto in A, prolunga l’ipotenusa BC di un segmento BD ≅ BA. Conduci,
poi, dal vertice C, nel semipiano avente come origine la retta BC e contenente A, la
perpendicolare a BC e prendi su di essa il segmento CE ≅ CA.
a) Esprimi, in funzione dell’angolo ABC, le misure degli angoli BAD, ACE e CAE.
[BAD ≅
1
π 1
ABC; ACE ≅ ABC; CAE ≅
– ABC]
2
2
2
b) Dimostra che i punti D, A ed E sono allineati.
74) Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, conduci l’asse del lato BC che intersechi in D il
prolungamento del lato AB. Unisci D con C e prolunga DC del segmento CE ≅ AD. Unisci,
infine, B con E e dimostra che:
a) il triangolo BDE è isoscele;
b) ACB + DBE ≅ 2 . BAC.
[suggerimento: ragiona sugli angoli. Poni BAC = α ………………..]
75) Dato un triangolo MNP, isoscele sulla base MN, conduci le altezza MH ed NK relative ai lati
congruenti. Dimostra che la retta HK è parallela alla base MN.
[suggerimento: dai punti H e K conduci le perpendicolari alla base …. ]
76) Siano a e b due rette parallele e sia t una retta che incontri a in A e b in B. Dimostra che il punto
medio del segmento AB è equidistante dalle rette a e b.
77) Perché l’incentro di un triangolo è equidistante dai lati dell’angolo?
78) Perché il circocentro di un triangolo è equidistante dai vertici del triangolo?
79) Sia T un punto della base PQ di un triangolo isoscele PQS. Conduci da T la perpendicolare t a
PQ ed indica con:
o K il punto di intersezione di t con la retta del lato PS;
o F il punto di intersezione di t con la retta del lato QS.
Dimostra che il triangolo FKS è isoscele.
[suggerimento: traccia l’altezza SH relativa a PQ (SH // PQ) oppure …. ]
182
80) Sia s la bisettrice di un angolo aOb. Da un punto P del prolungamento della semiretta a, dalla
parte di O, conduci la parallela ad s che incontra la semiretta b in un punto Q.
Dimostra che OP ≅ OQ.
81) Sia rOs un angolo acuto e T un suo punto interno. Conduci da T le perpendicolari TH e TK
rispettivamente ai lati r ed s.
Una delle seguenti proposizioni è vera. Quale?
a) OT è bisettrice di HOK;
b) HOK è complementare di HTK;
c) HOK è supplementare di HTK;
d) TH ≅ TK;
e) OTH ≅ OTK.
(Motiva la tua risposta)
82) Osserva la seguente figura dove r ed s sono due rette parallele:
Q
β
s
γ
A
α
P
r
In base ai dati riportati, dimostra che:
γ ≅α+β
[suggerimento: traccia la retta t passante per A e ……… ]
83) Siano BH e CK le altezze relative ai lati congruenti AC e AB del triangolo isoscele ABC.
Prolunga BH di un segmento HD ≅ BH e CK di un segmento KE ≅ CK. Detto M il punto medio
di BC, dimostra che:
a) DM ≅ EM;
b) ED // BC.
183
84) Sia RST un triangolo isoscele di base RS. Conduci:
o da R la parallela al lato ST;
o da S la parallela al lato RT,
ed indica con U il punto di intersezione di tali parallele.
Dimostra che:
▪
TU è asse del segmento RS.
85) Dato il triangolo equilatero PQR, conduci:
o da Q la perpendicolare a PQ;
o da R la perpendicolare a PR,
ed indica con S il punto di incontro di tali perpendicolari.
Dimostra che:
▪
PS è asse di RQ.
86) Sia O il punto d’intersezione di due rette perpendicolari r ed s. Prendi su r due punti A e B tali
che OA ≅ OB. Traccia da A e da B due rette t ed u, tra loro parallele, che incontrano s
rispettivamente in C e D.
Dimostra che AC ≅ BD.
s
C.
.
.
A
O
.
B
r
CONTINUA …..
D.
t
u
87) Sia CH l’altezza relativa all’ipotenusa AB di un triangolo rettangolo ABC. Conduci:
o la bisettrice CD dell’angolo ACH;
o la bisettrice CE dell’angolo BCH.
Dimostra che:
a) AC ≅ AE;
b) BC ≅ BD.
184
88) Dato un triangolo ABC, indica con r la retta passante per i punti medi di due suoi lati. Dimostra
che r è equidistante dai tre vertici del triangolo.
[suggerimento: guarda la figura ….. ]
C
K
//
.N
//
T
A
.
*
M
H
*
B
r
89) Dato un triangolo ABC, conduci gli assi dei lati AB e AC ed indica con D ed E, rispettivamente,
i loro punti d’incontro con la parallela a BC, condotta dal vertice A.
Dimostra che:
a) AB è la bisettrice dell’angolo CBD;
b) AC è la bisettrice dell’angolo BCE.
90) Dato un triangolo ABC, siano r ed s le bisettrici, rispettivamente, degli angoli esterni di vertice
A e C. Detta b la bisettrice dell’angolo ABC, dimostra che le tre bisettrici si incontrano in uno
stesso punto P.
91) Sia OA la bisettrice dell’angolo XOY. Determina il luogo dei punti del piano equidistanti da OX
e da OA.
185
OCCHIO ALLE OLIMPIADI!
UN’OCCHIATA ALLE
OLIMPIADI …. ANZI,
NEL MIO CASO, DUE
OCCHIATE!
92) Nel triangolo ABC le semirette AN e CM sono le bisettrici di BAC e BCA e si intersecano in P.
Sapendo che APC = 140°, quanto misura l’angolo in B?
A. 90°
B. 100°
C. 110°
D. 120°
E. 130°
[Olimpiadi Matematica, Giochi di Archimede 2000]
[D]
93) Nella figura qui a fianco, quanto misura l’angolo α?
A. 70
α
B. 75°
C. 80°
D. 90°
E. Non può essere determinato con i soli dati forniti.
10°
20°
60°
.
50°
[Olimpiadi Matematica, Giochi di Archimede 2005]
[C]
186
94) Nel pentagono regolare disegnato a fianco, il triangolo ABC è equilatero.
Quanto vale l’angolo convesso FCD ?
E
F
C
A
A. 120°
D
B
B. 144°
C. 150°
D. 168°
E. 170°
[Olimpiadi Matematica, Giochi di Archimede 1996]
[D]
95) Quanto vale l’angolo x in figura ?
γ
α
β
δ
x
A. 180° – α + γ
B. 180° – β + γ
C. α + δ
D. β + δ
E. 180° – δ – γ
[Olimpiadi Matematica, Giochi di Archimede 1995]
[A]
187
96) Si sa che nella figura seguente CAE = 60° , AEB = 20° , ACD = 25° . I punti E, D e B sono
allineati. Qual è la misura di BDC ?
E
D
A
B
A. 75°
B. 85°
C
C. 90°
D. 105°
E. Le informazioni sono insufficienti.
[Olimpiadi Matematica, Giochi di Archimede 1996]
[A]
97) In un triangolo, per ogni coppia di lati consecutivi, i due assi dei lati e la bisettrice dell’angolo
formato dai due lati si incontrano in uno stesso punto. Possiamo affermare che:
▪
non esiste un triangolo con questa proprietà;
▪
il triangolo è equilatero;
▪
il triangolo ha un angolo di 30°;
▪
il triangolo è rettangolo;
▪
il triangolo ha un angolo di 45°.
[Olimpiadi Matematica, Giochi di Archimede 2005]
[B]
98) Nel triangolo ABC le semirette AN e CM sono le bisettrici di BAC e BCA e si intersecano in P.
Sapendo che APC = 140°, quanto misura la misura dell’angolo in B?
A) 90°
A
B) 100°
C) 110°
D) 120°
E) 130°
M
P
B
N
C
[Olimpiadi Matematica, Giochi di Archimede 2000]
[B]
188
99) ABCD è un quadrato ed EBC è un triangolo equilatero. Qual è l’ampiezza in gradi dell’angolo
AED?
A) 120°
A
B
E
B) 135°
C) 150°
D) 160°
E) Nessuno dei precedenti.
C
D
[Olimpiadi Matematica, Giochi di Archimede 1994]
[C]
100) Quanti angoli maggiori di 90° può avere un quadrilatero (non intrecciato)?
A) Ne ha sempre almeno uno
B) Ne ha al più uno
C) Ne ha al più due
D) Ne ha al più tre
E) Può averne quattro.
[Olimpiadi Matematica, Giochi di Archimede 1995]
[D]
189
IL PRESENTE VOLUME E' STATO REALIZZATO DA
Prof. TIRALONGO SALVATORE