Logica Matematica Corso A

Logica Matematica
Corso A
Corso di Laurea in Informatica
Anno 2002-03
Indice
1
Indice
i
Introduzione
1
2
Dal linguaggio naturale alla logica
2.1 Esercizi
3
Logica proposizionale
3.1 Connettivi
3.2 Sintassi
3.2.1 Il linguaggio proposizionale
3.2.2 Analisi sintattica
3.2.3 Esercizi
3.3 Semantica
3.3.1 Tavole di verità
3.3.2 Esercizi
3.3.3 Validità e conseguenza
3.3.4 Esercizi
3.4 Sull0 implicazione
10
10
10
11
13
20
22
23
26
26
31
33
4
Insiemi e algebre di Boole
4.1 Variabili
4.2 Algebra degli insiemi
4.3 Algebre di Boole
4.3.1 Esercizi
4.4 Algebra delle proposizioni
4.5 Rapporti tra proposizioni e insiemi
36
36
37
47
49
50
56
i
3
7
5
Relazioni
5.1 Prodotto cartesiano
5.2 Relazioni
5.2.1 Esercizi
5.3 Relazioni d0 ordine
5.4 Relazioni di equivalenza
5.5 Funzioni
60
60
61
64
65
69
71
6
Forme normali
6.1 Definibilità dei connettivi
6.1.1 Esercizi
6.2 Forme normali disgiuntive
6.3 Forme normali congiuntive
6.4 Esercizi
75
75
77
77
79
83
7
Dimostrazioni
7.1 Dimostrazioni dirette
7.2 Distinzione di casi
7.3 Sillogismo disgiuntivo
7.4 Contrapposizione e M odus tollens
7.5 Dimostrazioni per assurdo
7.6 Dimostrazioni in avanti e all0 indietro
86
86
90
93
95
96
102
8
Alberi di refutazione
8.1 Il metodo
8.2 Correttezza e completezza
8.3 Forme normali
8.4 Esercizi
104
104
110
114
115
9
10
Variabili e quantificatori
Linguaggi predicativi
10.1 Alfabeto
10.2 Termini e formule
10.3 Variabili libere e vincolate
10.4 Interpretazioni
10.5 Sui quantificatori ristretti
10.6 Esercizi
ii
117
122
122
123
131
134
137
138
11
12
Leggi logiche
11.1 Esercizi
140
147
Quantificatori e dimostrazioni
148
13
Sillogismi
13.1 Sillogismi categorici
13.2 Diagrammi di Venn
157
158
167
14
Alberi di refutazione
14.1 Regole per i quantificatori
14.1.1 Esercizi
14.3 Applicazione ai sillogismi
172
172
178
178
15
Il principio di induzione
15.1 I numeri naturali
15.2 Il principio di induzione
15.3 L0 induzione empirica
15.4 Il ragionamento induttivo
15.5 Esercizi
15.6 Definizioni ricorsive
15.6.1 Esercizi
15.7 Il principio del minimo
15.8 Varianti dell0 induzione
15.9 Errori e paradossi
15.10 Definizioni induttive
15.10.1 Esercizi
183
183
186
192
195
198
201
207
209
216
221
222
230
iii
1
Introduzione
Lo scopo di questo corso è quello di rendere familiari con le forme di ragionamento tipiche degli argomenti matematici; in informatica in particolare
interessano soprattutto quelli che mirano a trovare la soluzione di un problema, a dimostrare che è una soluzione e a presentarla come un algoritmo.
Un algoritmo è un insieme articolato e connesso di istruzioni per risolvere
un problema; gli algoritmi non sono scritti in un linguaggio di programmazione, ma inizialmente nel linguaggio matematico o addirittura in quello
naturale, e in questo devono essere formulati e riconosciuti tali, prima che la
loro descrizione guidi alla traduzione nei relativi programmi.
La maggior parte degli algoritmi che sostengono le prestazioni dei calcoltori non sono numerici ma riguardano manipolazioni di simboli (ad esempio l’ordinamento di una lista, o la fusione di due liste in una), quindi
la prima consapevolezza - e competenza - da acquisire è che il linguaggio
matematico non è solo quello dei numeri, ma abbraccia qualsiasi argomento
che si possa riferire ad elementi strutturati.
I ragionamenti relativi devono avere ed hanno lo stesso rigore di quelli
numerici, e si svolgono con l’ausilio di un simbolismo appropriato, che è
quello della logica matematica (= logica formale moderna).
In vista della precisione richiesta, che non ammette licenze né eccezioni,
è bene realizzare che ogni ragionamento si può rappresentare in forme standardizzate di passaggi, e imparare a farlo, usando regole logiche e la proprietà
fondamentale dei numeri naturali che è il principio di induzione.
Il corso è l’equivalente di quelli che nelle università americane si chiamano
di Introduction to Proofs, che contengono in genere anche elementi di matematica discreta (strutture finite, combinatoria). Tali corsi sono concepiti come
ponte tra la scuola secondaria e il college, rivolti a studenti che hanno appreso la matematica come un insieme di ricette e di calcoli, senza aver mai
imparato a seguire e tanto meno a fare una dimostrazione.
Nella scuola italiana qualche esperienza con le dimostrazioni si acquisisce con la geometria, ma limitatamente alle sue costruzioni e senza approfondire le ragioni di tale forma di ragionamento tipicamente matematica.
Né tale problema sarà indagato in questo corso introduttivo: lo studio delle
dimostrazioni e l’obiettivo della familiarità con esse sono perseguiti non in
vista di spiegare il senso dell’impostazione deduttiva delle teorie, ma solo per
abituare a vedere le connessioni tra i vari risultati, la loro mutua dipendenza
e derivabilità, il che aiuta anche a ricordarli meglio.
1
Scrivere dimostrazioni presuppone comunque la comprensione degli argomenti trattati, e costituisce quindi un’occasione di ripasso di nozioni elementari di aritmetica che sono alla base del pensiero informatico.
Nel testo, il segno !!! a margine segnala che si deve prestare particolare
attenzione.
!!!
I riferimenti in nota del tipo “Horstmann, p. 186” rimandano al testo del
corso di Programmazione C. S. Horstmann, Java 2 .
Le parti scritte in corpo minore sono letture con informazioni integrative.
Il segno 2 è usato per indicare la fine di una dimostrazione, al posto del
tradizionale QED.
2
2
Dal linguaggio naturale alla logica
La prima competenza che bisogna acquisire è quella della formalizzazione,
ovvero della traduzione di frasi della lingua naturale, o del gergo matematico
- misto di formule e di parole - in espressioni di un linguaggio semplificato e
dalla sintassi precisa.
La semplificazione è guidata dalla volontà di restringersi ad espressioni
matematiche o comunque di carattere logico. Non si considerano quindi frasi
con indicatori di tempo e luogo (tempi dei verbi, avverbi di tempo, luogo e
modo). Non si considerano espressioni di comando o di interrogazione, ma
solo frasi dichiarative. Ci si riduce, come primo livello di semplificazione, a
frasi elementari che esprimono fatti, e a loro combinazioni mediante particelle
logiche.
Le particelle logiche della lingua italiana sono parole come “e”, “oppure”,
“se” e altre, che collegano frasi di senso compiuto. Nella lingua italiana
queste parole da una parte sono polivalenti e ambigue, hanno diversi sensi
- in generale discriminati dal contesto - e dall’altra si presentano in tante
versioni equivalenti.
La congiunzione “e” può ad esempio essere resa da una virgola, da “e
anche”, da “ma” e altre espressioni. Il senso avversativo di “ma” è uno degli
aspetti che vengono lasciati cadere nel passaggio ad un linguaggio formalizzato, in quanto esprime un’aspettativa soggettiva. La congiunzione è resa
anche da costrutti più complicati, come “sia . . . sia”: “vado sia che piova sia
che faccia bel tempo” significa “se fa bel tempo vado, e se piove vado”, magari
con l’aggiunta di un “ugualmente” che di nuovo esprime una determinazione
soggettiva.
La stessa congiunzione talvolta esprime qualcosa di più o di diverso dalla
semplice affermazione di entrambe le proposizioni congiunte; talvolta può
significare “e poi”, come in “si sposarono e vissero felici”; talvolta significa
“e quindi, come in ”si immerge una cartina di tornasole, e diventa rossa” (se
questa frase è intesa non come una descrizione di avvenimenti, nel qual caso
“e” significa “e dopo”, ma come come una caratterizzazione di particolari
sostanze).
La disgiunzione, “o” o “oppure”, talvolta ha un senso debole (“A o B
o tutt’e due”), talvolta un senso esclusivo (“A o B ma non tutt’e due”).
L’affermazione “piove o c’è il sole” è compatibile con la situazione in cui
piove da una nuvola anche se c’è il sole. Il latino aveva due parole diverse
“vel” e “aut”, ma la distinzione non è rimasta nelle lingue moderne. La
3
differenza non sempre è espressa dalla semplice ripetizione di “o” (“o A o
B”) ma più spesso dall’enfasi della pronuncia; il tono e il contesto devono
essere tenuti presenti per capire il significato inteso. C’è voluto del tempo
per tornare a riconoscere due particelle diverse:
Alcuni dicono che per la verità di una disgiunzione si richiede
sempre che uno dei disgiunti sia falso, perché se entrambi fossero
veri non sarebbe una vera disgiunzione, come dice Boezio. Questo
però non mi piace. In realtà io dico che se entrambe le parti di
una disgiunzione sono vere, l’intera disgiunzione è vera (Walter
Burleigh, De Puritate, XCI, 3-19, XIV sec .)
La disgiunzione in italiano talvolta è resa con “ovvero”, ma questa parola
significa anche “cioè”, “vale a dire”.
Qualche volta la stessa frase può essere espressa sia con la “e” che con
la “o”. Si può dire equivalentemente sia “Tutti, bianchi o neri, hanno
un’anima”, sia “Tutti, bianchi e neri hanno un’anaima”. L’affermazione
“mele e pere sono frutti” vuole anche dire che “se si prende una mela o
una pera, si ha un frutto”.
La negazione di una frase si realizza in diversi modi, di solito con la
particella “non”, inserita però (o soppressa) in vari modi nella frase da negare,
con diversi costrutti che coinvolgono altre parole, in particolare i verbi. Da
“piove” a “non piove”, o “non è vero che piove”; da “qualche volta piove” a
“non piove mai”; da “piove sempre” a “qualche volta non piove”; da “non
ama nessuno” a “ama qualcuno”, da “è bello” a “è brutto”, e cosı̀ via. Per
negare “non piove” non si dice “non non piove” ma “piove” o “non è vero
che non piove”.
La parola “se” è un’altra particella dai molteplici sensi, e dalle molteplici
rese, ad esempio con “B, se A”, “A solo se B”, “se A allora B”, “A implica !!!
B, “A, quindi B” - ma “quindi” ha anche un significato temporale, come
“poi”.
Quando si afferma “se A allora B”, A è detta condizione sufficiente per
B, e B condizione necessaria per A. “A è condizione sufficiente per B” è un
altro modo di esprimere “se A allora B”.
Al “se . . . allora” sarà dedicata una discussione speciale per la sua importanza rispetto all’inferenza logica.
In considerazione di queste ambiguità e molteplicità di espressione, un
primo passo è quello di introdurre una sola versione fissa delle particelle
4
logiche, sia come simboli che come significati; fatto questo tuttavia, la competenza più importante consiste poi nel saper tradurre le frasi della lingua
naturale, disambiguandole quando necessario e possibile, e trovando la versione formale corrispondente.
Tale standardizzazione è necessaria per poter comunicare con le macchine;
ma prima di parlare alle macchine occorre parlare ad altre persone e a se
stessi per costruire gli algoritmi. Nell’apprendere a formalizzare si deve anche
raffinare la propria logica naturale.
Tuttavia non esiste un elenco completo di quelle che nei linguaggi naturali si riconoscono come particelle logiche. Non abbiamo menzionato ad
esempio “né . . . né”, o “a meno che”1 . Qualche volta, parole che non sembrano particelle logiche possono essere usate in questo modo, e lo si riconosce
nella formalizzazione: “quando” è di solito una determinazione temporale,
ma “quando piove, prendo l’ombrello” può essere reso da “se piove, prendo
l’ombrello”.
Nell’ottica della formalizzazione, chiedere cosa significa “quando piove,
prendo l’ombrello” non è altro che la richiesta di tradurre la frase in un’altra
in cui compaia una particella logica (una di quelle riconosciute tali) e scompaia “quando”; cosı̀ si vede subito a quale delle particelle note la parola è
equivalente; ma non sempre è evidente una possibile riduzione di una frase
ad un’altra, né sempre una sola.
Esistono peraltro parole di difficile catalogazione, che sembrano particelle
logiche in quanto legano due frasi, ma hanno sfumature che si perdono nella
formalizzazione: ad esempio “siccome piove, prendo l’ombrello”, o “prendo
l’ombrello perché piove” potrebbe essere espressa dall’asserzione unica “la
pioggia è la causa del mio prendere l’ombrello”, che coinvolge però la delicata parola “causa”; la frase contiene tuttavia una determinazione temporale
(“siccome sta piovendo”), o anche una qualitativa (con un implicito riferimento forse a un particolare tipo di pioggia - a dirotto) che non la rende del
tutto equivalente a “quando piove, prendo l’ombrello”.
Esistono parimenti frasi di difficile interpretazione; la stessa “siccome
piove, prendo l’ombrello”, o “poiché piove, prendo l’ombrello” invece che
una frase può essere considerata un argomento, poiché in essa si afferma
un fatto, che piove, oltre a un legame condizionale. Potrebbe corrispondere
1
Si noti l’uso della “o” nella nostra frase, di nuovo scambiabile con “e”: si voleva dire
che non abbiamo menzionato “né . . . né” e non abbiamo menzionato “a meno che”; l’uso
di “o” suggerisce un’altra versione equivalente: “una particella che sia “né . . . né” o “a
meno che” non l’abbiamo menzionata”.
5
ad un esempio di modus ponens (si vedrà a suo tempo): “Se piove, prendo
l’ombrello. Piove. Quindi prendo l’ombrello”.
Useremo simboli speciali per rappresentare alcune particelle logiche che
sembrano di uso più comune, almeno nei discorsi meno sofisticati. Per queste
si potrebbero usare parole della lingua italiana - o comunque di una lingua
naturale - fissando per convenzione in modo rigido il loro significato, come
si fa ad esempio quando per la congiunzione si usa and, in informatica.
Quando si usano and, e simili, si vuole che il linguaggio sia friendly perché
ci si deve concetrare su altro; noi invece vogliamo concentrarci proprio su
quelle parole, per cui sono meglio simboli nuovi, insoliti, che sorprendano; la
scelta di simboli artificiali è più vantaggiosa anche perché, procedendo, questi
simboli non saranno soltanto abbreviazioni, ma insieme ad altri diventeranno
una struttura che è essa stessa, se si vuole, oggetto di una teoria matematica,
con suoi problemi specifici.
Ad esempio una prima questione comprensibile anche solo sulla base di
quanto detto finora è se le particelle scelte sono anche fondamentali, e in
che senso, o se sono sufficienti, o quante ce ne potrebbero essere. Un’altra
riguarda l’equivalenza, affermata per alcuni esempi precedenti, tra frasi diverse espresse con particelle diverse.
Queste strutture forniranno un ricco campo di scrittura di algoritmi non
numerici ma simbolici, applicati a liste o alberi o altre strutture di dati,
Il significato delle particelle logiche è lo stesso a prescindere dal lessico, e
per studiarlo occorre non fissarsi su un linguaggio particolare; la trattazione
deve valere per tutti, quindi useremo lo stesso artificio matematico di usare lettere (come p, q e altre) per indicare entità non precisate, che nelle
applicazioni dovranno essere asserzioni sensate.
Oggetto di studio saranno dunque configurazioni simboliche astratte del
tipo “p e non q”2 che non rientrano apparentemente nell’esperienza comune;
si consideri tuttavia che le persone sono in grado di pronunciare tutte le frasi
del tipo “c’è una tavolo e non c’è una sedia”, “c’è una quadrato e non c’è
un tavolo”, . . . e cosı̀ via per tutte le circa diecimila parole del lessico di una
persona (colta). Il numero di queste e di tutte le altre frasi (come “se c’è
un tavolo non c’è una sedia”) supera il numero dei neuroni del cervello, per
cui, anche ammettendo - che non è - che ogni frase richieda un neurone o
una combinazione di neuroni per la memorizzazione, non si può pensare che
tutte le frasi della competenza linguistica siano immagazzinate in memoria;
2
Al posto di “e” e “non” ci saranno i simboli speciali corrispondenti.
6
questo significa che, insieme al lessico, sono immagazzinati invece schemi che
possiamo immaginare di rappresentare (esternamente) come “p e non q”, e
che questi fanno parte dell’inconscio cognitivo3 . Si tratta solo di diventarne
consapevoli. L’oggetto di studio della logica sono tali schemi di frasi, non le
frasi, e per questo si parla di logica formale.
La formalizzazione del linguaggio naturale non è qualcosa di meccanico
e di compiuto per l’intera gamma delle potenzialità espressive. Esistono
argomenti controversi e ancora oggetto di discussioni e di proposte per una
formalizzazione soddisfacente - che rientrano in studi più avanzati.
La restrizione alle frasi dichiarative è uno di questi, dal momento che i
comandi ad esempio hanno un ruolo apparentemente importante nella programmazione.
Abbiamo visto qualche difficoltà con “siccome”. Allo stesso modo è discutibile se “è necessario che . . . ” sia da considerare una particella logica: “è
necessario che al giorno segua la notte”, o “al giorno segue necessariamente la
notte”, non sembra equivalente a “al giorno segue la notte”, e neanche a “al
giorno segue sempre la notte”, che è equivalente alla precedente se “segue”,
privo di determinazioni temporali, assorbe il “sempre”; anche “necessariamente 2 + 2 = 4” forse dice di più di “2 + 2 = 4”, ma non è del tutto chiaro
che cosa.
Ancora, è possibile sostenere che il costrutto “è vero che . . . ” è pleonastico, in quanto “è vero che piove” è equivalente a “piove”, ma è altrettanto
possibile sostenere che non è possibile farne a meno.
2.1
Esercizi
1. Esaminare i seguenti discorsi (e altri tratti a scelta da fonti letterarie
o giornalistiche) ed individuare le particelle logiche e le frasi elementari (racchiudendole tra parentesi e se necessario riformulando in modo
equivalente i discorsi e le loro frasi).
Se non è possibile prevedere tutte le azioni delle persone allora o l’universo non è deterministico o le persone non sono
perfettamente razionali. Chi sostiene il determinismo deve
3
Non freudiano. Significa che nel cervello è memorizzato (hardwired ) uno schema del
genere; non sappiamo come, ma di esso diventiamo coscienti attraverso l’uso delle variabili.
7
dunque sostenere che se le azioni delle persone sono prevedibili allora le persone sono perfettamente razionali.
Se non è possibile prevedere tutte le azioni delle persone allora o l’universo non è deterministico o le persone non sono
perfettamente razionali. Chi sostiene il determinismo deve
dunque sostenere che se le azioni delle persone non sono
prevedibili allora le persone non sono perfettamente razionali.
Suggerimento. Introdurre abbreviazioni per le frasi che si ripetono, in
modo da arrivare, nel caso del primo brano, a
Se non Prev allora o non Det o non Raz. Chi sostiene Det
allora deve sostenere che se Prev allora Raz
e ancora, togliendo il “chi sostiene”, a
Se non Prev allora o non Det o non Raz. Se Det allora (se
Prev allora Raz).
Le abbreviazioni aprono la strada all’uso delle lettere per indicare
proposizioni; quando si saranno anche introdotti simboli per le particelle logiche e se ne saranno viste alcune leggi, sarà anche facile esprimere un giudizio sulla corettezza o meno dell’argomento.
Altri esempi:
Se le persone sono interamente razionali, allora o tutte le
azioni di una persona possono essere previste in anticipo
o l’universo è essenzialmente deterministico. Non tutte le
azioni di una persona possono essere previste in anticipo.
Dunque, se l’universo non è essenzialmente deterministico,
allora le persone non sono interamente razionali.
Il numero di queste e di tutte le altre frasi supera il numero
dei neuroni del cervello, per cui, anche ammettendo - che non
è - che ogni frase richieda un neurone o una combinazione di
8
neuroni per la memorizzazione, non si può pensare che tutte
le frasi della competenza linguistica siano immagazzinate in
memoria.
2. Con il costrutto “se . . . allora” e le frasi “dico x” e “x è una verità”
esprimere: “dico tutta la verità e solo la verità”.
3. Scrivere con le giuste particelle logiche:
a) non c’è fumo senza arrosto
b) fumo vuol dire fuoco.
4. Trovare altre particelle logiche della lingua italiana, oltre a quelle menzionate nel testo.
5. Discutere se “cioè” è una particella logica o no, e a quali altre è eventualmente equivalente, in diversi contesti.
6. Cosa significa per voi “necessariamente 2 + 2 = 4”?
9
3
3.1
Logica proposizionale
Connettivi
Useremo per le particelle logiche i simboli:
¬
∧
∨
⊕
→
↔
per
per
per
per
per
per
la negazione
la congiunzione
la disgiunzione inclusiva
la disgiunzione esclusiva
il condizionale “se . . . allora”
il bicondizionale “se e solo se”
senza escluderne a priori altri, e li chiameremo connettivi proposizionali. La
negazione è un connettivo unario (cioè agisce su una proposizione), gli altri
indicati sono connettivi binari (cioè connettono due proposizioni).
Introdotti i simboli per i connettivi, occorre dare le loro precise regole
d’uso, sia dal punto di vista sintattico (dove scriviamo ad esempio ¬ per
formare la negazione di un’asserzione?), sia dal punto di vista semantico
(come interpretiamo il significato delle frasi composte, in funzione delle frasi
componenti?).
3.2
Sintassi
La necessità di fornire regole rigide per la formazione delle frasi è data dalla
volontà di evitare le ambiguità possibili nelle lingue naturali:
la vecchia porta la sbarra
è un esempio di frase essenzialmente ambigua, se non sono indicati quali sono
soggetto e verbo. Si tratta di un’ambiguità che è risolvibile nel contesto della
storia raccontata, e nel parlato soprattutto con le pause.
Altre ambiguità si riferiscono proprio alla distribuzione dei connettivi;
supponiamo ad esempio di leggere un problema:
x2 + 4x + 3 < 0 e x < −3 o x > −2.
Lo studente tende a rispondere “risolvo l’equazione, poi interseco con x < −3
e unisco con x > −2”, ma è l’ordine di queste operazioni che conta, che non
sempre è quello del first come, first served nella scrittura del problema.
Si può intendere che si chieda quali siano i valori per cui o si ha che
10
x2 + 4x + 3 < 0 e x < −3
o si ha che
x > −2;
si può anche intendere che si chieda quali siano i valori per cui si ha
x2 + 4x + 3 < 0
ma ristretti ad essere
x < −3 o x > −2.
Nel primo caso la risposta è (−2, +∞), nel secondo caso è (−2, −1).
Naturalmente l’ambiguità, che nel parlato si risolve con le pause, nella
scrittura matematica si risolve con le parentesi, il primo caso essendo
(x2 + 4x + 3 < 0 e x < −3) o x > −2
e il secondo caso
x2 + 4x + 3 < 0 e (x < −3 o x > −2).
La stessa soluzione delle parentesi1 adotteremo per le formule logiche.
3.2.1
Il linguaggio proposizionale
Le frasi di ogni linguaggio sono stringhe2 di simboli dell’alfabeto. L’alfabeto
del linguaggio proposizionale contiene, oltre ai connettivi, le parentesi sinistra
“(” e destra “)”, e un insieme L di lettere proposizionali.
Tali lettere non le chiamiamo variabili, come talvolta si usa, perché il loro
dominio di variabilità (le frasi) è troppo indefinito.
Le parole accettabili di questo alfabeto si chiameranno proposizioni , un
termine tecnico per distinguerle dalle asserzioni dei linguaggi dotati di senso.
Quello che importa delle proposizioni è solo la loro struttura formale, che poi
si dovrà riconoscere nelle frasi dei linguaggi naturali o matematici, quando
1
Le parentesi sono state anche aggiunte al linguaggio naturale, ma solo nella scrittura
- almeno la saggistica, meno la letteratura - non nel parlato.
2
Con “stringa” s’intende o lista o successione finita. Non è necessario entrare nei particolari del tipo di rappresentazione dei dati che si sceglie, finché non si deve implementare.
11
il linguaggio proposizionale sarà interpretato sostituendo alle lettere frasi
relative ad un precisato argomento.
Non tutte le stringhe di simboli dell’alfabeto sono ammesse come proposizioni. Una generica stringa, anche illecita, è chiamata “parola”.
La definizione dell’insieme P delle proposizioni stipula innanzi tutto che:
Per ogni lettera p ∈ L, (p) è una proposizione atomica
(cioè non ulteriormente analizzata e scomposta nel contesto della trattazione).
Per il resto della definizione, occorre parlare di proposizioni qualunque e
della loro composizione; è quindi necessario avere delle variabili che variano
sull’insieme delle proposizioni, e che si chiamano metavariabili 3 ; useremo le
lettere A, B, . . .
Si danno quindi le seguenti clausole:
1 Se A è una proposizione, anche (¬A) lo è.
2 Se • è un connettivo binario, e se A e B sono proposizioni, anche (A • B)
lo è.
Le clausole della definizione sono anche regole di costruzione. S’intende che
ogni proposizione si ottiene applicando un numero finito di volte le clausole
della definizione.
Esempi
1. (p ∩ q) non è una proposizione perché ∩ non è un elemento dell’alfabeto4 .
2. p ∧ q non è una proposizione, perché:
Ogni proposizione contiene almeno una parentesi5 .
3
La ragione di questo termine, non usato altrove in matematica, è che queste variabili
indicano elementi di una struttura che è anch’essa un linguaggio, e che contiene a sua
volta variabili (le lettere) che devono essere interpretate su frasi; “meta” significa “sopra”,
“oltre”, e deriva dal greco, dove significava piuttosto “dopo”; ma dopo che sono stati
chiamati “metafisica” i libri di Aristotele che seguivano quelli di fisca, è venuta questa
variante di significato.
4
Per i linguaggi formali si chiede sempre che l’alfabeto e le sue diverse categorie di
simboli siano insiemi decidibili, cioè tali che l’appartenenza o meno ad essi di un simbolo
possa essere decisa da un algoritmo.
5
Tutte queste proprietà diventeranno esercizi sul principio di induzione nel paragrafo
15.
12
3. )p( non è una proposizione, come non lo sono p o )p), perché:
Ogni proposizione inizia con una parentesi ( e termina con una parentesi
).
4. ((p) → (q)) è una proposizione perché ottenuta dalle proposizioni atomiche (p) e (q) con una applicazione della clausola induttiva relativa a
→.
5. (¬((p) → (q))) è una proposizione perché ottenuta dalle proposizioni
atomiche (p) e (q) con una prima applicazione della clausola induttiva
relativa a → e una seconda applicazione della clausola relativa a ¬.
6. ((p) non è una proposizione perché:
In ogni proposizione il numero di parentesi sinistre è uguale al numero
di parentesi destre.
7. (pq) non è una proposizione perché non è atomica e non contiene nessun
connettivo.
Se una proposizione è della forma (¬A) o della forma (A • B), ¬ e • sono
rispettivamente il suo connettivo principale, e A e B le sottoproposizioni
immediate.
Si dice che (¬A) è una negazione, citando il suo connettivo principale, la
negazione di A - e si legge “non A”; si dice che (A ∧ B) è una congiunzione,
la congiunzione di A e B - e si legge “A e B”; A e B sono le proposizioni
congiunte in (A∧B); analogamente per la disgiunzione6 (A∨B) - che si legge
“A o B”; (A ⊕ B) si può leggere “o A o B”; (A → B) si dice un condizionale
- e si legge “se A allora B”; A si chiama antecedente, e B conseguente;
(A ↔ B) si dice bicondizionale - e si legge “A se e solo se B”.
3.2.2
Analisi sintattica
Una proposizione è una lista di simboli, ma è anche passibile di una rappresentazione con una diversa struttura. A ogni proposizione è associato un
albero di costruzione, o di analisi sintattica 7 , che è un albero etichettato finito
binario.
6
7
Chiameremo ∨ semplicemente disgiunzione, e ⊕ disgiunzione esclusiva o forte.
In inglese parsing.
13
Un albero binario8 è un insieme parzialmente ordinato9 X con una relazione ¹ con le seguenti proprietà. ¹ è una relazione riflessiva, transitiva
e antisimmetrica10 . Gli elementi dell’albero si chiamano nodi . Se x ¹ y, si
dice che y è un successore, o un discendente di x. Esiste un nodo minimo
r tale che r ¹ x per ogni nodo di X, e si chiama radice. I nodi a tali che
non esiste b 6= a per cui a ¹ b si chiamano foglie11 . Ogni nodo che non sia
una foglia ha uno o al massimo due successori immediati12 , dove si dice che
b è un successore immediato di a se a ¹ b, a 6= b e non esiste un c tale che
a ¹ c ¹ b, con c 6= a e c 6= b.
La rappresentazione usuale di un albero binario è di questo tipo:
•
.&
•
•
.& ↓
•
• •
↓
•
dove con la freccia si indica il successore immediato, la radice è in alto e
l’albero cresce verso il basso.
Un ramo è un insieme totalmente ordinato13 di nodi che va dalla radice
a una foglia. La sua lunghezza è il numero di nodi che vi appartengono.
L’altezza dell’albero è la massima lunghezza dei suoi nodi.
Un albero si dice etichettato se ad ogni nodo è associato un elemento di
qualche insieme prefissato, che si chiama etichetta.
8
Esistono definizioni leggermente diverse, più o meno generali, ad esempio con una o
più radici; diamo quella che serve ai nostri scopi.
9
Presenteremo in seguito la definizione di relazione d’ordine e della terminologia connessa; per ora è sufficiente la rappresentazione data sotto.
10
Questo significa che x ¹ x, che se x ¹ y e y ¹ z allora x ¹ z e che x ¹ y e y ¹ x
implicano x = y.
11
Esistono sempre se l’albero, ovvero l’insieme dei nodi X, è finito.
12
Un’altra terminologia è “figli”. Se ci sono due figli, s’intende che sono esplicitamente
distinti il primo e il secondo - sulla pagina, a sinistra e a destra.
13
Per ora basti intendere che ogni nodo del ramo salvo l’ultimo ha esattamente un
successore immediato.
14
L’albero sintattico di una proposizione è definito in questo modo:
• la radice è etichettata con la proposizione data
• ogni nodo ha nessuno, uno o due successori immediati a seconda che
la proposizione etichetta del nodo sia atomica, o della forma (¬A), o
della forma (A • B). Nel secondo caso il successore è etichettato con
A, nel terzo caso i due successori sono etichettati rispettivamente con
A e con B.
Si chiama altezza della proposizione l’altezza del suo albero di costruzione.
Esempio L’albero per (((p) ∧ (¬(q))) ∨ (¬(p))) è il seguente:
(((p) ∧ (¬(q))) ∨ (¬(p)))
.&
((p) ∧ (¬(q)))
(¬(p))
.&
↓
(p)
(¬(q))
(p)
↓
(q)
La sua altezza è quattro.
Le etichette dei nodi dell’albero di costruzione di una proposizione sono le
sue sottoproposizioni . Le lettere che compaiono nelle (proposizioni atomiche
nelle) foglie sono le lettere che occorrono nella proposizione; si dice che un
simbolo occorre in una proposizione se è un elemento della lista (che è la
proposizione); le occorrenze di un simbolo in una proposizione sono i vari
posti della lista in cui il simbolo si presenta. Se p, . . . , q sono le lettere che
occorrono nella proposizione A, si scrive anche A[p, . . . , q]. Qualche volta
si usa questa notazione anche se p, . . . , q sono solo alcune delle lettere che
occorrono in A, o viceversa se le lettere che occorrono in A sono incluse tra
le p, . . . , q; invece di introdurre notazioni apposite, la differenza sarà chiara
dal contesto o da esplicite precisazioni.
Le parentesi sono essenziali per individuare il connettivo principale di una
proposizione, e quindi per costruire il suo albero sintattico. Per individuare
il connettivo principale, si usa un contatore di parentesi14 .
14
Horstmann, p. 76.
15
Il contatore scansisce la lista da sinistra verso destra, e scatta di +1
quando incontra una parentesi sinistra, di −1 quando incontra una parentesi
destra. Condizione necessaria affinché una parola sia una proposizione è che
il contatore, inizializzato a 0, torni a 0 solo alla fine della parola. Perché poi !!!
la parola sia una proposizione bisogna che gli altri simboli siano distribuiti
in mezzo alle parentesi in modo corretto.
Ad esempio per
(((p) ∧ (¬(q))) ∨ (¬(p)))
il contatore assume i valori:
0 1 2 3 2 3 4 3 2 1 2 3 2 1 0.
Per individuare il suo possibile connettivo principale, si elimina la prima
parentesi, e si mette di nuovo in funzione il contatore su
((p) ∧ (¬(q))) ∨ (¬(p)))
notando che esso assume questa volta i valori
0 1 2 1 2 3 2 1 0
quando arriva alla fine di
((p) ∧ (¬(q))).
Questa parola è candidata ad essere una sottoproposizione; nel prossimo
posto a destra compare un connettivo ∨, candidato a essere il connettivo
principale, e se anche
(¬(p))
è una parola si sarà trovato che la parola data è una disgiunzione di ((p) ∧
(¬(q)) e di (¬(p)).
Poiché quest’ultima si vede facilmente che è una proposizione, proseguiamo
l’analisi di
((p) ∧ (¬(q))).
Il contatore applicato a questa assume i valori
0 1 2 1 2 3 2 1 0
16
e applicato a
(p) ∧ (¬(q)))
i valori
0 1 0
alla fine di (p), individuando a destra il connettivo ∧, che lega (p) e (¬(q)).
In questo modo si arriva a costruire l’albero sintattico.
Alcune parentesi sono sovrabbondanti, ma solo quelle della coppia più esterna e quelle nelle proposizioni atomiche, dove sono usate sia per uniformità
sia per sottolineare la differenza tra una lettera come elemento dell’alfabeto
e la lettera come proposizione15 . Ma ora per comodità di scrittura e lettura è meglio ridurre il numero di parentesi con le seguenti convenzioni:
non si scrivono le parentesi intorno alle lettere nelle proposizioni atomiche,
non si scrivono le parentesi più esterne, e si eliminano alcune coppie di parentesi intorno ad alcune sottoproposizioni, con un criterio sufficiente a farle
ripristinare in modo corretto formulato nel seguente modo.
Si ordinano per priorità i connettivi secondo le seguente graduatoria:
¬
∧
∨
⊕
→
↔
Data quindi una parola le cui parentesi non rispettano le condizioni per
essere una proposizione (sı̀ però la parità, il fatto che il numero di parentesi
sinistre sia uguale a quello delle parentesi destre, il fatto che in ogni punto
che non sia l’ultimo il numero di sinistre è maggiore o uguale di quello delle
destre, e tutte le proprietà che si mantengono quando si eliminano alcune
coppie di parentesi corrispondenti16 ), le parentesi si rimettono secondo questo
procedimento: prima si rimettono le parentesi a sinistra e a destra delle
15
Tra alfabeto e parole cè una differenza di tipo logico. Nei linguaggi naturali si presentano alcune eccezioni, come le vocali “e” e “o” usate come parole, ma è raro che si parli
dell’alfabeto; quando lo si fa, si scrive appunto “e” e non e.
16
In questo caso, in seguito, la chiameremo ancora proposizione.
17
lettere17 ; quindi si prende in esame la negazione, se occorre nella parola; si
esamina un’occorrenza della negazione che non abbia immediatamente alla
sua destra un’altra negazione18 . Alla sua destra c’è una parentesi sinistra
- altrimenti si può dire che quella parola non proviene dalla eliminazione
di coppie di parentesi da una genuina proposizione (brevemente, che non
è una proposizione). Sia σ la parola alla sua destra che termina con la
parentesi destra che chiude la parentesi sinistra. Per trovare la parentesi
destra che “chiude” la parentesi sinistra si usa di nuovo il contatore in modo !!!
ovvio. Allora si rimette una parentesi sinistra alla sinistra della negazione,
se non c’è già, e una parentesi destra a destra di σ, se non c’è già, ottenendo
(¬σ); si ripete per ogni occorrenza di ¬, quindi si passa ai connettivi binari
e per ciascuno di essi •, nell’ordine di priorità, si considerano le più corte
sottoparole σ e τ a sinistra e a destra di • che sono chiuse tra due parentesi
sinistre e destre, e si introduce una parentesi ( a sinistra di σ e ) a destra di
τ , se non ci sono già, ottenendo (σ • τ ), e cosı̀ via.
Per occorrenze dello stesso connettivo si conviene l’associazione a destra,
cioè ad esempio con A → B → C si intende A → (B → C).
Esempi
Data p ∧ ¬q ∨ ¬p, la reintroduzione delle parentesi avviene attraverso
questa successione di passi:
1
(p) ∧ ¬(q) ∨ ¬(p)
2
(p) ∧ (¬(q)) ∨ (¬(p))
3
((p) ∧ (¬(q))) ∨ (¬(p))
4
(((p) ∧ (¬(q))) ∨ (¬(p))).
Data p → ¬(q ∧ ¬¬r)
1
(p) → ¬((q) ∧ ¬¬(r))
2
(p) → ¬((q) ∧ ¬(¬(r)))
17
Questo praticamente si può fare anche alla fine, per non appesantire la scrittura, se
lo si fa del tutto.
18
A parte questa condizione, l’ordine in cui si lavora sulle eventuali diverse occorrenze
della negazione non è rilevante; lo si può anche fare in simultanea. Lo stesso vale per gli
altri connettivi.
18
3
(p) → ¬((q) ∧ (¬(¬(r))))
4
(p) → (¬((q) ∧ (¬(¬(r)))))
5
((p) → (¬((q) ∧ (¬(¬(r))))))
oppure, per rendere più chiara la lettura
1
p → ¬(q ∧ ¬(¬r))
2
p → ¬(q ∧ (¬(¬r)))
3
p → (¬(q ∧ (¬(¬r))))
4
(p → (¬(q ∧ (¬(¬r)))))
rimettendo infine le parentesi intorno alle lettere.
Si noti che se fosse stata data p → ¬q ∧ ¬¬r la reintroduzione delle
parentesi avrebbe portato a una diversa proposizione: ((p) → ((¬(q)) ∧
(¬(¬(r))))) (esercizio, e si confrontino i due alberi sintattici), per cui le due
parentesi lasciate in p → ¬(q ∧ ¬¬r) sono essenziali, se si vuole parlare della !!!
proposizione ((p) → (¬((q) ∧ (¬(¬(r))))) .
Non è comunque necessario né obbligatorio togliere tutte le parentesi;
per agevolare la lettura, o all’inizio quando non si è ancora fatta esperienza,
può essere conveniente lasciarne alcune, che pure grazie alle convenzioni si
potrebbero eliminare. Cosı̀ ad esempio si potrà scrivere p → (q ∧ r) invece
di p → q ∧ r oppure (p ∨ q) → r invece di p ∨ q → r.
Le parentesi si rimettono solo se si ha necessità di capire quale è il connettivo principale, per svolgere l’analisi sintattica. Le parentesi esterne possono tranquillamente essere tralasciate, finché la proposizione non deve essere
combinata con altre mediante qualche connettivo.
L’albero sintattico si può costruire direttamente anche per le espressioni
prive di tutte le parentesi, se si tiene presente la priorità dei connettivi. Il
connettivo principale è sempre quello di priorità più bassa.
!!!
Esempio L’albero per p ∧ ¬q ∨ ¬p è il seguente, essendo ∨ il connettivo
principale:
19
p ∧ ¬q ∨ ¬p
.&
p ∧ ¬q
¬p
.&
↓
p
¬q
p
↓
q.
Le etichette sono diverse, ma l’albero è lo stesso della proposizione analizzata
in precedenza.
Dal prossimo paragrafo, chiameremo “proposizioni” anche le parole ottenute da proposizioni per eliminazione di parentesi.
3.2.3
Esercizi
1. Discutere se le seguenti parole sono proposizioni:
(p ∧ (q)
(p)) ∧ q)
((p) ∧ q)
((p) ∧ (¬(q)))
((p) → ∧)
p
((p)).
2. Verificare quali delle seguenti parole sono proposizioni e quali no, costruendo l’albero sintattico e spiegando dove eventualmente la costruzione
fallisce e per quale ragione:
(¬(¬p))
((p) → ((q) ∨ (¬(r))))
(¬¬((p) → (q)))
((((p) → (q)) ∧ (p)) → (q))
((¬(p)) ∧ (q)) ∨ (r))
(((¬(p)) ∧ (q)) ∨ (r)).
20
3. Dare ragioni per le seguenti proprietà (e si vedano poi gli esercizi in
15.10.1):
Ogni proposizione ha lunghezza maggiore o uguale a 3.
In ogni proposizione non atomica occorre un connettivo.
In nessuna proposizione occorrono due connettivi consecutivi.
In nessuna proposizione occorre la sottosequenza (), né )p.
In ogni proposizione la sua lunghezza (come lista) è maggiore della sua
altezza.
4. Una misura di complessità delle proposizioni è una funzione dalle proposizioni nei numeri naturali che soddisfa la condizione che la misura di
una proposizione è maggiore delle misure delle proposizioni componenti, e le atomiche hanno tutte la stessa misura minima. Il numero
(di occorrenze) dei connettivi è una misura di complessità, come lo sono
la lunghezza (della stringa) e l’altezza (dell’albero sintattico).
Trovare la relazione tra il numero di occorrenze di connettivi e l’altezza.
Dimostrare con un controesempio che il numero di connettivi diversi
non è una misura di complessità.
5. Eliminare le parentesi, applicando le convenzioni sulla priorità dei connettivi, dalle seguenti proposizioni:
((p) ∧ ((¬(q)) → (¬(p))))
((¬(¬(¬(p)))) ∨ ((p) ∧ (q)))
(((¬(p)) ∨ (¬(q))) ∧ ((¬(p)) ∨ (q)))
(((p) ⊕ (¬(q))) → ((p) ∨ (¬(q)))).
6. Reintrodurre le parentesi nelle seguenti parole in modo da ottenere, se
possibile, proposizioni, o se no spiegare il perché:
¬¬p
¬p ∧ q ∨ r
p → q ∨ ¬r
(p → q) ∧ p → q
p→q∧p→q
21
p ∨ q ∧ r → ¬p
p ∧ q ∧ r ∨ ¬r
p ∧ (→ r ∨ q)
p ⊕ ¬q → ¬p ⊕ q
p ⊕ q ∨ r.
3.3
Semantica
La semantica ha a che fare con le interpretazioni, grazie alle quali le proposizioni vengono ad assumere un senso (che a noi non interessa, lo bypassiamo)
e diventano vere o false. Tale attribuzione finale di valori di verità è per noi
l’operazione di interpretazione, che viene studiata in astratto per vedere se
abbia proprietà generali, indipendenti dalle interpretazioni concrete.
I valori di verità saranno rappresentati dall’insieme19 {0, 1}. Ci si colloca
con tale scelta nell’ottica della logica classica a due valori.
Nell’insieme {0, 1} è necessario introdurre un minimo di struttura20 : la
più per semple consiste in convenire che 0 < 1 e usare la sottrazione come se
0 e 1 fossero numeri interi, con | x | a indicare il valore assoluto.
Un’interpretazione è una funzione21 i : L −→ {0, 1}; una valutazione è
una funzione v : P −→ {0, 1} che soddisfa le seguenti condizioni22 :
v((¬A))
v((A ∧ B))
v((A ∨ B))
v((A ⊕ B))
v((A → B))
v((A ↔ B))
=
=
=
=
=
=
1 − v(A)
min{v(A), v(B)}
max{v(A), v(B)}
| v(A) − v(B) |
max{1 − v(A), v(B)}
1− | v(A) − v(B) | .
19
Altre notazioni per i valori di verità sono {V, F }, {T, F }, {>, ⊥}, True, False.
Vedremo in seguito che si può considerare un’algebra di Boole.
21
La notazione con la freccia sarà spiegata in seguito; per ora si intenda che a ogni
lettera corrisponde un valore di verità, e per v sotto che a ogni proposizione corrisponde
o 0 o 1.
22
Si noti che in v((¬A)) e in altre espressioni analoghe ci sono due tipi di parentesi, che
andrebbero tipograficamente distinte; quelle interne sono le parentesi della proposizione,
quelle esterne servono per la notazione funzionale v(x).
20
22
In alternativa, si considerano 0 e 1 come interi modulo23 2, {0, 1} = Z2 con
le solite operazioni aritmetiche e si scrivono le condizioni:
v((¬A))
v((A ∧ B))
v((A ∨ B))
v((A ⊕ B))
v((A → B))
v((A ↔ B))
=
=
=
=
=
=
1 − v(A)
v(A) · v(B)
(v(A) + v(B)) − v(A) · v(B)
v(A) + v(B)
1 − v(A) · (1 − v(B))
1 − (v(A) + v(B)).
Ogni interpretazione i si estende a una valutazione i∗ ponendo
i∗ ((p)) = i(p)
e definendo i∗ sulle proposizioni composte in modo da soddisfare le condizioni
della definizione di valutazione.
Per ogni valutazione v il valore di verità di una proposizione A si ottiene
applicando ai valori delle sottoproposizioni immediate di A una funzione, che
dipende dal connettivo principale di A.
3.3.1
Tavole di verità
Ad ogni connettivo è associata una funzione di verità, cioè una funzione da
{0, 1}n in {0, 1}, dove n è il numero di argomenti del connettivo ({0, 1}n è
l’insieme delle n-uple di 0 e 1). Per il loro carattere finito queste funzioni
sono rappresentate da tabelle, che sono dette tavole di verità.
La tavola di verità della negazione è:
A ¬A
0
1
1
0
la tavola di verità della congiunzione:
23
Per chi non sa cosa significa, sarà spiegato in seguito.
23
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A∧B
0
0
0
1
la tavola di verità della disgiunzione:
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A∨B
0
1
1
1
la tavola di verità della disgiunzione esclusiva:
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A⊕B
0
1
1
0
la tavola di verità del condizionale:
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A→B
1
1
0
1
e la tavola di verità del bicondizionale:
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A↔B
1
0
0
1
24
Quando si deve trovare il valore di verità di una proposizione, o di un numero finito di esse, sotto un’interpretazione, è sufficiente considerare i valori
assunti dalle lettere che vi compaiono, quindi le interpretazioni diventano
assegnazioni di valori 0 o 1 ad un numero finito di lettere, e per ogni proposizione ce ne è un numero finito. Data una proposizione, il calcolo dei suoi
valori di verità per ogni possibile interpretazione si può organizzare in una
tabella con i valori progressivi attribuiti alle sottoproposizioni (individuate
dall’analisi sintattica), come nei seguenti esempi:
Se A è p ∧ ¬p → q:
p
0
0
1
1
q ¬p p ∧ ¬p
0 1
0
1 1
0
0 0
0
1 0
0
p ∧ ¬p → q
1
1
1
1
Se A è p ∨ r → ¬p ∧ (q → r):
p
0
0
0
0
1
1
1
1
q
0
0
1
1
0
0
1
1
r ¬p q → r ¬p ∧ (q → r) p ∨ r
0 1
1
1
0
1 1
1
1
1
0 1
0
0
0
1 1
1
1
1
0 0
1
0
1
1 0
1
0
1
0 0
0
0
1
1 0
1
0
1
A
1
1
1
1
0
0
0
0
Tali tabelle si chiamano tavole di verità delle proposizioni.
Come si vede dagli esempi, ci sono proposizioni che per ogni interpretazione hanno il valore 1, altre che per alcune interpretazioni hanno il valore
0 e per altre interpretazioni il valore 1. Si possono dare esempi di proposizioni
che per ogni interpretazione assumono il valore 0 (esercizio).
Si ricordi che una proposizione, in quanto schema, non è né vera né falsa; !!!
solo la sua tavola di verità completa spiega tutti i possibili modi in cui lo
schema può realizzarsi nelle diverse interpretazioni.
25
3.3.2
Esercizi
1. Costruire la tavola di verità delle proposizioni:
(p → p) → p
p → (p → p)
p∨q →p∧q
p ∨ (q ∧ r) → (p ∧ r) ∨ s
p → (q → p).
2. Dire quale è la disgiunzione usata nella programmazione, considerando
che ivi si adotta la valutazione pigra: “quando viene valutata una disgiunzione, e la prima condizione è vera, la seconda condizione non viene
esaminata”24 .
3. Trovare le tavole di verità corrispondenti a “a meno che”, “anche se”.
4. Scrivere la tavola di verità per le particelle logiche “né . . . né” e “non
(è vero che) sia . . . sia . . . ”.
5. Costruire la tavola di verità per if . . . then . . . else.
Suggerimento. Si faccia attenzione che il costrutto if . . . then nei
linguaggi di programmazione è usato piuttosto come ↔; se lo statement
è falso l’istruzione non viene eseguita: ad esempio se si esegue25
if importo ≤ saldo then saldo = saldo - importo,
“l’enunciato dell’assegnazione verrà eseguito sole se l’importo da prelevare è minore o uguale al saldo”.
Nell’esercizio, si consideri invece “se . . . allora . . . , altrimenti . . . ”.
3.3.3
Validità e conseguenza
Se i∗ (A) = 1, si dice che A è vera nell’interpretazione i, o che i soddisfa A,
o che i è un modello di A, e si scrive anche
!!!
i |= A.
24
25
Horstmann, p. 212.
Horstmann, p. 186.
26
Se esiste almeno una i tale che i |= A, si dice che A è soddisfacibile, o
(semanticamente) consistente. Se non esiste alcun modello di A, si dice che
A è insoddisfacibile, o (semanticamente) inconsistente, o contraddittoria, o
una contraddizione. Se per ogni i si ha i |= A, si dice che A è logicamente
valida, o logicamente vera, o una tautologia, e si scrive
|= A.
Si dice che B è conseguenza logica di A, o che A implica B, e si scrive
A |= B
se per ogni i, se i |= A allora i |= B. Si noti che, grazie alla tavola di verità
del condizionale,
Osservazione 3.3.1 Per ogni A e B,
A |= B se e solo se |= A → B.
Se A è A1 ∧ . . . ∧ An , A1 ∧ . . . ∧ An |= B si scrive A1 , . . . , An |= B. Se
T = {A1 , . . . , An }, allora si dice che i soddisfa T se e solo se i |= A1 ∧. . .∧An .
Se A |= B e B |= A, si dice che A e B sono logicamente equivalenti , o
anche solo equivalenti, e si scrive A ≡ B.
Per ogni A e B,
A ≡ B se e solo se |= A ↔ B.
Si noti che |= e ≡ sono segni metalinguistici. Le tautologie, in particolare
quelle che sono nella forma di equivalenze, sono dette anche leggi logiche.
Un elenco di leggi logiche notevoli è presentato nella pagina successiva.
27
Leggi logiche notevoli 1
A→A
legge dell0 identità
A ↔ ¬¬A
legge della doppia negazione
A∧B ↔B∧A
commutatività di ∧
(A ∧ B) ∧ C ↔ A ∧ (B ∧ C)
associatività di ∧
A∨B ↔B∨A
commutatività di ∨
(A ∨ B) ∨ C ↔ A ∨ (B ∨ C)
associatività di ∨
A∧A↔A
idempotenza di ∧
A∨A↔A
idempotenza di ∨
A∧B →A
eliminazione di ∧
A→A∨B
introduzione di ∨
A ∧ (B ∨ C) ↔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
distributività
A ∨ (B ∧ C) ↔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
distributività
A ∧ (A ∨ B) ↔ A
legge di assorbimento
A ∨ (A ∧ B) ↔ A
legge di assorbimento
¬(A ∧ B) ↔ (¬A ∨ ¬B)
legge di De M organ
¬(A ∨ B) ↔ (¬A ∧ ¬B)
legge di De M organ
¬A ∨ A
legge del terzo escluso
¬(A ∧ ¬A)
legge di non contraddizione
A → B ↔ ¬B → ¬A
legge di contrapposizione
A ∧ ¬A → B
Lewis, o ex falso quodlibet
A → (B → A)
aff ermazione del conseguente
¬A → (A → B)
negazione dell 0 antecedente
(A → B ∧ ¬B) → ¬A
legge di riduzione all0 assurdo
(A → ¬A) → ¬A
riduzione all0 assurdo debole
(¬A → A) → A
consequentia mirabilis
((A → B) → A) → A
legge di P eirce
(A → B) ∨ (B → A)
legge di Dummett
A → ((A → B) → B)
modus ponens
A → (B → C) ↔ B → (A → C)
scambio antecedenti
(A → C) ∧ (B → C) ↔ A ∨ B → C
distinzione di casi
(A → B) ∧ (¬A → B) → B
distinzione di casi
(A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))
distributività di →
(A → B) ∧ (B → C) → (A → C)
transitività di →
A → (B → C) ↔ (A ∧ B) → C
importazione/esportazione
delle premesse
28
Per verificare queste leggi, dove A, B, . . . sono qualunque, si devono prima
verificare le stesse nel caso particolare che A, B, . . . siano atomiche (ad esempio p → p per la legge dell’identità), e poi sfruttare il fatto che se A[p] è
una tautologia e B è qualunque, allora anche il risultato della sostituzione di
B a p in A è una tautologia (vedi esercizi).
Per le leggi che sono scritte come condizionali e non bicondizionali, si
vedrà in seguito che l’implicazione inversa in generale non sussiste (salvo
alcuni casi, ad esempio per l’inverso della riduzione all’assurdo debole ¬A →
(A → ¬A), che rientra nell’affermazione del conseguente).
L’associatività della congiunzione giustifica che si possa scrivere senza
ambiguità, indipendentemente dalle convenzioni sulle parentesi, A ∧ B ∧ C
per (indifferentemente) A ∧ (B ∧ C) o (A ∧ B) ∧ C, o in generale A1 ∧ . . . ∧ An
(e lo stesso per la disgiunzione). A ∧ (B ∧ C) e (A ∧ B) ∧ C sono diverse
(si disegni il loro albero sintattico) ma si dice che sono uguali a meno di
equivalenza logica.
Anche le seguenti sono leggi logiche:
A → B ↔ ¬A ∨ B
(A ↔ B) ↔ (A → B) ∧ (B → A)
A ⊕ B ↔ (A ∧ ¬B) ∨ (B ∧ ¬A)
A ⊕ B ↔ (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B).
Si noti che le due leggi per ⊕ forniscono un esempio di come una particella
logica possa essere espressa con diversi giri di frase equivalenti; queste equivalenze in genere mostrano cosa significa che frasi diverse vogliono dire la
stessa cosa.
Per mezzo di esse, dalle leggi elencate sopra se ne derivano altre; ad
esempio dal modus ponens e dall’esportazione, con la prima, si ricava
A ∧ (¬A ∨ B) → B
sillogismo disgiuntivo.
Ma queste leggi soprattutto permettono di vedere che i connettivi ⊕, →, ↔
sono definibili in termini di ¬, ∧ e ∨.
Alcune leggi sono spesso presentate in forma di regole di inferenza; ad
esempio il modus ponens da
29
A, A → B
,
B
il sillogismo disgiuntivo da
A, ¬A ∨ B
B
o da
¬A, A ∨ B
,
B
l’eliminazione della congiunzione da
A∧B
A∧B
e
A
B
e l’introduzione della disgiunzione da
A
B
e
.
A∨B
A∨B
Le leggi corrispondenti permettono di asserire che se sono vere le proposizioni sopra la riga, o premesse della regola, allora è vera anche la proposizione sotto la riga, o conclusione. Regole d’inferenza di questo genere si
dicono corrette se le premesse implicano logicamente la conclusione - quindi
le regole sopra elencate sono corrette. Per mezzo delle regole di inferenza
si deduce una proposizione da un’altra, o da altre date, che si chiamano assunzioni; si dice che una proposizione B si deduce da un’altra A se A |= B
e se questo fatto è riconosciuto e certificato da una spiegazione. Un modo
per riconoscere la sussistenza di A |= B è quello di inserire tra A e B altre
proposizioni legate tra loro dalla relazione di premesse-conclusione di regole
corrette.
Ad esempio per stabilire
30
(r → p ∨ q) ∧ r ∧ ¬p |= q
si può eseguire la seguente deduzione:
(r → p ∨ q) ∧ r ∧ ¬p
r →p∨q
r
¬p
p∨q
q
usando l’eliminazione della congiunzione, il modus ponens e il sillogismo disgiuntivo.
La relazione di conseguenza logica è evidentemente transitiva: se A |= C
e C |= B allora A |= B (esercizio).
3.3.4
Esercizi
1. Verificare con le tavole di verità le precedenti leggi logiche.
2. Spiegare perché
• Se |= A allora B |= A per ogni B.
• Se |= A allora |= A ∨ B per ogni B.
• Se |= A e |= A → B allora |= B.
3. Spiegare perché se A[p] è una tautologia, anche la proposizione che si
ottiene sostituendo p con una B qualunque è una tautologia.
4. Verificare la seguente generalizzazione delle leggi di assorbimento, che
A ≡ A ∨ C se C |= A, e che A ≡ A ∧ C se A |= C.
!!!
5. Verificare che A ≡ T ∧ A se T è una tautologia e che A ≡ F ∨ A se F
è una contraddizione, e dedurlo dal risultato del precedente esercizio.
6. Verificare che A → B ≡ ¬(A ∧ ¬B) (sia con le tavole, sia in base alla
definizione di interpretazione).
7. Verificare che A ⊕ B è equivalente a ¬(A ↔ B), in base alla definizione
di interpretazione.
31
8. Verificare che |= A ⊕ B → A ∨ B ma non viceversa.
9. Spiegare perché A → A ⊕ B non è logicamente vera.
10. Verificare che p ∨ q è equivalente a p ∨ (q ∧ ¬p) ed a p ⊕ (q ∧ ¬p).
11. Notare ¬(A ⊕ B) ≡ ¬A ⊕ B e A ⊕ ¬A ≡ A ∨ ¬A (provare a trovare
frasi in italiano che si possono dire bene in entrambi i modi).
12. Verificare che la regola del sillogismo disgiuntivo è corretta anche con
⊕ al posto di ∨.
13. Verificare se A ⊕ (B ⊕ C) ≡ (A ⊕ B) ⊕ C.
14. In base al precedente esercizio, discutere quando A1 ⊕ . . . ⊕ An è vera.
15. Verificare che ¬¬¬¬A ≡ A e che ¬¬¬¬¬¬¬A ≡ ¬A. Generalizzare.
16. Si consideri il problema del merging di due liste List1 e List2 in una
terza lista List3 (ad esempio nomi, in ordine alfabetico).
Una prima formulazione dell’algoritmo è la seguente: nello scorrere le
due liste, se List1 non è esaurita e List2 è esaurita oppure l’elemento
in considerazione di List1 precede il primo non ancora inserito di List2,
allora l’elemento di List1 è inserito in List3.
Un’altra formulazione potrebbe essere la seguente: il prossimo elemento
in List3 è preso da List1 quando List1 non è esaurita e List2 sı̀, oppure
quando List1 non è esaurita e l’elemento in considerazione di List1
precede il primo non ancora inserito di List2.
Usando lettere p, q, r per rappresentare rispettivamente “List1 non è
esaurita”, “List2 è esaurita” e “l’elemento di List1 precede quello di
List2”, scrivere le proposizioni corrispondenti alle due versioni delle
condizioni (che portano entrambe a mettere in List3 l’elemento in esame
di List1), e discutere se siano o no equivalenti, in base a quali leggi.
17. Si distribuiscono carte da gioco, e si sa che un giocatore ha in mano un
Asso o un Re. Si considerino le seguenti due proposizioni:
A: se c’è in mano un Asso, c’è un 2
B: se c’è in mano un Re, c’è un 2.
32
Che cosa si può dedurre se esattamente una tra le proposizioni A e B
è vera?
Che cosa si può dedurre se entrambe le proposizioni A e B sono vere?
18. Per conquistare la principessa, Aladino deve scegliere di aprire una di
due scatole A e B; sa che in una c’è un anello di fidanzamento, nell’altra
un serpente velenoso. Sulla scatola A è scritto: “Almeno una di queste
scatole contiene un anello”; sulla scatola B è scritto: “Nella scatola
A c’è un serprente velenoso che uccide all’istante”. Ad Aladino viene
detto che o entrambe le scritte sono vere, o entrambe false. Quale
scatola apre?
19. “Se io ho ragione, tu hai torto; se tu hai ragione, io ho torto; quindi
uno di noi ha ragione”. Corretto o no? Perché?
20. “La storia insegna che non si impara niente dalla storia”. Vero o falso?
Perché?
Suggerimento. Riduzione all’assurdo debole.
3.4
Sull’implicazione
Abbiamo distinto il condizionale, che è un connettivo, o il nome di una proposizione della forma A → B, dall’implicazione, che è una relazione tra proposizioni, e non si scrive A → B ma |= A → B. “A implica B” significa “il
condizionale A → B è una tautologia”.
La terminologia è qualche volta ambigua perché per leggere ad esempio
una regola come il sillogismo disgiuntivo si trova anche detto “se A e ¬A ∨ B
allora B”, in alternativa a “A e ¬A ∨ B implicano B”. Se si è in un contesto
deduttivo si capisce forse che si sta parlando dell’implicazione e non leggendo
semplicemente la forma di una proposizione. L’importante ad ogni modo non
è la terminologia quanto capire la differenza.
Il soggetto di “A implica B” non è A ma A → B. Qualche volta - non
qui - si trova introdotto un simbolo speciale per l’implicazione (in analogia
al caso dell’equivalenza), ad esempio A ⇒ B.
Si dice ad esempio “il condizionale p → p ∨ q ha cinque simboli”, non
“l’implicazione p → p ∨ q ha cinque simboli”, perché l’implicazione è un
fatto che sussiste o no, e un fatto non è formato da simboli. Al massimo è
un predicato, sotto cui cadono alcuni condizionali, come in “il condizionale
33
p → p ∨ q è un’implicazione”. Oppure si può dire che vale l’implicazione
p → p ∨ q, ma non si parlerà ad esempio dell’implicazione p → q ∨ r, che non
è una tautologia.
Siccome purtroppo la terminologia non è uniforme, e si possono trovare
usate entrambe le parole, bisogna fare attenzione al contesto.
Nella tradizione logica, il condizionale era anche chiamato “implicazione materiale”, per distinguere la relazione di conseguenza da altre forme di implicazione,
o da altri sensi del costrutto “se . . . allora”.
In effetti, il significato di “se . . . allora” è polimorfo:
• significato logico (o inferenziale):
Se tutti gli uomini sono mortali e Socrate è un uomo, allora Socrate è mortale.
• significato definitorio:
Se è scapolo, allora non è sposato.
• significato causale:
Se si immerge una cartina di tornasole e diventa rossa, allora il liquido è un
acido.
• significato materiale:
Se la Terra vola, allora la Terra è piatta.
È difficile trovare qualcosa di positivo in comune tra queste diverse accezioni
del “se . . . allora”. In particolare il caso che ha sollevato maggiori discussioni
è l’ultimo, come considerare il condizionale se antecedente e conseguente sono
entrambe false.
Una cosa in comune ce l’hanno, ed è che in tutte le accezioni l’unico modo
per dichiarare il condizionale falso è quello di riscontrare antecedente vera e conseguente falsa, anche per il significato materiale: “se la Terra è rotonda, allora il
Sole è freddo” si considera falso.
Allora il significato parziale comune si può esprimere riempiendo la tavola di
verità con i valori che sono di fatto quelli di ¬(A ∧ ¬B):
!!!
Un condizionale è corretto [secondo Crisippo] se la negazione della
sua conclusione è incompatibile con la sua premessa (Sesto Empirico,
Schizzi pirroniani, II, 110-2).
Si ottiene cosı̀ quella che gli antichi chiamavano implicazione materiale:
34
Secondo lui [Filone di Megara] ci sono tre modi in cui un condizionale
può essere vero, e uno in cui può essere falso. Perché un condizionale
è vero quando inizia con una verità e termina con una verità, come
“se è giorno, è chiaro”. Ed è vero anche quando inizia con una falsità e termina con una falsità, come “se la terra vola, la terra ha
ali”. Analogamente, è vero un condizionale che inizia con una falsità
e termina con una verità, come “se la terra vola, la terra esiste”. Un
condizionale è falso soltanto quando inizia con una verità e termina
con una falsità, come “se è giorno, è notte (Sesto Empirico, Contro i
matematici , VIII, 113).
Con questa scelta per la tavola di → si giustifica la regola del modus ponens, che
è quello che interessa, per l’uso che se ne fa nei discorsi con “se . . . allora”.
Il motivo per cui il condizionale è difficile e controverso è che non gli si
può associare una rappresentazione mentale immediata di quello che descrive.
Quando si ascolta A ∧ B, le rappresentazioni nella mente del fatto descritto
da A e di quello descritto da B vengono fuse in un’unica rappresentazione, del
fatto descritto da A ∧ B, affiancandole o integrandole; anche con A ∨ B le due
rappresentazioni possono essere compresenti, con l’attenzione che si sposta
dall’una all’altra e viceversa, come se si guardassero alternativamente due
quadri vicini. Con il condizionale non è possibile avere una rappresentazione
del fatto descritto da A → B, combinando quelle relative ad A e B. Non
esiste una rappresentazione unica della falsità di A. Vengono meno perciò
gli ausili dell’immaginazione e della sensibilità; l’unico modo per dominare il
condizionale è quello di imparare bene fino a interiorizzarle le sue condizioni
d’uso, sia il calcolo dei valori di verità sia le leggi e le regole che lo concernono.
La definizione del condizionale tuttavia non è solo adeguata per svolgere
le dimostrazioni, grazie alla giustificazione del modus ponens, ma è anche
comoda (nella scelta di dare il valore vero quando l’antecedente è falsa) per
la costruzione generale dei linguaggi formali, e la trattazione delle variabili,
come vedremo oltre.
35
4
Insiemi e algebre di Boole
4.1
Variabili
Esempi di proposizioni a cui si applicano utilmente le nozioni e le tecniche
logiche sono le formule matematiche; in esse tuttavia compaiono le variabili
x, y, . . . 1
Le variabili che occorrono in una formula, ad esempio 1 < x < 3, si chiamano anche variabili individuali, perchè prendono come valori gli elementi
dell’universo del discorso. In generale, un’asserzione in cui compare la variabile x sarà indicata con p(x). Possiamo considerare una formula del genere
come una proposizione, che afferma qualcosa a proposito di x; x denota un
elemento non precisato dell’universo.
Quanto visto finora sulla logica proposizionale è già utile per alcune analisi
logiche anche delle formule con variabili. Consideriamo di nuovo la formula
aritmetica 1 < x < 3; immaginiamo che si stia parlando di numeri naturali
(che cioè il dominio o universo di discorso sia costituito dai numeri naturali,
e < rappresenti la relazione d’ordine). Di una tale formula non si può dire se
è vera o falsa, dipende. Si può dire che è soddisfatta da certi (valori di) x; è
come se fosse presente un numero incappucciato, che dice “io sono compreso
tra 1 e 3”. Se si toglie il cappuccio ed appare 2 ha detto il vero, se appare 0,
o 3 o 5 o qualsiasi altro numero, ha detto il falso.
Se il numero incappucciato continua dicendo “quindi io sono il numero
2”, bisogna ammettere che la deduzione è corretta, anche senza sapere chi è il
numero incappucciato. La formula 1 < x < 3 è soddisfatta dal solo elemento
2, e possiamo affermare 1 < x < 3 → x = 2.
Se invece l’universo di discorso, che dalla formula in sé non si evince, è !!!
quello dei numeri reali, la formula è soddisfatta anche da 1,1, da 1,9, da 2,5
e da tutti gli infiniti elementi dell’intervallo (1, 3).
La formula 1 < x < 3 d’altra parte è un’abbreviazione per 1 < x ∧ x < 3;
perché un valore di x la soddisfi, questo valore deve soddisfare sia 1 < x sia
x < 3.
Abbiamo dunque formule che assomigliano a quelle le linguaggio proposizionale, in quanto sono composizione mediante connettivi di formule atom1
All’argomento delle variabili sarà dedicato ampio spazio in seguito, per la loro importanza, non solo matematica ma logica in generale; esse permettono di completare l’analisi
linguistica in modo molto più approfondito di quello che si realizza limitandosi a considerare i connettivi.
36
iche, solo che queste ultime invece di lettere sono espresisoni che contengono
anche x. Si potrebbe dire che si tratta di un linguaggio proposizionale applicato. Ogni volta che si dà a x un valore, nell’universo fissato, è come
assegnare il valore vero o falso alle componenti atomiche. Parleremo per
semplicità anche in questo caso per ora di proposizioni, per non complicare
la terminologia, quando applicheremo risultati della logica proposizionale,
oppure le chiameremo formule, in analogia alle formule matematiche.
4.2
Algebra degli insiemi
Se le proposizioni si riferiscono a un dominio di discorso costituito da un
insieme U , “U ” per “universo”, ad ognuna di queste proposizioni p(x) è
associato un insieme, che si può chiamare insieme di verità di p(x):
Vp(x) = {x ∈ U | p(x) è vero in U }.
Nel linguaggio insiemistico, x ∈ X significa che x è un elemento di X, o
che x appartiene a X; x 6∈ X significa che x non appartiene a X.
Con la notazione {x ∈ U | p(x) è vero in U }, si indica l’insieme degli
elementi di U che soddisfano la condizione p(x) in U . Talvolta si scrive
anche {x ∈ U | p(x)} o addirittura {x | p(x)} se è chiaro l’insieme ambiente
U.
Con la notazione {x1 , . . . , xn } si indica l’insieme i cui elementi sono x1 ,
. . . , xn .
L’insieme {x, y} si chiama coppia (non ordinata) di x e y, che sono gli
unici elementi di {x, y}: x ∈ {x, y} e y ∈ {x, y}2 , e inoltre z ∈ {x, y} → z =
x ∨ z = y. La coppia {x, y} ha due elementi se x 6= y; altrimenti se x = y ne
ha uno solo, si indica {x} e si chiama anche insieme unitario, o singoletto di
x.
L’insieme di verità di p(x) è anche l’insieme definito da p(x) in U . Ad
esempio, se U = {a, b, c, d} e p(x) ↔ x = a ∨ x = b, l’insieme definito da p(x)
in U è {a, b}.
Se U è l’insieme dei numeri naturali e p(x) è la condizione “x è divisibile
per 2”, l’insieme di verità di p(x) è l’insieme dei numeri pari, e tale insieme
è definito dalla condizione “x è divisibile per 2”.
2
Talvolta si scrive x, y ∈ X per “x ∈ X e y ∈ X”.
37
Un insieme di verità è un sottoinsieme di U ; si dice che X è un sottoinsieme di Y , o che è contenuto3 in Y , in simboli X ⊆ Y , se ogni elemento di
X è anche elemento di Y : per ogni x, se x ∈ X allora x ∈ Y .
Qualche volta, raramente, si scrive Y ⊇ X per X ⊆ Y .
Si dice che X è un sottoinsieme proprio di Y , e si scrive X ⊂ Y , se X ⊆ Y
ma X 6= Y .
Se X ⊆ Y e Y ⊆ X allora X e Y hanno gli stessi elementi; questo
per definizione significa che X = Y . Quello che caratterizza gli insiemi non
sono le loro eventuali definizioni ma i loro elementi; ad esempio l’insieme dei
triangoli con due lati uguali e l’insieme dei triangoli con due angoli uguali
sono lo stesso insieme. Cosı̀ {x, y} = {y, x}, da cui la dizione “non ordinata”.
Le operazioni insiemistiche principali, sui sottoinsiemi di un insieme U ,
sono le seguenti:
Complemento. Il complemento di X (rispetto a U ) è l’insieme degli elementi
di U che non appartengono a X:
∼ X = {x ∈ U | x 6∈ X}.
Differenza. La differenza di X meno Y è l’insieme degli elementi di U che
appartengono a X e non a Y :
X \ Y = {x ∈ U | x ∈ X ∧ x 6∈ Y }.
Differenza simmetrica. La differenza simmetrica di X e Y è l’insieme degli
elementi di U che appartengono a X e non a Y o a Y e non a X:
X4Y = {x ∈ U | x ∈ X ⊕ x ∈ Y }.
Intersezione. L’intersezione di X e Y è l’insieme degli elementi di U che
appartengono sia a X sia a Y :
X ∩ Y = {x ∈ U | x ∈ X ∧ x ∈ Y }.
3
Si distingue tra “essere contenuto”, che si riferisce a sottoinsiemi, ed “appartenere”,
che si riferisce ad elementi.
38
X ∩ Y si legge: “X intersezione Y ” o “X intersecato con Y ” o “l’intersezione
di X e Y ”.
Unione. L’unione di X e Y è l’insieme degli elementi di U che appartengono
ad almeno uno dei due insiemi X e Y :
X ∪ Y = {x ∈ U | x ∈ X ∨ x ∈ Y }
X ∪ Y si legge: “X unione Y ” o “X unito a Y ” o “l’unione di X e Y ”.
L’intersezione di X e Y è il più grande insieme che è contenuto sia in X
sia in Y , nel senso che
X ∩ Y ⊆ X4
X ∩Y ⊆Y
e
se Z ⊆ X e Z ⊆ Y allora Z ⊆ X ∩ Y
mentre l’unione di X e Y è il più piccolo insieme che contiene sia X sia Y ,
nel senso che
X ⊆X ∪Y
Y ⊆X ∪Y
e
se Y ⊆ X e Z ⊆ X allora Y ∪ Z ⊆ X.
Per dimostrare X ∩ Y ⊆ X ad esempio, si osservi che se x ∈ X ∩ Y allora
x ∈ X ∧ x ∈ Y , ma x ∈ X ∧ x ∈ Y → x ∈ X, quindi x ∈ X. Inoltre
x ∈ X ∧ x ∈ Y → x ∈ Y , quindi X ∩ Y ⊆ Y . In modo analogo per le altre.
Nella proprietà di minimalità dell’unione troviamo la spiegazione dello
scambio di “e” ed “o” osservato in precedenza in certe frasi. Se si indica
con Y l’insieme delle mele, con Z l’insieme delle pere, e con X l’insieme dei
frutti, allora la frase “mele e pere sono frutti”, intesa come “le mele sono
4
Si noti che non occorrono parentesi perché non è possibile interpretare questa formula
come X ∩ (Y ⊆ X) in quanto si avrebbe un’operazione tra un insieme e una proposizione
- un errore di tipo, si dice in logica. Qualche volta le parentesi di mettono per agevolare
la lettura.
39
frutti e le pere sono frutti” significa che Y ⊆ X ∧ Z ⊆ X, ma questa implica
Y ∪ Z ⊆ X, cioè che “mele o pere sono frutti”.
Viceversa, se Y ∪Z ⊆ X, allora siccome Y ⊆ Y ∪Z si ha, per la transitività
di ⊆ - vedi oltre - che Y ⊆ X e analogamente Z ⊆ X, cioè “mele o pere sono
frutti” implica a sua volta “le mele sono frutti e le pere sono frutti”.
Le operazioni insiemistiche corrispondono ai connettivi: l’appartenenza al
complemento è definita mediante la negazione, l’appartenenza all’intersezione
mediante la congiunzione, e cosı̀ via. In analogia, si possono usare le stesse
convenzioni sull’ordine di priorità dei simboli di operazione (∼, ∩, ∪) per !!!
ridurre il numero di parentesi.
Viceversa, ai connettivi proposizionali corrispondono le operazioni insiemistiche sugli insiemi di verità delle proposizioni componenti.
V¬p(x) =
Vp(x)∧q(x) =
Vp(x)∨q(x) =
∼ Vp(x)
Vp(x) ∩ Vq(x)
Vp(x) ∪ Vq(x) .
In particolare si ha Vx∈X = X.
Si può osservare allora che le operazioni non sono tutte indipendenti, ad
esempio:
X \ Y = X ∩ (∼ Y ).
Infatti
X \Y
= {x | x ∈ X ∧ x 6∈ Y }
= {x | x ∈ X ∧ x ∈∼ Y }
= {x | x ∈ X ∩ (∼ Y )}
= X ∩ (∼ Y ).
Ma le mutue relazioni delle operazioni le vedremo meglio più avanti.
L’insieme vuoto ∅ è l’insieme che non ha alcun elemento, ed è un sottoinsieme di qualsiasi U , definito da una condizione contraddittoria qualunque:
∅ = {x ∈ U |p(x) ∧ ¬p(x)},
o
40
∅ = {x ∈ U |x 6= x}.
Se si denotasse questo insieme ∅U e si definisse ∅V = {x ∈ V | x 6= x} si
avrebbe ∅U = ∅V perché i due insiemi hanno gli stessi elementi, nessuno per
entrambi.
Caratteristica dell’insieme vuoto è che per ogni x, in qualunque U , x 6∈ ∅.
Due insiemi X e Y la cui intersezione sia vuota, X ∩ Y = ∅, cioè non
abbiano alcun elemento in comune, si dicono disgiunti .
Le relazioni tra le operazioni insiemistiche sono espresse da un gruppo di
leggi.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
X ∩X =X
idempotenza dell0 intersezione
X ∪X =X
idempotenza dell0 unione
X ∩Y =Y ∩X
commutatività dell0 intersezione
X ∪Y =Y ∪X
commutatività dell0 unione
X ∩ (Y ∩ Z) = (X ∩ Y ) ∩ Z
associatività dell0 intersezione
X ∪ (Y ∪ Z) = (X ∪ Y ) ∪ Z
associatività dell0 unione
X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z)
distributività di ∩ rispetto a ∪
X ∪ (Y ∩ Z) = (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z)
distributività di ∪ rispetto a ∩
X ∩ (X ∪ Y ) = X
assorbimento
X ∪ (X ∩ Y ) = X
assorbimento
∼ (∼ X) = X
doppio complemento
∼ (X ∩ Y ) = (∼ X) ∪ (∼ Y )
legge di De M organ
∼ (X ∪ Y ) = (∼ X) ∩ (∼ Y )
legge di De M organ
∼∅=U
∼U =∅
X ∩ (∼ X) = ∅
legge dell0 inverso per ∩
X ∪ (∼ X) = U
legge dell0 inverso per ∪
X ∩U =X
legge dell0 elemento neutro per ∩
X ∪U =U
X ∩∅=∅
X ∪∅=X
legge dell0 elemento neutro per ∪ .
Esistono altre leggi che riguardano la relazione ⊆ (alcune già menzionate),
come
41
22
23
24
25
26
X⊆X
∅⊆X
X⊆U
X ⊆X ∪Y
X ∩Y ⊆X
e proprietà come
27
28
29
30
31
32
33
se X ⊆ Y e Y ⊆ Z allora X ⊆ Z
X ⊆ Y se e solo se X ∩ Y = X
X ⊆ Y se e solo se X ∪ Y = Y
X ⊆ Y se e solo se X ∩ (∼ Y ) = ∅
X ⊆ Y se e solo se ∼ X ∪ Y = U
se X ⊆ Y e X ⊆ Z allora X ⊆ (Y ∩ Z)
se Y ⊆ X e Z ⊆ X allora (Y ∪ Z) ⊆ X.
Ma non tutte sono indipendenti. La loro dimostrazione può consistere nel
mostrare direttamente che i due insiemi implicati hanno gli stessi elementi.
Esempi
3
X ∩ Y = Y ∩ X.
Dimostrazione Se x ∈ X ∩ Y , allora x ∈ X ∧ x ∈ Y ; ma per la
commutatività della congiunzione si ha allora x ∈ Y ∧ x ∈ X, quindi
x ∈ Y ∩ X. Il viceversa, partendo da x ∈ Y ∩ X, è analogo.
4
X ∪ Y = Y ∪ X.
Dimostrazione Se x ∈ X ∪ Y allora x ∈ X ∨ x ∈ Y . La conclusione
segue come sopra per la commutatività della disgiunzione. Oppure
usiamo la distinzione di casi: se x ∈ X, allora x ∈ Y ∨ x ∈ X per la
tautologia A → B ∨ A. Se x ∈ Y allora per la tautologia A → A ∨ B
si ha x ∈ Y ∨ x ∈ X. Quindi x ∈ X ∨ x ∈ Y → x ∈ Y ∨ x ∈ X e
X ∪ Y ⊆ Y ∪ X. Il viceversa è analogo.
42
5
X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z).
Dimostrazione Mostriamo prima che X ∩ (Y ∪ Z) ⊆ (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z).
Se x ∈ X ∩(Y ∪Z) allora x ∈ X e x ∈ Y ∪Z. Ci sono due casi: o x ∈ Y
o x ∈ Z. Nel primo caso, x ∈ X e x ∈ Y , quindi x ∈ X ∩ Y , e quindi
x ∈ (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z) per la 25, che supponiamo dimostrata5 . Nel
secondo caso, x ∈ X e x ∈ Z, quindi x ∈ X ∩ Z e quindi x appartiene
a (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z), per la 25 e la 4.
Si mostri ora nello stesso modo (esercizio) che (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z) ⊆
X ∩ (Y ∪ Z), e l’uguaglianza è provata.
21
X ∪ ∅ = X.
Dimostrazione Se x ∈ X ∪ ∅, allora x ∈ X ∨ x ∈ ∅, ma x 6∈ ∅ quindi
per il sillogismo disgiuntivo x ∈ X. Il viceversa segue dalla 25.
24
X ⊆ U.
Dimostrazione x ∈ U → (x ∈ X → x ∈ U ) - quale legge logica
interviene?
23
∅ ⊆ X.
Dimostrazione Per ogni x, x ∈ ∅ → x ∈ X è vera, qualunque sia X,
perché l’antecedente è falso.
17
X ∪ (∼ X) = U .
Dimostrazione Per ogni x, x ∈ X ∨ ¬(x ∈ X) è vera per la legge del
terzo escluso. Cosı̀ si dimostra ⊇, il viceversa è 24.
30
X ⊆ Y se e solo se X ∩ (∼ Y ) = ∅.
Dimostrazione Se x ∈ X allora x ∈ Y ; se ora esistesse un x ∈ X ∩(∼ Y )
si avrebbe una contraddizione x ∈ Y e x ∈∼ Y .
Come si vede dagli esempi, alcune proprietà delle operazioni sono diretta conseguenza delle omonime proprietà dei connettivi corrispondenti; dal
terzo esempio relativo alla 5 si vede anche che in dimostrazioni di questo
tipo fa comodo, per saltare qualche passaggio, fare appello ad altre delle
leggi elencate - più semplici, o intuitive o già dimostrate. Più in generale,
5
La dimostrazione è implicita nella precedente dimostrazione di 4.
43
una volta dimostrate alcune delle suddette leggi in modo diretto, è possibile
derivare le altre in stile algebrico, usando quelle già dimostrate e le leggi
dell’uguaglianza.
Con leggi dell’uguaglianza si intendono le proprietà riflessiva, simmetrica
e transitiva di =, rappresentate dalle formule
x=x
x=y→y=x
x = y ∧ y = z → x = z,
e le proprietà di sostituzione, che sono di due tipi:
t = s → f (t) = f (s),
dove t ed s sono termini del linguaggio in uso, e f (x) un altro termine contenente la x, e
t = s → (p(t) ↔ p(s)),
dove p(x) sta per una proposizione qualunque contenente x.
Queste leggi sono tacitamente usate nei passaggi di trasformazione di
formule algebriche, o di proposizioni di qualunque linguaggio che contenga
l’uguaglianza. I passaggi da un’uguaglianza ad un’altra presuppongono il
modus ponens: da t = s a f (t) = f (s) grazie a t = s → f (t) = f (s).
Nel caso delle leggi insiemistiche in esame le variabili sono X, Y, . . . invece
che x, y . . . , perché non si riferiscono agli elementi ma ai sottoinsiemi.
Esempi
1. La 15 segue dalla 14 e dalla 11 con i passaggi
∼∅=U
∼ (∼ ∅) =∼ U
∅ =∼ U
∼ U = ∅.
2. La 17 segue dalla 16 e dalle 12, 14, 11, 4, nell’ordine, con i seguenti
passaggi
44
X ∩ (∼ X) = ∅
∼ (X ∩ (∼ X)) =∼ ∅
(∼ X) ∪ (∼ (∼ X)) = U
(∼ X) ∪ X = U
X ∪ (∼ X) = U .
3. La 18 segue da 17, 7, 1, 16 e 21 con i seguenti passaggi
X ∪ (∼ X) = U
U = X ∪ (∼ X)
X ∩ U = X ∩ (X ∪ (∼ X))
X ∩ U = (X ∩ X) ∪ (X ∩ (∼ X))
X ∩U =X ∪∅
X ∩ U = X.
4. La 31: X ⊆ Y se e solo se ∼ X ∪ Y = U , segue dalla 30 e da De
Morgan con 11 e 14.
Grazie alla validità delle leggi associative per unione e intersezione, queste
operazioni possono essere generalizzate a più di due insiemi.
Se A1 , . . . , An sono n sottoinsiemi di U , la loro unione è l’insieme i cui
elementi sono gli elementi di U che appartengono a qualche Ai , in simboli:
n
[
Ai = {x ∈ U | per qualche i, 1 ≤ i ≤ n, x ∈ Ai }
i=1
o anche
Sn
i=1
Ai , o semplicemente
S
Ai .
L’intersezione generalizzata degli n insiemi è l’insieme degli elementi che
appartengono a tutti gli Ai , in simboli:
45
n
\
Ai = {x ∈ U | per ogni i, 1 ≤ i ≤ n, x ∈ Ai }
i=1
o anche
Tn
i=1 Ai , o semplicemente
T
Ai .
Per queste operazioni generalizzate valgono molte delle leggi dell’unione
e intersezione, opportunamente riformulate, ad esempio le proprietà commutativa, associativa e di assorbimento; valgono le leggi di De Morgan:
T
S
∼ ( ni=1 Ai ) = ni=1 (∼ Ai )
e
S
T
∼ ( ni=1 Ai ) = ni=1 (∼ Ai ).
Valgono le leggi distributive di una operazione generalizzata rispetto a una
normale (non con entrambe generalizzate):
(
n
\
Ai ) ∪ B =
n
\
(Ai ∪ B)
i=1
i=1
n
[
n
[
e
(
Ai ) ∩ B =
i=1
(Ai ∩ B).
i=1
Più in generale ancora, si definisce l’unione
S
S
{Ai | i ∈ I}
i∈I Ai o
per una famiglia di insiemi indiciata6 da I ponendo che
S
x ∈ i∈I Ai se e solo se esiste un i ∈ I per cui x ∈ Ai ,
e analogamente per l’intersezione. La definizione come si vede è la stessa,
con “i ∈ I” al posto di “1 ≤ i ≤ n”.
6
Si chiama cosı̀ e si indica anche con {Ai }i∈I un insieme i cui elementi corrispondono
ciascuno a un elemento di un insieme I. Si veda alla fine del paragrafo 5.
46
4.3
Algebre di Boole
Indagando la reciproca derivabilità delle varie leggi, ci si accorge che tutte
(sia quelle elencate che altre, quelle che sono valide per ogni famiglia di
sottoinsiemi di un insieme) sono derivabili dalle seguenti:
3
4
5
6
7
8
9
10
16
17
18
21
X ∩Y =Y ∩X
X ∪Y =Y ∪X
X ∩ (Y ∩ Z) = (X
X ∪ (Y ∪ Z) = (X
X ∩ (Y ∪ Z) = (X
X ∪ (Y ∩ Z) = (X
X ∩ (X ∪ Y ) = X
X ∪ (X ∩ Y ) = X
X∩ ∼ X = ∅
X∪ ∼ X = U
X ∩U =X
X ∪∅=X
∩Y)∩Z
∪Y)∪Z
∩ Y ) ∪ (X
∪ Y ) ∩ (X
commutatività dell0 intersezione
commutatività dell0 unione
associatività dell0 intersezione
associatività dell0 unione
∩ Z)
distributività di ∩ rispetto a ∪
∪ Z)
distributività di ∪ rispetto a ∩
assorbimento
assorbimento
0
legge dell inverso per ∩
legge dell0 inverso per ∪
legge dell0 elemento neutro per ∩
legge dell0 elemento neutro per ∪ .
Queste leggi si chiamano assiomi delle algebre di Boole. La scelta degli
assiomi non è arbitraria (ci sono ragioni di analogia con altri sistemi di assiomi per altre strutture) ma non è univoca. Abbiamo visto ad esempio che
se ci fosse la 1, la 18 sarebbe superflua. L’importante è la mutua e varia interderivabilità delle leggi tra loro, e che tutte le leggi valide per i sottoinsiemi
di un insieme non vuoto U siano derivabili da quelle scelte come assiomi. La
raccolta di queste negli assiomi è solo, inizialmente, una comodità mnemonica.
L’insieme dei sottoinsiemi di un insieme non vuoto U , con le operazioni
∼, ∩, ∪ e gli elementi speciali ∅ e U è una particolare algebra di Boole, che
si chiama algebra di insiemi .
Vediamo come si derivano dagli assiomi alcune delle altre leggi prima
elencate.
1
X =X ∩X
47
X
X
X
X
X
2
X =X ∪X
20
X ∩∅=∅
=X ∩U
= X ∩ (X∪ ∼ X)
= (X ∩ X) ∪ (X∩ ∼ X)
= (X ∩ X) ∪ ∅
=X ∩X
(esercizio)
X ∩ ∅ = (X ∪ ∅) ∩ ∅
X ∩ ∅ = ∅ ∩ (∅ ∪ X)
X ∩∅=∅
19
X ∪U =U
per la 18
per la 17
per la 7
per la 16
per la 21
per la 21
per la 3 e la 4
per la 9
(esercizio).
Prima di considerare altre leggi, occorre dimostrare l’unicità degli elementi neutri e del complemento. Per quello dell’intersezione, questo significa:
34
Se X ∩ Y = Y per ogni Y , allora X = U .
Dimostrazione Sostituendo U a Y si ha X ∩ U = U ma X ∩ U = X per
la 18, quindi X = U .
Per l’elemento neutro dell’unione, l’unicità significa:
35
Se X ∪ Y = Y per ogni Y , allora X = ∅ (esercizio).
L’unicità del complemento, o dell’inverso, è la proprietà che:
36
Se X ∩ Y = ∅ e X ∪ Y = U allora X =∼ Y .
Dimostrazione
X =X ∩U
= X ∩ (Y ∪ ∼ Y )
= (X ∩ Y ) ∪ (X∩ ∼ Y )
= ∅ ∪ (X∩ ∼ Y )
= (Y ∩ ∼ Y ) ∪ (X∩ ∼ Y )
= (Y ∪ X)∩ ∼ Y
= U∩ ∼ Y
=∼ Y
48
per la 18
per la 17
per la 7
per l0 ipotesi
per la 16
per la 7
per l0 ipotesi
per la 18.
11
X =∼∼ X
Dimostrazione Siccome X∩ ∼ X = ∅ e X∪ ∼ X = U , per la 36 ora
vista con ∼ X al posto di Y si ha X =∼∼ X.
13
∼ (X ∪ Y ) =∼ X∩ ∼ Y
Dimostrazione Per applicare la 36, facciamo vedere che
(∼ X∩ ∼ Y ) ∪ (X ∪ Y ) = U
e
(∼ X∩ ∼ Y ) ∩ (X ∪ Y ) = ∅.
La prima segue da questi passaggi (abbreviati, esplicitarli tutti per
esercizio, serve anche la 19 di sopra):
(∼ X∩ ∼ Y ) ∪ (X ∩ Y ) = (∼ X ∪ X ∪ Y ) ∩ (∼ Y ∪ X ∪ Y )
=U ∩U =U
e la seconda (utilizzando 20) da:
(∼ X∩ ∼ Y ) ∩ (X ∪ Y ) = (∼ X∩ ∼ Y ∩ X) ∪ (∼ X∩ ∼ Y ∩ Y )
= ∅ ∪ ∅ = ∅.
4.3.1
Esercizi
1. Dimostrare
A ∩ (B ∪ (C \ A)) = A ∩ B
A ∩ B ∩ (A ∪ B) = A ∩ B
A ∪ (C ∩ (A ∪ B)) = A ∪ (C ∩ B)
(A \ B) ∪ (B ∩ A) = A
(A ∩ (B ∪ C)) ∩ (∼ B ∪ A) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
49
2. Dimostrare le proprietà 22 - 33 della relazione ⊆, a partire dagli assiomi,
usando 28 come definizione di ⊆7 .
3. Lo stesso, usando una volta 29, una volta 30 e una volta 31 come
definizione di ⊆
4. Dimostrare, a partire dagli assiomi delle algebre di Boole, tutte le altre
leggi sopra elencate per le operazioni di un’algebra di insiemi.
4.4
Algebra delle proposizioni
Due altre notevoli algebre di Boole sono importanti, l’algebra 2 e l’algebra
delle proposizioni.
Quando si dice che gli assiomi sopra elencati sono gli assiomi delle algebre
di Boole, non si intende che i simboli di operazioni usati nella formulazione
degli assiomi denotino le operazioni insiemistiche di unione, intersezione e
complemento; altrimenti le uniche algebre di Boole sarebbero le algebre di
insiemi. S’intende solo che siano operazioni rispettivamente binarie (le prime
due) e unaria (la terza), e che soddisfino le proprietà espresse dagli assiomi.
Può essere utile addirittura riscrivere gli assiomi con altri simboli8 :
x◦ y =y◦x
commutatività
x+y =y+x
commutatività
x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z
associatività
x + (y + z) = (x + y) + z
associatività
x ◦ (y + z) = (x ◦ y) + (x ◦ z)
distributività
x + (y ◦ z) = (x + y) ◦ (x + z)
distributività
x ◦ (x + y) = x
assorbimento
x + (x ◦ y) = x
assorbimento
x ◦ (−x) = 0
inverso
x + (−x) = 1
inverso
x◦ 1=x
elemento neutro
x+0=x
elemento neutro
7
La 22 e la 27, insieme a “X = Y se e solo se X ⊆ Y e Y ⊆ X” stabiliscono che ⊆ è
una relazione di ordine parziale, secondo la definizione che sarà data nel paragrafo 5.
8
Con l’ordine di priorità −, ◦, +.
50
e indicare la relazione definita da x ◦ y = x con ≤.
Si ha 0 ≤ x ≤ 1 per ogni x (esercizio). La relazione ≤ è un ordine parziale
per l’esercizio 1 di 4.3.1.
L’algebra 2 è l’algebra il cui universo è {0, 1} con 0 < 1, rappresentata
dal diagramma
1
↑
0
dove ↑ è < e x + y = max{x, y} e x ◦ y = min{x, y}.
L’algebra 2 è l’algebra dei valori di verità. Le sue tre operazioni sono
quelle che intervengono nel calcolo dei valori di verità di negazioni, disgiunzioni e congiunzioni.
Esistono altre algebre di Boole finite, come ad esempio l’algebra 4
1
%
-
a
b
-
%
0
dove a e b sono inconfrontabili rispetto a ≤; ≤ è proprio parziale.
Esercizio: definire le operazioni in modo che questa struttura diventi
un’algebra di Boole.
Esercizio. Dimostrare che è l’algebra dei sottoinsiemi di un universo con
due elementi.
L’algebra delle proposizioni si ottiene nel seguente modo; già si sono dimostrate (considerando anche gli esercizi) quasi tutte le leggi logiche che
hanno lo stesso nome degli assiomi delle algebre di Boole:
A∧B ↔B∧A
commutatività
A∨B ↔B∨A
commutatività
A ∧ (B ∧ C) ↔ (A ∧ B) ∧ C
associatività
A ∨ (B ∨ C) ↔ (A ∨ B) ∨ C
associatività
A ∧ (B ∨ C) ↔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) distributività
A ∨ (B ∧ C) ↔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) distributività
A ∧ (A ∨ B) ↔ A
assorbimento
A ∨ (A ∧ B) ↔ A
assorbimento.
51
Le equivalenze non sono uguaglianze ma si possono trasformare in vere
uguaglianze tra (nuovi) oggetti con la seguente costruzione.
La relazione ≡ è una relazione di equivalenza, vale a dire soddisfa le
proprietà:
A≡A
se A ≡ B allora B ≡ A
se A ≡ B e B ≡ C allora A ≡ C
rif lessiva
simmetrica
transitiva.
Si definisce allora per ogni A la classe di equivalenza di A come
[A] = {B | A ≡ B}
e si ha che
[A] = [B] se e solo se A ≡ B
(esercizio).
Date due proposizioni A e B, esse o sono logicamente equivalenti o no.
Nel primo caso, [A] = [B]. Nel secondo caso le due classi [A] e [B] sono
disgiunte: se infatti ci fosse un elemento C in comune, vorrebbe dire che
A ≡ C e che B ≡ C, ma allora per la transitività si avrebbe A ≡ B e
[A] = [B].
A si dice un rappresentante della classe [A]; ogni classe ha più rappresentanti, anzi infiniti. Se B ∈ [A] allora B ≡ A quindi [A] = [B] e B è un altro
rappresentante di [A]. In particolare ad esempio [A] = [A∧A] = [A∧A∧A] . . .
Si possono definire tra queste classi le seguenti operazioni:
−[A]
= [¬A]
[A] ◦ [B] = [A ∧ B]
[A] + [B] = [A ∨ B].
Le definizioni sono ben poste, in questo senso. Si tratta di operazioni sulle
classi, ma la loro definizione fa riferimento ad un particolare rappresentante
delle classi. Ad esempio −[A] è definita con ¬A e non ad esempio con ¬¬¬A.
Se si cambia il rappresentante di una classe, si vuole che il risultato, che è
una classe, sia lo stesso.
52
In effetti è cosı̀ per le operazioni sopra definite. Ad esempio se A1 ≡ A
e B1 ≡ B, siccome A1 ∧ B1 ≡ A ∧ B (esercizio - si veda anche paragrafo
6.1) si ha [A1 ] ◦ [B1 ] = [A ∧ B], cosı̀ come [A] ◦ [B] = [A ∧ B], quindi
[A1 ] ◦ [B1 ] = [A] ◦ [B].
Si giustifica in questo modo la dizione “a meno di equivalenza” con cui una
proposizione è considerata uguale ad ogni altra ad essa logicamente equivalente, o almeno indistinguibile da quelle, ai fini della trattazione semantica.
Date queste definizioni, le precedenti equivalenze danno allora origine alle
uguaglianze:
[A] ◦ [B] = [B] ◦ [A]
commutatività di ◦
[A] + [B] = [B] + [A]
commutatività di +
[A] ◦ ([B] ◦ [C]) = ([A] ◦ [B]) ◦ [C]
associatività di ◦
[A] + ([B] + [C]) = ([A] + [B]) + [C]
associatività di +
[A] ◦ ([B] + [C]) = ([A] ◦ [B]) + ([A] ◦ [C])
distributività
[A] + ([B] ◦ [C]) = ([A] + [B]) ◦ ([A] + [C])
distributività
[A] ◦ ([A] + [B]) = [A]
assorbimento
[A] + ([A] ◦ [B]) = [A]
assorbimento.
Tutte le tautologie sono tra loro equivalenti, e non equivalenti a nessuna
proposizione non logicamente valida; lo stesso per le contraddizioni; denotiamo con 1 la classe delle tautologie, e con 0 la classe delle contraddizioni.
Allora [A] ◦ (−[A]) = [A ∧ ¬A] = 0 e [A] + (−[A]) = [A ∨ ¬A] = 1 e
possiamo quindi aggiungere:
[A] ◦ (−[A]) = 0
[A] + (−[A]) = 1
[A] ◦ 1 = [A]
[A] + 0 = [A]
inverso
inverso
elemento neutro
elemento neutro
completando la lista degli assiomi delle algebre di Boole.
Le ultime due leggi seguono dal fatto (o lo esprimono in altra forma) che
se T è una tautologia A∧T ≡ A e se F è una contraddizione allora A∨F ≡ A.
La relazione [A] ≤ [B] è definita da [A]◦[B] = [A], oppure dall’equivalente9
[A] ◦ −[B] = 0.
9
O anche da [A]+[B] = [B] - a seconda dei casi converrà usare l’una o l’altra definizione.
53
Inseriamo qui una dimostrazione dell’equivalenza tra due definizioni di ≤,
dove si noterà l’analogia formale con quella fatta in 4.3.1 per la definizione
di ⊆ (la 28 e la 30 dell’algebra degli insiemi).
Se
x◦y =x
allora
1 = x + (−x)
1 = (x ◦ y) + (−x)
1 = (x + (−x)) ◦ (y + (−x))
1 = (y + (−x)
0 = x ◦ (−y).
Viceversa se
x ◦ (−y) = 0
allora
x=x◦1
x = x ◦ (y + (−y))
x = (x ◦ y) + (x ◦ (−y))
x = x ◦ y.
Esercizio. Dimostrare l’equivalenza con la (versione corrispondente della) 29.
Dall’equivalenza booleana delle due definizioni di ≤ si deriva la seguente
proprietà logica, che
A ≡ A ∧ B se e solo se |= A → B.
Una dimostrazione logica di questo fatto ricalca la dimostrazione algebrica
di sopra. Si noti che [A] = 0 significa che A è una contraddizione.
Allora la seguente è una deduzione del fatto che |= A → B segue da
A ≡ A ∧ B:
A ∨ ¬A
(A ∧ B) ∨ ¬A
(A ∨ ¬A) ∧ (B ∨ ¬A
B ∨ ¬A
A → B.
54
Ogni proposizione o è una tautologia o segue logicamente dalle precedenti e
da A ≡ A ∧ B, quindi l’ultima è una tautologia.
Viceversa, se A ∧ ¬B è una contraddizione
A ↔ A ∧ (B ∨ ¬B)
A ↔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B)
A ↔ A ∧ B.
Esercizio. Dimostrare in modo analogo che A ≡ A ∨ B se e solo se |= B → A.
La corrispondenza tra le deduzioni algebriche e quelle logiche è fondata
sulla corrispondenza tra [A] ≤ [B] e |= A → B.
Il fatto che per ogni A, 0 ≤ [A] ≤ 1 corrisponde al fatto che una contraddizione implica qualsiasi proposizione, e una tautologia è implicata da
qualsiasi proposizione.
La relazione booleana ≤ ha le seguenti proprietà, che se a ≤ b allora
−b ≤ −a e per ogni c, c ◦ a ≤ c ◦ b e c + a ≤ c + b (esercizio).
Queste proprietà corrispondono per l’implicazione al fatto che se |= A →
B allora |= ¬B → ¬A e per ogni C, |= C ∧ A → C ∧ B e |= C ∨ A → C ∨ B
(esercizio).
La proprietà transitiva di ≤ corrisponde alla transitività del condizionale,
mentre la proprietà di sostituzione t = s → f (t) = f (s) corrisponde ad
un’analoga proprietà logica: se in una proposizione si sostituisce una sottoproposizione con una equivalente, il risultato è una proposizione equivalente
a quella iniziale.
Conviene indicare l’operazione di rimpiazzamento di una sottoproposizione B con C in una proposizione A, con la notazione: A[B//C].
Si ha allora che
se B ≡ C allora A ≡ A[B//C].
Nell’esempio di sopra A ∨ ¬A ≡ (A ∧ B) ∨ ¬A poiché A ≡ A ∧ B.
Nella dimostrazione, per trattare i vari casi, si fa uso dei seguenti fatti
Per ogni A e B,
se A ≡ B, allora
se A1 ≡ A2 e B1 ≡ B2 , allora
¬A ≡ ¬B
A1 • B1 ≡ A2 • B2
che si dimostrano facilmente con le tavole di verità per i vari connettivi.
55
4.5
Rapporti tra proposizioni e insiemi
I rapporti tra algebra degli insiemi con operazioni insiemistiche, logica proposizionale con connettivi e algebra boleana sono molteplici e bidirezionali.
Sostanzialmente l’argomento è sempre lo stesso, con varianti formali, e a seconda delle preferenze si può adottare l’uno o l’altro dei tipi di simbolismo
coinvolti; la familiarità con l’uno aiuta anche nello svolgimento dell’altro, ma
il ragionamento è identico.
Abbiamo visto come, per dimostrare le leggi dell’algebra degli insiemi
(cioè identità valide per tutti i sottinsiemi di un qualunque insieme non vuoto
U ), procedendo direttamente in base alla definizione di uguaglianza tra insiemi (X = Y se e solo se X ⊆ Y e Y ⊆ X) ci si riconduca ad applicare leggi
logiche a proposizioni costruite su atomiche della forma x ∈ X, x ∈ Y, . . .
Si possono anche al contrario derivare le leggi logiche dalle leggi dell’algebra
degli insiemi.
In generale due proposizioni (con o senza la x) logicamente equivalenti10
hanno lo stesso insieme di verità in ogni U .
Supponiamo infatti che p(x) sia equivalente a q(x). Allora siccome p(x) →
q(x) e q(x) → p(x) sono sempre vere, Vp(x)→q(x) e Vq(x)→p(x) sono entrambi
uguali a U ; ma siccome Vp(x)→q(x) = (∼ Vp(x) ) ∪ Vq(x) , se questo è uguale a U
allora Vp(x) ⊆ Vq(x) e viceversa, quindi Vp(x) = Vq(x) .
Vale anche il viceversa; diciamo che una proposizione p(x) è valida in U
se Vp(x) = U ; allora se Vp(x) = Vq(x) in U si ha che p(x) ↔ q(x) è valida in U .
Basta ripercorrere all’indietro i precedenti passaggi.
Supponiamo allora di voler dimostrare |= ¬(p ∨ q) ↔ ¬p ∧ ¬q.
Pensiamo ad un insieme qualunque U (che non c’è bisogno di precisare,
in accordo col fatto che usiamo leggi valide per insiemi qualunque). Consideriamo i sottoinsiemi Vp = {x ∈ U | p } e Vq = {x ∈ U | q }. Non importa che
p e q contengano o no la x; basta che valga, per definizione, che x ∈ Vp ↔ p,
cioè che Vp sia definito ponendo che x ∈ Vp è vero se e solo se p è vero. Se
p non contiene x, p o è vera o è falsa, indipendentemente da x. In tal caso
Vp = {x ∈ U | p } o è ∅ o è U .
Dalla definizione di insieme di verità e dalla legge insiemistica
∼ (Vp ∪ Vq ) = (∼ Vp ) ∩ (∼ Vq ),
10
Nel senso che p(x) e q(x) hanno sempre lo stesso valore di verità calcolato a partire
dalla attribuzione di 0 e 1 alle loro componenti atomiche, anche se contengono x.
56
cioè
x ∈∼ (Vp ∪ Vq ) se e solo se x ∈ (∼ Vp ) ∩ (∼ Vq ),
segue, siccome x ∈ ∼ (Vp ∪ Vq ) se e solo se ¬(p ∨ q), e analogamente per
x ∈ (∼ Vp ) ∩ (∼ Vq ), che
¬(p ∨ q) ↔ ¬p ∧ ¬q
è vero qualsiasi siano p e q, la cui verità o falsità non gioca alcun ruolo nella
dimostrazione11 .
Un altro modo più semantico è il seguente. Siccome p e q non contengono
la x, gli insiemi Vp = {x ∈ U | p } e Vq = {x ∈ U | q } come abbiamo detto
sono o ∅ o U .
Possiamo interpretare allora ∼ (Vp ∪ Vq ) = (∼ Vp ) ∩ (∼ Vq ) o direttamente
¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q nell’algebra 2, riscrivendola formalmente come
−(x + y) = −x ◦ −y,
che è una legge valida in 2. Questo significa che comunque si sostituiscano i
valori 0 o 1 a x e y l’uguaglianza vale, e questo è un altro modo di dire che
comunque si diano a p e q i valori 0 o 1 si ottiene che ¬(p ∨ q) e ¬p ∧ ¬q
hanno lo stesso valore, cioè la tavola del bicondizionale ¬(p ∨ q) ↔ ¬p ∧ ¬q
ha tutti 1 nella colonna finale.
Un ragionamento semantico del genere può sostituire il modo di procedere
formale diretto, in cui una deduzione algebrica viene trasformata in una
logica, come negli esempi di 4.4; occorre prestare attenzione alle insidie delle
analogie formali quando è coinvolta la relazione ≤.
Consideriamo la seguente dimostrazione booleana di una proprietà di x◦y
che formalmente corrisponde alla massimalità dell’intersezione:
se z ≤ x e z ≤ y allora z ≤ x ◦ y.
Algebricamente, nel senso delle algebre di Boole, se
z ◦ (−x) = 0
e
11
Si vede in particolare che le leggi logiche dimostrate per il linguaggio proposizionale
costruito astrattamente sulle lettere, valgono anche per proposizioni contententi variabili.
57
z ◦ (−y) = 0
allora
z ◦ (−x) + z ◦ (−y) = 0
z ◦ (−x + −y) = 0
z ◦ −(x ◦ y) = 0
z ≤ x ◦ y.
Si conclude quindi correttamente che
z ≤x∧z ≤y →z ≤x◦y
vale in tutte le algebre di Boole.
Poiché sappiamo che ≤ corrisponde a →, siamo tentati di scrivere
|= (C → A) ∧ (C → B) → (C → A ∧ B),
ottenendo in tal modo la versione corrispondente della massimalità della
congiunzione.
Ma questo passaggio non è corretto. Infatti se interpretiamo direttamente
la legge booleana z ≤ x ∧ z ≤ y → z ≤ x ◦ y nell’algebra delle proposizioni
dobbiamo scrivere
[C] ≤ [A] ∧ [C] ≤ [B] → [C] ≤ [A ∧ B],
che equivale a
se [C → A] = 1 e [C → B] = 1 allora [C → A ∧ B] = 1,
o
se |= C → A e |= C → B allora |= C → A ∧ B.
Questa affermazione è diversa e più debole di quella voluta (spiegare perché).
Per ricavare booleanamente la legge della massimalità della congiunzione
ci sono due strade. Bisogna dimostrare che è uguale a 1 l’elemento booleano
corrispondente alla proposizione in questione; siccome essa contiene il condizionale, una possibilità è quella di eliminare il condizionale a favore di altri
connettivi booleani, quindi ad esempio di dimostrare che
−((−z + x) ◦ (−z + y)) + (−z + x ◦ y) = 1;
58
ma
(−z + x) ◦ (−z + y)) = −z + x ◦ y
per la proprietà distributiva, quindi ci si riduce a −a + a = 1, che è vero.
Altrimenti, si può associare anche al connettivo → un’operazione booleana
(non un’asserzione quale è x ◦ (−y) = 0), come per negazione, congiunzione e !!!
disgiunzione. L’operazione binaria x ⇒ y associata12 a → è introdotta come
ci si aspetta con la definizione
x ⇒ y = −x + y.
Si ha che x ⇒ y = 1 se e solo se x ≤ y (esercizio).
La legge proposizionale |= (C → A) ∧ (C → B) → (C → A ∧ B) si ottiene
dimostrando che
((z ⇒ x) ◦ (z ⇒ y)) ⇒ (z ⇒ (x ◦ y)) = 1
nel seguente modo:
(z ⇒ x) ◦ (z ⇒ y) = (−z + x) ◦ (−z + y)
= −z + (x ◦ y)
=z ⇒x◦y
quindi
(z ⇒ x) ◦ (z ⇒ y) = z ⇒ (x ◦ y).
Ma si noti che se a = b allora a ≤ b e quindi a ⇒ b = 1, e anche b ⇒ a = 1.
Quindi risulta dalla dimostrazione anche il viceversa, e in effetti
|= (C → A) ∧ (C → B) ↔ (C → A ∧ B).
Le mutue relazioni illustrate tra insiemi, algebre di Boole e proposizioni
che secondo gli assiomi valgono per le proposizioni scritte con i connettivi
¬, ∧, ∨ si estendono a tutte le proposizioni che contengono gli altri connettivi
che sono definibili in termini di questi, come ⊕, →, ↔.
12
Questo è il motivo per cui non usiamo questo segno per indicare l’implicazione |= A →
B, che booleanamente corrisponde all’asserzione x ≤ y.
59
5
Relazioni
5.1
Prodotto cartesiano
Un’operazione su insiemi diversa, e in un certo senso più importante, di quelle
booleane è il prodotto cartesiano di due insiemi.
Si indica hx, yi la coppia ordinata di x e y, e x e y si chiamano rispettivamente prima e seconda componente di hx, yi. La coppia ordinata è ben
diversa dalla coppia non ordinata {x, y}, per cui vale {x, y} = {y, x} e non
ha senso parlare di primo o secondo elemento. Invece hx, yi 6= hy, xi a meno
che non sia x = y; inoltre hx, yi = hz, ui se e solo se x = z e y = u1 .
Il prodotto cartesiano di X e Y è
X × Y = {hx, yi | x ∈ X e y ∈ Y }.
L’operazione × è diversa da quelle booleane in quanto se anche X ⊆ U
e Y ⊆ U , X × Y non è un sottoinsieme di U ; è un insieme di elementi
strutturati, in generale un insieme più ricco; se ad esempio U è la retta
numerica2 , U × U è il piano (cartesiano), dove ogni punto è individuato dalle
sue due coordinate, che sono le due componenti della coppia, e sono dette
ascissa la prima componente, ordinata la seconda. Le coppie hx, xi formano
la diagonale di U .
Esempio Se X è {a, b, c, . . . , h} e Y è {1, 2, 3, . . . , 8}, X × Y si può
identificare con la scacchiera.
Se X e Y sono due insiemi finiti, il numero di elementi di X × Y è il
prodotto del numero di elementi di X e del numero di elementi di Y , da cui
il nome.
Il prodotto cartesiano di due insiemi non è commutativo3 .
1
Non spieghiamo l’artificio con cui si definisce la coppia ordinata; si ricordi tuttavia
che x e y non sono elementi di hx, yi, e infatti si chiamano componenti, o proiezioni.
2
Con “retta numerica” si intende di solito l’insieme dei numeri reali; tuttavia a seconda
del contesto può anche significare un altro sistema numerico. Ricordiamo che gli insiemi
dei numeri naturali, interi, razionali e reali si indicano usualmente con N, Z, Q, R. Se
la retta numerica è N o Z, il piano è il reticolo infinito dei punti a coordinate naturali, o
intere.
3
Non è neanche associativo, anche se X × (Y × Z) e (X × Y ) × Z possono essere messi
in corrispondeza biunivoca e identificati; quindi con una opportuna definizione delle terne
hx, y, zi si può definire il prodotto a tre fattori X × Y × Z, e anche quello a n fattori con
le n-uple come elementi.
60
Il prodotto X ×X si indica anche con X 2 , e X
· · × X} con X n , insieme
| × ·{z
n
delle n-uple di elementi non necessariamente distinti di X.
5.2
Relazioni
Un sottoinsieme di un insieme X × Y si chiama anche relazione tra X e Y . !!!
Se X = Y una relazione R ⊆ X × X si dice anche relazione in X.
La rappresentazione grafica usuale delle relazioni è quella per mezzo di
un diagramma cartesiano, come il seguente:
YO
·
·
·
·
·
·
·
2·
·
•·
· ·
· ·
· ·
· ·
· ·
· •·
· ·
•· ·
· ·
· ·
1
·
·
·
•·
·
·
·
·
·
·
·
•·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·/ X
dove X = {0, . . . , 8} e Y = {0, . . . 9} e la relazione è {hx, yi | y = 2x}.
Se gli insiemi sono infiniti, se ne può indicare solo una porzione; ad esempio la diagonale
·
·
·
·
·
·
·
·
•·
·
·
·
·
·
·
·
•·
·
·
·
·
·
·
·
•·
·
·
·
·
·
·
·
•·
·
·
·
ZO
·
·
·
·
•·
·
·
·
·
·
·
·
•·
·
·
·
•·
·
·
·
· ·
· ·
· ·
·
•·
·
·
·
·
·
·
·
•·
·
·
·
·/Z
·
·
·
·
rappresenta la relazione {hx, yi ∈ Z × Z | x = y } solo in una regione limitata
del piano a coordinate intere, ma si intende che va estesa uniformemente
61
all’infinito.
Esempi
La relazione di paternità è una relazione nell’insieme del genere umano,
l’insieme di tutte le coppie hx, yi dove x è un maschio che ha generato, e y
uno dei suoi figli.
La relazione di discendenza genealogica nell’insieme del genere umano è
l’insieme di tutte le coppie hx, yi dove x è un antenato (maschile o femminile)
di y.
La relazione di divisibilità4 {hx, yi ∈ N × N | x | y } tra numeri naturali
è rappresentata, nell’area limitata disegnata, dal diagramma:
NO
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
•·
•·
•·
•·
•·
•·
•·
•·
•·
•·
·
•·
·
•·
·
•·
·
•·
·
•·
•·
·
·
•·
·
·
•·
·
·
•·
·
•·
·
·
·
•·
·
·
·
•·
·
·
·
·
•·
·
·
·
·
•·
·
·
·
•·
·
·
·
·
·
•·
·
·
•·
·
·
·
·
·
·
•·
·
•·
·
·
·
·
·
·
·
•·
•·
·
·
·
·
·
·
·
·
•·
/N
La relazione {hx, yi ∈ Z × Z | x = y 2 } è parzialmente rappresentata da
4
Con x | y indichiamo che esiste uno z tale che xz = y, e diciamo che x divide y o è un
divisore di y o che y è divisibile per x, o y è un multiplo di x. Con questa definizione x | 0
perché x0 = 0, mentre escludiamo 0 | 0, che pure rientrerebbe nella definizione, perché
quando si introduce la divisione si vuole l’uncità del quoziente z in xz = y, mentre 0z = 0
per ogni z.
62
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
ZO
·
·
·
·
·
•·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
•·
·
•
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
•·
·
·
·
•·
·
·
·
·
·
·
·
·
·/Z
·
·
·
·
·
La relazione {hx, yi ∈ Z × Z | xy = 4} è un insieme finito i cui elementi
sono tutti indicati nel grafico:
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
•·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
•·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
•·
·
ZO
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
•·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
•·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
•·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
/Z
mentre {hx, yi ∈ Q × Q | xy = 4} è un insieme infinito; alcuni suoi punti5
sono indicati nel grafico:
5
Le coppie ordinate che sono elementi di una relazione si chiamano anche punti, in
analogia ai punti del piano.
63
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
•·
·
·
·
·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· ••· ·
· ·•·
· · •·
· · ·
QO
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· · ·
•· · ·
·•• · ·
· •· ·
· · •·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· ·
· ·
· ·
· ·
•· •·
· ·
· ·
· ·
· ·
· ·
· ·
/Q
Si dice talvolta che {hx, yi ∈ Q × Q | xy = 4} e {hx, yi ∈ Z × Z | xy =
4} sono la stessa relazione, {hx, yi | xy = 4} considerata una volta in Q
e una volta in Z. Tale modo di esprimersi non è corretto (al massimo, la
seconda è una restrizione della prima), ancorché diffuso e innocuo, una volta
che si abbiano le idee chiare: uguale è la formula xy = 4 che definisce le
due relazioni, ma le relazioni in sé sono due insiemi diversi. Spesso, negli
insiemi finiti soprattutto, perché gli insiemi infiniti trattabili sono solo quelli
definibili, non c’è alcuna formula definitoria.
Ad esempio, se U = {0, 1, . . . , 9}, l’insieme {h2, 4i, h2, 6i, h2, 8i} è una
relazione in U . L’unico modo di caratterizzarla è quella di elencare le sue
coppie.
Considerare una relazione solo come l’insieme delle coppie di individui
che stanno nella relazione stessa, e non la definizione (la proprietà che lega
le componenti delle coppie), significa trattare le relazioni dal punto di vista
estensionale.
Talvolta come notazione invece di scrivere che hx, yi ∈ R si scrive anche
R(x, y), o anche x R y.
5.2.1
Esercizi
1. Disegnare in un diagramma cartesiano le relazioni (o parte di esse):
{hx, yi ∈ N × N | x2 + y 2 < 20}
{hx, yi ∈ Z × Z | x2 + y 2 < 20}
{hx, yi ∈ N × N | x < 6 ∧ y < 4}.
2. Abbiamo visto esempi di relazioni finite e infinite; come è {hx, yi ∈
64
Z × Z | xy = 12 }?
5.3
Relazioni d’ordine
Data una relazione R ⊆ X × Y si chiama dominio di R l’insieme
dom(R) = {x ∈ X | esiste un y ∈ Y tale che hx, yi ∈ R } ⊆ X
e si chiama immagine l’insieme
im(R) = {y ∈ Y | esiste un x ∈ X tale che hx, yi ∈ R } ⊆ Y .
Se R è una relazione in U si ha sia dom(R) ⊆ U sia im(R) ⊆ U . L’unione
dom(R) ∪ im(R) si chiama anche campo di R e si denota campo(R)6 .
Esempio Nella relazione di paternità il dominio è l’insieme di tutti gli
uomini che hanno generato, l’immagine l’insieme di tutti gli uomini e tutte
le donne7 .
Le relazioni si distinguono e si classificano in base ad alcune proprietà di
cui possono o no godere.
Una relazione R in un insieme U soddisfa la proprietà riflessiva se per
ogni x ∈ campo(R) hx, xi ∈ R. Invece si dice antiriflessiva se per ogni
x ∈ campo(R) hx, xi 6∈ R.
Una relazione R in un insieme U soddisfa la proprietà transitiva se per
ogni x, y, z ∈ campo(R), se succede che hx, yi ∈ R e hy, zi ∈ R allora anche
hx, zi ∈ R.
Una relazione R in un insieme U soddisfa la proprietà simmetrica se per
ogni x e y ∈ campo(R), se succede che hx, yi ∈ R allora anche hy, xi ∈ R. Una
relazione è simmetrica se è uguale alla sua simmetrica (nel piano, rispetto
alla diagonale) che si ottiene scambiando ogni coppia hx, yi con hy, xi.
Invece una relazione R si dice antisimmetrica se hx, yi ∈ R e x 6= y
implicano hy, xi 6∈ R, o in modo equivalente, per contrapposizione, se hx, yi ∈
R e hy, xi ∈ R implicano x = y.
Esempi
La relazione di paternità è antiriflessiva e non è transitiva, ed è antisimmetrica. La relazione di discendenza è transitiva.
6
La notazione non è standard.
Qualcuno può non essere d’accordo sul caso critico di Adamo ed Eva, se ci crede; non
consideriamo i problemi della clonazione.
7
65
Le relazioni {hx, yi | xy = 4} e {hx, yi | x = y} sono simmetriche. La
relazione {hx, yi | x = y 2 } non lo è.
La relazione di conseguenza logica, nell’insieme delle proposizioni, è riflessiva (legge dell’identità) e transitiva (transitività del condizionale).
Un tipo importante di relazioni è quello costituito dalle relazioni d’ordine. !!!
Una relazione R in un insieme U si chiama relazione d’ordine se soddisfa le
proprietà riflessiva, transitiva e antisimmetrica per gli elementi nel campo(R).
Si dice anche che R è un ordine in U , un ordine del campo(R).
Per le relazioni d’ordine si suole usare il simbolo ¹; le condizioni a cui
deve soddisfare ¹ sono dunque
x¹x
x¹y∧y ¹z →x¹z
x ¹ y ∧ y ¹ x → x = y.
Se a queste si aggiunge la condizione che due elementi qualunque siano confrontabili:
x¹y∨y ¹x
per ogni x, y ∈ campo(¹), che si chiama anche condizione di connessione,
allora ¹ è un ordine totale di campo(¹).
Altrimenti, se non è verificata la condizione di connessione, si parla di
ordine parziale.
Un insieme U si dice totalmente, o parzialmente ordinato, se esiste una
relazione ¹ in U con campo(¹) = U che è un ordine totale o rispettivamente
parziale. Un insieme ordinato si indica spesso con la coppia hU, ¹i, che mette
in evidenza la relazione d’ordine.
Esempi
L’insieme N con la relazione ≤ è totalmente ordinato.
L’insieme {0, 1, . . . n} con la relazione ≤ è totalmente ordinato.
La relazione ⊆ nell’insieme dei sottoinsiemi di U è un ordine parziale.
Un albero è un insieme parzialmente ordinato.
Un ramo di un albero è un insieme totalmente ordinato, e chiuso verso il
basso8 .
8
Questo significa che se x appartiene al ramo e y ¹ x anche y appartiene al ramo.
66
Dato un ordine ¹ si può sempre introdurre una nuova relazione ≺ con la
definizione x ≺ y ↔ x ¹ y ∧ x 6= y, che risulta antiriflessiva, antisimmetrica
e transitiva. Viceversa, data una relazione ≺ antiriflessiva, antisimmetrica
e transitiva, si può definire x ¹ y ↔ x ≺ y ∨ x = y e si ha una relazione
d’ordine (si veda 7.3).
Un maggiorante di x - rispetto a un ordine hU, ¹i - è un elemento y ∈ U
tale che x ¹ y. Il maggiorante è stretto, o proprio, se x 6= y.
Un minorante di x è un elemento y ∈ U tale che y ¹ x. Il minorante è
stretto, o proprio, se x 6= y.
Dato un insieme totalmente o parzialmente ordinato hU, ¹i, un elemento
x ∈ U si dice minimo - rispetto all’ordine - se x ¹ y per ogni y ∈ U . Si dice
massimo se y ¹ x per ogni y ∈ U .
Dato X ⊆ U , un minimo di X è un elemento x ∈ X tale che x ¹ y per
ogni y ∈ X; simmetricamente per il massimo.
Il minimo di un insieme X è unico; analogamente il massimo.
Dato un insieme parzialmente ordinato hU, ¹i, un elemento x ∈ U si dice
minimale - rispetto all’ordine - se non ha minoranti propri. Si dice massimale
se non ha maggioranti propri.
Se X ⊆ U , un elemento minimale di X è un elemento x ∈ X tale che
per nessun y ∈ X, y 6= x si ha y ¹ x, cioè che non ha minoranti propri
appartenenti a X; simmetricamente per un elemento massimale. Gli elementi
minimali o massimali non sono necessariamente unici.
Esempi
La relazione d’ordine totale ≤ nell’insieme dei numeri naturali ha un minimo, nessun massimo. Negli altri insiemi numerici degli interi, dei razionali
e dei reali9 ≤ è un ordine totale senza né minimo né massimo.
La relazione d’ordine parziale ⊆ nell’insieme dei sottinsiemi di un insieme
U ha un massimo U e un minimo ∅. Nell’insieme dei sottoinsiemi non vuoti di
U esistono tanti elementi minimali, gli {x}, quanti sono gli elementi x ∈ U .
Nell’insieme di tutti gli insiemi contenuti sia in X sia in Y l’intersezione
X ∩ Y è il massimo.
In generale, in un’algebra di Boole, la relazione {hx, yi | x ◦ −y = 0} è un
ordine parziale con minimo 0 e massimo 1.
9
I numeri complessi invece non possono essere ordinati in modo che la relazione d’ordine
sia compatibile con le operazioni, ad esempio nel senso che se x ¹ y allora x + z ¹ y + z.
67
Dato un insieme X ⊆ campo(¹), un elemento x ∈ U , anche non appartenente a X, si dice maggiorante di X se y ¹ x per ogni y ∈ X; simmetricamente per il minorante.
Se esiste il minimo dell’insieme dei maggioranti di X, questo elemento di
U si chiama estremo superiore di X; il massimo dell’insieme dei minoranti,
se esiste, si chiama estremo inferiore di X.
√
Esempio 2 è in R l’estremo superiore dell’insieme {x ∈ Q | x2 < 2}.
Tale insieme non ha estremo superiore in Q.
Un ordine si dice discreto se per ogni elemento x che abbia maggioranti
propri esiste un elemento z, che si può chiamare successore immediato, tale
che x ≺ z e per nessun v sia x ≺ v ≺ z, e per ogni elemento x che abbia minoranti propri esiste un elemento y, che si può chiamare predecessore
immediato, tale che y ≺ x e per nessun u sia y ≺ u ≺ x.
t
y
t
x
t
z
t
t
Esempio L’ordine dei numeri naturali e quello dei numeri interi sono
ordini discreti.
Un ordine si dice denso se dati due qualunque elementi distinti x e y, con
x ≺ y, esiste uno z tale che x ≺ z ≺ y.
Esempio L’ordine dei razionali e quello dei reali sono ordini densi.
Una relazione d’ordine totale ¹ di un insieme U si dice un buon ordine
se ogni X ⊆ U non vuoto ha minimo. Un insieme con un buon ordine si dice
bene ordinato.
Esempi
Tipici insiemi bene ordinati sono {0, . . . , n} con la relazione ≤ e l’insieme
N = {0, . . . , n, . . . } con la stessa relazione.
L’insieme degli interi non è bene ordinato da ≤. L’insieme dei razionali
non è bene ordinato da ≤.
Il fatto che l’insieme dei naturali sia bene ordinato significa che al di là
della catena formata da 0 e dal successore di 0, e dal successore del successore
di 0 e cosı̀ via, non ci sono altri elementi, come sarebbe ad esempio in una
struttura del genere:
t0
t
t
t
t
t
t
68
s s
s s r qq
t
e questo è importante per le proprietà dei naturali che studieremo nel paragrafo 15.
Se al di là di tutti i numeri raggiungibili da 0 ci fosse ancora ad esempio
una struttura ordinata come quella degli interi, cun una catena discendente
0
t
t
t
t
t
t
t
s s
s s r qq
qq q q r r s
l’insieme non sarebbe bene ordinato; il sottoinsieme formato dalla catena
discendente da destra non avrebbe minimo.
5.4
Relazioni di equivalenza
L’essenziale sulle relazioni di equivalenza è stato detto a proposito dell’algebra
delle proposizioni. Ricordiamo che una relazione R in un insieme U si dice
una equivalenza se essa è riflessiva, simmetrica a transitiva, vale a dire, per
gli elementi di campo(R):
xR x
xR y → yR x
xR y ∧ yR z → xR z.
Non ci sarebbe bisogno di richiedere la riflessività in quanto essa è conseguenza delle altre due: infatti
xR y ∧ yR x → xR x,
quindi basta che x sia in relazione R con un elemento qualsiasi10 perché xR x.
Tuttavia si menziona la riflessività per la sua importanza.
Esempi
1. La relazione di uguaglianza è una equivalenza.
2. Nell’insieme U = {a, b, c, d, e} la relazione
R = {ha, ai, hb, bi, hc, ci, hd, di, he, ei,
ha, bi, hb, ai, ha, ci, hc, ai, hb, ci, hc, bi,
hd, ei, he, di}
10
Se c’è solo x nel campo di R, allora deve già essere xR x.
69
è una relazione di equivalenza, rappresentata dal seguente diagramma11 .
UO
e·
d·
c•·
b•·
a•·
· · •· •·
· · •· •·
•· •· · ·
•· •· · ·
•· •·c · ·e/ U
b
d
3. Nel dominio degli interi, la relazione di congruenza x ≡ y (mod p),
p ≥ 2, che vale se la differenza x − y è divisibile per p, è una relazione
di equivalenza12 .
4. La relazione di parallelismo tra rette in un piano è una relazione di
equivalenza.
5. La relazione di similitudine tra triangoli è una equivalenza.
6. La relazione di equivalenza logica è una equivalenza.
Data una relazione di equivalenza R in un insieme U = campo(R), si
definisce per ogni x ∈ U la classe di equivalenza di x come
[x] = {y ∈ U | xR y }
e x si chiama rappresentante della classe [x].
Date due classi [x] e [y ], queste o sono uguali (hanno gli stessi elementi)
o sono disgiunte. Se xR y, allora ogni z ∈ [x], essendo xR z, è anche zR y,
quindi z ∈ [y], e viceversa. Allora x e y sono due diversi rappresentanti della
stessa classe.
Se x non sta nella relazione R con y, allora non ci può essere uno z ∈
[x] ∩ [y ], altrimenti si avrebbe zR x e zR y, e quindi xR y.
L’insieme U è ripartito dalla relazione di equivalenza R in una famiglia
di insiemi disgiunti, di cui U è l’unione. Una tale famiglia si chiama appunto
partizione di U .
11
12
Il significato delle linee tratteggiate sarà spiegato in seguito.
x ≡ y (mod p) si legge“x congruo a y modulo p”.
70
Esempi
Per la relazione dell’esempio 2 di sopra, [a] = [b] = [c] = {a, b, c} e
[d] = [e] = {d, c}. Nel grafico si vedono i due agglomerati di punti che
formano le due classi disgiunte.
Per la relazione di congruenza x ≡ y (mod 2) ci sono due classi, quella
dei numeri pari e quella dei numeri dispari.
L’insieme {[x] | x ∈ U } delle classi di equivalenza di un insieme U ,
rispetto alla relazione R, è detto il quoziente di U rispetto ad R, ed è indicato
con U/R .
Il quoziente dell’insieme dei numeri naturali rispetto a x ≡ y (mod 2) è
l’insieme {0, 1}.
Se si definiscono operazioni e relazioni nel quoziente, a partire da operazioni e relazioni tra gli elementi di U , occorre sempre fare attenzione che
siano bene definite, vale a dire che, nel caso di operazioni ad esempio, la classe
risultante non dipenda dalla scelta dei rappresentanti delle classi argomento.
Esempio Nel quoziente degli interi rispetto alla relazione x ≡ y (mod p),
che si indica Zp , si definisce la somma con
[x] +p [y] = [x + y],
e analogamente il prodotto, rendendo possibile la cosiddetta aritmetica modulare.
L’operazione13 +p è ben definita perché se [x1 ] = [x] e [y1 ] = [y ], allora
x = mp+r, y = np+s e x1 = m1 p+r e y1 = n1 p+s; quindi (x+y)−(x1 +y1 ) =
(m + n − m1 − n1 )p è divisibile per p e x + y e x1 + y1 appartengono alla
stessa classe.
Nella congruenza (mod 2), in Z2 , 1 +2 1 = 0 corrisponde al fatto che la
somma di due dispari qualunque è pari.
5.5
Funzioni
Una relazione R si dice funzionale se per ogni x ∈ dom(R) esiste un solo y
tale che hx, yi ∈ R.
Una relazione funzionale R tra X e Y si dice anche una funzione tra X
e Y , o una funzione da dom(R) in Y . Se si parla di una funzione da X in Y
s’intende che il suo dominio è tutto X.
13
Usiamo questo segno per distinguere la somma delle classi dalla somma degli interi.
71
Per le funzioni si usano di solito i simboli f, g, . . . . Se f è una funzione
da X in Y si scrive anche
f : X −→ Y .
Se hx, yi ∈ f , si scrive y = f (x) e si dice che y è il valore di f per l’argomento
x, o l’immagine di x mediante f .
Sinonimi per “funzione” sono “mappa” o “corrispondenza”. Si dice pure
che y corrisponde a x o che è il valore associato all’argomento x, e talvolta
si scrive f : x 7→ y per y = f (x).
Se Z ⊆ X, l’immagine di Z mediante f è l’insieme delle immagini f (y),
per ogni y ∈ Z: {f (y) | x ∈ Z}.
Tale insieme si indica anche con f “Z, non con f (Z), ché Z 6∈ dom(f ).
!!!
Se y ∈ im(f ), l’insieme {x ∈ X | f (x) = y} si chiama controimmagine
di y e si indica f −1 (y). f −1 (y) è un insieme, e in generale con più di un
elemento.
Un modo abbreviato di presentare una funzione è quello di scrivere la
formula che definisce la relazione, ad esempio si parla della funzione y = x2 ,
ma occorre allora precisare a parte il dominio e l’immagine della funzione.
Una funzione f : X −→ Y si dice iniettiva o uno-uno se a elementi diversi
corrispondono valori diversi: x 6= y → f (x) 6= f (y).
Una funzione iniettiva si indica talvolta con la notazione:
f : X ,→ Y .
Se una funzione f è iniettiva, per ogni y ∈ im(f ) f −1 (y) ha un solo elemento
x che si chiama lui controimmagine di y. Viceversa, se ogni f −1 (y) ha un
solo elemento, per y ∈ im(f ), f è iniettiva.
Una funzione f : X −→ Y si dice suriettiva, o sopra se Y = im(f ),
ovvero se per ogni y ∈ Y esiste almeno un x ∈ X tale che y = f (x).
Esempi
La funzione
f : Z −→ Z
x 7→ 2x
è iniettiva, non suriettiva.
La funzione
72
f : Q −→ Q
x 7→ 2x
è iniettiva e suriettiva.
La funzione
f : Q −→ Q
x 7→ x2
non è iniettiva e non è suriettiva, cosı̀ come
f :Rp
−→ R
x 7→ |x|.
La funzione
f : R −→ R
x 7→ x3 − x.
invece non è iniettiva ma è suriettiva.
La corrispondenza definita da x 7→ x1 , o dalla formula y =
una funzione tra Q e Q il cui dominio è Q \ {0}:
1
,
x
definisce
f : Q \ {0} −→ Q
x 7→ x1
è iniettiva e non è suriettiva.
La funzione
f : Q \ {0} −→ Q \ {0}
x 7→ x1
è iniettiva e suriettiva.
Una funzione f : X −→ Y che sia iniettiva e suriettiva si dice biiettiva, o
una biiezione tra X e Y o una corrispondenza biunivoca tra X e Y .
Se X = Y si parla di una biiezione di X in sé.
Esempi
La funzione
f : Q −→ Q
x 7→ 2x
73
è una biiezione di Q in se stesso.
La funzione
f : Z −→ Z
x 7→ 2x
è invece solo una iniezione di Z in sé.
La funzione
f : Q \ {0} −→ Q \ {0}
x 7→ x1
è una biiezione di Q \ {0} in sé..
La funzione che a ogni i < n associa i + 1 e a n associa 0 è una biiezione
di {0, 1, . . . , n} in sé.
Le biiezioni di un insieme finito in sé si chiamano permutazioni dell’insieme.
Il concetto di “funzione” è molto comodo per definire o collegare diversi
altri concetti matematici; abbiamo visto quello di “permutazione”; le sequenze ha0 , . . . , an i di elementi di X si possono definire come funzioni da
{0, 1, . . . , n} in X; le disposizioni di X a n elementi, se X ha più di n elementi, sono le funzioni iniettive da {0, 1, . . . , n} in X; un insieme {ai }i∈I
indiciato da I è l’immagine di una funzione da I nell’insieme cui appartengono gli ai ; un sottoinsieme X ⊆ U è anche uguale a c−1
X (1), dove cX è la
funzione caratteristica di X, cioè la funzione U −→ {0, 1} definita da
½
cX (x) =
1
0
se x ∈ X
se x ∈
6 X,
e cosı̀ via, tutte le nozioni matematiche si possono esprimere in termini insiemistici.
Se per una funzione f : X −→ Y il dominio è un prodotto cartesiano
X = V × W , allora si dice che la f è una funzione di due variabili, o di due
argomenti, e per ogni hv, wi ∈ V × W il valore di f si indica con f (v, w).
Analogamente se il dominio è un prodotto di più di due fattori. Per una
funzione f di n argomenti il valore della funzione per la n-upla hx1 , . . . , xn i
si indica con f (x1 , . . . , xn ).
74
6
Forme normali
Dopo aver imparato le definizioni riguardanti la semantica delle proposizioni,
e alcune prime tecniche per stabilire in particolare se sono tautologie, sia direttamente con il calcolo del valori di verità sia deducendole da altre con
passaggi logici o algebrici booleani, passiamo a porci alcuni problemi metateorici sul linguaggio proposizionale.
6.1
Definibilità dei connettivi
Ad ogni proposizione è associata una tavola di verità, come abbiamo visto
negli esempi di 3.3.1. Viceversa, data una qualunque tavola di verità, come
ad esempio
p
0
0
0
0
1
1
1
1
q
0
0
1
1
0
0
1
1
r
0
1
0
1
0
1
0
1
?
1
1
1
1
0
0
0
0
esiste una proposizione scritta utilizzando soltanto i connettivi ¬, ∧, ∨ che
ha quella data come sua tavola di verità associata.
La proposizione si costruisce nel seguente modo, appoggiandosi come esempio alla tavola di sopra. Sarà una disgiunzione con tanti disgiunti quante
sono nella tavola le righe che hanno il valore 1, quindi A1 ∨ A2 ∨ A3 ∨ A4 ;
ogni disgiunto Ai dovrà essere vero solo per l’interpretazione della riga corrispondente; la riga assegna valori 0,1 alle lettere, quindi 1 a certe lettere e
1 alle negazioni di certe altre lettere; una congiunzione è vera se e solo se
tutti i congiunti sono veri; Ai potrà quindi essere una congiunzione di tante
proposizioni quante sono le colonne di entrata della tavola, nell’esempio 3,
e ciascuna di queste proposizioni sarà una lettera o la negazione di quella
lettera a seconda che nella riga corrispondente la lettera abbia il valore 1
oppure 0. Quindi
(¬p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ r) ∨ (¬p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ q ∧ r).
75
Per le proprietà della valutazione della disgiunzione e congiunzione - che una
disgiunzione è vera se e solo se almeno un disgiunto è vero, e una congiunzione
se e solo se tutti i congiunti sono veri - e della negazione, si può facilmente
vedere procedendo al contrario che la tavola associata a questa proposizione
è uguale alla tavola data, che era la tavola di p ∨ q → ¬p ∧ (q → r). 2
Il risultato si esprime anche dicendo che tutte le funzioni di verità sono
definibili in termini dell’insieme di connettivi {¬, ∧, ∨}, o che questo è un
insieme adeguato di connettivi. Questo significa che non si è perso nulla, !!!
quanto a capacità espressiva, non ammettendo nell’alfabeto altri connettivi,
ad esempio quello per la duplice negazione “né . . . né”; se avessimo introdotto
un connettivo ↑ o nor per questa combinazione di proposizioni, con la tavola
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
A↑B
1
0
0
0
a posteriori potremmo ora sostituire ogni occorrenza della proposizione p ↑ q
con l’equivalente ¬p ∧ ¬q 1 .
Vale la pena di notare esplicitamente cosa significa che un simbolo è defini- !!!
bile (a differenza ad esempio dalla definibilità di un insieme).
Un simbolo di operatore binario • si dice definibile (in termini di altri) se
p • q ↔ A(p, q) oppure p • q = A(p, q), a seconda che p • q sia una formula
oppure un termine, dove A è un’espressione che non contiene • e contiene
solo gli altri simboli o nozioni nei termini dei quali • si dice definito.
S’intende che il bicondizionale o l’uguaglianza devono essere validi nel
contesto in esame: in logica sarà |= p • q ↔ A(p, q), mentre una uguaglianza
p • q = A(p, q) deve essere dimostrata nella relativa teoria, aritmetica o
algebra o altro.
Analogamente se il numero di argomenti è diverso da 2.
Ad esempio in geometria piana per due rette “r//s ↔ r e s non si
intersecano”, in aritmetica “x | y ↔ esiste uno z per cui xz = y”, o il
1
Se c’è una sola riga con valore 1, la proposizione costruita come detto sopra è della
forma A1 , dove A1 è una congiunzione. Si può dire tuttavia che anche in questo caso la
proposizione associata alla tavola è una disgiunzione, pensando che A1 ≡ A1 ∨ A1
76
simbolo di elevamento a quadrato “x2 = x · x”, nell’algebra degli insiemi
“X \ Y = X∩ ∼ Y ”.
Ma il precedente risultato dice anche che gli stessi connettivi del linguaggio proposizionale sono sovrabbondanti, perché {¬, ∧, ∨} è adeguato, e
neanche il più ridotto possibile. Quando un sistema adeguato è minimale,
nel senso che nessun suo sottoinsieme proprio è ancora adeguato, si chiama
una base, in analogia con le basi degli spazi vettoriali (si vedano gli esercizi).
Si ha che p ⊕ q risulta equivalente a (¬p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q), e p → q ≡
(¬p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) ∨ (p ∧ q) e analogamente p ↔ q (esercizio).
Ognuna di queste equivalenze comporta l’eliminabilità del connettivo
definito, cioè che all’interno di una proposizione una sottoproposizione, ad
esempio della forma A → B, può essere rimpiazzata dalla proposizione equivalente (¬A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) ∨ (A ∧ B).
6.1.1
Esercizi
1. Dimostrare che {¬, ∧} e {¬, ∨} sono due basi di connettivi, definendo
la disgiunzione nel primo e la congiunzione nel secondo.
2. Dimostrare che {¬, →} è una base di connettivi.
3. Dimostrare che il connettivo “né . . . né” da solo costituisce una base,
definendo in termini di esso la negazione e la congiunzione.
4. Scrivere la funzione di verità del connettivo ↓ o nand, “non entrambe”,
o “non sia . . . sia”, e dimostrare che costituisce da solo una base di
connettivi.
5. Esaminare tutte le tavole di verità a una entrata, e spiegare perché non
esiste un connettivo per “è necessario che”.
6. Discutere se è possibile ripetere la trattazione di questo paragrafo con
⊕ al posto di ∨ (associare a ogni tavola una proposizione con ¬, ∧, ⊕
che abbia quella data come sua tavola di verità). L’insieme {¬, ∧, ⊕}
è adeguato? E {¬, ⊕}? E {⊕, ∧}?
6.2
Forme normali disgiuntive
La proposizione costruita a partire da una tavola di verità nel modo sopra
descritto ha una forma particolare. Si chiami letterale una proposizione che
77
sia o una lettera p, letterale positivo, o la negazione di una lettera ¬p, letterale
negativo.
La proposizione associata alla tavola ha dunque la forma di una disgiunzione di congiunzioni di letterali. Una tale forma di chiama forma normale
disgiuntiva. Poiché è evidente che
Osservazione 6.2.1 Per ogni A e B che contengano le stesse lettere,
A ≡ B se e solo se A e B hanno la stessa tavola di verità
si può concludere che
Teorema 6.2.1 Per ogni proposizione A esiste una proposizione con le stesse
lettere che è in forma normale disgiuntiva ed è logicamente equivalente ad A.
Dimostrazione. Come nell’esempio di sopra, data A si calcoli la sua tavola,
quindi si costruisca la proposizione in forma normale disgiuntiva associata
alla tavola.
Nel caso che la tavola di A non abbia alcun 1 nella colonna dei valori,
quindi che A sia una contraddizione, la proposizione equivalente in forma
normale disgiuntiva si può scrivere nella forma (¬p ∧ p) ∨ . . . ∨ (¬q ∧ q) come
disgiunzione di contraddizioni elementari, una per ogni lettera di A. 2
Anche una proposizione come ¬p ∨ q è in forma normale disgiuntiva,
perchè il concetto di congiunzione e disgiunzione è usato ovviamente in senso
generalizzato, ammettendo due o più componenti, o anche una sola2 . Le
proposizioni in forma normale disgiuntiva associate a tavole di proposizioni
non contraddittorie hanno l’ulteriore proprietà che in ogni disgiunto compaiono le stesse lettere, e che in ogni congiunzione ogni lettera compare una
sola volta, o positiva o negata3 . Qualche volta si usa l’aggettivo ulteriore
regolare per indicare questa caratteristica delle forme normali. Una proposizione in forma normale disgiuntiva regolare permette di leggere direttamente i modelli della proposizioni, uno per ogni disgiunto:
(¬p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q)
2
3
Vedi anche la nota 1 del paragrafo.
Questa disgiunzione nel testo è esclusiva.
78
ha due modelli, i1 (p) = 0 e i1 (q) = 1, e i2 (p) = 1 e i2 (q) = 0.
Tale possibilità di lettura sussiste peraltro anche per le forme normali
disgiuntive non regolari, considerando però le interpretazioni come definite
in modo arbitrario sulle lettere che non occorrono in alcuni disgiunti:
(¬p ∧ q) ∨ p
ha tre modelli: da ¬p ∧ q viene i1 (p) = 0 e i1 (q) = 1, e da p viene i(p) = 1,
che però ne riassume due: i2 (p) = 1 e i2 (q) = 1, e i3 (p) = 1 e i3 (q) = 0.
Qualche volta, sempre per le forme non regolari, disgiunti diversi hanno
modelli in comune; e ovviamente se in una congiunzione occorre sia una
lettera sia la sua negazione quella congiunzione non ha modelli.
6.3
Forme normali congiuntive
Un altro modo di associare a una tavola una proposizione scritta solo con
i connettivi ¬, ∧ e ∨ è il seguente, dove sono scambiati i ruoli di 0 e 1 e
di congiunzione e disgiunzione: si cerca ora una proposizione che sia falsa
esattamente nei casi prescritti dalla tavola data. In riferimento allo stesso
esempio di prima, la proposizione deve essere falsa solo ed esattamente in
corrispondenza alle ultime quattro righe della tavola, sarà perciò una congiunzione A5 ∧ A6 ∧ A7 ∧ A8 , e ogni Ai sarà la disgiunzione di tre letterali,
ogni letterale positivo o negativo a seconda che nella riga in questione la !!!
lettera abbia il valore 0 oppure 1. Quindi:
(¬p ∨ q ∨ r) ∧ (¬p ∨ q ∨ ¬r) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ ¬r).
Per confermare che questa proposizione ha la tavola data come sua tavola di
verità occorre questa volta ricordare che una congiunzione è falsa se e solo
se una delle proposizioni congiunte è falsa, e che una disgiunzione è falsa se
e solo se tutte le proposizioni disgiunte sono false.
Una proposizione che sia una congiunzione di disgiunzioni di letterali si
dice in forma normale congiuntiva.
Esempio La forma normale congiuntiva di p → q, applicando il procedimento descritto, è ¬p ∨ q, che è forma congiuntiva, se si considera, come si
considera, la congiunzione in senso generalizzato; ¬p ∨ q è dunque in forma
sia congiuntiva sia disgiuntiva.
Come sopra, risolvendo a parte anche il caso in cui nella tavola non ci
siano 0, si ha:
79
Teorema 6.3.1 Per ogni proposizione A esiste una proposizione con le stesse
lettere che è in forma normale congiuntiva ed è equivalente ad A.
Le forme normali, non necessariamente regolari, sono convenienti per verificare in modo efficiente (alla sola scansione e ispezione della lista) la validità !!!
logica o l’insoddisfacibilità, ma ciascuna forma è adeguata solo per una delle
due proprietà.
Teorema 6.3.2 Una proposizione in forma normale congiuntiva è una tautologia se e solo se in ogni sua clausola c’è una lettera che occorre sia positiva
sia negata.
Una proposizione in forma normale disgiuntiva è insoddisfacibile se e solo
se in ogni suo disgiunto c’è una lettera che occorre sia positiva sia negata.
Dimostrazione. Per le forme congiuntive, una clausola in cui occorra una
lettera e la negazione della stessa lettera è una tautologia, e una congiunzione
è una tautologia se e solo se lo sono le sue componenti. Una clausola in cui
non si verifichi la presenza di una lettera e della sua negazione può assumere
il valore 1 se a tutti i letterali si assegna il valore 1 interpretando a 1 le lettere
dei letterali positivi e a 0 le lettere dei letterali negativi.
Un ragionamento analogo vale per le forme disgiuntive. 2
Si noti che due proposizioni equivalenti non debbono necessariamente
avere le stesse lettere, ad esempio q ∧ (¬p ∨ p) è equivalente a q, e ¬p ∨
p è equivalente a q → q (sono tutt’e due tautologie); quando si controlla
che per ogni interpretazione le due proposizioni hanno lo stesso valore si
considerano interpretazioni definite sull’insieme più ampio di lettere, ma si
possono trascurare in una proposizione i valori delle lettere non occorrenti.
Le proposizioni in forma normale che si ottengono da una tavola non sono
sempre le più semplici possibili. Se ad esempio il criterio che interessa è quello
della lunghezza, la forma ¬p ∨ q, è preferibile alla forma normale disgiuntiva
regolare che si ottiene dalla tavola del condizionale. A ¬p ∨ q si può passare
dalla forma normale disgiuntiva regolare (¬p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) ∨ (p ∧ q) con i
seguenti passaggi:
(¬p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) ∨ (p ∧ q)
(¬p ∧ (¬q ∨ q)) ∨ (p ∧ q)
¬p ∨ (p ∧ q)
(¬p ∨ p) ∧ (¬p ∨ q)
¬p ∨ q
80
applicando le leggi distributive e la semplificazione delle tautologie (si noti
che la seconda proposizione non è in forma normale).
Come mostra l’esempio, esistono quindi diverse forme normali disgiuntive
(e lo stesso per le congiuntive) equivalenti a una data proposizione; si parlerà
perciò solo impropriamente della forma normale disgiuntiva (o congiuntiva)
di una proposizione A, ma si userà ugualmente tale dizione, intendendola a
meno di equivalenza logica; si chiamerà in tal modo una qualunque forma
normale disgiuntiva (o congiuntiva) che sia equivalente ad A4 , e si potrà
anche scrivere, se conveniente, dnf(A) (rispettivamente cnf(A)).
Il risultato generale che ogni proposizione è equivalente a una proposizione in forma normale disgiuntiva o congiuntiva si può ottenere anche applicando un algoritmo forma normale di trasformazioni successive come
nell’esempio di sopra per il condizionale.
Il procedimento è il seguente:
• eliminare ⊕, ↔ e →
• spostare ¬ verso l’interno con le leggi di De Morgan
• cancellare le doppie negazioni, con la legge della doppia negazione
• cancellare le ripetizioni, con le leggi di idempotenza
• applicare ripetutamente le leggi distributive.
L’ultima indicazione può sembrare vaga, ma si può rendere più precisa e
deterministica. Con i passi precedenti si è ottenuta una proposizione equivalente che è formata a partire da letterali con applicazioni ripetute di ∧
e ∨, anche se non necessariamente nell’ordine che produce una forma normale. Supponiamo di volerla trasformare in forma normale congiuntiva (per
la forma normale disgiuntiva il procedimento è lo stesso con scambiati i ruoli
di ∧ e ∨).
Consideriamo il connettivo principale della proposizione; se è ∧, passiamo
alle due sottoproposizioni immediate trasformandole separatamente con il
procedimento sotto descritto5 e facendo alla fine la congiunzione delle due
4
Non necessariamente con le stesse lettere, come mostra l’esempio delle due forme
normali disgiuntive p ∨ (q ∧ ¬q) ≡ p.
5
L’algoritmo che stiamo presentando è ricorsivo - si veda il paragrafo 15.
81
forme congiuntive cosı̀ ottenute; se è ∨, e la proposizione è della forma A ∨ B,
è necessaria qualche preparazione.
Se in A non occorresse per nulla ∧, potremmo lavorare su B come detto
sotto, dopo aver fatto, per la precisione, lo scambio con B ∨ A. Possiamo
allora supporre che A sia della forma C ∧ D, perché se A a sua volta fosse
una disgiunzione C ∨ D, potremmo considerare al suo posto l’equivalente
C ∨ (D ∨ B) e andare a cercare ∧ in C, oppure in D dopo aver fatto lo
scambio con l’equivalente D ∨ (C ∨ B).
La proposizione data si trasforma allora nella equivalente (C ∨B)∧(D∨B)
e possiamo applicare ricorsivamente il procedimento alle due proposizioni più
corte C ∨ B e D ∨ B. Quando procedendo in questo modo si è eliminato il
connettivo ∧ a sinistra di B, si passa a lavorare nello stesso modo su B.
Esempio Da
(p → q) → (r ∨ ¬p)
¬(p → q) ∨ (r ∨ ¬p)
¬(¬p ∨ q) ∨ (r ∨ ¬p)
(¬¬p ∧ ¬q) ∨ (r ∨ ¬p)
(p ∧ ¬q) ∨ (r ∨ ¬p),
che è in forma normale disgiuntiva
(p ∧ ¬q) ∨ r ∨ ¬p
con due disgiunti unitari r e ¬p. Se invece si vuole la forma normale congiuntiva, si continua con
(p ∨ (r ∨ ¬p)) ∧ (¬q ∨ (r ∨ ¬p))
(p ∨ r ∨ ¬p) ∧ (¬q ∨ r ∨ ¬p)
che è in forma normale congiuntiva.
Esempio Trasformare la forma normale disgiuntiva (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)
in forma normale congiuntiva:
(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)
(p ∨ (¬p ∧ q)) ∧ (¬q ∨ (¬p ∧ q)).
Il primo congiunto si trasforma in
(p ∨ ¬p) ∧ (p ∨ q),
82
il secondo in
(¬q ∨ ¬p) ∧ (¬q ∨ q),
quindi la proposizione in
(p ∨ ¬p) ∧ (p ∨ q) ∧ (¬q ∨ ¬p) ∧ (¬q ∨ q),
da cui si possono ancora eliminare le tautologie, ottenendo
(p ∨ q) ∧ (¬q ∨ ¬p).
.
Non è detto che questo procedimento, che ha il merito di far vedere
la terminazione del compito, se lo si segue come filo d’Arianna, sia sempre il più efficiente; può essere utilmente integrato con l’applicazione in
itinere dell’eliminazione delle ripetizioni, e con l’eliminazione delle tautologie dalle congiunzioni, e della contraddizioni dalle disgiunzioni, ogni volta
che sia possibile; sono utili le leggi di assorbimento ed equivalenze come !!!
¬(A → B) ≡ A ∧ ¬B; oppure ci sono scorciatoie come quando, volendo mirare a una forma congiuntiva, si incontra una sottoproposizione della forma
(A ∧ B) ∨ (C ∧ B) che conviene rimpiazzare direttamente con (A ∨ C) ∧ B.
Le forme normali disgiuntive e congiuntive si trovano ai poli estremi di
uno spettro su cui si immagini di collocare le proposizioni misurando la loro
distanza con il numero di applicazioni delle proprietà distributive necessarie
per passare dall’una all’altra. Se si pensasse di decidere se una proposizione
in forma normale disgiuntiva è una tautologia applicando il teorema 6.3.2,
dovendola prima trasformare in forma congiuntiva, si affronterebbe un compito non inferiore come complessità a quello di costruire la tavola di verità
completa (e forse più rischioso, se fatto a mano).
6.4
Esercizi
1. Scrivere la forma normale congiuntiva e disgiuntiva, usando le tavole
di verità, delle seguenti proposizioni:
(p ∨ q → r) ∧ ¬p ∧ ¬r
¬p → ¬(q → p)
(¬(p → q) ∨ ¬q) → p.
83
2. Per le proposizioni del precedente esercizio, trasformare la forma normale disgiuntiva in quella congiuntiva e viceversa con l’algoritmo forma
normale.
3. Scrivere la forma normale disgiuntiva e congiuntiva, usando l’algoritmo
forma normale, delle seguenti proposizioni:
(p ∨ q) → ¬(p → (q → r))
(p ∨ q) → ¬(p ∧ (q → r))
p → (¬q ∨ p → (r → p))
p ⊕ (¬p ⊕ q) → q.
4. Trasformare le leggi logiche del paragrafo 3.3.3 in forma normale congiuntiva e disgiuntiva.
5. Osservare che la tavola della proposizione p ∨ q → ¬p ∧ (q → r) di 3.3.1
è uguale a quella di ¬p (se questa è estesa a una tavola a tre entrate
p, q, r indipendente da q e r) e trasformare in ¬p la sua forma normale
disgiuntiva ottenuta dalla tavola.
6. Scrivere ¬p ∨ q → ¬p ∧ q in forma normale disgiuntiva e leggerne i
modelli.
7. Verificare, ai fini dell’applicazione delle trasformazioni con le leggi distributive, che è
(A ∨ B) ∧ (C ∨ D) ≡ (A ∧ C) ∨ (A ∧ D) ∨ (B ∧ C) ∨ (B ∧ D)
e analogamente
(A ∧ B) ∨ (C ∧ D) ≡ (A ∨ C) ∧ (A ∨ D) ∧ (B ∨ C) ∧ (B ∨ D).
8. Verificare come si trasforma, applicando le leggi di De Morgan, la
negazione di una forma normale congiuntiva (rispettivamente disgiuntiva) in una forma normale disgiuntiva (rispettivamente congiuntiva).
9. Spiegare, utilizzando le leggi di De Morgan e la legge della doppia
negazione, perché cnf(A) ≡ ¬dnf(¬A) e dnf(A) ≡ ¬cnf(¬A).
L’osservazione fornisce un altro modo per ottenere la forma normale
disgiuntiva, o congiuntiva, di una proposizione. Se si vuole ad esempio
la forma normale disgiuntiva di A, si può provare a vedere se non sia
84
relativamente facile ottenere cnf(¬A); ottenuta questa, la si nega e
si applica De Morgan; spesso si evita cosı̀ l’applicazione ripetuta delle
leggi distributive.
Errore frequente: lo studente ha trovato dnf(A) e per ottenere cnf(A) !!!
nega dnf(A) e applica De Morgan, ricordando malamente l’esercizio 8,
perché ottiene sı̀ una forma congiuntiva, ma quella della negazione:
cnf(¬A). È forse il residuo dell’idea di premettere due negazioni, usandone una per trasformare dnf in cnf con De Morgan: ¬¬dnf(A),
¬(¬dnf(A)), ¬cnf(¬A). Di quella esterna però ci si dimentica - se si
tenesse conto dell’altra negazione, una nuova applicazione di De Morgan riporterebbe a dnf(A). Due negazioni consecutive non possono
creare nulla di nuovo.
10. In riferimento alle osservazioni del precedente esercizio, trovare la forma
normale disgiuntiva e congiuntiva e confrontare i diversi modi per ottenerle, per le proposizioni
(p → q) → (r → ¬p)
p ∨ q → ¬p ∨ q
p ∨ (q ∧ r) → (¬r → p).
85
7
Dimostrazioni
Esaminiamo ora alcune semplici dimostrazioni per mettere in luce quali leggi
logiche vengano utilizzate nei vari passaggi - e vedremom che tutte vengono
usate, quelle chiamate notevoli - approfittandone per fare una rassegna (incompleta) delle diverse tipologie di argomentazione.
Lo scopo di questa trattazione non è quello di invitare a presentare sempre
le dimostrazioni con una pignola insistenza sui dettagli, quanto di insegnare
ad esporle (a sé e agli altri) attraverso un discorso chiaro e comprensibile;
quando si deve eseguire un passaggio logico, invece che un calcolo algebrico,
si incontrano spesso difficoltà di espressione, perché si ha a che fare con
una materia impalpabile, il linguaggio allo stato puro nelle sue articolazioni
sintattiche che sono indipendenti dall’argomento concreto in oggetto; ci si
accorge tuttavia con l’esperienza che la formulazione corretta e necessaria è
già disponibile per cosı̀ dire in una forma standard - e che non sono molti i tipi
di passaggi logici, al contrario sono quasi sempre gli stessi pochi ricorrenti.
Non è che nell’esposizione informale si saltino dei passaggi, come talvolta
si sente dire, è che si usano spesso forme linguistiche compatte, non familiari
a chi non è fluente nel parlare, ma tali forme sono valide, derivate da quelle
più semplici, e bisogna imparare ad usarle con disinvoltura dopo averne colto
la portata sezionandole su semplici esempi.
7.1
Dimostrazioni dirette
Un primo stile, in senso lato, molto frequente, di dimostrazione si chiama
dimostrazione diretta, ed è esemplificata dal seguente caso.
Consideriamo il teorema che (afferma che) se due numeri sono divisibili
per 3, anche la loro somma è divisibile per 3.
Il primo passo di formalizzazione consiste nell’indicare due numeri con n
ed m, e nello scrivere l’ipotesi
Ip. n è divisibile per 3 e m è divisibile per 3
o con un ulteriore passo di formalizzazione
Ip. 3|n e 3|m.
Un secondo passo consiste nell’espandere la definizione dei concetti in
gioco - definizione che ha accompagnato l’introduzione dei simboli; in questo
86
caso quello di divisibilità:
Def. 3|n se e solo se n = 3i per qualche i
e analogamente:
Def. 3|m se e solo se m = 3j per qualche j.
Il passo successivo sfrutta l’equivalenza delle definizioni per riformulare
l’ipotesi in1
Ip. n = 3i ∧ m = 3j.
Usiamo ora una legge che non è propriamente una legge logica dei tipo di
quelle che abbiamo finora considerato, ma è una legge dell’uguaglianza che
consideriamo universalmente vera in ogni universo (derivabile da quelle già
ricordate nel paragrafo 4.2).
2. n = 3i ∧ m = 3j → n + m = 3i + 3j.
Da 1 e da 2, con un’applicazione del modus ponens
3. n + m = 3i + 3j.
Di qui, si passa a n + m = 3(i + j), con una manipolazione algebrica diretta
delle uguaglianze. In verità questo passaggio suppone il riferimento ad un
fatto noto, valido nell’universo aritmetico che stiamo considerando, vale a
dire la proprietà distributiva:
4. n + m = 3i + 3j → n + m = 3(i + j);
è una nuova applicazione del modus ponens a 3 e 4 che fornisce
5. n + m = 3(i + j).
Dalla 5 si arriva alla conclusione voluta ripristinando le definizioni, per
mezzo di equivalenze, vale a dire scrivendo che, siccome n + m = 3k per
qualche2 k, in particolare per k = i + j, allora 3|(n + m), come si doveva
concludere.2
1
La scomparsa di “per qualche i” e di “per qualche j”, e la ricomparsa più avanti,
rientra nella manipolazione delle variabili, di cui si parlerà nella seconda parte del corso:
m, n, i, j sono variabili.
2
Vedi nota precedente.
87
Un’altra possibilità sarebbe stata quella di inserire, dopo
2. n = 3i ∧ m = 3j → n + m = 3i + 3j,
subito
4. n + m = 3i + 3j → n + m = 3(i + j)
e quindi, con un’applicazione della transitività del condizionale, da 2 e 4
6. n = 3i ∧ m = 3j → n + m = 3(i + j)
e la stessa conclusione di prima con il modus ponens da 1 e 6.2
Questo tipo di dimostrazione si chiama diretto, o in avanti , perché procede da proposizioni a proposizioni da esse implicate con l’uso sostanzialmente delle leggi logiche del modus ponens
p ∧ (p → q) → q
e della transitività del condizionale, o sillogismo ipotetico
(p → q) ∧ (q → r) → (p → r),
o meglio delle regole associate. Quella del sillogismo ipotetico è
p → q, q → r
.
p→r
Anche la legge della distributività del condizionale
(p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r)),
che incontreremo in seguito in altri esempi, si può considerare nella stessa
categoria delle regole “in avanti”.
Si noti, anche se non entriamo in dettagli sulle proprietà dell’uguaglianza,
che tutte le manipolazioni algebriche usuali, le sostituzioni, coinvolgono di
fatto appelli al modus ponens applicato a leggi dell’uguaglianza come nella 4
di sopra.
In verità non abbiamo neanche segnalato tutti i punti in cui i passaggi
erano di tipo logico, e non aritmetico o riguardanti l’uguaglianza. Ad esempio la prima trasformazione dell’ipotesi “3|n e 3|m” avviene lavorando
88
separatamente sulle due affermazioni. Questo significa che da 3|n ∧ 3|m
si passa prima a 3|n con una mossa che è giustificata dalla legge logica
dell’eliminazione di ∧. Quindi da 3|n ↔ n = 3i e da 3|m ↔ m = 3j si
passa a 3|n ∧ 3|m ↔ n = 3i ∧ m = 3j con leggi del bicondizionale che si
verificano facilmente e che dovrebbero essere interiorizzate.
A questo scopo, si usa in particolare la legge della introduzione di ∧
nel conseguente, o distributività di → su ∧, oppure una legge derivata che
afferma che
(p → q) ∧ (r → s) → (p ∧ r → q ∧ s)
(esercizio).
Vale anche (esercizio):
(p → q) ∧ (r → s) → (p ∨ r → q ∨ s).
Un’altra regola che si può far rientrare nei procedimenti in avanti è quella
della affermazione del conseguente, che da p permette di dedurre q → p
qualunque sia q. Questa mossa merita un commento perché in sé sembrerebbe
un indebolimento ozioso di p. La sua funzione è quella di portare sotto
l’azione di ipotesi o fatti già stabiliti risultati che in verità non ne dipendono, !!!
ma che devono essere combinati con altri che ne dipendono.
Ad esempio si consideri la dimostrazione che se n è dispari allora anche
2
n è dispari. Se n = 2k + 1, allora si può fare appello a un prodotto notevole
per affermare
(2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1,
ma quindi, per l’affermazione del conseguente
n = 2k + 1 → (2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1.
Questa implicazione serve perché insieme a
n = 2k + 1 → n2 = (2k + 1)2
permette di dedurre, con l’introduzione di ∧ nel conseguente
n = 2k + 1 → n2 = (2k + 1)2 ∧ (2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1
e per la transitività dell’uguaglianza,
89
n = 2k + 1 → n2 = 4k 2 + 4k + 1,
da cui segue poi n = 2k + 1 → n2 = 2h + 1, dispari, con h = 2k 2 + 2k.2
L’ultima cruciale implicazione si sarebbe anche potuta ottenere in un
altro modo; con una legge di sostitutività dell’uguaglianza:
n = 2k + 1 → ((2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1 → n2 = 4k 2 + 4k + 1),
quindi, per la distributività si →
(n = 2k + 1 → (2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1) → (n = 2k + 1 → n2 = 4k 2 + 4k + 1),
e infine la conclusione voluta con il modus ponens dalla stessa implicazione
di prima (n = 2k + 1 → (2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1).2
L’affermazione del conseguente si sarebbe comunque potuta evitare del
tutto, qui e in geenrale con lo stesso trucco: dal caso particolare della sostitutività dell’uguaglianza di sopra, si sarebbe potuto scrivere
(2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1 → (n = 2k + 1 → n2 = 4k 2 + 4k + 1)
con la legge dello scambio degli antecedenti, e quindi applicare il modus
ponens con (2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1.2
7.2
Distinzione di casi
Consideriamo ora il teorema che di tre numeri interi consecutivi uno almeno
è divisibile per 3. Per rappresentare tre generici numeri interi consecutivi supponiamoli positivi - una possibilità è quella di indicarli con n, n + 1 e
n + 2. L’enunciato del teorema allora diventa: o 3|n o 3|(n + 1) o 3|(n + 2).
L’usuale dimostrazione si basa sulle proprietà della divisione e del resto,
che è minore del divisore, quindi in questo caso uguale a 0, 1 o 2. Non
abbiamo nessuna ipotesi esplicita del teorema relativamente al dato che è n,
ma abbiamo che per ogni n, grazie al teorema fondamentale della divisione:
1. n = 3q + r con r < 3
per qualche q ed r.
Di qui per semplici fatti aritmetici si può affermare3
3
Non stiamo più a segnalare i punti in cui si procede in modo diretto; ad ogni modo,
in questo caso n = 3q + r con r < 3 significa n = 3q + r ∧ r < 3 cioè n = 3q + r ∧ (r =
0 ∨ r = 1 ∨ r = 2) e per la distributività segue la formula di sopra.
90
2. n = 3q o n = 3q + 1 o n = 3q + 2.
Ci sono ora tre possibilità: se r = 0, cioè n = 3q, allora siamo a posto
(cosı̀ si dice). Ma cosa significa questo rispetto all’enunciato del teorema? Il
teorema è implicato da n = 3q, ovvero da 3|n, perché
3|n → 3|n ∨ 3|(n + 1) ∨ 3|(n + 2)
per la legge logica di introduzione della disgiunzione. Abbiamo dunque
3. n = 3q → 3|n ∨ 3|(n + 1) ∨ 3|(n + 2).
Se invece n = 3q + 1 allora n + 2 = 3q + 3 = 3(q + 1); quindi nell’universo
aritmetico n = 3q + 1 → 3|(n + 2) e quindi di nuovo per l’introduzione di ∨
4. n = 3q + 1 → 3|n ∨ 3|(n + 1) ∨ 3|(n + 2).
Analogamente si ottiene
5. n = 3q + 2 → 3|n ∨ 3|(n + 1) ∨ 3|(n + 2).
Ora per la legge logica della distinzione di casi, da 3, 4 e 5 si deduce che la
disgiunzione dei rispettivi antecedenti implica la stessa conclusione, che non
è altro che l’enunciato del teorema; ma tale disgiunzione degli antecedenti è
la 2, per cui per modus ponens si ha la conclusione4 .2
Altre applicazioni della distinzione di casi si sono viste nelle dimostrazioni
relative all’algebra degli insiemi. Ricordiamo quella per:
se Y ⊆ X e Z ⊆ X allora Y ∪ Z ⊆ X.
Se x ∈ Y ∪ Z allora per definizione x ∈ Y ∨ x ∈ Z; se x ∈ Y allora per
Y ⊆ X vale x ∈ X e se x ∈ Z allora per Z ⊆ X vale pure x ∈ X. 2
Altre situazioni in cui si fa naturalmente ricorso alla distinzione di casi
sono quelle in cui per un’affermazione universale sui naturali si distinguono
il caso pari e il caso dispari; oppure quando in un’affermazione universale
numerica si distingue il caso positivo dal caso negativo e dal caso nullo.
4
Naturalmente le due circostanze che si verificano in questo esempio, che l’enunciato del
teorema è una disgiunzione, per cui a un certo punto interviene la legge della introduzione
del ∨, e che la dimostrazione si fa per casi, quindi con una disgiunzione degli antecedenti,
perché anche l’ipotesi è una disgiunzione, non hanno nessuna relazione tra loro.
91
Ad esempio, per dimostrare che ogni numero reale non negativo ha una
radice quadrata si parte esplicitando il dato, un generico numero non negativo, scrivendo 0 ≤ x, quindi, per la relazione tra < e ≤, x = 0 ∨ x > 0.
I due casi si trattano in modo molto diverso; se x = 0 basta osservare che
0 è una radice di 0, e quindi questa esiste; se x > 0 occorre la descrizione di
un processo che genera il numero che è la radice di x, che comunque esiste
anche in questo caso; alla fine si applica tacitamente la distinzione di casi.2
Esercizio. Dimostrare e dire quali leggi logiche sono implicite nella dimostrazione del fatto che per ogni numero naturale n, n2 + n è pari.
Un caso particolare della distinzione dei casi si ha quando i due casi sono
del tipo p e ¬p, e sono introdotti come artificio ad hoc, e allora apparentemente si riesce a dimostrare un risultato che non dipende da ipotesi specifiche:
da p → A e ¬p → A e p ∨ ¬p → A segue A con il terzo eslcuso.
Supponiamo ad esempio di voler far vedere che ogni numero reale è minore
o uguale al suo valore assoluto; è da dimostrare
x ≤ |x|,
senza alcuna ipotesi su x, salvo che si tratta di un numero reale (fatto che
permette di richiamare tacitamente tutte le proprietà dei numeri reali). Ma
noi introduciamo l’alternativa
x < 0 ∨ x 6< 0,
come legge logica del tertium non datur , che si trasforma agevolmente (per
le proprietà di <, vedi oltre) in
x < 0 ∨ x ≥ 0.
Ora se x ≥ 0 allora x = |x|, quindi x ≤ |x|; se x < 0 ≤ |x|, allora x < |x|,
quindi x ≤ |x|.2
Esercizio. Dimostrare che per ogni numero reale x, |x| ≥ −x.
A volte sembra che si usi la distinzione di casi ma non è cosı̀, o meglio,
è anche cosı̀ ma c’è una spiegazione più breve. Ad esempio, consideriamo
l’argomento con cui si dimostra che per p primo, se p|(nm) allora p|n oppure
p|m.
La dimostrazione di solito inizia nel seguente modo: mostriamo che se p6 |n
allora p|m. (L’argomento matematico poi può continuare con un appello alla
92
fattorizzazione dei numeri naturali: data la scomposizione di nm in fattori
primi, tra essi compare p, ma raccogliendo quelli di n, p resta tra gli altri,
cioè tra quelli di m.)
Se richiesto di un chiarimento sull’impostazione della partenza, chi parla
probabilmente spiega: se p|n siamo a posto, se p6 |n allora . . . , con un’implicito
appello alla distinzione di casi.
Ma la spiegazione più semplice è che q ∨ r è equivalente a ¬q → r,
quindi p|(nm) → p|n ∨ p|m è equivalente a p|(nm) → (p 6 | n → p|m), e si
sta procedendo in modo diretto (e non c’è bisogno di dire “se p|n siamo a
posto”).
7.3
Sillogismo disgiuntivo
Mettiamo ora ordine nella trattazione delle relazioni d’ordine negli usuali sistemi numerici, di cui abbiamo già usato alcune proprietà familiari
dall’esperienza scolastica. La relazione d’ordine può essere introdotta in due
modi diversi, a seconda che si privilegi la relazione di ordine stretto oppure
quella attenuata. O si introduce prima5 ≤, e quindi si definisce < con
x < y ↔ x ≤ y ∧ x 6= y
oppure si introduce prima < e si definisce ≤ con
x ≤ y ↔ x < y ∨ x = y.
Nel primo caso per la relazione ≤ si hanno a disposizione le leggi
x≤x
rif lessiva
x≤y∧y ≤z →x≤z
transitiva
x ≤ y ∧ y ≤ x → x = y antisimmetrica
x≤y∨y ≤x
ordine totale
e si dimostrano le proprietà
x 6< x
antirif lessiva
x < y → y 6< x
antisimmetrica
x<y∧y <z →x<z
transitiva
x<y∨x=y∨y <x
ordine totale
5
Non stiamo a dire come si definisce, ché non è rilevante, e d’altra parte si procede in
modo diverso nelle diverse situazioni; ad esempio tra i naturali si usa definire x ≤ y se
esiste un z tale che x + z = y; in altri casi si definiscono prima i numeri positivi, e poi
x < y se y − x è positivo.
93
nel secondo caso il viceversa.
Diverse leggi logiche intervengono in queste dimostrazioni. Ad esempio
per dimostrare la proprietà riflessiva di ≤, a partire dalle proprietà di <, si
nota che
x = x → x = x ∨ x < x,
per la legge dell’introduzione di ∨ a partire dalla legge logica dell’identità
x = x → x = x e quindi si ottiene la conclusione con il modus ponens da
x = x che si assume sempre valida per l’uguaglianza. In questa dimostrazione
quindi non intervengono proprietà di <.2
Per dimostrare la proprietà dell’ordine totale per ≤, a partire dalle proprietà di <, si dimostra, sfruttando la mutua definibilità dei connettivi
l’equivalente
x 6≤ y → y ≤ x.
A tal fine si osserva che x 6≤ y è equivalente, per la definizione di ≤, a
x 6< y ∧ x 6= y,
per una delle leggi di De Morgan. Ma con la proprietà di ordine totale di <
e due applicazioni del sillogismo disgiuntivo (precedute da un’eliminazione
di ∧) x 6< y e x 6= y forniscono y < x che con l’introduzione del ∨ diventa
y ≤ x:
x 6< y ∧ x 6= y
x 6< y
x 6= y
x<y∨x=y∨y <x
x=y∨y <x
y<x
y < x ∨ x = y.2
Esercizio. Completare le dimostrazioni delle proprietà di ≤ a partire da
quelle di < e viceversa, cercando di non perdere la bussola.
Nella dimostrazione di x ≤ |x| del precedente paragrafo siamo partiti da
x < 0 ∨ ¬(x < 0) e abbiamo rimpiazzato x 6< 0 con x ≥ 0, appellandoci a
proprietà di <, arrivando a x < 0 ∨ x ≥ 0. Ma quest’ultima formula, scritta
94
come x < 0 ∨ x = 0 ∨ x > 0, è la proprietà di ordine totale di <, e non
ci sarebbe stato bisogno di derivarla facendo appello al tertium non datur e
alla distinzione di casi, come abbiamo fatto prima.
Il fatto è che la proprietà di ordine totale di < equivale proprio a ripartire
il dominio in tre insiemi disgiunti. Quando si ha il dominio ripartito in n
insiemi disgiunti si possono seguire due vie equivalenti e difficilmente distinguibili. Si può usare la distinzione di casi (generalizzata a n), oppure si può
usare ripetutamente il terzo escluso e il sillogismo disgiuntivo.
Un altro esempio che abbiamo visto di uso del sillogismo disgiuntivo è la
dimostrazione della legge booleana
21
X ∪∅=X
Dimostrazione X ⊆ X ∪ ∅ segue da un’altra legge già vista, la 25;
viceversa, se x ∈ X ∪ ∅ allora x ∈ X ∨ x ∈ ∅; ma x 6∈ ∅, quindi x ∈ X.
Il sillogismo disgiuntivo non è altro che una diversa formulazione del
modus ponens, che tuttavia ha una sua giusta autonoma formulazione per i
casi come quello dell’ultimo esempio, in cui interviene in modo naturale una
disgiunzione e la negazione di un disgiunto; altrimenti bisognerebbe artificialmente sostituire la disgiunzione con il condizionale (x 6∈ ∅ → x ∈ X per
x ∈ X ∨ x ∈ ∅) per applicare il modus ponens.
Qualche volta invece la sostituzione di una disgiunzione con il condizionale
non è innaturale, ma al contrario più elegante, come abbiamo visto nel caso
di p|(nm) → p|n ∨ p|m.
7.4
Contrapposizione e Modus tollens
La legge logica di contrapposizione
(p → q) ↔ (¬q → ¬p)
è spesso usata quando si deve dimostrare un condizionale.
Ad esempio per dimostrare
P ∪ Q = ∼ (∼ P ∩ ∼ Q)
si considera il bicondizionale
x ∈ P ∪ Q ↔ x ∈ ∼ (∼ P ∩ ∼ Q)
95
e prima si assume x ∈ P ∪ Q derivando x ∈ ∼ (∼ P ∩ ∼ Q) (esercizio; si noti
l’applicazione della distinzione di casi), quindi per l’implicazione inversa si
assume x 6∈ P ∪ Q e si deriva x ∈∼ P ∩ ∼ Q, dimostrando cosı̀ di fatto
x ∈ P ∪ Q ← x ∈ ∼ (∼ P ∩ ∼ Q)
attraverso
x 6∈ P ∪ Q → x ∈ ∼ P ∩ ∼ Q,
come richiesto.2
La legge di contrapposizione giustifica anche la regola del modus tollens
che si schematizza con
p → q, ¬q
¬p
che si può vedere come un modus ponens applicato al condizionale ¬q → ¬p,
equivalente a p → q, e che ha le applicazioni più varie.
Un esempio dovuto a Lewis Carroll è il seguente argomento:
a) I bambini sono illogici.
b) Le persone che sanno come trattare i coccodrilli non sono disprezzate.
c) Le persone illogiche sono disprezzate.
d) Perciò i bambini non sanno trattare i coccodrilli.
L’argomento è valido in quanto la conclusione d) segue dalle premesse con
questi passaggi: da b) e c) per modus tollens si ha che le persone illogiche
non sanno come trattare i coccodrilli; quindi la conclusione segue da questo
e da a) per transitività.
7.5
Dimostrazioni per assurdo
La contrapposizione è collegata alla dimostrazione per assurdo, di cui ci sono
diverse varianti.
La più comune è quella in cui partendo dall’assunzione p si arriva ad
una contraddizione, e quindi si conclude ¬p, secondo la legge di riduzione
all’assurdo.
Un esempio, dove la riduzione all’assurdo interviene come parte finale
della dimostrazione, dopo altri argomenti, che includono la contrapposizione
per modificare e meglio usare un condizionale, è il seguente teorema:
96
!!!
Se n divide (n − 1)! + 1 allora n è primo6 ,
la cui conclusione che n è primo dimostriamo provando che p non divide n
per ogni p < n7 . Ovviamente consideriamo p > 1.
L’ipotesi è n|((n − 1)! + 1). Osserviamo innanzi tutto che se p < n allora
ovviamente p|(n − 1)!. Questa condizione su p resta adesso fissata per tutto
il ragionamento, o meglio p < n implica tutte le affermazioni seguenti.
Ricordiamo il fatto noto che
a|b ∧ a|(b + c) → a|c
e contrapponendo
a6 | c → a6 | b ∨ a6 | (b + c).
Come caso particolare
p 6 | 1 → p 6 | (n − 1)! ∨ p 6 | ((n − 1)! + 1).
Ma p 6 | 1, quindi
p 6 | (n − 1)! ∨ p 6 | ((n − 1)! + 1).
Ma p|(n − 1)!, quindi p 6 | ((n − 1)! + 1) per il sillogismo disgiuntivo.
La conclusione parziale di questa prima parte diretta della dimostrazione
è che, per p < n,
p 6 | ((n − 1)! + 1).
Ora dobbiamo provare che p non divide n, e lo facciamo per assurdo.
Assumiamo p|n. Siccome per ipotesi n|((n − 1)! + 1), se p|n avremmo per
la transitività della relazione di divisibilità che p|((n − 1)! + 1), una contraddizione con la conclusione della parte precedente della dimostrazione.
Dunque p6 | n.2
Osservazione: Torniamo un momento indietro a vedere come funziona la
condizione p < n che abbiamo usato nel corso della dimostrazione, dicendo
che implicava tutte le successive affermazioni. Nella prima parte, quando
abbiamo detto sopra “Ma p|(n − 1)!, quindi p 6 | ((n − 1)! + 1) per il sillogismo disgiuntivo”, ci siamo espressi in modo corretto ma abbreviato; ci sono
almeno tre modi in cui esplicitare le leggi logiche che intervengono.
Primo modo. Noi in realtà avevamo che
6
L’operazione “fattoriale” n! è definita da n! = 2 · 3 · . . . · n. Si veda il paragrafo 15.
Tale formulazione ristretta è equivalente alla definizione di primalità perché i divisori
di un numero sono minori del numero stesso. Anzi basterebbe di meno (esercizio).
7
97
p 6 | (n − 1)! ∨ p 6 | ((n − 1)! + 1)
e inoltre
p < n → p|(n − 1)!,
ovvero quest’ultima e
p|(n − 1)! → p 6 | ((n − 1)! + 1).
Allora per la transitività del condizionale si ha
p < n → p 6 | ((n − 1)! + 1).
Secondo modo. Da
p|(n − 1)! → p6 | ((n − 1)! + 1).
con l’affermazione del conseguente si ha
p < n → (p|(n − 1)! → p 6 | ((n − 1)! + 1)).
e con
p < n → p|(n − 1)!,
e la distributività di → si arriva alla stessa conclusione.
Terzo modo. E’ quello che di fatto è stato usato. Il sillogismo disgiuntivo
è sempre valido anche relativizzato a una (stessa) condizione che implica le
due premesse e la conclusione:
p → q, p → ¬q ∨ r
p→r
e la dimostrazione si può fare in generale come nel secondo modo di sopra.2
La più famosa
√ dimostrazione per assurdo della storia è quella della irrazionalità di 2, che non faremo il torto di presentare (esercizio).
Una contraddizione è normalmente un enunciato della forma q ∧ ¬q, oppure due enunciati q e ¬q, ottenuti separatamente8 , q qualunque perché tutte
8
Se si sono dedotti, separatamente, dalle stesse premesse, q e ¬q, si può derivare esplicitamente q ∧ ¬q, ad esempio con due applicazioni del modus ponens alla legge logica
q → (¬q → q ∧ ¬q), che a sua volta deriva dalla legge dell’identità q ∧ ¬q → q ∧ ¬q e dalla
legge di esportazione.
98
le contraddizioni sono equivalenti tra loro (per ex falso quodlibet da una di
esse si può dedurre qualunque enunciato).
A volte si dice che certi enunciati, come 0 = 1, sono un assurdo, o una
contraddizione in sé, ma in realtà non esistono contraddizioni in sé; la formula
0 = 1 è una contraddizione solo perché tra gli assiomi o i fatti noti si ha
già 0 6= 1. Se da p si deduce 0 = 1, allora da 0 6= 1, per l’affermazione del
conseguente si ha anche p → 0 6= 1, e ci si riporta alla contraddizione classica
p → q ∧ ¬q. Lo stesso con altre formule.
Ad esempio, dimostriamo che per
√ verificare se n√è primo basta provare a
dividerlo per i primi che sono ≤ b n c, dove con b n c indichiamo la parte
intera9 della radice quadrata di n. Supponiamo che tutti questi primi non
dividano n, e dimostriamo che allora n è primo. Supponiamo per assurdo
√
che n non sia primo; allora n è un prodotto di primi tutti maggiori di b n c,
prodotto che è maggiore di n, e si avrebbe n < n, assurdo10 .2
La riduzione all’assurdo debole non è più debole, ma solo un caso speciale
della riduzione all’assurdo, in cui partendo da p si arriva a ¬p, ma anche a
p, e allora la contraddizione è data da p ∧ ¬p e la conclusione è la negazione
della premessa, cioè ¬p. Nel caso particolare in cui si parte da ¬p e si arriva
a ¬¬p, per la legge della doppia negazione si può concludere p, e questa legge
(¬p → p) → p,
in cui si dimostra p assumendo ¬p e derivando p, cioè derivando quello che
si vuole dimostrare dalla propria negazione, ha talmente colpito la fantasia
da essere chiamata consequentia mirabilis.
Un teorema in cui si può riconoscere questa forma di argomento è quello
con cui si stabilisce che esistono infiniti numeri primi. Si può formulare la
stessa conclusione dimostrando che non ci sono solo k primi, qualsiasi sia k.
Supponiamo che ci siano solo (esattamente) k primi p0 , p1 , . . . , pk−1 . Si
considera il numero
N = 1 + (2 · 3 · 5 · . . . · pk−1 )
e si dimostra facilmente (con un argomento simile ad uno visto in precedenza)
che nessuno dei primi p0 , p1 , . . . , pk−1 è un divisore di N , che peraltro è maggiore di tutti questi. Ora si applica una distinzione di casi. Se N è primo,
9
10
√
Il più grande intero ≤ n.
n < n congiunta con l’antiriflessività di < dà una contraddizione.
99
è un nuovo primo; se N non è primo, è divisibile per un primo maggiore
dei p0 , p1 , . . . , pk−1 , e in entrambi i casi non è vero che i numeri primi sono
tutti i {p0 , p1 , . . . , pk−1 }, o che ne esistono solo k. Quindi non esistono solo
k primi.211
Una riduzione all’assurdo si può vedere anche quando si applica il modus
tollens; infatti avendo p → q e ¬q si può dire che se si avesse p, si avrebbe
per modus ponens anche q, cioè insieme a ¬q una contraddizione; quindi ¬p.
Più esplicitamente, da ¬q segue p → ¬q per la legge di affermazione del
conseguente, quindi si ha sia p → q sia p → ¬q e si applica la riduzione
all’assurdo.
Viceversa la riduzione all’assurdo si può derivare dalla contrapposizione,
perché da p → q ∧ ¬q contrappondendo si ha ¬q ∨ q → ¬p, e q ∨ ¬q è la legge
del tertium non datur .
Alcune dimostrazioni per assurdo possono dunque essere sostituite da
applicazioni della contrapposizione.
Ad esempio, si consideri la dimostrazione del fatto che se b e c sono interi
e se l’equazione x2 + bx + c = 0 ha soluzioni razionali, queste in realtà sono
intere. Una dimostrazione in cui si usa la riduzione all’assurdo è la seguente.
Si parte da
x=
−b ±
√
b2 − 4c
2
e si osserva che per essere x intero occorre che il numeratore, intero per
ipotesi, sia pari. Per dimostrare che il numeratore è pari, essendovi un radicale che non è facile decidere che proprietà abbia, viene in mente di considerare il quadrato.
Abbiamo prima dimostrato che se un numero è dispari, il suo quadrato è
dispari. Se vogliamo (provare a) fare uso di questo fatto, possiamo impostare
una dimostrazione per assurdo, assumendo che il numeratore sia dispari.
Allora il suo quadrato è dispari. Ma svolgendo i conti, si vede facilmente che
il quadrato è della forma 2m, cioè pari. Dunque che il numeratore sia dispari
implica una contraddizione, e il numeratore è pari.2
11
La complicazione dell’argomento è dovuta anche alla complicazione della formulazione
dell’enunciato di partenza, un po’ artificiosa. Se si fosse detto semplicemente che si intendeva dimostrare: dati k primi, ne esiste uno maggiore, si sarebbe potuto fare una
dimostrazione diretta.
100
Altrimenti, ricordando sempre l’implicazione già dimostrata “n dispari
→ n2 dispari”, si può inserire la contrapposizione “n2 pari → n pari”, che
termina con la conclusione desiderata, e provare a dimostrare che il quadrato
del numeratore è pari. Elevando al quadrato e facendo i conti, si vede che
questo in effetti è il caso.2
Consideriamo un altro esempio. Per dimostrare che, per a e b razionali
o reali, se ab = 0 allora o a = 0 o b = 0, si può per assurdo negare il
condizionale, e quindi supporre che
ab = 0 e a 6= 0 e b 6= 0,
per la legge sulla negazione dell’implicazione e De Morgan.
Ma ora se a 6= 0 si può dividere ambo i membri della prima uguaglianza
per a, e si ottiene b = 0, e si ha una contraddizione.2
Si noti in questo esempio che si potrebbe anche vedere un caso di consequentia mirabilis, perché quando si arriva a dedurre b = 0 si può continuare
con
ab = 0 → b = 0
per l’affermazione del conseguente, quindi
ab = 0 → a = 0 ∨ b = 0
per l’introduzione della disgiunzione, e quindi dalla negazione del condizionale
da dimostrare si è arrivati al condizionale stesso.2
Infine invece in modo diretto si può assumere ab = 0 e dimostrare la
conclusione, che è una disgiunzione, nella forma che a 6= 0 → b = 0. Questo
si ottiene come sopra dividendo ab = 0 per a.212
Tutte le varianti di dimostrazioni illustrate in questo paragrafo sono rese
possibili dalla mutua derivabilità delle leggi logiche proposizionali e dalla
equivalenza di diverse regole e sistemi di regole.
12
Quest’ultimo teorema non è banale come sembra, dimostra che un corpo (come quello
dei razionali o dei reali) non ha divisori dello zero, cosa che può succedere in strutture
senza la divisione.
101
7.6
Dimostrazioni in avanti e all’indietro
Una distinzione che viene fatta tra possibili impostazioni delle dimostrazioni
è quella tra il procedere in avanti (forwards), a partire dalle ipotesi, verso
la conclusione oppure nel risalire indietro (backwards), dalla conclusione a
enunciati che implichino la conclusione, con l’obiettivo di arrivare tra questi
alle ipotesi.
La distinzione non coincide esattamente con quella tra le dimostrazioni
dirette e le altre, anche se vi sono collegamenti; la scelta tra le due strategie
dipende spesso dalla forma delle ipotesi e della conclusione, o dalle conoscenze
che si hanno a proposito delle ipotesi stesse e di altri fatti connessi alla
possibile conclusione.
Se la conclusione è un enunciato negativo, l’idea di una dimostrazione
per assurdo o per mezzo della contrapposizione è plausibile, anche se non
garantita. Ma ci sono altri motivi per scegliere questa strategia.
Ad esempio, per dimostrare che
Se 2n − 1 è primo, allora n è primo,
è più facile, o almeno promettente, partire dalla conclusione in cui si parla
di n, su cui con operazioni aritmetiche si può arrivare a 2n − 1, che non
viceversa, visto che per estrarre n da 2n − 1 occorre passare attraverso un
log2 .
In effetti, assumendo n non primo, quindi della forma n = hk, con h > 1
e k > 1, si può osservare che
2n − 1 = (2h )k − 1 = mk − 1 = (m − 1)(mk−1 + . . . + 1)
che, per quel che si sa sui valori di h e k, fornisce una scomposizione di 2n − 1
nel prodotto di due fattori > 1.2
Analogamente, supponendo che si dovesse dimostrare
x+
1
≥ 2,
x
se x > 0, conviene partire dalla disuguaglianza da dimostrare, e compiere su
di essa manipolazioni algebriche che forniscono espressioni algebriche equivalenti, fino ad arrivare ad un risultato noto che vale per ogni x > 0.
102
x2 + 1
≥2
x
x2 − 2x + 1
≥0
x
(x − 1)2
≥ 0,
x
vero per la regola dei segni. 2
Quando come in questo caso e in molti altri si usano equivalenze, nelle
dimostrazioni all’indietro, bisogna fare attenzione a non perdere il senso della
direzione13 . Qui l’ipotesi è x > 0 (oltre al fatto che x è un numero reale,
o razionale) e si risale dall’ultima disuguaglianza alla prima che si doveva
dimostrare. La dimostrazione è diretta, ma all’indietro.
Nel caso delle trasformazioni algebriche il fatto che il legame sia quello
dell’equivalenza permette di andare sia avanti che indietro, il che è comodo
perché in genere non è facile divinare enunciati validi che implichino la conclusione voluta - per lo meno non ci sono criteri generali.
Gli esempi aritmetici di questo paragrafo sono stati di necessità molto
semplici, perchè la maggior parte dei teoremi aritmetici si dimostrano con
una tecnica dedicata, l’induzione, che vedremo nel paragrafo 15.
13
I greci chiamavano analisi il processo per cui un problema, o un enunciato da dimostrare, era ricondotto ad altri di cui la soluzione era nota, e sintesi il processo inverso
di controllo, con cui dalla soluzione dei problemi noti si ricavava la risposta a quello dato;
alcune oscurità delle loro descrizioni del metodo si chiariscono se si considera che essi
pensavano soprattutto ad equivalenze.
103
8
Alberi di refutazione
8.1
Il metodo
La risposta alle domande semantiche, sulla verità logica o sulla insoddisfacibilità delle proposizioni, si può dare con metodi più efficienti della ricerca
esaustiva offerta dalla costruzione delle tavole di verità, che è di complessità
esponenziale. Uno di questi è il metodo degli alberi di refutazione 1 . Il nome
deriva dal fatto che sono usati, per rispondere alla domanda sulla verità
logica, secondo l’impostazione della ricerca del controesempio: si cerca di
scoprire se esiste un’interpretazione che falsifichi la proposizione. Il metodo
ha la proprietà che o la trova, se esiste, e quindi fornisce un’interpretazione
in cui la negazione della proposizione è vera (controesempio: la proposizione !!!
è falsa) oppure mostra che non è possibile che esista, e quindi la proposizione
è una tautologia.
Più in generale, il metodo serve a stabilire se esista o no un’interpretazione
che soddisfa una proposizione composta, non partendo dal basso dalle possibili interpretazioni delle lettere (bottom up) ma dall’alto, dalla proposizione
data, scendendo verso le sottoproposizioni componenti (top down); nel processo, si accumulano condizioni necessarie che l’ipotetica interpretazione, se
esiste e soddisfa la radice, dovrebbe pure soddisfare - nel senso di quali
altre proposizioni essa dovrebbe soddisfare o no - fino alle condizioni necessarie riguardanti le proposizioni atomiche; queste, se non sono incompatibili tra di loro, si traducono in condizioni sufficienti per la definizione
dell’interpretazione.
Gli alberi di refutazione possono dunque essere usati anche per rispondere
alle altre domande semantiche, ad esempio quella sulla soddisfacibilità.
Si chiamano in generale calcoli logici i metodi per rispondere ai quesiti
logici sulla verità, l’insoddisfacibilità, la conseguenza, metodi che sono procedure guidate dalla sintassi, e che si articolano in applicazioni iterate di
regole che producono strutture come sequenze o alberi di proposizioni, che si
chiamano derivazioni o dimostrazioni.
Gli alberi di refutazione sono alberi etichettati con proposizioni. Identifichiamo per comodità di scrittura i nodi con le loro etichette. Nella radice
è una proposizione, di cui si vuole sapere se esiste un modello. L’albero è
1
Altri nomi usati, insieme a qualche variante di presentazione, sono quelli di alberi
semantici , oppure di tableaux semantici.
104
sviluppato secondo la seguente procedura.
Ad ogni stadio, si saranno già prese in considerazione alcune proposizioni,
messe tra parentesi quadre o segnate con un asterisco, e ne resteranno da
considerare altre. Se sono già state considerate tutte, l’albero è terminato;
se no, si prende in esame una proposizione A non ancora considerata, e a
seconda della sua forma si prolunga l’albero nel modo seguente, dopo aver
segnato A e aver notato quali sono i rami non chiusi che passano per A, dove
un ramo si dice chiuso se su di esso occorre sia una proposizone sia la sua
negazione:
• Se A è una proposizione senza connettivi, non si fa nulla (si va al passo
successivo).
• Se A è B ∧ C, alla fine di ogni ramo non chiuso passante per A si
appendono alla foglia due nodi in serie etichettati con B e C, come
nello schema:
[B ∧ C]
..
.
↓
F
↓
B
↓
C
• Se A è B ∨ C, alla fine di ogni ramo non chiuso passante per A si
aggiunge alla foglia una diramazione con due nodi B e C, come nello
schema:
[B ∨ C]
..
.
↓
F
. &
B
C
con l’ovvia generalizzazione (qui e nella prececente regola) che si ottiene
applicando ripetutamente la regola se si tratta di una congiunzione o
disgiunzione generalizzata.
105
• Se A è B → C, alla fine di ogni ramo non chiuso passante per A si
aggiunge alla foglia una diramazione con due nodi ¬B e C, come nello
schema:
[B → C]
..
.
↓
F
. &
¬B
C
• Se A è ¬B e B non ha connettivi, non si fa nulla.
• Se A è della forma ¬B e B è ¬C, al fondo di ogni ramo non chiuso
passante per A si appende alla foglia il successore C, come nello schema:
[¬¬C]
..
.
↓
F
↓
C
• Se A è della forma ¬B e B è B1 ∨ B2 , alla fine di ogni ramo non chiuso
passante per A si aggiungono alla foglia due nodi in serie ¬B1 e ¬B2 ,
come nello schema:
[¬(B1 ∨ B2 )]
..
.
↓
F
↓
¬B1
↓
¬B2
con l’ovvia generalizzazione se B è una disgiunzione generalizzata.
• Se A è della forma ¬B e B è B1 → B2 , alla fine di ogni ramo non
chiuso passante per A si appendono alla foglia due successori in serie
106
B1 e ¬B2 , come nello schema:
[¬(B1 → B2 )]
..
.
↓
F
↓
B1
↓
¬B2
• Se A è della forma ¬B e B è B1 ∧ B2 , alla fine di ogni ramo non chiuso
passante per A si aggiunge alla foglia una diramazione con due nodi
¬B1 e ¬B2 , come nello schema:
[¬(B1 ∧ B2 )]
..
.
↓
F
. &
¬B1
¬B2
Ovviamente se per il nodo in considerazione non passa alcun ramo non chiuso,
non si fa nulla. Dalla formulazione è chiaro che quando tutti i rami sono
chiusi il procedimento termina, anche se non tutte le proposizioni sono state
considerate, e in tal caso l’albero si considera terminato e si dice chiuso.
Non diamo le regole per il bicondizionale (esercizio) perché non sarebbero
altro che l’adattamento di quelle che derivano dal fatto che p ↔ q è equivalente a (p → q) ∧ (q → p). Lo stesso per ⊕, ma si preferisce eliminare prima
questi connettivi (comunque si diano le regole per ⊕ esercizio), e questa è
l’unica preparazione o trasformazione che si fa sulle proposizioni; altrimenti
si prendono cosı̀ come sono.
!!!
Si leggano con attenzione le regole, cogliendone tutte le informazioni e i
vincoli: ad esempio, quando si lavora su di un nodo, si aggiungono proposizioni su tutti i rami passanti per quel nodo, ma non sugli altri.
!!!
107
Esempio
1. Consideriamo la proposizione ¬((¬p ∨ q) ∧ p → q) che mettiamo nella
radice dell’albero
¬((¬p ∨ q) ∧ p → q)
2. Lavorando su di esso, che è la negazione di un condizionale, otteniamo
[¬((¬p ∨ q) ∧ p → q)]
↓
(¬p ∨ q) ∧ p
↓
¬q
3. Lavorando su (¬p ∨ q) ∧ p otteniamo
[¬((¬p ∨ q) ∧ p → q)]
↓
[(¬p ∨ q) ∧ p]
↓
¬q
↓
¬p ∨ q
↓
p
4. Lavorando prima su ¬q, senza alcun effetto, e poi su ¬p ∨ q
[¬((¬p ∨ q) ∧ p → q)]
↓
[(¬p ∨ q) ∧ p]
↓
[¬q]
↓
[¬p ∨ q]
↓
p
. &
¬p
q.
108
Non è neanche necessario indicare che si sono presi in considerazione le
restanti proposizioni, perché il loro effetto è nullo. L’albero è chiuso, perché
su uno dei sue due rami occorrono p e ¬p, e sull’altro occorrono q e ¬q.
Se si deve interpretare come è stato ottenuto un albero sviluppato, è di
aiuto che sia segnato a fianco di ogni proposizione l’ordine in cui è stata presa
in considerazione, come in
[¬((¬p ∨ q) ∧ p → q)]1
↓
[(¬p ∨ q) ∧ p]2
↓
[¬q]3
↓
[¬p ∨ q]4
↓
p
. &
¬p
q.
Esempio
¬((p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q) ∨ ¬q)1
↓
¬(p ∧ q)3
↓
¬(¬p ∧ q)4
↓
¬¬q2
↓
q
.&
¬p
¬q
.&
chiuso
¬¬p
¬q
chiuso
109
dove il ramo di destra con foglia ¬q non è sviluppato con
¬q
. &
¬¬p ¬q
come dovrebbe essere per il lavoro su ¬(¬p ∧ q), perché il ramo è già chiuso;
il ramo di sinistra non è prolungato con
¬¬p
↓
p
perché anch’esso chiuso.
8.2
Correttezza e completezza
Il primo problema con ogni algoritmo è quello della terminazione, in particolare per gli algoritmi di decisione; se l’algoritmo non si ferma sempre, con
una risposta, dopo un numero finito di passi, non ci si può affidare ad esso
per decidere le questioni che interessano (nel senso di lanciarlo e stare ad
aspettare).
Lemma 8.2.1 (Terminazione) La costruzione dell’albero di refutazione inizializzato con una proposizione termina sempre in un numero finito di passi.
Dimostrazione. Se ad ogni stadio si lavora su una proposizione di quelle che
hanno altezza massima n tra quelle non ancora considerate, l’applicazione
delle regole fa sı̀ che dopo un numero finito di passi tutte quelle di altezza
n siano state considerate, e l’altezza massima delle proposizioni non ancora
considerate sia quindi < n. Infatti le proposizioni introdotte nell’albero con
le regole hanno tutte altezza minore della proposizione che governa la regola,
salvo il caso di B → C, per cui si introducono ¬B e C, e ¬B può avere la
stessa altezza di B → C (quando? esercizio); ma la successiva applicazione
di una delle regole per proposizioni negate a ¬B, che si può eseguire subito,
la sostituisce con proposizioni di altezza minore.
Anche se dunque nel corso del procedimento il numero di proposizioni
nei nodi dell’albero cresce con il crescere dell’albero, diminuisce quello delle
110
proposizioni di altezza massima, e dopo un numero finito di passi ci saranno
solo proposizioni di altezza minima, senza connettivi, non ancora considerate,
e a quel punto il processo termina, se non è terminato prima per la chiusura
dell’albero. 2
Quando si dà un metodo sintattico per rispondere a quesiti di natura
semantica (o un calcolo per risolvere un problema), si pone la questione, e la
richiesta, della correttezza e completezza del metodo. Correttezza significa
che le risposte che dà il metodo sono giuste, completezza significa che quando
la risposta c’è il metodo la dà, quella giusta.
Qualche ambiguità può sussistere quando le domande possibili sono diverse, e tuttavia collegate. Ad esempio per il fatto che
Osservazione 8.2.2 Per ogni p,
A è una tautologia se e solo se ¬A è insoddisfacibile
ci si può porre come problema semantico sia il problema della verità logica sia il problema dell’insoddisfacibilità. Un calcolo si può pensare sia
come calcolo per stabilire la verità logica sia come un calcolo per stabilire
l’insoddisfacibilità. Scegliamo il metodo degli alberi di refutazione per il
problema dell’insoddisfacibilità, e come risposta preferenziale affermativa la
chiusura dell’albero (un esito in generale più rapido e che non richiede ulteriori elaborazioni); abbiamo allora
Teorema 8.2.3 (Correttezza) Se l’albero di refutazione con radice A si
chiude, allora A è insoddisfacibile.
Dimostrazione 2 . Procediamo per contrapposizione dimostrando che se esiste
un’interpretazione i che soddisfa A, allora a ogni stadio di sviluppo dell’albero
esiste almeno un ramo tale che i soddisfa tutti le proposizioni del ramo.
Allora l’albero non è mai chiuso, perché se un ramo è chiuso non tutte le sue
proposizioni possono essere vere in una stessa interpretazione.
Allo stadio n, consideriamo un ramo σ le cui proposizioni siano tutte
soddisfatte da i, e una proposizione B su di esso, quindi vera in i, e non
2
Per questo e per il successivo teorema diamo dimostrazioni complete, anche se, essendo per induzione, si potranno apprezzare solo in seguito. Si può tuttavia già cogliere
ugualmente l’essenza del ragionamento e la ragione della validità del risultato.
111
ancora considerata (se non ce ne sono, il lavoro su quel ramo è terminato
senza che esso sia chiuso, e tale rimane alla fine, e l’albero finale non è
chiuso). Se B è una congiunzione, al ramo sono aggiunti due nodi che sono
anch’essi etichettati con proposizioni vere in i, e il ramo prolungato soddisfa,
allo stadio successivo, la proprietà richiesta. Se B è una disgiunzione B1 ∨B2 ,
o il ramo3 σ _ B1 o il ramo σ _ B2 soddisfano la proprietà richiesta, a seconda
che B1 o B2 siano vere in i. Lo stesso vale per gli altri casi (esercizio). 2
Viceversa
Teorema 8.2.4 (Completezza) Se A è insoddisfacibile, l’albero di refutazione con radice p si chiude.
Dimostrazione. Dimostriamo che
Lemma 8.2.5 Se l’albero non si chiude, allora per ogni ramo non chiuso
e terminato esiste un’interpretazione i che soddisfa tutti le proposizioni del
ramo, inclusa la radice.
Dimostrazione del lemma. Sia σ un ramo non chiuso dell’albero terminato.
Si definisca un’interpretazione i ponendo i(p) = 1 per ogni proposizione
atomica p che occorre come nodo nel ramo σ, e i(p) = 0 per ogni proposizione
atomica tale che ¬p occorre come nodo nel ramo σ. Si dimostra ora che ogni
proposizione di σ è vera in i. Supponiamo questo verificato per tutte le
proposizioni sul ramo che hanno un’altezza minore di un numero fissato n,
e facciamo vedere che lo stesso vale per quelle di altezza n. Se B è una
congiunzione B1 ∧ B2 , quando è stata presa in considerazione B si sono
aggiunti come nodi del ramo sia B1 che B2 , che sono quindi in σ e hanno
altezza minore di n e quindi si suppongono vere in i; dunque anche B è vera
in i. Se B è una disgiunzione B1 ∨ B2 , quando è stata presa in considerazione
B si sono aggiunti a tutti i rami passanti per B, incluso (quello che sarebbe
diventato) σ, o B1 o B2 ; quindi una delle due è su σ, e vera in i, quindi anche
B è vera. Gli altri casi si trattano nello stesso modo. 2 2
Se in un ramo terminato non chiuso manca una lettera che occorre nella
radice, nel definire l’interpretazione si può dare ad essa il valore che si vuole;
ciò significa che al ramo è associata più di una interpretazione.
3 _
σ B1 è il ramo prolungato con B1 ; la notazione è quella della concatenazione di liste.
112
L’esito complessivo dei teoremi di correttezza e completezza è che il
metodo degli alberi prende in esame tutte le possibili strade per provare
a definire interpretazioni, e se ce ne sono le fornisce tutte, e se non ce ne sono
lo rivela.
La dimostrazione delle proprietà di correttezza e completezza non prende
in considerazione l’ordine in cui si sviluppa l’albero. Il procedimento degli
alberi di refutazione si può rendere deterministico fissando un ordine progressivo per le proposizioni introdotte e quelle da prendere in considerazione ma
proprio il fatto che la dimostrazione è indipendente dall’ordine permette di
vedere che la risposta dell’albero e le sue proprietà non dipendono dall’ordine
eventualmente fissato; lavorare su una proposizione prima che su di un’altra
può modificare l’albero ma non la risposta finale; ogni mossa dipende solo
dalla proposizione in considerazione e non dalle altre presenti in altri nodi.
Si può sfruttare questa circostanza (oltre che come si è fatto nella dimostrazione della terminazione) per formulare utili regole euristiche, come
quella di prendere in esame prima le proposizioni che si limitano ad allungare !!!
i rami e non introducono diramazioni.
Riassumendo
Corollario 8.2.6 Per ogni A,
A è soddisfacibile se e solo se l’albero di refutazione con radice A non si
chiude
mentre, nello spirito del controesempio,
Corollario 8.2.7 Per ogni A,
A è una tautologia se e solo se l’albero di refutazione con radice ¬A si chiude.
Per la nozione di conseguenza logica, serve infine il
Corollario 8.2.8 Per ogni A e B,
|= A → B se e solo se l’albero di refutazione con radice ¬(A → B), o con
radice A ∧ ¬B, si chiude.
Si noti che è indifferente avere nella radice ¬(A → B) oppure l’equivalente
A ∧ ¬B perché in entrambi i casi l’applicazione delle regole per la negazione
di un condizionale o per la congiunzione portano ad aggiungere alla radice
113
↓
A
↓
¬B
dopo di che si continua lavorando solo su A e su ¬B e loro sottoproposizioni.
Si può addirittura partire con
A
↓
¬B
se interessa la domanda A |= B.
8.3
Forme normali
Gli alberi di refutazione permettono di ottenere altre informazioni sulle proposizioni a cui si applicano. Se A è una proposizione soddisfacibile, e quindi
l’albero di refutazione con radice A non si chiude, una forma normale disgiuntiva di A si può ottenere nel seguente modo: per ogni ramo terminato
e non chiuso, si faccia la congiunzione di tutti i letterali che sono nodi del !!!
ramo, quindi si faccia la disgiunzione di queste congiunzioni. Le proprietà
dimostrate della correttezza e della completezza garantiscono che questa disgiunzione è proprio equivalente a A (esercizio).
Esempio
¬(p ∨ ¬q) ∨ q ∨ ¬(p → q)
. ↓ &
¬(p ∨ ¬q) q ¬(p → q)
↓
↓
¬p
p
↓
↓
¬¬q
¬q
↓
q.
114
L’albero non è chiuso e la forma normale disgiuntiva della radice è (¬p ∧ q) ∨
q ∨ (p ∧ ¬q); i tre modelli dati dai tre rami non chiusi sono
i1 (p) = 0, i1 (q) = 1,
i2 (q) = 1,
i3 (p) = 1, i3 (q) = 0
dove il secondo sta per due interpretazioni, di cui una però coincide con la
prima; rami diversi non danno necessariamente interpretazioni diverse. La !!!
proposizione non è una tautologia in quanto manca l’interpretazione i(p) =
i(q) = 0 tra i suoi modelli.
Se l’albero per A si chiude, si sa che A è una contraddizione e una forma
normale disgiuntiva si scrive direttamente.
Dall’albero di A non si legge invece la forma normale congiuntiva di A;
per ottenere questa, una via indiretta è la seguente: si mette nella radice ¬A, !!!
si sviluppa l’albero per ¬A e si trova una forma normale disgiuntiva di ¬A.
Quindi si nega questa premettendo una negazione, e si applicano le leggi di
De Morgan.
Poiché l’albero terminato e non chiuso permette di leggere i modelli della
radice, per verificare che A è una tautologia si può anche sviluppare l’albero
con radice A, e controllare che ci siano alla fine 2n interpretazioni associate ai
rami non chiusi, se A ha n lettere. Ma se la domanda è se A sia una tautologia,
è più conveniente impostare l’albero con ¬A, perché se la risposta è positiva !!!
essa arriva dalla chiusura dell’albero, in generale più in fretta dello sviluppo
integrale dell’albero con radice A.
8.4
Esercizi
1. Verificare con gli alberi di refutazione le leggi logiche del paragrafo
3.3.3.
2. Verificare con gli alberi di refutazione se le seguenti proposizioni sono
tautologie, e se no indicare i controesempi:
(p ∨ q) ∧ (r → ¬p) → (r → q)
((p → ¬p) ∧ (q → p)) → ¬q
(p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q) ∨ q
115
(p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q) ∨ ¬q.
3. Verificare con gli alberi di refutazione che le seguenti proposizioni sono
insoddisfacibili:
((p ∨ q) ∧ (¬p ∨ q) ∧ ¬q) → q
(p → ¬q) ∧ (¬p ∨ q)
(p → ¬q) ∧ ¬p ∧ q
(p → ¬q) ∧ p ∧ q
(p ∨ ¬q ∨ r) ∧ ¬r ∧ (¬p ∨ q) ∧ ¬p.
4. Trovare con gli alberi di refutazione la forma normale disgiuntiva e i
modelli delle seguenti proposizioni:
p ∧ q → (p → q)
p ∧ q → (p → q ∧ r)
(p → (q ∨ (p ∧ r))) ∧ (¬p ∧ (q → p)).
5. Con gli alberi di refutazione trovare la forma normale congiuntiva delle
seguenti proposizioni:
p ∧ q → (p → q ∧ r)
(p ∨ q → r) ∧ ¬p → (p ∨ r)
(p → (q ∨ (p ∧ r))) ∧ (¬p ∧ (q → p)).
116
9
Variabili e quantificatori
Finora abbiamo considerato le variabili solo in relazione a formule contenenti
una variabile x, a cui abbiamo associato, in ogni universo U , un insieme
di verità. La variabile sembrerebbe un elemento alieno del linguaggio che
compare solo nei simbolismi matematici, ma non è cosı̀.
Gli insiemi di verità si incontrano invero quasi solo in matematica, dove è
proprio tipico lo studio di insiemi definibili. Ad esempio dopo aver introdotto
la definizione dei numeri primi ci si chiede come è l’insieme dei numeri primi
(risulta che è infinito), si elaborano algoritmi per trovare i suoi elementi, se
ne studiano sottoinsiemi.
Tuttavia la definizione dei numeri primi - in simboli x > 1 ∧ (y |x → y =
1 ∨ y = x) - si può dare a parole: un numero è primo se è maggiore di 1 e un
numero che lo divide è o 1 o il numero stesso. Il ruolo della variabile x è svolto
da “un numero”. Veramente nella definizione compare anche il riferimento
ad y, con qualche ambiguità nella frase in italiano, per la doppia occorrenza
di “un numero”, che tuttavia non è fonte irrimediabile di confusione, grazie
alle potenzialità espressive dei linguaggi naturali, che hanno altre soluzioni.
L’uso delle variabili corrisponde alla funzione nel linguaggio di diverse parole
come “uno”, “chiunque”, “ogni, “qualche” e simili.
I pronomi servono a formare nuove frasi collegando frasi che hanno un
riferimento in comune; nella frase “se uno ha un amico, è fortunato” si individuano due proposizioni componenti “uno ha un amico” e “è fortunato”.
La seconda frase non presenta il soggetto, ma s’intende che è lo stesso della
prima; si può ripetere (“uno è fortunato”) oppure più spesso, in altri casi, si
deve precisare, con un indicatore che faccia capire più esplicitamente che il
soggetto è lo stesso (ad esempio “egli”, “colui”, e simili).
Nella seconda di due frasi, il soggetto della prima può apparire come
oggetto, come in “se uno è generoso, di lui tutti dicono bene”.
Anche per questo tipo di parti del discorso, si hanno molte versioni equivalenti, ciascuna con i suoi vantaggi e la sua convenienza, ad esempio “chiunque abbia un amico è fortunato”, “coloro che hanno un amico sono fortunati”; talvolta addirittura basta un’unica frase indecomponibile, come “i
generosi sono lodati” per “coloro che sono generosi sono lodati”1 .
Nei linguaggi simbolici moderni il ruolo dei pronomi è svolto appunto
1
La possibilità di questa espressione è all’origine di una diversa analisi del linguaggio,
che ha portato alla prima logica formale della storia, nell’opera di Aristotele, come vedremo
trattando i sillogismi.
117
dalle variabili: “se x ha un amico, x è fortunato”. L’uso delle variabili o
della loro versione con pronomi presenta tuttavia aspetti delicati.
Nella frase “se uno ha un amico, uno è fortunato” - oppure “se x ha
y come amico, x è fortunato” - ci sono due tipi di “uno”, il primo “uno”
soggetto, presente tacitamente anche come soggetto di “è fortunato”, e il
secondo “un” di “ha un amico”2 . Il primo “uno” significa “chi”, “chiunque”,
il secondo significa “qualche”. La stessa parola “uno”, e le corrispondenti
variabili x e y possono cioè avere sia un senso universale che uno particolare.
Anche se il senso della frase è ovvio, si può dire meglio “chiunque abbia
qualche amico è fortunato”. La varietà di costrutti linguistici disponibili
ha la funzione di evitare possibili ambiguità in altre frasi di non immediata
decifrazione.
Un esempio di frase ambigua, se presa isolatamente, è “uno che segue il
corso di Logica si addormenta”. Il professore spera che voglia solo dire che
si conosce uno studente che tende ad addormentarsi, ma magari gli studenti
intendono che tutti si addormentano sempre.
L’uso delle variabili da sole non risolve le ambiguità, anzi le potrebbe
accrescere, se vengono a mancare le differenze di significato dei pronomi
specifici; in “se x ha y come amico, x è fortunato”, se y fosse presa in senso
universale, come la x, allora la frase significherebbe che chi è amico di tutti
è fortunato, che è discutibile, piuttosto è un santo.
La stessa analisi si può svolgere sul precedente esempio della definizione
di numero primo.
Un altro esempio è il seguente: nelle due frasi di argomento aritmetico
un numero moltiplicato per se stesso dà 1
e
un numero sommato al suo opposto dà 0
“un numero” è da intendersi in modo diverso; nel primo caso l’unico numero
con quella proprietà è 1, e la frase potrebbe essere una sua descrizione estrapolata dal contesto, o un indovinello: “quale è . . . ?”; nel secondo caso
“un numero” significa “qualunque numero”.
2
Non c’è differenza tra “uno” e “un”; si potrebbe dire in entrambi i casi “una persona”,
ristabilendo l’uniformità. A seconda del contesto, “uno” può essere reso da “una cosa”,
“uan persona”, “un numero”, “un Tizio” e simili varianti inessenziali.
118
La differenza si coglie se si formalizza, la prima frase con x · x = 1 e la
seconda con x + (−x) = 0, ma non basta, si devono considerare gli insiemi di
verità. L’insieme di verità di x · x = 1 è {−1, 1}, mentre l’insieme di verità
della seconda formula è dato da tutti i numeri.
Tuttavia usare la x e calcolare gli insiemi di verità per capire il senso
richiede del lavoro, e spesso non è nemmeno sufficiente.
Supponiamo di stare ragionando su questioni di aritmetica, e di voler ad
esempio dimostrare che
se un numero è pari, il suo successore è dispari.
Il primo passo della versione aritmetica è quello di scrivere:
se x è pari, allora x + 1 è dispari.
Questa abbiamo visto che è una delle funzioni delle variabili3 , quella di indicare un elemento generico. Quindi occorre sostituire i termini tecnici con le
loro definizioni, continuando con
se x è divisibile per 2, allora x + 1 non è divisibile per 2.
La frase “x è divisibile per 2” significa che esiste un numero (indicato con y,
perché non lo conosciamo, e non possiamo conoscerlo se non conosciamo x, o
finché non conosciamo x4 ) che moltiplicato per 2 dà x, o x = 2y; ma questa
formula è da intendere nel senso che x è uguale a 2 moltiplicato per qualche
y, non che x è uguale a 2 moltiplicato per tutti i numeri. La sola scrittura di
y non basta a chiarire.
La frase successiva “x + 1 è dispari” infatti, resa da x + 1 6= 2z, è diversa,
significa che tutti i numeri z moltiplicati per 2 sono diversi da x + 1.
In italiano, si direbbe correttamente:
se per qualche y si ha x = 2y, allora per nessun z si ha x + 1 = 2z.
Nel gergo matematico, si scrive
se x = 2y, allora x + 1 6= 2z,
3
L’abbiamo già considerata nell’introduzione al paragrafo 7.1, col passaggio da “un
numero” a “m”.
4
Non possiamo dire che y è x/2 perché a rigore non abbiamo l’operazione di divisione,
se stiamo considerando solo i numeri naturali, anche se questa possibilità di espressione,
è comoda, quando è disponibile; in generale però y non è una funzione esplicita di x.
119
ma le variabili non rendono la duttilità delle parole che indicano se si parla
di uno, qualcuno o tutti. S’impone di nuovo una standardizzazione, nei
linguaggi formali.
Si introducono due simboli che si chiamano quantificatori , rispettivamente
universale ∀ ed esistenziale ∃, e questi segni si premettono alle formule con
variabili per segnalare che, nel loro raggio d’azione determinato dalle parentesi, le variabili stesse devono essere intese nel senso di “tutti” ovvero nel
senso di “qualcuno”.
La frase precedente diventa allora
∃y(x = 2y) → ∀z(x + 1 6= 2z).
Vero è che questi segni devono essere eliminati per svolgere le dimostrazioni
che richiedono manipolazioni algebriche di formule, e si dovrà arrivare a
x = 2y → x + 1 6= 2z,
ma l’aver scritto i quantificatori aiuta a ricordare come devono essere trattate
le variabili.
In questo caso, dato x, anche y è determinato e fissato (ancorché sconosciuto, vedi nota precedente); x + 1 6= 2z è un’affermazione relativa a tutti gli z
(a tutti i numeri da pensare presi come valori di z) e va dimostrato come si
dimostrano le affermazioni universali, riferite a z. Ad esempio per assurdo,
oppure per induzione, tecnica che vedremo in seguito.
Si noti che anche in italiano si passa spesso, nei ragionamenti, da frasi
che contengono i quantificatori “qualche”, “tutti”, o equivalenti, a frasi con
“uno”, o equivalenti, vale a dire di quelle che prese isolatamente sarebbero
ambigue. Ad esempio, per giustificare l’affermazione “chi segue il corso di
Logica non impara niente” si potrebbe argomentare nel seguente modo, prima
eliminando un quantificatore universale e infine ripristinandolo: chiunque
segue il corso di Logica (prima o poi) si addormenta; uno che segue il corso di
Logica si addormenta; uno che si addormenta perde qualche spiegazione; uno
che perde una spiegazione non capisce neanche il resto; quindi uno che segue
il corso di Logica non capisce la materia, quindi, come volevasi dimostrare,
tutti quelli che seguono il corso di Logica non imparano niente. Vedremo in
seguito l’organizzazione in un formato standard di queste mosse logiche.
I quantificatori si tolgono nel corso di un argomento per poter lavorare
solo a livello proposizionale o algebrico; tale eliminazione è soggetta a precisi
vincoli che vedremo. Nelle definizioni invece occorre scrivere tutti i necessari
120
quantificatori nel modo corretto; non è lecito ometterne alcuni; la definizione
di “x è primo” è
“x è primo” se e solo se x > 1 ∧ ∀y(y | x → y = 1 ∨ y = x).
o più esplicitamente
“x è primo” se e solo se x > 1 ∧ ∀y(∃z(y · z = x) → y = 1 ∨ y = x).
Lo stesso rigore occorre quando si vuole fare un’affermazione il cui senso
deve essere esplicito e netto. La frase “uno che ha un amico è fortunato”
diventa, schematizzata, ∀x(∃yA(x, y) → F (x)).
Per spiegare come ci arriva, dobbiamo introdurre i simboli dei linguaggi
predicativi, spiegando come sono analizzate e costruite ora le frasi simboliche,
non solo come composizione proposizionale di frasi più semplici ma anche
grazie ai legami stabiliti dalla presenza di soggetti o complementi in comune,
quindi rappresentando la struttura interna delle frasi atomiche.
121
10
10.1
Linguaggi predicativi
Alfabeto
Le frasi elementari nel linguaggio naturale sono di diverso tipo, ma in tutte
si può individuare un soggetto, un verbo e un complemento (eventualmente
più soggetti e più complementi, o nessuno). I verbi possono essere transitivi
o intransitivi, ed esprimere azioni o stati.
Si possono tutti standardizzare nella forma della attribuzione di una proprietà, o di un predicato, o di uno stato a uno o più termini. Questo corrisponde se si vuole ad avere un solo verbo, la copula “essere”, nelle due
versioni “essere qualcosa” per i verbi intransitivi e “essere nella relazione . . .
con” per i verbi transitivi: “Giovanni dorme” può diventare “Giovanni ha la
proprietà (la caratteristica) di stare dormendo”, o “Giovanni è dormiente”;
“Giovanni sta dormendo” significa che Giovanni è nello stato di sonno; “Giovanni possiede un Piaggio 50” diventa “la relazione di possesso sussiste tra
Giovanni e un Piaggio 50”, o meglio “la relazione di possesso sussiste tra
Giovanni e una cosa, e questa cosa è un Piaggio 50”; “Giovanni ama Maria”,
cosı̀ come “Maria è amata da Giovanni”1 , vuol dire che la relazione di amore
sussiste tra Giovanni e Maria (ma non necessariamente tra Maria e Giovanni,
perché la relazione di amore non è simmetrica).
Le frasi matematiche elementari, uguaglianze e disuguaglianze, “è uguale
a”, “è minore di”, rientrano in questa tipologia. Cosı̀ quelle insiemistiche con
“appartiene a”, cioè “è un elemento di”.
I soggetti e gli oggetti non sono denotati solo da nomi propri, ma anche da
descrizioni, o da pronomi. Ad esempio oltre ai nomi propri, come “Giovanni”
e “2”, si possono avere descrizioni come “il padre di Giovanni”, “il presidente
della Repubblica”, “la radice quadrata di 2”. Tali descrizioni coinvolgono
funzioni, quando sono univoche, come nei precedenti esempi2 . Chiamiamo
funzione “il padre di . . . ” in analogia a quello che è “la radice di . . . ”.
Si introducono perciò simboli per designare predicati, e altri per costruire
termini, che corrispondono alle descrizioni. Useremo preferibilmente le lettere
P , Q, R, . . . per predicati, le lettere f , g, . . . per funzioni, le lettere a, b,
c, . . . per costanti (corrispondenti dei nomi propri), le lettere x, y, . . . per
variabili, con o senza indici.
1
La distinzione tra forma attiva e passiva è inessenziale.
Per “padre” non è un controesempio alla funzionalità la famosa Lola, figlia di cento
padri e una madre sola.
2
122
Tuttavia la rappresentazione grafica dei simboli non è rigida, per comodità
di traduzione si possono anche usare altre lettere, come le iniziali delle parole
italiane (A per “essere amici”), o addirittura complessi di lettere o parole
intere, magari in caratteri particolari, come amici(x, y).
Quando non si ha una funzione che indica un individuo, come in “il figlio
di Tizio” - a meno che non si sappia che Tizio ha un solo figlio - la descrizione
non è univoca; sarebbe meglio dire “uno dei figli di Tizio”, e si può prevedere
che l’espressione corretta richieda giri di frase più complicati, con variabili
(“uno”), che sono tuttavia possibili con un alfabeto del tipo descritto: “figlio
di . . . ” è una relazione. Una frase come “Maria ama un figlio di Giovanni”
diventa “Maria ama uno , e quest’uno è figlio di Giovanni”.
Per ottenere i linguaggi predicativi, all’alfabeto costituito dai connettivi
e dalle parentesi si aggiungono dunque le variabili, con i due quantificatori,
e simboli di predicato, di funzione e di costante. Le variabili sono disponibili
in quantità illimitata, anche se ogni volta se ne utilizzeranno solo un numero
finito. Gli altri simboli differiscono da linguaggio a linguaggio, possono anche mancare, anche se almeno un simbolo di predicato deve sempre essere
presente.
10.2
Termini e formule
La struttura di base di un’affermazione atomica è l’attribuzione di un predicato a uno o più termini. Ogni (simbolo di) predicato ha un numero fisso di
posti; i predicati a un posto, o monadici, sono anche detti proprietà; quelli
a più di un posto relazioni . Se t1 , . . . , tn sono termini, non necessariamente
distinti3 , si scriverà
P (t1 , . . . , tn )
a indicare che il predicato P (o più precisamente la proprietà P se n = 1, o
la relazione P se n > 1) sussiste per gli individui denotati dagli n termini.
I termini sono le costanti, le varibili, e se f è un simbolo di funzione a n
posti, e t1 , . . . , tn sono n termini, non necessariamente distinti, f (t1 , . . . tn ) è
un termine.
I termini chiusi sono i termini che non contengono variabili.
!!!
3
Si potrebbe anche dire: “data una n-upla di termini”, dove le componenti di una
n-upla non sono necessariamente distinte.
123
Quando si trattano argomenti matematici, si usano le convenzioni a cui
si è abituati, di scrivere i simboli delle operazioni usuali4 in mezzo ai termini,
laddove la notazione funzionale preferisce mettere il simbolo di funzione davanti; la stessa notazione infissa si adotta per le relazioni =, < e ≤.
Esempio Supponiamo di avere una costante 0 e un simbolo funzionale a
un argomento, indicato con 0 ; scriveremo x0 per 0 (x) e quindi x00 per (x0 )0 , . . .
I termini sono
0, x, y, . . .
per tutte le variabili
0
0
0
0 , x , y , ...
000 , x00 , y 00 , . . .
...
L’insieme degli infiniti termini può essere enumerato in una successione unica,
ad esempio
0, 00 , x, 000 , x0 , y, 0000 , x00 , y 0 , z, . . .
Il criterio che guida l’enumerazione è quello, dopo il primo passo iniziale 0, 00 ,
di introdurre una nuova variabile, aggiungere un apice ai termini precedenti,
e ricominciare con una nuova variabile.
L’insieme dei termini distribuito in una matrice infinita viene percorso
secondo le diagonali:
0
x
y
7
¶ ¶
7
?
¶ ¶
00 x0 y 0
¶
7
¶
000 x00 y 00
z
...
...
...
¶
7
¶
0000
..
.
4
In aritmetica e algebra si parla preferibilmente di operazioni, ma sono la stessa cosa
delle funzioni. Qualche volta il segno di moltiplicazione non si scrive.
124
Se le variabili sono indicate con t2 , t3 , . . . , e 0 con t1 , si può determinare
m
z}|{
00
0
esplicitamente con operazioni aritmetiche il posto di tn . . . , in funzione di n
ed m5 .
L’enumerazione per diagonali della matrice infinita i cui posti sono individuati dalla riga n-esima e dalla colonna m-esima dimostra che N × N è in !!!
corrispondenza biunivoca con N.
I termini 0, 00 , 000 , . . . sono quelli che denotano i numeri naturali. Talvolta
si pensa che ci sia a disposizione una costante diversa per ogni numero naturale, perché si pensa a 0, 1, 2, 3, . . . , ma le cifre distinte sono solo dieci. Gli
altri numeri sono denotati da termini chiusi, quelli che si possono formare
con la rappresentazione posizionale. Pensare di disporre di infinite costanti
è possibile teoricamente, ma non è realizzabile in concreto.
Se è presente anche un solo simbolo di funzione a due argomenti l’insieme
dei termini è molto più complicato.
Esercizio. Si elenchi l’insieme dei termini chiusi del linguaggio che ha le
costanti 0 e 1 e il simbolo di operazione binaria +.
Le versioni formali delle frasi saranno chiamate formule, in analogia alle
formule matematiche.
Le formule sono definite nel seguente modo:
1 Se P è un predicato a n posti e t1 , . . . , tn termini, (P (t1 , . . . , tn )) è una
formula.
2 Se A è una formula, anche (¬A) lo è.
3 Se A e B sono formule e • un connettivo binario, anche (A • B) è una
formula.
4 Se A è una formula, e x una variabile, anche (∀xA) e (∃xA) sono formule.
Le parentesi si riducono con le stesse convenzioni viste per le proposizioni,
dove ora i quantificatori sono al primo posto nell’ordine di priorità, insieme
alla negazione (se adiacenti, si procede prima dall’interno, o da destra verso
sinistra, come già per la negazione nel linguaggio proposizionale).
5
Esercizio, dopo il principio di induzione.
125
Esempio ∃xP (x) ∧ ∃y¬Q(y) → ¬∃x∃yR(x, y) rimettendo le parentesi,
non intorno alle formule atomiche e la coppia esterna, diventa
∃xP (x) ∧ ∃y¬Q(y) → ¬∃x(∃yR(x, y))
∃xP (x) ∧ ∃y¬Q(y) → ¬(∃x(∃yR(x, y)))
∃xP (x) ∧ ∃y¬Q(y) → (¬(∃x(∃yR(x, y))))
∃xP (x) ∧ ∃y(¬Q(y)) → (¬(∃x(∃yR(x, y))))
∃xP (x) ∧ (∃y(¬Q(y))) → (¬(∃x(∃yR(x, y))))
(∃xP (x)) ∧ (∃y(¬Q(y))) → (¬(∃x(∃yR(x, y))))
((∃xP (x)) ∧ (∃y(¬Q(y)))) → (¬(∃x(∃yR(x, y))))
da cui si vede la struttura, che è quella di un condizionale con l’antecedente
che è una congiunzione e il conseguente che è una negazione; ∧, → e ¬ collegano tra loro formule quantificate (che iniziano con un quantificatore).
Per le formule si possono costruire gli alberi sintattici individuando il
segno logico principale, che ora può essere un connettivo oppure un quantificatore, per le formule del tipo (∀xA) e (∃xA).
Nei nodi dell’albero sintattico di una formula occorrono le sottoformule
della formula stessa.
L’albero per ∃xP (x) ∧ ∃y¬Q(y) → ¬∃x∃yR(x, y) è il seguente:
∃xP (x) ∧ ∃y¬Q(y) → ¬∃x∃yR(x, y)
.&
∃xP (x) ∧ ∃y¬Q(y)
¬∃x∃yR(x, y)
.&
↓
∃xP (x)
∃y¬Q(y)
∃x∃yR(x, y)
↓
↓
↓
P (x)
¬Q(y)
∃yR(x, y)
↓
↓
Q(y)
R(x, y).
Esempi
1. Tipiche formule atomiche di argomenti aritmetici e algebrici sono x −
1 = 0, x · y + x = x · (y + 1), x + (y + z) = (x + y + z), x < x + 1, e in
generale t1 = t2 e t1 ≤ t2 o t1 < t2 dove t1 e t2 sono termini.
126
2. Le identità booleane sono altri esempi di formule atomiche, ma si sono
anche incontrate altre formule più complesse del linguaggio insiemistico,
ad esempio le definizioni
∀x(x ∈ X ∩ Y ↔ x ∈ X ∧ x ∈ Y )
X ⊆ Y ↔ ∀x(x ∈ X → x ∈ Y )
o teoremi come
∀x(x ∈ X → x ∈ X ∨ x ∈ Y ),
che prima avevamo scritto senza quantificatori universali per l’abitudine
che c’è nell’esposizione matematica di ometterli quando si tratta di
identità (cioè di formule valide per ogni x).
In queste formule X, Y, . . . non sono variabili, ma simboli predicativi a
un posto; x ∈ X è una scrittura alternativa per la notazione predicativa
X(x)6 .
3. La frase “chi ha un amico è fortunato”, è formalizzata con l’enunciato
∀x(∃yA(x, y) → F (x))
dove A è un simbolo di relazione binaria, che sta per “essere amici”, e
A(x, y) per “x e y sono amici”, F un simbolo di proprietà che significa
“essere fortunato”, e F (x) per “x è fortunato”.
4. “Giovanni possiede un Piaggio 50” è formalizzata dall’enunciato
∃x(P1 (g, x) ∧ P2 (x)),
dove g è una costante, che sta per “Giovanni”, P1 una relazione binaria,
P1 (x, y) significa “x possiede y”, e P2 la proprietà di essere un Piaggio
50.
6
Si può anche considerare ∈ come un simbolo di relazione tra insiemi, quando si studiano
questioni più avanzate che coinvolgono insiemi di insiemi, insiemi i cui elementi sono
insiemi, e non si fa una distinzione logica tra individui ed insiemi; tutte le variabili variano
su insiemi e si possono trovare formule come x ∈ y ∧ y ∈ z.
127
5. “Maria ama il figlio di Giovanni” è formalizzata da
A(m, f (g))
dove m e g sono costanti, m per “Maria” e g per “Giovanni”, ed f un
simbolo funzionale per “il figlio di . . . ”.
6. “Maria ama un figlio di Giovanni” è formalizzata da
∃x(A(m, x) ∧ F (x, g))
dove F è un simbolo relazionale a due posti, e F (x, y) sta per “x è figlio
di y”.
7. “Maria ama i figli di Giovanni”, che significa che Maria ama tutti i figli
di Giovanni, si formalizza con
∀x(F (x, g) → A(m, x))
e non con ∀x(A(m, x) ∧ F (x, g)); questa significa che tutti sono figli di
Giovanni, e che Maria li ama tutti; il che implica che Giovanni sia Dio,
e forse Maria la Madonna.
La frase “Maria ama uno che è figlio di Giovanni”, che significa “Maria
ama uno, e questi è figlio di Giovanni”, che corrisponde a A(m, x) ∧
F (x, g), potrebbe essere interpretata in modo ambiguo, ad esempio
rivoltandola in “uno è figlio di Giovanni, Maria lo ama”; ma questa
non va confusa con “uno che è figlio di Giovanni, Maria lo ama” che va
resa da F (x, g) → A(m, x) (si veda il paragrafo 10.5 sui quantificatori
ristretti).
8. La frase “dati due numeri, uno minore dell’altro, esiste un terzo numero
compreso tra i due”, vera nel campo reale, può essere resa da
∀x∀y(x < y → ∃z(x < z ∧ z < y)).
La congiunzione x < z ∧ z < y si può abbreviare, secondo l’uso matematico, con x < z < y.
Il complesso ∀x∀y . . . si legge “per ogni x e per ogni y . . . ”. È anche !!!
128
lecito abbreviare con ∀x, y . . . , cosı̀ come ∃x∃y . . . con ∃x, y . . . .
Non esiste un quantificatore che quantifichi sulle coppie; ci si comporta
come se la frase fosse “dato un primo numero e dato un secondo numero . . . ”. Ma “un primo” e “un secondo” servono solo a facilitare
l’espressione, si sarebbe potuto dire anche “dato un numero e dato un
numero . . . ”, con qualche difficoltà nel seguito per i riferimenti appropriati. Si faccia attenzione che neanche la presenza di “due” vuol dire
che i numeri devono essere considerati diversi; tale forma comune di
espressione distingue il modo, il momento in cui i numeri sono presentati, o pensati, ma non è escluso che si presenti lo stesso numero due
volte.
Le parole “un primo”, “un secondo”, . . . , o “Tizio”, “Caio”, . . . sono
quelle che corrispondono alle diverse variabili di un linguaggio matematico o logico; le variabili corrispondenti potrebbero essere indicate con
x1 , x2 , . . . ; anche x1 e x2 (o x e y) come variabili sono diverse ma, pren- !!!
dendo tutti i valori, possono anche prendere un valore uguale. Se si
dice “dati due numeri esiste la loro somma” - formalmente ∀x∀y∃z(z =
x + y) - non si eslcude che esista x + x, anzi lo si comprende. “Dati due
numeri” significa “fatta due volte la scelta di un numero”, e le scelte
possono cadere sullo stesso numero.
Quando tuttavia si mette la condizione “uno minore dell’altro”, allora
si esclude che possano essere uguali perchè la relazione “minore di” non
è riflessiva. Tuttavia lo si esclude solo attraverso una deduzione, non
con la semplice scrittura: se x e y denotano lo stesso numero, e bisogna
considerare anche questo caso, x < y → ∃z(x < z ∧z < y) è soddisfatta
come condizionale con valori falso-falso.
Con “un terzo” di nuovo si vuol dire semplicemente “un numero”, e
che sia diverso dai primi due segue automaticamente se “compreso”
significa “strettamente compreso”, altrimenti, se fosse inteso come ≤
allora potrebbe anche essere uguale a uno dei due; non è questo il senso
della frase, che vuole esprimere la densità dell’ordine dei numeri reali
- e anche dei razionali. Se nella stessa formula il segno di relazione è
interpretato su di una relazione riflessiva, come
∀x∀y(x ≤ y → ∃z(x ≤ z ∧ z ≤ y)),
o più in generale
129
∀x∀y(R(x, y) → ∃z(R(x, z) ∧ R(z, y))) ∧ ∀xR(x, x),
allora la formula è banalmente vera per ogni relazione7 .
9. La frase “dati due numeri diversi tra loro, esiste un numero che è propriamente compreso tra i due numeri dati” si rappresenta con
∀x∀y(x 6= y → ∃z(x < z < y ∨ y < z < x)).
La frase tra parentesi è soddisfatta da tutti gli x e y, anche quando
x = y, perché allora l’antecedente è falso.
10. La frase “ogni numero positivo ha una radice quadrata”, vera nei reali,
si rappresenta come
∀x(0 < x → ∃y(x = y 2 )).
11. La frase “esistono due numeri primi consecutivi” si rappresenta con
∃x∃y(x = y + 1 ∧ pr(x) ∧ pr(y)),
dove pr(x) è un’abbreviazione per la definizione di “x è primo” già vista
x > 1 ∧ ∀z(∃u(z · u = x) → z = 1 ∨ z = x).
Che i numeri siano due non risulta dallo scrivere ∃x∃y ma da x = y + 1
che implica x 6= y; infatti si potrebbe anche scrivere:
∃x(pr(x) ∧ pr(x + 1)),
dando per scontato (vedremo che si tratta di un assioma dei numeri
naturali) che x 6= x + 1 e i numeri sono due.
7
Con “banalmente” s’intende che dati x e y come z si può prendere o x o y, e la formula
non ci dà veramente informazioni.
130
10.3
Variabili libere e vincolate
La clausola 4 della definizione del linguaggio predicativo8 è la clausola nuova,
rispetto al linguaggio proposizionale.
In una formula del tipo (∀xA), o (∃xA), A si chiama raggio d’azione
del primo quantificatore universale, o rispettivamente esistenziale. Tutte
le occorrenze di x all’interno del raggio d’azione vanno intese in senso o
universale, o rispettivamente esistenziale.
Naturalmente in (∀xA) fuori dal raggio d’azione del primo quantificatore
non c’è nulla, ma si potrebbe costruire (∀xA) ∧ B.
Per le occorrenze di x al di fuori del raggio d’azione del quantificatore, se
non cadono dentro al raggio d’azione di un altro quantificatore, il senso in cui
vanno interpretate non è determinato. L’interpretazione di tutta la formula
allora è ambigua, o necessita di ulteriori precisazioni per essere compresa.
Ad esempio ∀x(x2 + 1 > 0), che si legge “per tutti gli x, x2 + 1 > 0”,
ha un senso compiuto, è l’affermazione di un fatto, e in particolare è vera in
tutti i domini numerici usuali ordinati; nella formula
(∀x(x2 + 1 > 0)) ∧ x < 0
invece l’ultima x è indeterminata, non cadendo nel raggio d’azione di nessun
quantificatore9 . Si può studiare l’insieme di verità associato; nell’universo dei
reali, per esempio, tale insieme è l’insieme dei numeri negativi; nell’universo
dei naturali, è vuoto. La prima parte ∀x(x2 + 1 > 0) della congiunzione è
vera in entrambi i casi e non contribuisce nulla alla delimitazione dell’insieme
di verità.
In ∀x(x2 + 1 > 0) ∧ ∃x(x < 0) l’ultima occorrenza di x cade nel raggio
d’azione di ∃x, e si ha la congiunzione di due formule che corrispondono
entrambe ad affermazioni di senso compiuto, vere negli interi, razionali o
reali, mentre la seconda è falsa nei naturali.
Le occorrenze di una variabile entro il raggio d’azione di un quantificatore
relativo a quella variabile si dicono vincolate dal quantificatore (e cosı̀ pure la
x adiacente a ∀ in ∀x o a ∃ in ∃x, che spesso non viene neanche menzionata);
altrimenti si dicono libere.
8
Con “linguaggio” s’intende talvolta il complesso di alfabeto, regole sintattiche e nozioni
semantiche, altre volte semplicemente l’insieme delle formule (o delle proposizioni per il
linguaggio proposizionale).
9
Abbiamo messo ancora le parentesi esterne a (∀x(x2 + 1 > 0)) perché fosse chiaro dove
finisce il raggio d’azione del quantificatore universale.
131
Se si vuole mettere in evidenza che la formula A contiene occorrenze libere
di x si scrive A(x), se contiene occorrenze libere di x e di y A(x, y).
Qualche volta si dice brevemente che x è libera in A per dire che in
A vi sono occorrenze libere di x, o che x è vincolata per dire che vi sono
occorrenze vincolate, ma bisogna fare attenzione che allora come abbiamo
visto una variabile può essere sia libera sia vincolata in una formula.
Le formule in cui non ci sono occorrenze libere di variabili si dicono enunciati . Sono le formule per cui ha senso chiedere se sono vere o false (una volta
fissata l’interpretazione con il dominio di discorso).
Le formule che non sono enunciati non esprimono frasi, piuttosto definiscono insiemi, o relazioni, a seconda di quante variabili libere hanno.
Un’altra loro funzione è quella di intervenire nel procedimento per decidere se gli enunciati sono veri o falsi.
In ∀x(x2 + 1 > 0) ∧ x < 0 le prime due occorrenze di x sono vincolate; la
terza è libera.
In ∀x(x2 + 1 > 0) ∧ ∃x(x < 0) tutte le occorrenze della x sono vincolate, ma le prime due dal quantificatore universale, le altre dal quantificatore
esistenziale.
Un quantificatore può cadere entro il raggio d’azione di un altro quantificatore, come si è visto in diversi esempi.
Ma un quantificatore relativo a una variabile x può anche cadere entro il !!!
raggio d’azione di un altro quantificatore relativo alla stessa x. Ad esempio,
dopo aver considerato la formula del tipo p(x), con una variabile x che occorre
libera:
∀x(x2 + 1 > 0) ∧ x < 0
nel dominio degli interi, e aver verificato che il suo insieme di verità non è
vuoto, si ottiene un enunciato vero premettendo ∃x. Infatti
Vp(x) 6= ∅ se e solo se ∃x(x ∈ Vp(x) ) se e solo se ∃xp(x).
Ma allora si ottiene l’enunciato
∃x(∀x(x2 + 1 > 0) ∧ x < 0),
che richiede di essere letto con attenzione. Quando nella costruzione di una
formula si premette ad A un quantificatore con la variabile x, questo quantificatore vincola tutte le occorrenze di x che sono libere in A, e solo quelle.
132
Proprio per come è stato ottenuto, è chiaro che il quantificatore esistenziale
nell’esempio vincola l’occorrenza di x che prima era libera, cioè l’ultima, e
solo quella. L’azione del quantificatore esistenziale premesso ∃x scavalca la !!!
parte d. . . e in
d∀x(x2 + 1 > 0)∧ex < 0,
dove non ci sono occorrenze libere di x, per agire su x < 0 dove x occorre
libera. Le occorrenze vincolate di x in d. . . e, essendo già vincolate, sono
insensibili all’azione di un altro quantificatore. In effetti, è come se fosse
scritto ad esempio
∀z(z 2 + 1 > 0) ∧ x < 0,
e si ottenesse perciò
∃x(∀z(z 2 + 1 > 0) ∧ x < 0),
che è un modo di scrivere l’enunciato più chiaro, ed equivalente. Se si legge la
frase in italiano si vede bene che non c’è interferenza tra le occorrenze libere
e vincolate di x, perché si possono usare locuzioni diverse; “esiste un numero
tale che, mentre ogni numero elevato al quadrato e aumentato di 1 è maggiore
di 0, lui è negativo”10 . Ancor meglio, conviene leggere: “mentre ogni numero
elevato al quadrato e aumentato di 1 è maggiore di 0, esiste un numero che
è negativo”. Infatti un altro modo di evitare difficoltà interpretative è quello
di andare a piazzare il nuovo ∃x dove è richiesto, cioè scrivendo
∀x(x2 + 1 > 0) ∧ ∃x(x < 0).
Vedremo in seguito che tali trasformazioni equivalenti sono legittime.
Infine un quantificatore relativo ad una variabile x si può premettere anche a una formula che non contenga alcuna occorrenza di x libera, ad esempio
∃x∀y(y 2 + 1 > 0) o anche ∃x∀x(x2 + 1 > 0) o ∀x(y < 0). La definizione di
“formula” non lo esclude11 . In questi casi l’effetto del primo quantificatore
è nullo, la sua presenza superflua, e la formula ottenuta equivalente a quella
originaria.
10
Si è usato qui “mentre” come congiunzione, per sottolineare la non connessione tra le
due parti della frase.
11
Non lo esclude perché sarebbe stato complicato inserire la condizione sulle occorrenze
libere nella definizione stessa iniziale.
133
10.4
Interpretazioni
Le formule matematiche presentate negli esempi del paragrafo 10.2 possono
essere interpretate in diversi domini numerici; alcune sono vere negli uni e
false negli altri. La possibilità di diverse interpretazioni è ancora più evidente
in formule del tipo ∀x(∃yA(x, y) ↔ F (x)), dove ci sono simboli predicativi A
e F che non hanno un’interpretazione nemmeno nell’uso comune (come è il
caso dei simboli matematici), e questa è la caratteristica della logica formale.
∀x(∃yA(x, y) ↔ F (x)) può essere interpretato nell’universo delle persone,
e significare che chi ha un amico è felice, e solo se ha un amico - se A e F sono
interpretati in questo modo12 ; ma lo stesso enunciato può essere interpretato
nei numeri naturali, usando A(x, y) per “x è divisibile per y con quoziente
maggiore di 1 e minore di x” e F (x) per “x è un numero composto”, e
l’enunciato è vero in questa intepretazione.
Prima di chiedersi se un enunciato è vero o no occorre precisare quale
interpretazione si ha in mente, vale a dire innanzi tutto quale sia l’universo del
discorso, che deve essere un insieme non vuoto U ; quindi si devono stabilire le
relazioni e funzioni su questo insieme che corrispondono ai simboli predicativi
e funzionali che occorrono nell’enunciato. Se ci sono costanti, bisogna fissare
gli elementi di U di cui le costanti sono nomi.
Dare un’interpretazione significa conoscere gli insiemi definiti dalle loro
formule atomiche, o i loro insiemi di verità13
Dare un’interpretazione comporta anche in particolare di determinare
quali elementi denotano le costanti e tutti i termini chiusi, e se questi elementi stanno o no nelle relazioni in esame, e quindi se gli enunciati atomici
sono veri o no. Un enunciato privo di quantificatori, ma contenente connettivi, ad esempio 1 = 1 + 0 ∨ 1 6= 1 è vero in un’interpretazione U se assume
il valore 1 quando sia considerato come una proposizione costruita a partire
dagli enunciati atomici, ai quali sono assegnati 1 o 0 a seconda che siano veri
o no nell’interpretazione U .
Un enunciato che inizia con un quantificatore universale ∀xA è vero in !!!
un’interpretazione U se l’insieme di verità di A è tutto U . Si dice anche in
12
Qualcuno potrebbe non essere d’accordo che l’enunciato è vero, perché il suo amico
è un cane, e se l’universo è l’universo delle persone, l’∃y non è verificato dal cane; se si
vuole inserire anche gli animali nel discorso, allora l’universo deve essere modificato di
conseguenza a tutti gli esseri viventi.
13
Non si intende che queste conoscenze siano effettive, ma solo determinate in linea di
principio.
134
tal caso che la formula A è valida nell’interpretazione.
Un enunciato che inizia con un quantificatore universale ∃xA è vero in
un’interpretazione U se l’insieme di verità di A non è vuoto. Si dice anche
che la formula A è soddisfacibile nell’interpretazione U .
L’insieme di verità di una formula composta si ottiene ricordando la corrispondenza tra i connettivi e le operazioni insiemistiche, a partire dagli insiemi corrispondenti alle formule atomiche.
Tuttavia l’interrelazione tra quantificatori e connettivi nella valutazione14
di una formula è resa complicata dal fatto che i quantificatori possono trovarsi
non solo all’inizio di una formula. Ad esempio nell’insieme dei numeri interi
Z, l’insieme di verità di
x > 0 ∧ ∃y(x = 2y)
è l’intersezione dell’insieme dei numeri positivi {x | x > 0} e dell’insieme
{x | ∃y(x = 2y)}.
Per determinare questo insieme, occorre prima considerare l’insieme di
coppie {hx, yi | x = 2y }, che è una relazione, ed è l’insieme di verità della
formula x = 2 · y nell’insieme Z × Z (esercizio: rappresentare questo insieme
in un sistema di assi cartesiani xy nel piano), e quindi prendere le ascisse x di
queste coppie. Questo è in generale l’effetto di un quantificatore esistenziale
∃, quello di eseguire una proiezione secondo l’asse della sua variabile.
Analogamente per ∀. L’insieme {x | ∀y(x |y)} si ottiene dall’insieme
{hx, yi | x |y } considerando tutti e soli gli x tali che tutti i punti della retta
parallela all’asse y passante per l’ascissa x stanno nella relazione. Per questo
l’effetto di una quantificatore universale si chiama anche cilindrificazione. In
questo caso si ha solo x = 1.
Nell’ultimo esempio si è usata l’abbreviazione “x divide y”, la quale tuttavia a sua volta nasconde un quantificatore ∃z(x · z = y). L’insieme è semplice da rappresentare,e si decide facilmente quali coppie vi appartengano,
ma in teoria si sarebbe dovuto seguire una strada assai poco intuitiva, partire
da un insieme di terne {hx, y, zi | x · z = y} e proiettare secondo l’asse z,
prima della cilindrificazione.
14
Si chiama anche qui valutazione l’estensione dell’interpretazione a tutte le formule.
135
z6
y
©
*
©©
© zi
rhx,
xz,
©©
©
©
©
rhx, xzi
xz©©©
.......
.
.
.
©
.
.
.....
©©
......
.
.
©
.
.
.
©
.....
©©
.......
x
- x
La definizione di verità in U di un enunciato A è allora la seguente:
siccome se un enunciato A è vero in un’interpretazione su U , l’insieme {x ∈
U | A vero in U } è U , e se è falso è ∅, possiamo dire in generale che un
enunciato è vero in U se il suo insieme di verità è tutto U .
In particolare si noti che ∀xA è vero in U se e solo se A è valida in U .
Si giustifica cosı̀ l’abitudine delle esposizioni di matematica di omettere i
quantificatori universali, ad esempio davanti agli assiomi, presentati come
formule valide.
La verifica della verità di un enunciato si riduce quindi al calcolo del
suo insieme di verità, ∅ o U , calcolo che può richiedere, come si è visto
nell’esempio di sopra, la considerazioni di sottoinsiemi di U × U o di spazi di
maggiori dimensioni.
L’insieme di verità di una formula soddisfa le seguenti condizioni:
se A è della forma ∀xB, l’insieme di verità di A è la cilindirificazione
dell’insieme di verità di B; se A è un enunciato, il suo insieme di verità è U
se l’insieme di verità di B è U , altrimenti è ∅;
se A è della forma ∃xB, l’insieme di verità di A è la proiezione dell’insieme
di verità di B; se A è un enunciato, il suo insieme di verità è U se l’insieme
di verità di B non è vuoto, altrimenti è ∅;
se A è della forma ¬B, l’insieme di verità di A è il complemento dell’insieme
di verità di B;
se A è della forma B ∧ C, l’insieme di verità di A è l’intersezione degli
insiemi di verità di B e di C;
se A è della forma B ∨ C, l’insieme di verità di A è l’unione degli insiemi
136
di verità di B e di C;
se A è atomica, il suo insieme di verità è dato dalla relazione corrispondente al suo simbolo relazionale.
È palese la maggiore complessità della valutazione delle formule rispetto
alle valutazioni proposizionali, e tanto più è auspicabile trovare un riduzione
meccanica di tale compito.
Per lo studio di questioni logiche, si cercherà di usare ove possibile interpretazioni costruite su insiemi finiti, ovviamente più maneggevoli; ma non
sarà sempre possibile, perché esistono enunciati che hanno solo modelli in- !!!
finiti, ad esempio l’enunciato ∀x¬R(x, x) ∧ ∀x∃yR(x, y).
10.5
Sui quantificatori ristretti
L’interpretazione intesa per una formula spesso si coglie e si fa capire leggendo
opportunamente i quantificatori, visto che le variabili variano - prendono
valori - nell’universo U fissato. ∀x si può allora leggere a seconda di come è
U , “tutte le persone . . . ” oppure “tutti i numeri naturali . . . ”.
Le variabili non variano mai sulla totalità delle cose esistenti, ma su un
insieme (di volta in volta) fissato, anche se è chiamato universo. Ma è detto
anche opportunamente “modello”.
In molte frasi tuttavia i quantificatori apparentemente non si riferiscono a
tutti gli elementi dell’universo ma a parti più ristrette; in un’interpretazione
aritmetica per esempio non iniziano con “tutti i numeri” ma con “tutti i
numeri positivi”, o “tutti i numeri primi”; e raramente si parla di tutti gli
esseri viventi, ma piuttosto di tutti gli uomini, o di tutte le donne, o di tutti
gli italiani e cosı̀ via restringendo.
Talvolta si usano diverse specie di variabili, che variano su sottoinsiemi
dell’universo, come ad esempio quando si stanno studiando i numeri reali
e si dice che si useranno le lettere m, n a indicare numeri naturali. Non
è tuttavia necessario avere a disposizione diversi quantificatori ristretti o
diverse specie di variabili perché si realizzino queste possibilità, grazie all’uso
del condizionale materiale.
Per affermare che tutti i numeri positivi hanno una radice quadrata, si è
scritto
∀x(0 < x → . . . );
per affermare che tutti i numeri primi maggiori di 2 sono dispari si scrive
137
∀x(pr(x) ∧ 2 < x → . . . );
per affermare che tutti i tedeschi sono biondi si scriverà ad esempio
∀x(T (x) → B(x)),
dove il quantificatore ∀x è letto rispettivamente “per tutti i numeri” o “per
tutte le persone”, cioè con la x che varia su tutto l’universo. Il senso voluto
è garantito da un predicato restrittivo nell’antecendente del condizionale. Se
l’ultimo enunciato è vero per tutte le persone, allora ogni tedesco rende vero
l’antecedente e quindi vero il conseguente, ed è vero che tutti i tedeschi sono
biondi; se viceversa è vero che tutti i tedeschi sono biondi, anche l’enunciato
di sopra che si riferisce con ∀x non ai tedeschi ma a tutte le persone è vero: se
uno è tedesco, allora è biondo e il condizionale è vero; se uno non è tedesco,
il condizionale è comunque vero avendo l’antecedente falso.
In pratica, gli aggettivi sono resi da predicati con l’ausilio del condizionale:
in “tutte le persone tedesche sono bionde” l’aggettivo “tedesco” diventa il
predicato “essere tedesco” e la frase “tutte le persone, se sono tedesche, sono
bionde”.
“Tutti i P sono . . . ” e “qualche P è . . . ”, dove P delimita il campo di
variabilità del riferimento, si realizzano introducendo un predicato unario P
e scrivendo rispettivamente ∀x(P (x) → . . . ) e ∃x(P (x) ∧ . . . ). Si noti ovviamente la differenza nel caso del quantificatore esistenziale, dove la restrizione
è realizzata con la congiunzione, che viene dalla traduzione di “esiste uno che
è P e che . . . ”.
Ricordiamo che sono frequenti abbreviazioni del tipo ∀x > 0 . . . per
∀x(0 < x → . . . ), ad esempio ∀x > 0 ∃y(x = y 2 ), o ∀x 6= y . . . o ∀x ∈ X . . . ,
e analogamente per ∃. Bisogna tuttavia ricordare la forma estesa con i connettivi (→ nel caso di ∀ e ∧ nel caso di ∃), per interpretare tali abbreviazioni
in modo corretto. Ad esempio ∀x ∈ X(x ∈ Y ) significa ∀x(x ∈ X → x ∈ Y ),
cioè X ⊆ Y , mentre ∃x ∈ X(x ∈ Y ) significa ∃x(x ∈ X ∧ x ∈ Y ), cioè
X ∩ Y 6= ∅.
10.6
Esercizi
1. Scrivere in linguaggio predicativo tutte le definizioni relative alle relazioni d’ordine del paragrafo 5.3 (massimo, maggiorante, . . . ).
2. Quali sono gli insiemi di verità in N di
138
∃y(2y = x ∧ ∃z(2z = y))
e
∃y(2y = x ∧ ∃y(2y = x)) ?
3. Quali sono gli insiemi di verità in N di
∃y(xy = 2 ∧ ∃z(yz = 2))
e
∃y(xy = 2 ∧ ∃y(xy = 2)) ?
4. In un’assemblea di politici, questi si dividono in onesti e disonesti, e si
sa che a) esiste almeno un politico onesto; b) presi due politici a caso,
uno almeno è disonesto. Si formalizzino le condizioni sui politici.
Se nell’assemblea ci sono cento politici, si può decidere quanti sono gli
onesti e quanti i disonesti?
139
11
Leggi logiche
La terminologia semantica introdotta per i linguaggi proposizionali si estende
agli enunciati predicativi. Un’interpretazione (del linguaggio) dell’enunciato
A si dice modello di A se A è vero nell’interpretazione.
Un enunciato A si dice logicamente vero se è vero in ogni interpretazione,
e si scriverà |= A.
Un enunciato B si dice conseguenza logica di A se in ogni interpretazione
in cui A è vero anche B è vero, e si scriverà A |= B.
Un enunciato B si dice logicamente equivalente a un enunciato A se A |=
B e B |= A.
Un enunciato A si dice insoddisfacibile o contraddittorio o inconsistente
se non è vero in nessuna interpretazione.
Vale ancora che per ogni A e B, A |= B se e solo se |= A → B se e solo
se A ∧ ¬B è insoddisfacibile.
Qualche volta, poiché gli enunciati sono pur sempre formule, si dice anche
“A logicamente valida” per |= A.
Ma inoltre si estendono le definizioni in modo da applicarle proprio anche
a formule con variabili libere. Se A è una formula in cui occorre x libera, A
si dice logicamente valida se ∀xA è logicamente vero, cosı̀ come si dice valida
in un’interpretazione se ∀xA è vero in quell’interpretazione. Una formula si
dice soddisfacibile se esiste un’interpretazione in cui essa è valida1 .
Le formule logicamente valide continuano a chiamarsi anche leggi logiche.
Esempi di leggi logiche si ottengono facilmente partendo da tautologie proposizionali e rimpiazzando le lettere che vi compaiono con formule
qualunque di un linguaggio predicativo, la stessa formula a tutte le occorrenze della stessa lettera.
Ad esempio da |= p ∨ ¬p segue |= ∃xP (x) ∨ ¬∃xP (x). Infatti, data una
qualunque intepretazione, con un qualunque predicato per P , in essa ∃xP (x)
risulterà o vero o falso. Se risulta vero, è come se si assegnasse il valore 1
a p nella proposizione; se risulta falso, è come se si assegnasse 0 a p nella
proposizione; ma questa è una tautologia, per cui risulta vera in entrambi
i casi, e i calcoli che si fanno a partire dai valori di p per arrivare al valore
dalla proposizione p ∨ ¬p sono gli stessi che si fanno a partire dal fatto che
∃xP (x) è vero o no per arrivare a dire se ∃xP (x) ∨ ¬∃xP (x) è vero o no. Non
1
Si ricordi che invece una formula A si dice soddisfacibile in un’interpretazione U se
∃xA è vero in U ; e generalizzando, se A è del tipo A(x, y), s’intende ∃x∃yA(x, y) vero.
140
c’è bisogno di considerare alcuna interpretazione e vedere se in essa ∃xP (x)
è vero o falso, perché comunque essa sia, e comunque sia l’interpretazione di
P , e quindi il valore di ∃xP (x), in essa ∃xP (x) ∨ ¬∃xP (x) risulterà vero.
Lo stesso succede con qualsiasi altra tautologia, e con la sostituzione di
una qualunque formula.
Quindi tutte le leggi logiche proposizionali restano tali considerando ora le
lettere A, B, . . . che vi compaiono come formule di un qualunque linguaggio
predicativo.
Ma esistono anche altre leggi logiche per formule con quantificatori che
non si ottengono in questo modo. Ad esempio
∀x¬A ↔ ¬∃xA
è una di queste2 .
Per verificarlo si ragiona nel seguente modo: in una qualunque interpretazione, se ∀x¬A è vero, l’insieme di verità di ¬A è tutto l’universo, quindi
l’insieme di verità di A è vuoto; allora ∃xA è falso, e quindi ¬∃xA è vero.
Analogamente nell’altra direzione (esercizio). 2
La legge si può considerare una generalizzazione di quelle di De Morgan,
se si pensa che affermare ∀xA(x) sia come fare una grande congiunzione per
tutte le A(x), e affermare ∃xA(x), cioè che A vale per almeno un x, sia come
fare una grande disgiunzione.
Si è visto già nella definizione di unione e intersezione generalizzate come
i quantificatori esistenziale ed universale siano usati come generalizzazione
della disgiunzione e della congiunzione.
Se si combina questa legge logica con quella della doppia negazione si
ottengono altre versioni, come
¬∀x¬A ↔ ∃xA
o
∀xA ↔ ¬∃x¬A
che mostrano come i due quantificatori non siano indipendenti, ma l’uno
definibile in termini dell’altro, e della negazione.
2
Nella verifica di questa e delle successive leggi logiche, come già nella precedente
A ∨ ¬A, supporremo per semplicità che si tratti di enunciati, per mostrare solo in modo
più facile l’idea soggiacente.
141
La legge tipica del quantificatore universale è la legge di particolarizzazione
∀xA(x) → A(t),
dove A(t) si ottiene sostituendo il termine t a tutte le occorrenze libere di x
in A.
Questa legge intuitivamente esprime il fatto che, se in una qualunque
interpretazione vale ∀xA(x), allora A vale per un qualsiasi individuo, in particolare quello descritto da t; ma occorre prestare attenzione alle insidie linguistiche non percepibili in una trattazione formale. La lettura della legge è
corretta se affermando che vale A(t) si intende che la proprietà espressa da
A vale per l’individuo rappresentato da t, sempre la stessa proprietà applicata a diversi individui. Alcune sostituzioni sintatticamente lecite tuttavia
modificano il senso di A(t).
Se ad esempio A(x) è la formula ∃y(x 6= y), allora è vero che, poniamo
nei naturali, ma qualsiasi interpretazione con almeno due elementi andrebbe
ugualmente bene, ∀x∃y(x 6= y) e in particolare ∃y(0 6= y), ∃y(1 6= y), ∃y(1 +
1 6= y), come pure ∃y(x2 6= y) o ∃y(z 6= y).
Se però si sostituisce a x la variabile y allora non si ha più la stessa
proprietà affermata per y, come prima lo era per x, o per z o per x2 , ma si
ha ∃y(y 6= y), che a parte che è falsa, non ha più lo stesso significato.
Un esempio tratto, forzosamente, dal linguaggio comune potrebbe essere
il seguente, dove si suppone di usare “Tizio” e “Caio” come variabili: invece
di dire che ognuno ha un padre, si dica “ogni Tizio ha un Caio per padre”;
particolarizzando, non si può dedurre “Caio ha Caio per padre”.
Le sostituzioni richiedono cautela anche al di fuori del contesto della particolarizzazione; ad esempio, posto che x|y ↔ ∃z(x · z = y) significa che x
divide y, allora (2x)|y significa che 2x divide y, 1|y che 1 divide y, 0|y che 0
divide y, u|y che u divide y, ma z|y significa che y è un quadrato.
Quando si applica la legge di particolarizzazione per dedurre A(t) da !!!
∀xA(x) perciò, t per essere ammissibile non deve essere e non deve contenere
variabili quantificate in A e tali che qualche occorrenza libera di x cade nel
raggio d’azione di tali quantificatori. I termini chiusi sono sempre ammissibili.
Le applicazioni della legge sono frequenti; gli assiomi di una teoria sono in
genere enunciati che iniziano con un quantificatore universale (oppure sono
presentati come formule valide, supponendo tacitamente una possibilità di
142
sostituzione di termini qualsiasi alle variabili che è di fatto un’applicazione
della particolarizzazione).
Si trovano esempi in cui t è chiuso come esempi in cui contiene variabili.
Esempio
La legge boleana dell’unicità dell’elemento neutro dell’addizione
∀x(x + y = x) → y = 0
si può dimostrare in questi due modi.
Applicando a ∀x(x + y = x) la particolarizzazione con 0 si ottiene 0 =
y = 0 da cui con trasformazioni algebriche, utilizzando y + 0 = y, si arriva a
y = 0.
Applicando invece a ∀x(x+y = x) la particolarizzazione con −y si ottiene
−y + y = −y, quindi 1 = −y e y = 0.
Nell’esempio la formula quantificata universalmente è del tipo ∀xA(x, y),
e −y è ovviamente ammissibile perché A(x, y) non contiene quantificatori.
Una legge simmetrica rispetto a quella di particolarizzazione, che si chiama
anche di generalizzazione esistenziale, o di indebolimento esistenziale, afferma che è logicamente valida
A(t) → ∃xA(x),
con le stesse restrizioni su t.
Ad esempio, siccome y + (−y) = 0 vale negli interi, si può dedurre ∃x(y +
x = 0); qui bisogna pensare che A(t) è y + (−y) = 0, con −y per t, e che
è ottenuta da y + x = 0 per sostituzione di −y a x. Ma potrebbe essere
stata ottenuta per sostituzione di −y a z in y + z = 0 e si può altrettanto
correttamente dedurre ∃z(y + z = 0).
Un’applicazione di questa regola appare nella prima dimostrazione del
paragrafo 7.1, a proposito della proprietà che se due numeri sono divisibili
per 3 anche la loro somma lo è. Allora partendo da n = 3i e m = 3j ed
arrivando a n+m = 3(i+j) si concludeva correttamente che ∃k(n+m = 3k).
Se si combinano in serie particolarizzazione e generalizzazione esistenziale
si ottiene
∀xA(x) → ∃xA(x),
143
che è valida in quanto si considerano solo sempre interpretazioni in cui
l’universo non è vuoto3 .
Sono leggi logiche anche le leggi di rinomina delle variabili vincolate,
∀xA(x) ≡ ∀yA(y)
e
∃xA(x) ≡ ∃yA(y),
dove y è una variabile che non occorre in A(x)4 . È come se in italiano una
frase venisse espressa una volta con un “tutti” una volta con “chiunque” o
altro costrutto.
Altre leggi stabiliscono dei rapporti tra connettivi e quantificatori che
permettono di trasformare le formule in altre equivalenti con un diverso segno
logico principale:
∀x(A ∧ B) ≡ ∀xA ∧ ∀xB
∃x(A ∨ B) ≡ ∃xA ∨ ∃xB
distributività di ∀ su ∧
distributività di ∃ su ∨
sono immediate conseguenze del significato dei simboli logici.
Mentre è pure ovvio che siano logicamente valide
∀xA ∨ ∀xB → ∀x(A ∨ B)
∃x(A ∧ B) → ∃xA ∧ ∃xB,
non valgono le implicazioni inverse.
Se ad esempio U è un insieme con due elementi {a, b} e l’interpretazione
di P è {a} e l’interpretazione di Q è {b}, allora in questa interpretazione
∀x(P (x) ∨ Q(x)) è vero, mentre sono falsi sia ∀xP (x) (l’insieme di verità di
P (x) non è tutto U ) sia ∀xQ(x).
Esercizio. Si trovi un’interpretazione in cui ∃xA∧∃xB è vero e ∃x(A∧B)
è falso.
Sono particolarmente importanti le leggi che regolano i rapporti tra quantificatori e condizionale. Mentre è facile convincersi che la distributività di ∀
su →
3
Se si scegliesse come U l’insieme di tutte le creature della fantasia, non si potrebbe
pretendere, come non si pretende, che ivi valgano tutte le leggi della logica.
4
Sarebbero possibili condizioni meno forti sull’eventuale presenza di y in A(x), che
tuttavia devono sempre evitare che si verifichi il fenomeno di stravolgimento di senso
illustrato a proposito della particolarizzazione, e che non è il caso di approfondire.
144
∀x(A → B) → (∀xA → ∀xB)
è logicamente valida, l’inversa non lo è. Per trovare un controesempio, si
deve pensare ad un’interpretazione in cui ∀xP (x) → ∀xQ(x) sia vero semplicemente perché ∀xP (x) è falso, mentre non è vero ∀x(P (x) → Q(x)).
L’insieme U = {a, b, c} con {a, b} per l’insieme di verità di P (x) e {b, c} per
l’insieme di verità di Q(x) risponde allo scopo.
Se A non contiene x libera, allora
∀x(A → B(x)) ≡ A → ∀xB(x)
e
∃x(A → B(x)) ≡ A → ∃xB(x).
Per verificare la prima, dato un U qualsiasi e supposto che A sia un enunciato,
distinguiamo due casi. Se A è falso, A → ∀xB(x) è vero, ma d’altra parte
anche ∀x(A → B(x)) è vero perché l’insieme di verità di A → B(x), che è
sempre soddisfatta se A è falso, è tutto U .
Se A è vero, l’insieme di verità di A → B(x) è uguale all’insieme di verità
di B(x). Se è uguale a U , ∀x(A → B(x)) è vero, ma anche ∀xB(x) lo è, e
cosı̀ pure A → ∀xB(x). Se non è uguale a U si ha falso da entrambi i lati. 2
Queste leggi esprimono un caso particolare della possibilità di mettere il
quantificatore nella posizione in cui il suo raggio d’azione esplica la sua funzione effettiva, sulle occorrenze libere della variabile (spostarlo all’indentro).
Altri casi analoghi sono le leggi
∀x(A ∨ B(x)) ≡ A ∨ ∀xB(x)
e
∃x(A ∧ B(x)) ≡ A ∧ ∃xB(x)
se x non occorre libera in A.
Dello stesso tipo, ma più sorprendenti forse sono le leggi
∀x(A(x) → B) ≡ ∃xA(x) → B
e
∃x(A(x) → B) ≡ ∀xA(x) → B
145
!!!
se x non occorre libera in B.
La prima legge corrisponde al seguente uso linguistico: quando si dice
che qualche cosa, espressa da B, dipende solo dal fatto che (l’insieme di
verità di) A non sia vuoto, e non da un particolare elemento (come sarebbe
se x occorresse in B e dovesse soddisfarla), allora si può enfatizzare che
qualunque elemento va bene. Se si afferma “se uno ha un amico è felice” ∃xA(x, y) → F (y) - si vuol dire che qualunque sia l’amico, anche un cane,
porta felicità (a y).
Per la dimostrazione, si supponga ∃xA(x) → B vero, quindi B vero o
∃xA(x) falso. Se B è vero, allora l’insieme di verità di A(x) → B è tutto
l’universo, perché per ogni elemento il condizionale ha il conseguente vero. Se
∃xA(x) è falso, di nuovo l’insieme di verità di A(x) → B è tutto l’universo,
perché per ogni elemento il condizionale ha l’antecedente falso.
Se invece ∃xA(x) → B è falso, allora B è falso e ∃xA(x) è vero, quindi
almeno un elemento soddisfa A. Quando si esamina la formula A(x) → B,
per questo elemento si ha vero-falso per il condizionale, che risulta falso, e
quindi l’insieme di verità di A(x) → B non è tutto l’universo e ∀x(A(x) → B)
è falso. 2
L’altra analoga legge si ricava nello stesso modo; se ∃x(A(x) → B) è vero
in U , allora qualche elemento di U soddisfa A(x) → B; se B è vero, anche
∀xA(x) → B lo è; se A(x) non è soddisfatto da questo elemento, allora
∀xA(x) è falso e ∀xA(x) → B è vero.
Se ∃x(A(x) → B) è falso, per qualunque elemento A(x) → B non è
soddisfatta, quindi il calcolo del condizionale porta a un vero-falso, e A(x)
deve essere soddisfatta e B deve essere falso; ma allora ∀xA(x) è vero e B è
falso e ∀xA(x) → B falso. 2
Le equivalenze che permettono di spostare all’interno i quantificatori permettono anche di spostarli all’esterno; si ottiene cosı̀ che ogni formula è
equivalente ad una formula in cui tutti i quantificatori sono all’inizio - e
formano il cosiddetto prefisso - seguiti da una formula senza quantificatori detta matrice; una formula scritta in questo modo di dice in forma prenessa 5 .
Ad esempio ∀xP (x)∨∀xQ(x) → ∀x(P (x)∨Q(x)) è equivalente (esercizio)
a ∃x∃y∀z(P (x) ∨ Q(y) → P (z) ∨ Q(z)). Esistono altre forme prenesse della
stessa formula, a seconda dell’ordine in cui si esportano i quantificatori.
5
L’interesse di tale trasformazione sta nel suo essere il passo preliminare di
un’elaborazione su cui si basano i dimostratori automatici più efficienti.
146
Leggi logiche notevoli 2
∀x¬A ↔ ¬∃xA
interdef inibilità dei quantif icatori
¬∀x¬A ↔ ∃xA
∀xA ↔ ¬∃x¬A
∀xA(x) → A(t)
particolarizzazione (t ammissibile)
A(t) → ∃xA(x)
generalizzazione esistenziale ”
∀xA(x) ↔ ∀yA(y)
rinomina
∃xA(x) ↔ ∃yA(y)
rinomina
∀x(A ∧ B) ↔ ∀xA ∧ ∀xB
distributività di ∀ su ∧
∃x(A ∨ B) ↔ ∃xA ∨ ∃xB
distributività di ∃ su ∨
∀xA ∨ ∀xB → ∀x(A ∨ B)
distributività parziale di ∀ su ∨
∃x(A ∧ B) → ∃xA ∧ ∃xB
distributività parziale di ∃ su ∧
∀x(A → B) → ∀xA → ∀xB
distributività parziale di ∀ su →
∀x(A → B(x)) ↔ A → ∀xB(x)
(x non libera in A)
∃x(A → B(x)) ↔ A → ∃xB(x)
(x non libera in A)
∀x(A ∨ B(x)) ↔ A ∨ ∀xB(x)
(x non libera in A)
∃x(A ∧ B(x)) ↔ A ∧ ∃xB(x)
(x non libera in A)
∀x(A(x) → B) ↔ ∃xA(x) → B
(x non libera in B)
∃x(A(x) → B) ↔ ∀xA(x) → B
(x non libera in B)
∀x∀yA(x, y) ↔ ∀y∀xA(x, y)
scambio dei quantif icatori
∃x∃yA(x, y) ↔ ∃y∃xA(x, y)
scambio dei quantif icatori
11.1
Esercizi
1. Trasformare in forma prenessa le seguenti formule:
∀x∃yR(x, y) ∧ (∃xP (x) ∨ ∃xQ(x))
∀x∃yR(x, y) ∨ (∃xP (x) ∧ ∃xQ(x))
∀xP (x) ∨ ∀x(Q(x) → ∃zR(x, z))
∀x(P (x) ∨ ∀xQ(x)) → ∃x(P (x) ∨ Q(x)).
2. Dedurre la generalizzazione esistenziale dalla particolarizzazione universale e da De Morgan generalizzata.
147
12
Quantificatori e dimostrazioni
Completata la presentazione del linguaggio dei predicati possiamo rivedere
alcuni casi di dimostrazioni; quelli trattati finora riguardavano anche formule
contenenti variabili, ma i passaggi logici discussi erano solo quelli di tipo
proposizionale, glissando sulla gestione delle variabili.
Le frasi matematiche presenti nelle premesse e conclusioni di una dimostrazione sono rappresentate da enunciati di linguaggi predicativi, mentre
i passaggi intermedi di solito sono formule, formule algebriche1 o loro combinazioni proposizionali, con variabili libere; si tratta di vedere come si fa a
togliere e (ri)mettere i quantificatori.
Queste mosse sono le sole da aggiungere; per il resto restano valide tutte
le regole logiche e le strategie già considerate, visto che le regole di inferenza
che rispettano la relazione di conseguenza logica valgono anche quando le
lettere indicano formule di linguaggi predicativi.
Riprendiamo l’esempio di
se x è divisibile per 2, allora x + 1 non è divisibile per 2,
che in simboli diventa, come abbiamo visto,
∀x(∃y(x = 2y) → ¬∃y(x + 1 = 2y)).
Per dimostrare questo enunciato, dimostriamo la formula
∃y(x = 2y) → ¬∃y(x + 1 = 2y),
quantificando alla fine universalmente la variabile x trattata in senso universale nel corso della dimostrazione.
Per dimostrare un condizionale, assumiamo come premessa l’antecedente
e deduciamo il conseguente.
Data ∃y(x = 2y), diciamo “sia c un elemento tale che x = 2c” e scriviamo
x = 2c,
dove c è una nuova costante.
1
Una definizione generale di “formula algebrica” potrebbe essere “formula atomica con
predicato = o < e termini complessi”.
148
Si dice che x = 2c è ottenuta per esemplificazione esistenziale. La mossa
riassume il ragionamento “introduciamo un nome temporaneo per uno2 di
questi elementi che soddisfano la formula x = 2y”, nome che non può essere uno di quelli disponibili nell’alfabeto perché non si sa quale sia questo
elemento3 .
Ora da x = 2c occorre dedurre ¬∃y(x + 1 = 2y). La forma negativa
suggerisce di fare una dimostrazione per assurdo; si assume quindi
∃y(x + 1 = 2y).
Di nuovo, sia d una nuova costante, per cui x + 1 = 2d. d non solo deve
essere nuova non solo rispetto a quelle del linguaggio originario, ma anche
rispetto a quelle introdotte nel corso dell’argomentazione; in attesa di ulteriori elaborazioni non si sa infatti e non si può dire se l’elemento sia lo stesso
o diverso4 .
Ora occorre svolgere le conseguenze di x = 2c ∧ x + 1 = 2d. c e d vengono
da due mosse indipendenti che non permettono di sapere come sono fra loro
i due elementi cosı̀ denotati; si devono quindi considerare tutte le possibilità,
che c = d, che c < d, che d < c.
c = d porta a una contraddizione x = x + 1; d < c porta a una contraddizione x + 1 < x; c < d porta, per sottrazione, a 1 = 2(d − c) ≥ 2; in ogni
caso una contraddizione, a partire da ∃y(x + 1 = 2y), e da x = 2c, quindi
¬∃y(x + 1 = 2y), come si voleva dimostrare5 .
¬∃y(x + 1 = 2y) è stata dedotta da x = 2c, ma nella conclusione non si
parla di c, utilizzata come appoggio nel ragionamento; il che è bene, perché
non sarebbe opportuno concludere un teorema con una formula in cui occorre
un elemento sconosciuto. D’altra parte l’obiettivo della dimostrazione, fissato
2
In questo esempio particolare ce ne può essere solo uno, ma in generale, col quantificatore esistenziale, non si sa quanti ≥ 1 ce ne sono.
3
Siccome c dipende da x, si dovrebbe piuttosto avere una funzione di x, o una notazione
del tipo cx , che però sarebbe inutilmente pesante.
4
Se alla fine dovesse risultare che d è uguale a c, vuol dire che si sono attributi due
nomi allo stesso elemento, che non è inusuale, sia nella vita comune sia in matematica,
ogni volta che si dimostra che due termini sono uguali, ad esempio 0 = 0 + 0.
5
Ripasso di logica proposizonale: se da p e q segue una contraddizione C, p ∧ q → C,
ne segue ¬(p ∧ q), le due proposizioni sono incompatibili, ma quale salvare? ¬(p ∧ q) è
equivalente sia a p → ¬q sia a q → ¬p. Tuttavia dallo svolgimento della dimostrazione si
vede che in realtà si è dimostrato l’equivalente, per importazione/esportazione, p → (q →
C), da cui p → (¬C → ¬q) e quindi p → ¬q (perché?), e la scelta è dunque implicita
nell’impostazione della dimostrazione.
149
all’inizio, non contemplava elementi sconosciuti, ma enunciati determinati.
E infine nella dimostrazione non si è usata alcuna proprietà di c, se non il
fatto che x = 2c.
Si conclude allora che ¬∃y(x + 1 = 2y) è stata in realtà dedotta da
∃y(x = 2y). 26
Quest’ultimo passaggio tecnicamente chiude l’applicazione della regola
dell’esemplificazione esistenziale, che copre tutti i passi dal momento in cui
si dice “sia c un elemento tale che x = 2c” fino a quando scompare la c. Esso
può sembrare diverso da una meccanica applicazione di una regola sintattica
(una o due premesse e una conclusione immediata).
Prima di discutere questo fatto, vediamo un altro esempio: dimostriamo
che se un numero è divisibile per 4 allora è divisibile per 2. In questo caso
l’elemento sconosciuto apparentemente si mantiene fino alla fine, nella conclusione, ed allora deve essere eliminato da questa con un’applicazione della
generalizzazione esistenziale.
Da
∃y(x = 4y)
si passa a
x = 4c
x = (2 · 2)c
x = 2(2c)
Di qui si vede che x è divisibile per 2, ma non si può terminare con questa
formula. Per generalizzazione esistenziale invece, considerata la formula x =
2(2c) del tipo A(t), con A(y) uguale a x = 2y e t uguale a 2c, si può allora
dedurre
∃y(x = 2y),
quest’ultimo passaggio come applicazione della generalizzazione esistenziale,
per concludere
∃y(x = 4y) → ∃y(x = 2y)
6
La dimostrazione termina poi scrivendo prima ∃y(x = 2y) → ¬∃y(x+1 = 2y) e quindi
poiché x era qualunque, ∀x(∃y(x = 2y) → ¬∃y(x + 1 = 2y)).
150
e
∀x(∃y(x = 4y) → ∃y(x = 2y)). 2
Il problema logico della regola di esemplificazione esistenziale consiste nel
fatto che A(c) non è conseguenza logica di ∃yA(y), e quindi nella successione
di formule che costituiscono la proposta dimostrazione non ogni formula è
conseguenza logica delle precedenti (o un assioma del dominio in oggetto o
una legge logica).
A(c) non è conseguenza logica di ∃yA(y) perché può succedere che in
un’interpretazione ∃yA(y) sia vero ma c non sia uno degli elementi che soddisfano A. Ad esempio ∃y(0 < y) è vero in N, ma se c denota 0 allora 0 < c
è falso. È vero che noi affermiamo A(c), ma questa si presenta come una
nuova assunzione su c, non come una conseguenza di ∃yA(y).
Si può tuttavia dimostrare che, nelle condizioni della regola applicata a !!!
∃yA(y), se B è una formula che non contiene c, e se B è conseguenza logica
di A(c) allora B è conseguenza logica di ∃yA(y) - nonostante A(c) non sia
conseguenza logica di ∃yA(y).
Noi facciamo vedere che la regola di esemplificazione esistenziale si può
giustificare con una serie di regole logiche usuali, nel senso che le sue applicazioni possono essere sostituite da altri ragionamenti che non ne fanno
uso.
Consideriamo di nuovo l’esempio di
∃y(x = 2y) → ¬∃y(x + 1 = 2y).
Se si ricorda la dimostrazione precedente, il problema è sempre quello di
togliere i quantificatori, in modo da poter manipolare poi le formule atomiche
che si trovano nell’antecedente e nel conseguente.
Poiché y non è libera nel conseguente, si può scrivere in modo equivalente
∀y(x = 2y → ¬∃y(x + 1 = 2y));
come nell’esempio dell’amico che rende felici, che può essere qualunque, anche
ora si dice che y può essere qualunque, purché soddisfi poi l’antecedente
x = 2y.
Allora y è trattata in questa versione della dimostrazione come una variabile universale. Data una y qualunque, occorre dimostrare che
151
x = 2y → ¬∃y(x + 1 = 2y),
ovvero
x = 2y → ∀y(x + 1 6= 2y).
Il quantificatore del conseguente può essere spostato nel prefisso, dopo aver
eseguito un’opportuna rinomina, e la formula da dimostrare è equivalente a
∀z(x = 2y → x + 1 6= 2z);
quindi possiamo provare a dimostrare
x = 2y → x + 1 6= 2z,
con tutte le variabili intese in senso universale.
Per assurdo, assumiamo la negazione del condizionale, quindi
x = 2y ∧ x + 1 = 2z,
e con gli stessi calcoli fatti sopra, con y e z al posto rispettivamente di c e d,
arriviamo a una contraddizione.
Abbiamo quindi
x = 2y → x + 1 6= 2z,
e quantificando universalmente
∀x∀y∀z(x = 2y → x + 1 6= 2z),
da cui con le leggi logiche pertinenti
∀x(∃y(x = 2y) → ∀z(x + 1 6= 2z)). 2
Si noti che di solito nel gergo matematico, dove non si usa indicare i
quantificatori, attraverso un’interpretazione (corretta) dell’enunciato da dimostrare si imposta direttamente proprio
se x = 2y, allora x + 1 6= 2z.
Altro esempio. Per dimostrare
∃y(x = 4y) → ∃y(x = 2y)
152
si trasformi la formula nell’equivalente
∀y(x = 4y → ∃y(x = 2y))
e si provi a dimostrare
x = 4y → ∃y(x = 2y).
Partendo da x = 4y si fanno gli stessi passaggi di prima, x = (2 · 2)y,
x = 2(2y) e quindi con la generalizzazione esistenziale ∃y(x = 2y). 2
Un altro problema delle esemplificazioni esistenziali, non logico ma pratico,
è che non c’è l’abitudine di usare coerentemente costanti, ma spesso si utilizzano le variabili.
In riferimento all’esempio precedente, dato ∃y(x = 2y) si propone: “sia y
un elemento tale che x = 2y”.
L’uso di variabili è legittimo, ma richiede diverse cautele.
La variabile y di “sia y tale che A(y)”, a seguito di ∃yA(y), non deve
comparire libera in eventuali altre formule già utilizzate nella dimostrazione,
e che pongono vincoli sull’elemento denotato da y, mentre di questo si sa solo,
e si vuole usare solo il fatto che soddisfa A(y). Nel caso in esame, ∃y(x = 2y)
è la prima assunzione da cui si parte, quindi non si presenta questo problema,
altrimenti si deve usare una nuova variabile e dire “sia w tale che A(w)” o fare prima una rinomina di ∃yA(y). Questo ha anche il vantaggio, se la
variabile è insolita, di ricordare il suo status speciale. Il termine usato per
l’esemplificazione esistenziale deve essere appunto un termine, vale a dire
un’espressione che denota un elemento (sconosciuto salvo per il fatto che
deve soddisfare A) delle interpretazioni. Che il simbolo nuovo sia un c non
presente nell’alfabeto, o un simbolo w presente nell’alfabeto ma mai usato, e
si chiami di conseguenza costante o variabile non fa nessuna differenza, se lo
si gestisce in modo corretto. Se è una variabile, questa variabile libera ha un
senso particolare, non universale, condizione che deve essere tenuta presente
nel corso di tutta la dimostrazione, finché essa non scompare.
La variabile introdotta in un’esemplificazione esistenziale scompare nello
stesso modo come abbiamo visto scomparire la c, ad esempio per generalizzazione esistenziale7 .
7
È in genere il destino più comune delle variabili introdotte a partire da un quantificatore esistenziale.
153
La dimostrazione prosegue come sopra: si deve dimostrare che da x = 2y
segue ¬∃y(x + 1 = 2y).
Per assurdo, si assume x = 2y e ∃y(x + 1 = 2y) e di nuovo si applica
l’esemplificazione esistenziale. La regola richiede che si utilizzi una variabile
diversa da quelle che occorrono libere nella parte precedente, in questo caso
da y.
Si perviene cosı̀ a x = 2y ∧ x + 1 = 2z da cui segue una contraddizione
con gli stessi calcoli di sopra, con y e z al posto rispettivamente di c e d. 2
Altro esempio. La dimostrazione di ∃y(x = 4y) → ∃y(x = 2y) si svolge
come sopra assumendo ∃y(x = 4y) ed esemplifcando: sia y uno di questi, per
cui
x = 4y
x = (2 · 2)y
x = 2(2y)
∃y(x = 2y),
quest’ultima per generalizzazione esistenziale. 2
È come se il quantificatore ∃y, staccato dall’ipotesi, restasse a seguire
dall’alto i vari passi e trasformazioni della sua y, in questo caso in 2y, per
poi alla fine ripiombare nella posizione dovuta.
Useremo sempre le costanti per le esemplificazioni esistenziali, ma si deve
essere avvertiti della possibilità di incontrare l’uso di variabili. Talvolta si
incontrano soluzioni intermedie, ad esempio simboli come x0 , k che sembrano
diversi dalle variabili8 .
La regola relativa all’eliminazione temporanea del quantificatore esistenziale afferma dunque che si può esemplificare un’affermazione esistenziale
∃yA(y) con A(c) o A(w) se per questa via si perviene a una conclusione
che non contiene la costante o non contiene libera la variabile usata per
l’esemplificazione.
Finché la costante o la variabile introdotte come esemplificazione di un
quantificatore esistenziale non sono scomparse, l’argomento è incompleto, e
8
“Teorema: se esiste un massimo interno al dominio, esiste un punto in cui la derivata
si annulla. Dimostrazione: sia x0 un punto di massimo . . . ”. “Teorema: se x è pari allora
. . . Dimostrazione: sia x = 2k . . . ”.
154
non terminato, come in sospeso, per il riferimento a questo elemento sconosciuto. La costante o variabile può scomparire o per passaggi proposizionali
(come sopra, una dimostrazione per assurdo di un altro enunciato, oppure
per il taglio di un modus ponens), o per generalizzazione esistenziale.
L’affermazione ∃yA(y) introdotta per generalizzazione esistenziale comporta un’affermazione apparentemente più debole, generica, rispetto a A(t),
che sembra indicare esplicitamente un elemento con la proprietà A, ma nelle
applicazioni come si è visto, se t deriva da un’esemplificazione esistenziale,
allora in realtà anche la sua denotazione è vaga.
Quello che bisogna assolutamente evitare è di quantificare universalmente !!!
una variabile che sia stata introdotta come esemplificazione di un quantificatore esistenziale (in questo l’uso di una costante ha ovvi vantaggi).
Un esempio di errore clamoroso dovuto a una simile disattenzione è la
seguente dimostrazione di ∃x∀y(x < y) a partire da ∀x∃y(x < y).
Assunto ∀x∃y(x < y), per particolarizzazione si ha ∃y(x < y); per esemplificazione esistenziale, sia y tale che x < y. Se ora dimenticandosi della
natura esistenziale di y si affermasse ∀y(x < y) si potrebbe concludere per
generalizzazione esistenziale che ∃x∀y(x < y).
Ma questa conclusione non è conseguenza della premessa, come si vede
dal fatto che la premessa è ad esempio vera negli interi, mentre la conclusione
non lo è.
A differenza di ∀x∀y e ∃x∃y, non, si possono in generale scambiare tra !!!
loro i quantificatori in ∀x∃y e ∃x∀y 9 .
Anche la gestione della introduzione del quantificatore universale è più
delicata di quanto finora abbiamo lasciato intendere. Si possono legittimamente (ri)quantificare universalmente le variabili libere che derivano per particolarizzazione da un quantificatore universale, ma non è questa tutta la
storia. A volte sembra di lavorare con varibili libere che non derivano da
una particolarizzazione, e che pure hanno un significato universale. La vera
condizione è che le variabili non occorrano libere nelle premesse.
!!!
Ad esempio, se si parte da 0 < x e con un argomento corretto, utilizzando
le proprietà dei numeri reali, si conclude ∃y(x = y 2 ), non si può affermare
∀x∃y(x = y 2 ) - c’è una condizione restrittiva su x stabilita dalla premessa.
In realtà l’argomento che porta da 0 < x a ∃y(x = y 2 ) stabilisce 0 < x →
9
Capita con prefissi diversi di due forme premesse equivalenti di una stessa formula.
155
∃y(x = y 2 ) per x qualunque, senza alcuna premessa (salvo le proprietà dei
numeri reali espresse da enunciati, senza variabili libere). Quindi x non è
libera nelle premesse della derivazione di quest’ultima formula, che non ci
sono, e si può correttamente quantificarla in ∀x(0 < x → ∃y(x = y 2 )).
Un altro caso del genere si ha nell’esempio precedente “se x è pari allora
x + 1 è dispari”. La dimostrazione che da “x è pari” porta a “x + 1 è dispari”
stabilisce “x è pari → x + 1 è dispari” senza premesse che non siano gli
assiomi dei numeri naturali, espressi da enunciati. Quindi si può quantificare
universalmente la x.
Un esempio di errore dovuto a cattiva gestione della quantificazione universale è il seguente. Da ∀x∃y(x < y), per particolarizzazione si ha ∃y(x < y)
e per esemplificazione, sia c tale che x < c. Se ora si quantifica universalmente
x si ottiene ∀x(x < c) e per generalizzazione esistenziale ∃y∀x(x < y). La
conclusione, che afferma l’esistenza di un massimo per <, è palesemente falsa
nei naturali, dove invece la premessa è vera. Ma la premessa è un enunciato,
e sembrerebbe quindi che non vi fossero variabili libere nelle premesse. La
spiegazione sta nel fatto che quanto si dice “sia c tale che x < c” inizia, come !!!
abbiamo detto sopra, un argomento particolare, una sorta di dimostrazione a
parte che non si considera conclusa finché tale c non sparisce legittimamente.
In questa dimostrazione subordinata, x < c è una premessa, e x è libera in
x < c, e non è lecito perciò quantificare universalmente la x.
Queste sottigliezze sono precisate e rese di agevole applicazione nei sistemi di regole che costituiscono i calcoli logici per i linguaggi predicativi, ad
esempio il calcolo della deduzione naturale, che rientrano negli argomenti non
propedeutici.
Esercizio. Si deduca con una dimostrazione la risposta all’esercizio 4 di
10.6.
156
13
Sillogismi
I sillogismi sono forme di ragionamento studiate fin dall’antichità che coinvolgono enunciati di linguaggi predicativi, ancorché di un tipo semplificato;
molti argomenti del linguaggio comune si presentano in tale forma, e rappresentano perciò un utile esercizio, sia di formalizzazione sia di deduzione,
anche al di fuori della matematica.
Gli enunciati che intervengono nei sillogismi contengono solo predicati
monadici, e inoltre sono di una forma particolare.
Gli enunciati presi in considerazione e combinati tra loro affermano sempre una delle seguenti circostanze: che tutti quelli che hanno una proprietà
P hanno anche la proprietà Q; che nessuno di quelli che hanno una proprietà
P hanno la proprietà Q; oppure che qualcuno che ha la proprietà P ha anche
Q, o infine che qualcuno con la proprietà P non ha Q.
Enunciati di questa forma si chiamano, nella tradizione logica, proposizioni categoriche1 .
A prima vista si direbbe che il loro studio costituisca un’analisi dei quantificatori, ma è forse più corretto dire che mette in evidenza e sfrutta alcune
relazioni insiemistiche della sola intersezione, e precisamente
A ∩ B = A,
A ∩ B = ∅,
A ∩ B 6= ∅,
ovvero
ovvero
ovvero
A⊆B
A e B sono disgiunti
A e B non sono disgiunti.
Le proposizioni categoriche venivano scritte e lette nel seguente modo,
dove a fianco mettiamo la versione insiemistica e quella logica moderna:
A
E
I
O
Tutti i P sono Q
Nessun P è Q
Qualche P è Q
Qualche P non è Q
P
P
P
P
⊆Q
∩Q=∅
∩ Q 6= ∅
6⊆ Q
∀x(P (x) → Q(x))
∀x(P (x) → ¬Q(x))
∃x(P (x) ∧ Q(x))
∃x(P (x) ∧ ¬Q(x)).
Le lettere a sinistra sono la sigla con cui venivano indicate le corrispondenti
1
Si ammetteva un’estensione a proposizioni contenenti termini singolari come “Socrate”
introducendo un predicato S per “socraticità”, con un unico elemento, e traducendo
“Socrate è mortale” con “Tutti quelli che hanno la proprietà S sono mortali”.
157
proposizioni2 : A ed E sono proposizioni affermative, rispettivamente universale ed esistenziale; I e O sono negative, rispettivamente universale ed
esistenziale.
Le parole “tutti”, “nessuno”, “qualche” diventavano superflue, sostituite
dalla sigla prefissa; scrivendo “A : P Q” si intendeva la frase “tutti i P sono
Q”, con “I : P Q” la frase “qualche P è Q”, e cosı̀ via. Il simbolismo logico
come si vede ha una lunga storia.
Siccome c’era sempre solo una variabile, non si è sentita l’esigenza di
indicarla. Il verbo era sempre il verbo “essere”; tuttavia noi sappiamo che nei
casi di quantificatore universale (ristretto a P ) esso viene reso dal connettivo
condizionale e in quelli particolari dal connettivo congiunzione.
13.1
Sillogismi categorici
I sillogismi categorici3 sono inferenze in cui occorrono due premesse e una
conclusione, tutte e tre proposizioni categoriche, costruite con tre predicati,
di cui uno inevitabilmente occorre due volte nelle premesse, per stabilire un
legame, e si possono presentare ad esempio nel seguente modo:
I :
E:
O:
P
S
S
M
M
P.
Il predicato S si chiama di solito soggetto, il predicato P predicato e il
predicato M termine medio.
Un sillogismo è valido se la conclusione è conseguenza logica delle premesse.
Tutti i possibili sillogismi si caratterizzano per due aspetti; il primo è
il tipo di proposizioni categoriche che nell’ordine lo costituiscono, si chiama
modo, ed è rappresentato da tre lettere; ad esempio il modo del sillogismo di
sopra è I E O.
2
I simboli per i quantificatori vengono probabilmente da questa tradizione di usare le
lettere per indicare il tipo di quantificazione. In tutte le lingue dei logici moderni, italiano,
inglese, tedesco, “esiste” inizia con “e”, mentre “tutti” inizia con “a” in tedesco e inglese.
Le lettere A e I sono le prime vocali di affirmo, E e O quelle di nego.
3
D’ora in avanti diremo soltanto “sillogismi”.
158
Il secondo parametro è la disposizione dei tre predicati nelle tre proposizioni, e si chiama figura. Se si standardizza le presentazione, ad esempio
chiedendo che la conclusione contenga sempre la coppia S P nell’ordine - da
cui il nome di questi due predicati4 -, osservando che il termine medio deve
sempre comparire in entrambe le premesse - altrimenti si vede facilmente che
il sillogismo non è valido5 - e che l’ordine delle premesse non è rilevante (per
la terminologia, si chiama premessa maggiore quella che contiene S, e minore
l’altra) si ottengono in tutto quattro figure:
SM
P M
SM
MP
MS
MP
MS
P M.
I sillogismi possibili sono 256 (esercizio), ma quelli validi solo 156 .
Dimostrare la validità di un sillogismo equivale a dimostrare che la conclusione è conseguenza logica delle premesse, e questo si può fare con la
derivazione della conclusione dalle premesse con passaggi che conservano la
conseguenza logica. Per dimostrare che un sillogismo non è valido, quando
non lo è, non basta non riuscire a costruire la derivazione dalle premesse,
occorre trovare un controesempio.
Per svolgere le dimostrazioni, occorre usare solo, sulle premesse, la regola
di particolarizzazione sugli enunciati universali e quella di esemplificazione
esistenziale sugli enunciati esistenziali; questa conviene applicarla prima della
particolarizzazione. Quindi si applicano leggi proposizionali e infine i quantificatori si reintroducono o con la generalizzazione esistenziale, se la conclusione è esistenziale, o con quella universale, se la conclusione è universale.
Esempi
Derivazione della conclusione dalle premesse del sillogismo valido
4
Sono grammaticalmente il soggetto e il predicato della conclusione.
A meno che la conclusione non coincida con una premessa.
6
Una lunga controversia ha riguardato il fatto di considerare o no predicati vuoti,
decisione che influenza la validità o meno di certi sillogismi. Nell’antichità si preferiva evitarli; nella trattazione moderna prevale l’interpretazione cosiddetta booleana, che ammette
predicati vuoti. Sono 15 i sillogismi validi nell’interpretazione booleana.
5
159
E:
I :
O:
P
S
S
M
M
P,
ovvero
∀x(P (x) → ¬M (x))
∃x(S(x) ∧ M (x))
∃x(S(x) ∧ ¬P (x)).
Presentiamo la dimostrazione nella seguente tabella, in una colonna in
versione formale, con la successione di formule, nell’altra con la loro lettura
in linguaggio naturale.
Linguaggio predicativo
∃x(S(x) ∧ M (x))
S(c) ∧ M (c)
Linguaggio naturale
Qualche S è un M.
Sia c un S che è anche un M.
S(c)
Allora c è un S e
M (c)
c è un M.
∀x(P (x) → ¬M (x))
P (c) → ¬M (c)
N essun P è M.
Se c è un P allora c non è un M, o
Se c fosse un P non sarebbe un M.
per contrapposizione
M (c) → ¬P (c)
Se c è un M allora non è un P.
da questo e da M (c)
¬P (c)
M a siccome c è un M,
allora c non è un P.
da questo e da S(c)
S(c) ∧ ¬P (c)
Siccome c è un S,
c è un S che non è un P.
∃x(S(x) ∧ ¬P (x))
Qualche S non è un P.
160
In modo del tutto analogo, si dimostri (esercizio) la validità del sillogismo:
A:
O :
O:
P
S
S
M
M
P,
ovvero
∀x(P (x) → M (x))
∃x(S(x) ∧ ¬M (x))
∃x(S(x) ∧ ¬P (x)).
Un altro esempio di sillogismo valido è il seguente:
A:
I :
I:
M S
M P
S P,
ovvero
∀x(M (x) → S(x))
∃x(M (x) ∧ P (x))
∃x(S(x) ∧ P (x)).
con la dimostrazione:
161
Dimostrazione
Linguaggio predicativo
∃x(M (x) ∧ P (x))
M (c) ∧ P (c)
Linguaggio naturale
Qualche M è P.
Sia c un M che è anche un P.
M (c)
c è un M.
P (c)
c è un P.
∀x(M (x) → S(x))
T utti gli M sono S.
M (c) → S(c)
Se c è un M allora c è un S.
S(c)
Siccome c è un M,
c è un S.
S(c) ∧ P (c)
Siccome c è un P
c è un S che è anche un P.
∃x(S(x) ∧ P (x))
Qualche S è un P.
Valido è anche il sillogismo
A:
A :
A:
S M
M P
S P,
ovvero
∀x(S(x) → M (x))
∀x(M (x) → P (x))
∀x(S(x) → P (x)),
162
con la seguente dimostrazione:
Dimostrazione
Linguaggio predicativo
∀x(S(x) → M (x))
S(x) → M (x)
Linguaggio naturale
T utti gli S sono M.
U no che sia un S è anche un M.
∀x(M (x) → P (x))
T utti gli M sono P.
M (x) → P (x)
U no che sia un M è anche un P.
per transitività da 2 e 4
S(x) → P (x)
U no che sia un S è anche un P.
∀x(S(x) → P (x))
T utti gli S sono P.
Si noti che “Qualche S è P ” sembra più debole di “Tutti gli S sono P ”, e
quindi si potrebbe pensare che sia conseguenza delle stesse premesse. Invece
il sillogismo
A:
A :
I:
S M
M P
S P,
ovvero
∀x(S(x) → M (x))
∀x(M (x) → P (x))
∃x(S(x) ∧ P (x)),
non è valido in quanto, se S è vuoto ∃x(S(x) ∧ P (x)) è falso, nonostante
163
∀x(S(x) → P (x)) sia vero (da ∀x(S(x) → P (x)) segue ∃x(S(x) → P (x)) verificato da un elemento non appartenente a S - non ∃x(S(x) ∧ P (x)))7 .
Per verificare che un sillogismo non è valido occorre trovare un controesempio, vale a dire un’interpretazione in cui le premesse sono vere e la conclusione falsa.
Ad esempio il sillogismo
∀x(S(x) → M (x))
∃x(M (x) ∧ P (x))
∃x(S(x) ∧ P (x))
è falsificato dalla seguente interpretazione: U = {a, b, c}, S = {a}, M =
{a, c}, P = {b, c}.
Un argomento in linguaggio naturale8 si dice corretto se è un caso particolare di un sillogismo formale valido.
Si consideri il seguente argomento:
I progressisti sono sostenitori dello stato sociale
Alcuni ministri del governo sono sostenitori dello stato sociale
Quindi alcuni ministri sono progressisti.
Si chiede se è corretto. Prima di proseguire, si prenda tempo (non troppo)
e si dia una risposta.
La maggior parte delle persone risponde sı̀. Un modo tradizionale di
convincere che non lo è è quello di osservare: sarebbe come dire che
siccome
I cavalli sono veloci
e
Alcuni asini sono veloci
allora
Alcuni asini sono cavalli.
“Sarebbe come dire” significa che se il primo argomento fosse corretto
7
Questo è un esempio di un sillogismo non valido nell’interpretazione booleana, mentre
sarebbe valido se non fossero ammessi predicati vuoti.
8
O in un formalismo interpretato, ad esempio una dimostrazione aritmetica.
164
allora il sillogismo
A:
I :
I:
P
S
S
M
M
P
sarebbe valido e allora anche il nuovo argomento, della stessa struttura formale, dovrebbe essere corretto. Ma quest’ultimo ovviamente non lo è.
Che non lo sia, e quindi che si sia esibito un controesempio, non è mai del
tutto chiaro se gli esempi sono fatti in linguaggio naturale. Nessun insieme
definito nel linguaggio naturale ha i confini esattamente delimitati senza ambiguità. Per questo i controesempi devono essere insiemi astratti, dove gli
elementi e i non elementi sono individuati in maniera precisa e indiscutibile.
Nel caso in oggetto, un controesempio è fornito da U = {a, b, c, d} con
S = {c, d}, P = {a, b} e M = {a, b, c}.
Un esempio dello stesso tipo è il seguente. L’inferenza
Nessun triangolo rettangolo è equilatero
Qualche triangolo isoscele è equilatero
Quindi qualche triangolo rettangolo non è isoscele
è corretta?
Dopo aver risposto . . . , si consideri che sarebbe come dire
Nessun cerchio quadrato è equilatero
Qualche triangolo è equilatero
Quindi qualche cerchio quadrato non è un triangolo
conclusione che implica che esiste un cerchio quadrato. Oppure sarebbe come
dire
Nessun cane è un ruminante
Qualche quadrupede è un ruminante
Quindi qualche cane non è un quadrupede.
Il sillogismo
E:
I :
O:
S
P
S
M
M
P
165
non è valido se S è vuoto oppure se S ⊆ P .
Nel valutare la correttezza logica di un argomento, non bisogna utilizzare
nessuna conoscenza non esplicitata relativa ai predicati concreti che vi sono !!!
coinvolti.
Avevamo presentato a suo tempo un argomento di Lewis Carroll:
a) I bambini sono illogici
b) Le persone che sanno come trattare i coccodrilli non sono disprezzate
c) Le persone illogiche sono disprezzate
d) Quindi i bambini non sanno trattare i coccodrilli.
Questo argomento non è in verità un sillogismo perché è formato da quattro proposizioni categoriche; tuttavia si può spezzare in due sillogismi concatenati; gli argomenti riducibili a catene di sillogismi si chiamano soriti .
L’argomento di Carroll si può dimostrare corretto con la seguente scomposizione. Consideriamo prima l’argomento:
b) Le persone che sanno come trattare i coccodrilli non sono disprezzate
c) Le persone illogiche sono disprezzate
e) Quindi le persone illogiche non sanno trattare i coccodrilli
che è un sillogismo di modo EAE, figura
P M
S M
valido, con M uguale a “essere disprezzato”, S uguale a “persone illogiche”
e P uguale a “saper trattare i coccodrilli”.
Combiniamo ora la conclusione e con a:
a) I bambini sono illogici
e) Le persone illogiche non sanno trattare i coccodrilli
d) Quindi i bambini non sanno trattare i coccodrilli
ottenendo sillogismo di modo AAA valido, e si ha la conclusione d.
Dimostriamo che il sillogismo sopra considerato
166
E:
A :
E:
P
S
S
M
M
P
ovvero
∀x(P (x) → ¬M (x))
∀x(S(x) → M (x))
∀x(S(x) → P (x))
è valido:
Dimostrazione
Linguaggio predicativo
∀x(P (x) → ¬M (x))
P (x) → ¬M (x)
per contrapposizione
M (x) → ¬P (x)
∀x(S(x) → M (x))
S(x) → M (x)
per transitività di →
S(x) → ¬P (x)
∀x(S(x) → ¬P (x))
Linguaggio naturale
N essun P è M.
U no che sia P non è M.
Allora uno che sia M non è P.
Ogni S è M.
U no che sia un S è M.
Quindi uno che sia un S non è P.
N essun S è P.
Esercizio. Si mostri che il sorite di Lewis Carroll si può anche spezzare in
due sillogismi di cui il primo ha come premesse b) e c). Quale è la conclusione
intermedia?
13.2
Diagrammi di Venn
I tre predicati che intervengono in ogni sillogismo sono rappresentati da tre
insiemi, come in figura, senza escludere a priori nessuna possibilità per quanto
167
riguarda le loro intersezioni (i loro complementi sono le regioni esterne ai
cerchi).
S
'$
'$
P
'$
&%
&%
&%
M
Nel disegno sono presenti diverse aree: S, S ∩ P , S ∩ M , S ∩ P ∩ M , S \ P ,
S \ M , S \ (P ∪ M ), . . . (completare per esercizio). Alcune possono essere
vuote, altre no, a seconda degli insiemi, e di quanto su di essi stipulano le
premesse.
Le premesse dei sillogismi si riferiscono solo ad alcune delle aree e sono
equivalenti all’asserzione che certe intersezioni sono vuote o non vuote:
A:S
E:S
I: S
O:S
M
M
M
M
S ∩ (∼ M ) = ∅
S∩M =∅
S ∩ M 6= ∅
S ∩ (∼ M ) 6= ∅
e cosı̀ le proposizioni categoriche che coinvolgono altre coppie di predicati.
Dato un sillogismo, se le aree corrispondenti a una sua proposizione risultano vuote le tratteggiamo, se non vuote mettiamo una crocetta all’interno. !!!
Esempi
Consideriamo il sillogismo:
A: P
O: S
O: S
ovvero
168
M
M
P
∀x(P (x) → M (x))
∃x(S(x) ∧ ¬M (x))
∃x(S(x) ∧ ¬P (x)).
La prima premessa ci fa tratteggiare P ∩ (∼ M ), che deve essere vuota.
La seconda premessa ci fa mettere una crocetta in S ∩ (∼ M ). Quest’area
sarebbe composta di due parti, quella che interseca P e quella che non lo
interseca; ma la prima è tratteggiata, in quanto S ∩ (∼ M ) ∩ P ⊆ P ∩ (∼ M ),
già considerata; quindi la crocetta si mette in S ∩ (∼ M ) ∩ (∼ P ).
S
'$
'$
P
¢¢¢¢¢¢¢
×'$
¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢
¢¢¢¢¢
¢¢¢
&%
&%
&%
M
Ora si interpreta quello che dice la figura, come conseguenza delle due premesse, confrontandolo con quello che afferma la conclusione. La conclusione
afferma che deve esserci una crocetta in S ∩ (∼ P ) e infatti la crocetta è stata
disegnata in quell’area, come conseguenza delle due premesse; è stata messa
prima di guardare la conclusione.
Un altro sillogismo valido è
E: P
I: S
O: S
M
M
P
ovvero
∀x(P (x) → ¬M (x))
∃x(S(x) ∧ M (x))
∃x(S(x) ∧ ¬P (x)).
La prima premessa ci fa tratteggiare l’area P ∩ M che deve essere vuota
169
perché P ⊆ ∼ M . La seconda premessa ci fa mettere una crocetta nell’area
S ∩ M , ma di fatto nell’area S ∩ M ∩ (∼ P ) perché S ∩ M ∩ P = ∅.
S
'$
'$
P
'$
× &%
&%
&%
M
Come conseguenza si ha una crocetta in S ∩ (∼ P ), che è quello che afferma
la conclusione: S ∩ (∼ P ) 6= ∅.
Consideriamo ora un sillogismo non valido:
A: S
I: M
I: S
M
P
P
ovvero
∀x(S(x) → M (x))
∃x(M (x) ∧ P (x))
∃x(S(x) ∧ P (x)).
La prima premessa fa tratteggiare S ∩ (∼ M ) che è vuota essendo S ⊆ M .
La seconda premessa ci fa mettere una crocetta in M ∩ P , ma questa è divisa
in due sottoaree M ∩ P ∩ S e M ∩ P ∩ (∼ S), e non sappiamo dove mettere
la crocetta. La si mette sulla linea di divisione delle due sottoaree, proprio !!!
per indicare che non si sa in quale parte metterla.
170
'$
'$
S ¿¿¿
P
¿
¿¿
¿
¿
¿
¿
¿
¿
¿
¿
'$
¿
¿
¿
¿
¿
¿ +
&%
&%
&%
M
Ma la conclusione dice che dovrebbe esserci una crocetta in S ∩ P e questa
indicazione precisa non è conseguenza delle premesse; la crocetta è sul bordo,
non è comunque nell’interno dell’area S ∩ P , potrebbe essere in (∼ S) ∩ P .
Per certe esemplificazioni particolari dei predicati in gioco risulta in effetti
cosı̀, esiste un controesempio, anche se questo i diagrammi di Venn non lo
esibiscono.
Esercizio. Si usino i diagrammi di Venn per verificare che il sillogismo
E:
I :
O:
S
P
S
M
M
P
non è valido e trovare se possibile un controesempio in base a quanto suggerito
dal diagramma.
Per non solo dimostrare la validità dei sillogismi, ma trovare i controesempi in modo meccanico, soccorre un metodo che estende gli alberi di refutazione a enunciati predicativi.
171
14
14.1
Alberi di refutazione
Regole per i quantificatori
La tecnica degli alberi di refutazione si estende agli enunciati dei linguaggi
predicativi aggiungendo le seguenti regole:
• Se A è ∃xB, si introduce una nuova costante c e alla fine di ogni ramo
non chiuso passante per A si appende alla foglia il successore B(c)1 ,
come nello schema
[∃xB]
..
.
F
↓
B(c)
• Se A è ¬∀xB, si introduce una nuova costante c e alla fine di ogni ramo
non chiuso passante per A si appende alla foglia il successore ¬B(c),
come nello schema
[¬∀xB]
..
.
F
↓
¬B(c)
• Se A Se A è ∀xB, allora alla fine di ogni ramo non chiuso passante per
A, per tutti i termini chiusi t1 , . . . , tn che occorrono in qualche enunciato
del ramo, e tali che B(ti ) non occorre già nel ramo, si appendono alla
foglia n + 1 nodi in serie, prima B(t1 ), . . . , B(tn ) e poi ancora ∀xB, !!!
come nello schema
1
S’intende che se B non contiene la x libera B(c) è B.
172
[∀xB]
..
.
F
↓
B(t1 )
↓
..
.
↓
B(tn )
↓
∀xB
• Se A Se A è ¬∃xB, allora alla fine di ogni ramo non chiuso passante per
A, per tutti i termini chiusi t1 , . . . , tn che occorrono in qualche enunciato
del ramo, e tali che B(ti ) non occorre già nel ramo, si appendono alla
foglia n + 1 nodi in serie ¬B(t1 ), . . . , ¬B(tn ), e poi ancora ¬∃xB, come !!!
nello schema
[¬∃xB]
..
.
F
↓
¬B(t1 )
↓
..
.
↓
¬B(tn )
↓
¬∃xB
173
Se l’albero è inizializzato con un enunciato, tutti i nodi dell’albero sono
etichettati con enunciati, di un linguaggio possibilmente arricchito con nuove
costanti. Il ruolo dei letterali è ora svolto dagli enunciati atomici e dalle
negazioni degli enunciati atomici.
Basterebbero due regole, perché quelle per la negazione di un quantificatore sono ottenute considerando che ¬∀ è equivalente a ∃¬ e ¬∃ a ∀¬. Le
prime due regole corrispondono all’esemplificazione esistenziale, le altre due
alla particolarizzazione.
Nell’applicazione della regola per ∃xB la costante deve essere diversa da
quelle che occorrono già in enunciati del ramo - nuova perché le informazioni !!!
disponibili non permettono di dire se l’elemento che esemplifica B sia uno già
noto o no - ma non necessariamente diversa da quelle che sono solo su altri
rami. Ogni ramo è una strada indipendente dalle altre; tuttavia per evitare
confusioni è bene ogni volta prendere una costante che sia diversa da tutte
quelle che occorrono in tutto l’albero.
Il senso delle due ultime regole è il seguente; si vorrebbe sostituire a x
tutti i termini chiusi; ma questi sono in generale infiniti, e neppure ben determinati, per il fatto che successive applicazioni delle altre regole ad altri nodi
possono introdurre nuove costanti sui rami considerati; allora s’incomincia a
sostituire i termini esplicitamente esistenti, ma si riscrive l’enunciato ∀xB in
modo che quando eventualmente (se il ramo non si è nel frattempo chiuso) si
torna a considerare l’enunciato, se nel frattempo si sono creati nuovi termini
chiusi anche i nuovi vengano sostituiti (si veda l’esempio qui sotto).
Se in una prima applicazione delle ultime due regole non esistono termini
chiusi negli enunciati dell’albero, si introduce una nuova costante c e si sostituisce quella (ma si tratta di un’eccezione, da non confondere con la regola !!!
per ∃; è come se ci fosse sempre una costante iniziale, ad esempio in c = c
congiunta alla radice).
In pratica, non c’è bisogno di riscrivere ∀xB, basta non marcarlo come
già considerato e ricordarsi di tornare periodicamente a visitarlo. E quando
tutti gli altri enunciati siano stati considerati e non ci siano altri termini da
sostituire, lo si marca definitivamente per terminare.
Esempi
L’albero:
174
¬(∀x(P (x) → Q(x)) → (∀xP (x) → ∀xQ(x)))1
↓
∀x(P (x) → Q(x))5
↓
¬(∀xP (x) → ∀xQ(x))2
↓
∀xP (x)4
↓
¬∀xQ(x)3
↓
¬Q(c)
↓
P (c)
↓
P (c) → Q(c)
.
&
¬P (c)
Q(c)
chiuso
chiuso
è chiuso.
L’albero:
∃xP (x) ∧ ∀x(P (x) → ∃yQ(y)) ∧ ¬∃yQ(y)1
↓
∃xP (x)2
↓
∀x(P (x) → ∃yQ(y))3,7
↓
¬∃yQ(y)4,8
↓
P (c)
↓
P (c) → ∃yQ(y)5
↓
¬Q(c)
.&
¬P (c)
∃yQ(y)6
chiuso
↓
175
Q(d)
↓
P (d) → ∃yQ(y)
↓
¬Q(d)
chiuso
è chiuso. Sono state eseguite due applicazioni della regola per ∀ e ¬∃ a
∀x(P (x) → ∃yQ(y)) e a ¬∃yQ(y); la seconda scatta dopo che ∃yQ(y) ha
prodotto Q(d), introducendo la nuova d.
È quasi superfluo dire che, come si è fatto nei due esempi, conviene ap- !!!
plicare prima le regole per ∃ e ¬∀ e dopo le regole per ∀ e ¬∃.
Applicheremo il metodo degli alberi di refutazione solo a enunciati che non
contengono simboli funzionali, sicché i termini chiusi potenziali si riducono !!!
alle costanti.
Anche con questa restrizione tuttavia non vale più la proprietà di terminazione, come mostra l’albero per l’enunciato ∀x∃yR(x, y)
∀x∃yR(x, y)
↓
∃yR(c, y)
↓
R(c, c1 )
↓
∃yR(c1 , y)
↓
R(c1 , c2 )
↓
∃yR(c2 , y)
↓
..
.
Valgono però le proprietà fondamentali di correttezza e completezza.
Teorema 14.1.1 (Correttezza) Se l’albero di refutazione con radice A si
chiude, allora A è insoddisfacibile.
176
I precendenti esempi di alberi chiusi verificano il primo che ∀x(P (x) →
Q(x)) |= ∀xP (x) → ∀xQ(x) e il secondo che ∃xP (x)∧∀x(P (x) → ∃yQ(y)) |=
∃yQ(y).
Teorema 14.1.2 (Completezza) Se A è insoddisfacibile, l’albero con radice
A si chiude.
La dimostrazione come nel caso proposizionale segue dal
Lemma 14.1.1 Se l’albero di refutazione con radice A non si chiude, allora
per ogni ramo non chiuso, finito e terminato, o infinito, esiste un modello di
A.
Considereremo solo alcuni esempi per mostrare come si definiscono le interpretazioni per i rami non chiusi, per enunciati che non contengono simboli
funzionali.
Esempio
L’albero
P (c) ∧ (∃xP (x) → ∃xQ(x)
↓
P (c)
↓
∃xP (x) → ∃xQ(x)
.
&
¬∃xP (x)
∃xQ(x)
↓
↓
¬P (c)
Q(d)
chiuso
mostra che l’enunciato P (c) ∧ (∃xP (x) → ∃xQ(x)) è soddisfacibile con
un modello, dato dal ramo di destra, perché quello di sinistra è chiuso.
L’interpretazione è definita nel seguente modo: l’universo è l’insieme delle
costanti che occorrono in enunciati del ramo, in questo caso U = {c, d}; !!!
quindi i predicati sono definiti in base a quali enunciati atomici occorrono
sul ramo, in questo caso P = {c}, che deve rendere vero P (c), e Q = {d},
che rende vero Q(d).
177
Le proprietà di correttezza e completezza assicurano che quando l’albero
termina, la risposta è quella giusta; inoltre, poiché se un albero si chiude
esso si chiude dopo un numero finito di passi, in tutti i casi in cui la radice è
insoddisfacibile l’albero lo rivela chiudendosi; quando la radice è soddisfacibile, può darsi che l’albero termini, e lo riveli, come può darsi che continui
all’infinito, e non è detto che ci sia mai uno stadio in cui ci accorgiamo che
l’albero andrà avanti a crescere all’infinito (altrimenti è come se sapessimo
che non si chiude).
Un metodo con queste caratteristiche si dice metodo di semidecidibilità
e l’insieme degli enunciati insoddisfacibili è semidecidibile.
14.1.1
Esercizi
1. Verificare con gli alberi di refutazione tutte le leggi logiche finora incontrate.
2. Verificare con gli alberi di refutazione che ∃xP (x)∧∃xQ(x) → ∃x(P (x)∧
Q(x)) e ∀x(P (x) ∨ Q(x)) → ∀x(P (x) ∨ ∀xQ(x)) non sono logicamente
veri.
3. Trovare con gli alberi di refutazione un controesempio a ∀xP (x) →
∀xQ(x) |= ∀x(P (x) → Q(x)).
14.2
Applicazione ai sillogismi
Gli enunciati che contengono solo predicati monadici e non contengono simboli funzionali formano un linguaggio monadico.
Rientrano in questa categoria le proposizioni categoriche che intervengono
nei sillogismi, ma anche molti altri enunciati più complicati.
Si può dimostrare facilmente che l’albero con un enunciato monadico nella
radice termina sempre in un numero finito di passi.
Gli alberi di refutazione costituiscono perciò un metodo effettivo per de- !!!
cidere se un enunciato monadico è logicamente vero o no. Quindi la logica dei
linguaggi monadici è decidibile, come quella proposizionale. In particolare
gli alberi permettono di decidere se un sillogismo è valido o no.
Che un albero con un enunciato monadico nella radice termini sempre lo si
può vedere nel seguente modo. Innanzi tutto bisogna preparare l’enunciato,
se non è ancora nella forma voluta, in modo che non presenti quantificatori incapsulati, o nidificati, cioè nessun quantificatore cada dentro al raggio
178
d’azione di un altro. Questa trasformazione è possibile applicando le leggi
logiche sui quantificatori.
Ad esempio
∀x∃y(P (x) ∨ ∃zQ(z) → Q(y))
diventa
∀x(P (x) ∨ ∃zQ(z) → ∃yQ(y))
quindi
∃x(P (x) ∨ ∃zQ(z)) → ∃yQ(y)
e
∃xP (x) ∨ ∃zQ(z) → ∃yQ(y).
Un esempio più difficile2 è il seguente
∀x∃y(P (x) ∨ ∀zQ(z) → P (x) ∨ Q(y))
che diventa
∀x(P (x) ∨ ∀zQ(z) → ∃y(P (x) ∨ Q(y)))
∀x(P (x) ∨ ∀zQ(z) → P (x) ∨ ∃yQ(y))
∀x(¬(P (x) ∨ ∀zQ(z)) ∨ P (x) ∨ ∃yQ(y))
∀x((¬P (x) ∧ ¬∀zQ(z)) ∨ P (x) ∨ ∃yQ(y))
∀x(((¬P (x) ∨ P (x)) ∧ (¬∀zQ(z) ∨ P (x))) ∨ ∃yQ(y))
∀x((¬∀zQ(z) ∨ P (x)) ∨ ∃yQ(y))
(∀x(¬∀zQ(z) ∨ P (x))) ∨ ∃yQ(y)
(¬∀zQ(z) ∨ ∀xP (x)) ∨ ∃yQ(y)
¬∀zQ(z) ∨ ∀xP (x) ∨ ∃yQ(y).
Eseguita la trasformazione si adotta la seguente euristica di sviluppo !!!
dell’albero. Se alcuni enunciati inseriti nell’albero hanno un connettivo come
segno logico principale, si applicano ad essi e ai loro eventuali risultati le
2
Non vogliamo nascondere che il risultato non è banale; per la dimostrazione occorre
sfruttare, come s’intravvede dall’esempio, le forme normali disgiuntive e congiuntive della
matrice, dopo aver messo l’enunciato in forma prenessa.
179
regole proposizionali relative, finché si perviene alla situazione in cui tutti gli
enunciati non ancora considerati, se non sono atomici o negazioni di atomici,
iniziano con un quantificatore o con la negazione di un quantificatore.
A questo punto si lavora prima sugli enunciati che iniziano con un ∃ o un
¬∀, il cui effetto è quello di introdurre nuove costanti - e sono i soli che introducono nuove costanti. Essi danno origine a enunciati privi di quantificatori,
per l’assenza di quantificatori incapsulati.
Ora si applicano le regole agli enunciati che iniziano con ∀ o ¬∃, eseguendo
tutte le sostituzioni possibili delle costanti, che danno di nuovo origine a
enunciati privi di quantificatori. Tali enunciati non devono essere riscritti,
perché il seguito del lavoro non costringerà più a tornare su di essi; non si
generano più altri enunciati che iniziano con ∃ o ¬∀. Ai nuovi enunciati
privi di quantificatori si applicano eventualmente le regole proposizionali del
caso, ma l’applicazione di regole proposizionali dopo un numero finito di passi
termina.
Esempi
Il sillogismo
∀x(S(x) → M (x))
∃x(M (x) ∧ P (x))
∃x(S(x) ∧ P (x))
equivalente all’affermazione che
∀x(S(x) → M (x)) ∧ ∃x(M (x) ∧ P (x)) |= ∃x(S(x) ∧ P (x))
è controllato per mezzo del seguente albero:
∀x(S(x) → M (x))3
↓
∃x(M (x) ∧ P (x))1
↓
¬∃x(S(x) ∧ P (x))4
↓
M (c) ∧ P (c)2
↓
M (c)
↓
180
P (c)
↓
S(c) → M (c)5
↓
¬(S(c) ∧ P (c))6
.&
¬S(c)
M (c)
.&
.&
¬S(c) ¬P (c) ¬S(c) ¬P (c)
chiuso
chiuso
Due rami sono chiusi; gli altri due danno le stesse informazioni, in quanto
contengono entrambi M (c), P (c), ¬S(c). Il controesempio fornito da questo
albero è U = {c} con M = {c}, P = {c} e S = ∅.
Questa non è l’interpretazione proposta a suo tempo come controesempio,
che era stata U = {a, b, c}, S = {a}, M = {a, c}, P = {b, c}, ma ques’ultima
si ottiene dalla presente aggiungendo a e b all’universo; l’interpretazione fornita dall’albero è minimale, e lo è sempre3 .
È raro che si trovi un solo modello di un enunciato, in realtà non ce ne è
mai uno solo, ma la dimostrazione è complicata4 .
Il sillogismo:
∀x(M (x) → S(x))
∃x(M (x) ∧ P (x))
∃x(S(x) ∧ P (x))
è valido. L’albero:
∀x(M (x) → S(x))2
↓
∃x(M (x) ∧ P (x))1
3
Si potrebbe dire che è minima, a meno di biiezioni che rispettano i predicati in gioco,
e si chiamano “isomorfismi”.
4
Viene in mente ∀x(c = x), che sembrerebbe avere solo un tipo di modello, con un solo
elemento, ma non è cosı̀ perché l’interpretazione di = potrebbe essere solo una relazione
di equivalenza.
181
↓
¬∃x(S(x) ∧ P (x))3
↓
M (c) ∧ P (c)
↓
M (c)
↓
P (c)
↓
M (c) → S(c)4
↓
¬(S(c) ∧ P (c))5
.&
¬M (c)
S(c)
chiuso
.&
¬S(c) ¬P (c)
chiuso
è chiuso.
182
chiuso
15
Il principio di induzione
Come si fa a dimostrare che un enunciato universale1 ∀xA(x) vale in un
universo infinito? Non si possono certo passare in rassegna tutti gli elementi
dell’universo. Alcune regole logiche sembrano utilizzabili, in particolare la
riduzione all’assurdo o quelle che permettono di derivare enunciati universali
da altri, già però noti, come la distributività di ∀ su →:
∀x(B(x) → A(x))
∀xA(x).
∀xB(x)
Con le sole regole logiche si dimostrano solo enunciati veri in tutte le interpretazioni, non in una particolare.
Un insieme infinito peraltro non può essere dato se non attraverso una
definizione, che ne mette in evidenza alcune proprietà caratteristiche. Queste
sono assunte in genere come assiomi della struttura, e a partire da essi si
deducono altre proprietà vere nella struttura stessa (e in tutte le eventuali
altre che soddisfano gli assiomi).
!!!
Le strutture numeriche classiche, che sono insiemi infiniti, hanno poi ciascuna qualche caratteristica particolare che permette di svolgere ragionamenti
tipici ed esclusivi2 , ad esempio la continuità per i numeri reali. La più semplice struttura numerica è quella dei numeri naturali N.
15.1
I numeri naturali
I numeri naturali3
0, 1, 2, . . . , n, n0 , . . .
sono descrivibili in modo compatto e uniforme come se fossero tutti generati
da un primo che è lo 0. Non è raccomandabile usare all’inizio le cifre 1, . . . , 9
perché esse presuppongono la rappresentazione in una base, che è argomento
di là da venire. Meglio scrivere:
1
Diciamo brevemente cosı̀ per un enunciato che inizia con un quantificatore universale,
anche se non è corretto; gli enunciati universali sono quelli che in forma prenessa hanno
solo quantificatori universali nel prefisso.
2
E questo vale anche per strutture finite, per cui sono pure disponibili tecniche particolari. Si veda ad esempio 15.7.
3
Consideriamo anche 0 tra i numeri naturali, anche se non è molto naturale rispetto
alla prima funzione dei numeri, quella di contare; talvolta i numeri naturali senza lo 0 sono
anche detti numeri di conto.
183
0, 00 , 000 , . . . , n, n0 , . . .
che rappresenta visivamente il fatto che ogni numero4 n, salvo lo 0, ha un
successore indicato con n0 , e iterando il successore non si ottiene mai un
numero già considerato, perché i successori di due numeri diversi sono diversi.
Queste proprietà sono esprimibili con enunciati predicativi:
∀x∃y(y = x0 )
∀x(0 6= x0 )
∀x∀y(x 6= y → x0 6= y 0 )
che costituiscono i primi assiomi dei numeri naturali.
Si è abituati a dire che ogni numero si ottiene dal precedente con “+ 1”,
ma l’operazione di addizione compare, è definita, solo nella più ricca struttura
che si ottiene sulla base della definizione fondamentale.
Quando si parte da zero5 per introdurre N, si vuol dire innanzi tutto che
N è un insieme infinito; la definizione è la seguente: un insieme X è infinito
se esiste una iniezione di X su un sottoinsieme proprio di se stesso.
I tre assiomi sopra presentati esprimono questo fatto, con la funzione
iniettiva (terzo assioma) “successore” che manda tutto l’insieme N (primo
assioma) nel suo sottoinsieme proprio N \ {0} (secondo assioma)6 .
Ora però N non è solo un insieme infinito: ogni suo elemento si ottiene
da 0 iterando un numero finito di volte l’operazione di successore. Non ci
sono altri elementi al di fuori di questa catena senza fine. La condizione non
sembra facile da esprimere, perché per parlare di iterare un numero finito
di volte il successore parrebbe necessario avere già la nozione di numero
naturale.
Tuttavia soccorre questa idea, derivata dalla precedente intuizione, che
se una proprietà, espressa da una formula A(x), è tale che si trasporta nel
passaggio da n a n0 , o che è invariante, cioè è tale che se vale per un generico
n allora vale per n0 , in simboli A(n) → A(n0 ), allora come ogni numero si
ottiene da 0 passando attraverso una catena di successori, cosı̀ se A vale per
0 allora A vale per tutti i numeri.
4
Il fatto che n nella successione venga dopo i puntini, non significa che è un numero
grande; n è una variabile che indica un numero qualunque, e può assumere anche i valori
0, 1, . . .
5
In tutti i sensi.
6
Dopo si vede che è sopra: ∀x(x 6= 0 → ∃y(x = y 0 )).
184
Un’immagine comoda per rappresentarsi la situazione è quella di una
successione di pezzi di domino messi in piedi in equilibrio precario, distanti
tra loro meno della loro altezza. Cosı̀ se un pezzo cade verso destra fa cadere
verso destra quello adiacente. Se cade il primo, fa cadere il secondo, che fa
cadere il terzo, e tutti cadono.
-¥¥
¥¥
¥¥
¥¥
¥¥
¥¥
In alternativa, si può esprimere in termini insiemistici l’idea che N deve
essere il più piccolo insieme infinito con l’affermazione
0 ∈ X ∧ ∀x(x ∈ X → x0 ∈ X) → N ⊆ X,
che N è il più piccolo insieme che contiene 0 ed è chiuso rispetto al successore7 .
Da questa condizione, sostituendo a X l’insieme di verità di una formula A(x), o dalle precedenti considerazioni intuitive, si ricava l’assioma di
induzione
A(0) ∧ ∀x(A(x) → A(x0 )) → ∀xA(x),
dove A è una formula qualsiasi del linguaggio aritmetico, che all’inizio contiene solo 0 e 0 , oltre a =.
Non sviluppiamo la costruzione sistematica dell’aritmetica a partire da
questi assiomi, che tuttavia sono sufficienti, perché tale trattazione non fa
parte del programma. Nel seguito ci limiteremo a familiarizzarci con le conseguenze dell’assioma di induzione in una varietà di esempi, e per far questo
daremo per note alcune proprietà aritmetiche, algebriche e geometriche elementari.
In particolare useremo il fatto che dalla definizione dell’addizione (che
daremo in seguito) segue che n0 = n + 1 e adotteremo questa notazione per
il successore.
7
N è contenuto in ogni insieme che sia infinito grazie alla stessa iniezione “successore”
e con lo stesso elemento non appartenente all’immagine dell’iniezione
185
Supporremo anche definita8 la relazione d’ordine totale ≤ con minimo 0.
15.2
Il principio di induzione
Dall’assioma di induzione segue una regola dimostrativa che si chiama propriamente principio di induzione e che si può schematizzare nel seguente
modo:
A(0)
∀x(A(x) → A(x + 1))
∀xA(x).
Base
P asso induttivo
Per dimostrare ∀xA(x) sono sufficienti due mosse: la prima consiste nel dimostrare A(0), e la seconda nel dimostrare ∀x(A(x) → A(x + 1)).
Si dice allora che ∀xA(x) è stata dimostrata per induzione su x, e A(x)
si chiama la formula d’induzione.
La base non si riferisce necessariamente solo a 0. Se a cadere verso destra
non è il primo domino, ma il sesto
@
@
R¥¥
@
¥¥
¥¥
¥¥
¥¥
¥¥
a cadere saranno tutti i domino dal sesto in poi.
In corrispondenza a questa idea si ha una formulazione più generale del
principio di induzione:
A(k)
∀x ≥ k (A(x) → A(x + 1))
∀x ≥ kA(x).
8
Base
P asso induttivo
Per mezzo dell’addizione la definizione sarà: x ≤ y ↔ ∃z(x + z = y). Per ora la
possiamo pensare postulata, per poter fare esercizi con formule familiari e per scrivere
alcune formule in modo più comodo.
186
Se si deve dimostrare ad esempio ∀x > 0 A(x) si dimostra come base A(1)).
La dimostrazione del passo induttivo è la parte più importante e delicata;
la base di solito si riduce a calcoli di verifica. Trattandosi di un enunciato
universale, la dimostrazione di solito si imposta come dimostrazione di
A(x) → A(x + 1)
per un x generico.
Si assume quindi A(x), chiamandola ipotesi induttiva e si cerca di dedurre
A(x + 1):
A(x)
..
.
Ipotesi induttiva
A(x + 1).
Come abbiamo osservato in precedenza, se si riesce a dedurre A(x + 1)
dall’assunzione A(x) si stabilisce A(x) → A(x + 1) senza alcuna assunzione
particolare, a parte gli assiomi che sono enunciati, e quindi si può quantificare
universalmente ∀x(A(x) → A(x + 1)).
Una volta dimostrato il passo induttivo - e la base - la conclusione ∀xA(x)
segue come bonus.
Errori umoristici non infrequenti:
da A(x), per sostituzione, A(x + 1)
oppure
da A(x), direttamente per generalizzazione ∀xA(x).
Qualcuno giustifica questi errori alludendo a difficoltà immaginarie dovute
a una pericolosa somiglianza tra quello che si deve dimostrare e quello che
si assume. Ma nella dimostrazione del passo induttivo la tesi ∀xA(x) non
interviene per nulla. Quello che si assume nel passo induttivo, A(x), è che A
valga per un elemento, ancorché non precisato; quello che si vuole dimostrare
in grande è ∀xA(x), cioè che A vale per tutti gli elementi; in piccolo, nel passo
induttivo, si vuole solo dimostrare che A vale per un altro elemento, una bella
differenza, anche sintatticamente visibile, se si usassero i quantificatori.
Se ci sono difficoltà ad ogni modo, sono le difficoltà tipiche della manipolazione di variabili e quantificatori.
187
!!!
Esempio Dimostrare per induzione9 che
1 + 2 + ... + n =
n(n+1)
.
2
S’intende, poiché l’espressione di sinistra ha senso solo per n ≥ 1, che si deve
dimostrare ∀x ≥ 1 (1 + 2 + ... + x = x(x+1)
), ma useremo la variabile n come
2
d’uso10 .
Chiamiamo P (n) la formula di induzione11 .
La dimostrazione per induzione della formula si svolge nel seguente modo:
Base: per n = 1, P (1) è 1 = 1(1+1)
, e l’espressione di destra si riduce a 1,
2
quindi P (1) è dimostrata;
Passo induttivo: ammesso
1 + 2 + ... + n =
n(n+1)
,
2
cioè P (n), aggiungendo n + 1 ad ambo i membri si ha
1 + 2 + ... + n + (n + 1) =
n(n+1)
2
+ (n + 1)
=
n(n+1)+2(n+1)
2
=
(n+1)(n+2)
2
che è P (n + 1). 2
Sono possibili diversi sviluppi del passo induttivo, in avanti o all’indietro;
in avanti si procede come nell’esempio, si scrive l’ipotesi induttiva P (n) e poi
la si manipola cercando di arrivare a P (n + 1).
Nel procedimento all’indietro si può partire da quello che si deve dimostrare, P (n + 1):
9
Uno dei primi algoritmmi che si chiede di scrivere (Horstmann, p. 45) e quello per la
somma 1 + 2 + . . . + n.
10
L’uso di n come variabile libera universale per i numeri naturali è tipica della scrittura
matematica; se si usano i quantificatori introducendo la notazione logica è meglio tornare
alla x. Il passo induttivo può comunque essere sempre presentato come dimostrazione di
A(n) → A(n + 1).
11
Usiamo P perché è una formula atomica.
188
1 + 2 + . . . + n + (n + 1) =
(n+1)(n+2)
,
2
riscrivere questa somma come
(1 + 2 + . . . + n) + (n + 1) =
(n+1)(n+2)
,
2
facendo emergere un’espressione 1 + 2 + . . . + n che è parte di P (n), di cui
in particolare P (n) afferma l’uguaglianza con altra espressione; si osserva
quindi che “per ipotesi induttiva”, cioè facendo giocare a questo punto un
ruolo a P (n), essa si può sostituire secondo quanto detta P (n) ottenendo
n(n+1)
2
+ (n + 1) =
(n+1)(n+2)
;
2
si verifica quindi che quest’ultima uguaglianza è valida, perché diventa
(n+1)(n+2)
2
=
(n+1)(n+2)
2
e quindi P (n + 1) è dimostrato. 2
Avvertenza P (n + 1) è dimostrato dai passaggi di sopra non perché da !!!
esso segua un’identità; lo studente di logica sa che dal fatto che A → B sia
vero e B sia vero non segue la verità di A.
In realtà i passaggi di sopra vanno letti all’indietro partendo dall’ultima
uguaglianza, e tutte le uguaglianze scritte sono tra loro equivalenti (se si
assume P (n)). P (n + 1) è conseguenza di P (n) e di n(n+1)
+ (n + 1) =
2
(n+1)(n+2)
, che è un’identità aritmetica.
2
In questa impostazione, ci sono due movimenti logici all’indietro: innanzi
tutto si parte dalla tesi da dimostrare P (n + 1), quindi si sviluppa una serie
di uguaglianze, che tuttavia, essendo collegate da equivalenza, vanno lette
nell’ordine inverso, dall’ultima identità fino a P (n + 1). Se si a disagio, in alternativa si può partire, sempre in un’impostazione parzialmente all’indietro,
non da P (n + 1) ma dall’espressione
1 + 2 + ... + n + (n + 1) = ?,
di cui si vuole trovare il valore che confermi P (n + 1).
Un primo passo è quello di riempire l’ignoto “?” con qualcosa di noto, ad
esempio
1 + 2 + ... + n + (n + 1) = (1 + 2 + ... + n) + (n + 1),
189
valida per la proprietà associativa, quindi si osserva che “per ipotesi induttiva”
1 + 2 + ... + n + (n + 1) =
n(n+1)
2
+ (n + 1),
e con i soliti calcoli si arriva a
1 + 2 + ... + n + (n + 1) =
(n+1)(n+2)
.
2
La formula P (n + 1) è stata cosı̀ dimostrata ma assumendo a un certo punto
P (n), quindi si è stabilito P (n) → P (n + 1). 2
Nella dimostrazione del passo induttivo possono intervenire tutte le strategie dimostrative. Illustriamo un problema in cui interviene la distinzione dei
casi.
Esempio Dimostrare che
1 − 21 + 13 + . . . + (−1)n−1 n1
è sempre strettamente positivo.
S’intende che si deve dimostrare che per ogni n ≥ 1
1 − 21 + 13 + . . . + (−1)n−1 n1 > 0.
Dimostrazione
Base: Per n = 1 la somma è 1 e 1 > 0.
Passo induttivo: Consideriamo
1
1 − 12 + 13 + . . . + (−1)n n+1
e distinguiamo due casi.
Se n + 1 è dispari, allora la somma fino a n + 1, riscritta come
(1 − 12 + 13 + . . . − n1 ) +
1
n+1
1
, una quantità positiva.
si ottiene da quella fino a n sommando n+1
1
1
Siccome per ipotesi induttiva anche (1 − 2 + 3 + . . . − n1 ) > 0, si ha la
conclusione voluta.
Se n + 1 è pari, la somma
190
1 − 12 + 13 + . . . +
1
n
−
1
n+1
si può riscrivere
(1 − 12 ) + ( 13 − 14 ) + . . . + ( n1 −
1
)
n+1
per la proprietà associativa, e quindi osservare che è la somma di quantità tutte positive. 2
Si noti che l’ipotesi induttiva interviene solo in uno dei due casi in cui è
distinta la dimostrazione del passo induttivo, ma comunque interviene.
Se si fosse voluto dimostrare che
1 − 21 + 13 + . . . + (−1)i−1 1i + . . . −
1
2n
>0
non ci sarebbe stato bisogno dell’induzione e si sarebbe potuto procedere
come nel precedente caso pari con la sola proprietà associativa.
In verità anche questa proprietà dipende dall’induzione, perché in una
trattazione sistematica l’associatività della somma, come anche il fatto che
la somma di un numero finito di addendi positivi è positiva, si dimostrano a
loro volta per induzione, e lo vedremo più avanti quando discuteremo della
somma generalizzata.
Tutti i risultati aritmetici dipendono dall’induzione, perchè questo è il solo
assioma dell’aritmetica, a parte quelli riguardanti 0 e successore. Tuttavia
c’èun uso prossimo e uno remoto dell’induzione; se si conoscono dei risultati
(comunque a loro volta siano stati dimostrati) e li si usa in modo diretto
in una dimostrazione, questa per parte sua non è una dimostrazione per
induzione.
Esistono casi in cui invece si ha una scelta tra due metodi dimostrativi,
uno per induzione e uno no. Ad esempio si può dimostrare per induzione che
n3 − n è multiplo di 3: partendo da (n + 1)3 − (n + 1)
(n + 1)3 − (n + 1) = n3 + 3n2 + 3n + 1 − n − 1 = (n3 − n) + 3n2 + 3n
che è divisibile per 3 in quanto somma di addendi tutti divisibili per 3 (il
primo per ipotesi induttiva). 2
Ma si può anche fattorizzare n3 − n in (n − 1)n(n + 1) e osservare che uno
dei tre consecutivi deve essere divisibile per 3. 2
191
Di solito quando sono disponibili due vie, una per induzione e una che
potremmo chiamare algebrica, la seconda dà maggiori informazioni, in quanto
lega il problema dato con altri.
Nell’ultimo esempio abbiamo commesso un errore nell’esposizione della
dimostrazione per induzione, un errore che lo studente non deve commettere, !!!
quello di aver trascurato di dimostrare la base.
La leggerezza in questo caso è innocua, perché subito rimediabile: per
n = 0 n3 − n vale 0 che è divisibile per 3. Ma in altri casi può essere fatale.
Si consideri ad esempio la seguente dimostrazione sul valore della somma
dei primi n pari:
2 + 4 + + 2n = n(n + 1) + 5.
Se indichiamo la somma con Sn = 2 + 4 + + 2n, è facile verificare che
Sn = n(n + 1) + 5 → Sn+1 = (n + 1)(n + 2) + 5
ma la formula è falsa. Lo si vede subito per n = 0 ed n = 1. Si potrebbe
pensare che valga solo da un certo punto in poi, e si può provare con altri
valori, ma sempre con esito negativo.
Viene il dubbio che sia sempre falsa, e cosı̀ è, ma questa affermazione
richiede a sua volta una dimostrazione (trattandosi di un’affermazione universale infinita: sempre, per ogni n, Sn 6= . . . )12 .
Una facile dimostrazione si trova se viene in mente di osservare che n(n +
1) + 5 è sempre dispari, come somma di un pari e di un dispari, mentre
la somma di pari è pari (ma le stesse considerazioni si potrebbero fare con
n(n + 1) + k, k > 0 qualunque).
15.3
L’induzione empirica
Come non si deve trascurare la base, cosı̀ non si deve trascurare il passo induttivo. Se non si dimostra il passo induttivo, non c’è traccia di dimostrazione
per un’asserzione del tipo ∀xA(x). Al massimo si possono verificare alcuni
casi particolari iniziali, per numeri piccoli. Questa verifica è talvolta detta
induzione empirica.
12
E quindi si può dimostrare per induzione (esercizio).
192
Con “induzione empirica” si intende il passaggio da un numero finito, limitato,
di osservazioni, alla formulazione di una legge generale; dal fatto che tutti i cigni
osservati sono bianchi alla affermazione che tutti i cigni sono bianchi. L’esempio,
classico nei testi di filosofia della scienza, è stupido, ma è difficile trovarne di scientifici, nonostante si pensi che l’induzione caratterizzi le scienze empiriche, perché
forme di induzione di questo genere sono in verità del tutto estranee alla ricerca scientifica. La parola è usata comunque in contrasto con “deduzione”, a indicare un
passaggio dal particolare all’universale (come se la deduzione fosse, cosa che non è,
se non raramente, un passaggio dall’universale al particolare13 ). L’induzione empirica è anche detta induzione per enumerazione, dizione che suggeriamo di evitare
perché non faccia venire in mente i numeri.
Quando all’inizio dell’età moderna si ebbe una ripresa della ricerca matematica,
la parola “induzione” era usata nella scienza per indicare la formulazione di leggi
generali suggerite e verificate da un certo numero di casi particolari. Anche i
matematici, figli del loro tempo, usavano la parola in questo modo e per essere
scienziati pretendevano di usare anch’essi l’induzione. Lo si riscontra soprattutto
in quegli autori, come Eulero, che basavano le loro congetture su molti calcoli ed
esplorazioni delle proprietà dei numeri. Il primo autore che formulò e propose
il principio d’induzione matematica nella forma moderna fu Pascal, ed egli volle
chiamare cosı̀ questo principio, che implicitamente era stato usato già da Euclide
e da Fermat in altra versione14 , considerandolo la vera forma d’induzione adatta
a, o tipica della matematica . In verità non v’è alcun rapporto; è vero che con
l’induzione matematica si arriva a una conclusione valida per l’infinità dei numeri
con due soli passaggi, ma si tratta di due dimostrazioni, non di due osservazioni.
L’esplorazione di un piccolo numero di casi non è mai sufficiente a dimostrare ∀xA(x); al massimo può servire a trovare un controesempio, se si
è fortunati. L’induzione empirica addirittura può essere ingannevole quando
sono tanti i casi confermati; “tanti” è sempre relativo; ad esempio il polinomio
f (n) = n2 + n + 41
è tale che f (n) è un numero primo per n = 0, 1, 2, . . . , 39 (verificare qualche
caso). La congettura che si potrebbe indurre che f (n) sia sempre primo è
tuttavia smentita dal controesempio
f (40) = 402 + 40 + 41 = 402 + 80 + 1 = (40 + 1)2 = 412 .
13
14
Lo è solo nelle applicazioni della particolarizzazione universale.
Il principio della discesa finita, discusso più avanti.
193
Di fronte alla congettura che f (n) sia sempre primo, naturalmente viene
naturale l’idea di controllare gli eventuali zeri e scomporre il polinomio (se
si sa che gli zeri permettono una scomposizione). Il tentativo di dimostrare
il passo induttivo invece fallisce per mancanza di idee.
L’esplorazione empirica è utile tuttavia e raccomandabile quando non !!!
viene proposta una formula da dimostrare, ma la si deve trovare, quando
cioè bisogna formulare una congettura - e poi dimostrarla.
Ad esempio se si vuole trovare una formula per
1
2
+
1
2·3
+
1
3·4
+ ... +
1
,
n(n+1)
se si calcolano i primi valori dell’espressione
n=1
1
2
=
1
2
n=2
1
2
+
1
2·3
=
2
3
n=3
1
2
+
1
2·3
+
1
3·4
=
3
4
n
si può arrivare alla congettura che la risposta in generale sia n+1
, quindi
provare a dimostrarla (esercizio, e come ulteriore esercizio trovare e dimostrare
la formula in modo algebrico senza induzione).
Quando come in questo caso si esegue un’induzione empirica, conviene
fare attenzione che i calcoli possono dire di più che suggerire solo la congettura, possono anche suggerire la traccia della dimostrazione del passo
induttivo.
Consideriamo ad esempio come si possa valutare e dimostrare l’espressione
per la somma dei primi dispari
1 + 3 + ... + (2n + 1)
I primi calcoli mostrano come risultato dei quadrati,
n=0
n=1
n=2
n=3
1=1
1+3=4
1+3+5=9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
ed è semplice forse il riconoscimento puro e semplice della legge, ma si può
fare di meglio: se si riporta nella riga sottostante il valore ottenuto, per la
194
somma dei primi termini, e se si indica sempre l’ultimo addendo con 2i + 1,
come suggerisce l’espressione iniziale, si ottiene:
n=2
n=3
n=4
1 + (2 · 1 + 1) = 4
22 + (2 · 2 + 1) = 9
32 + (2 · 3 + 1) = (3 + 1)2 .
All’inizio si possono avere dubbi: 4 = 22 può essere 4 = 2 · 2, anzi lo è,
ovviamente; il problema è quale scrittura sia più suggestiva della direzione
giusta da prendere; qui diventa presto trasparente la formula del quadrato
(n + 1)2 = n2 + 2n + 1.
Un ulteriore passo di conferma dà
42 + (2 · 4 + 1) = (4 + 1)5
n=5
e quello che si intravvede è lo schema del passo induttivo:
1 + 3 + + (2n − 1) + (2n + 1) =
n2 + (2n + 1) = (n + 1)2 .
L’uso dell’ipotesi induttiva 1 + 3 + . . . + (2n − 1) = n2 per sostituire
1 + 3 + . . . + (2n − 1) con n2 in 1 + 3 + . . . + (2n − 1) + (2n + 1) corrisponde
nei calcoli precedenti ai successivi rimpiazzamenti di 1 + 3 con 4 = 22 , di
1 + 3 + 5 con 9 = 32 , di 1 + 3 + 5 + 7 con 16 = 42 .
La dimostrazione per induzione non è diversa dai calcoli che hanno fatto
intravvedere la risposta; sono gli stessi calcoli che si ripetono (non i risultati
parziali, o non solo quelli), e che passando alle variabili si trasformano nel
passo induttivo.
Per riuscire a vedere lo schema bisogna che si facciano sı̀ i calcoli con i
numeri piccoli, ma non guardando solo al risultato, bensı̀ allo spiegamento
delle operazioni aritmetiche implicate; si ottiene il tal modo il collegamento
o il passaggio dall’aritmetica all’algebra; l’algebra, rispetto all’aritmetica,
non è altro che questa attenzione non al risultato numerico - che non può
esserci, in presenza delle variabili - ma alla struttura e all’organizzazione
delle operazioni da eseguire, e il loro trasporto alle variabili. L’importante è
lasciare indicate sempre le espressioni dei calcoli eseguiti.
15.4
Il ragionamento induttivo
L’induzione non è solo una tecnica di dimostrazione, ma una tecnica di ragionamento, che porta a trovare il risultato. Bisogna imparare a ragionare !!!
195
per induzione.
Il ragionamento induttivo è il ragionamento che costruisce una situazione
dinamica: s’immagina un insieme di n elementi e ci si chiede: cosa succede
se se ne aggiunge un altro?
Consideriamo l’esempio del numero di sottoinsiemi di un insieme; se U
ha 0 elementi, U = ∅, l’unico sottoinsieme di U è U , che quindi ha un
sottoinsieme; se U = {a} ha un elemento, i suoi sottoinsiemi sono ∅ e {a} =
U ; se U = {a, b} ha due elementi, i suoi sottoinsiemi sono ∅, {a}, {b}, {a, b}.
I conti empirici sono abbastanza complicati, da 2 in avanti; per essere
sicuri di avere elencato tutti i sottoinsiemi, occorre in pratica fare il ragionamento che presentiamo sotto, e che consiste nel considerare il passaggio da
un insieme con n elementi ad uno con n + 1; il ragionamento si può e si deve
fare prima di avere la risposta; questa può essere lasciata indicata, come
incognita funzionale, con la scrittura f (n) per il numero di sottoinsiemi di
un insieme con n elementi.
Il ragionamento necessario è il seguente: supponiamo che un insieme con n
elementi abbia f (n) sottoinsiemi; se a un insieme U di n elementi si aggiunge
un a 6∈ U , tra i sottoinsiemi di U ∪ {a} ci sono quelli che non contengono a,
che sono quindi tutti i sottoinsiemi di U , e quelli che contengono a. Questi
tuttavia si ottengono tutti da sottoinsiemi di U aggiungendo a a ciascuno
di essi; o detto in altro modo, se a ciascuno di questi si sottrae a si ottengono tutti i sottoinsiemi di U . Quindi anche i sottoinsiemi di U ∪ {a} del
secondo tipo sono tanti quanti i sottoinsiemi di U . In formule l’insieme dei
sottoinsiemi di U ∪ {a} è dato da
{X | X ⊆ U } ∪ {X ∪ {a} | X ⊆ U },
e la cardinalità di questo insieme è f (n) + f (n). Ne segue ovviamente che
f (n + 1) = 2f (n).
Una funzione definita in questo modo, per cui il suo valore per un numero
qualsiasi si ottiene eseguendo operazioni note sul valore della funzione per il
numero precedente, si dice che è definita ricorsivamente. Funzioni di questo
genere si ottengono di solito quando si esegue un ragionemento induttivo.
L’argomento delle funzioni definite ricorsivamente sarà affrontato tra breve.
In alcuni casi casi, come l’attuale, da equazioni ricorsive come quella di
sopra, che definiscono implicitamente una funzione, si ricava un’espressione
esplicita.
196
Il ragionamento è di nuovo induttivo; tenendo conto anche della condizione di base, f (0) = 1, si ricavano i seguenti valori
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
f (0) = 1
f (1) = 2
f (2) = 2 · f (1) = 2 · 2
f (3) = 2 · f (2) = 2 · 2 · 2 = 23
f (4) = 2 · f (3) = 2 · 23 = 24
e quindi si può non solo congetturare la risposta f (n) = 2n ma dimostrarla,
con il passo induttivo
f (n + 1) = 2f (n) = 2 · 2n = 2n+1 .
In alcuni casi di definizioni ricorsive l’espressione esplicita si ricava con
particolari manipolazioni algebriche. Ad esempio, se si vuole valutare la
somma della progressione geometrica di ragione 2:
1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2n = f (n)
si può osservare che
1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2n = 1 + 2(1 + 2 + 22 + 23 + . . . + 2n−1 )
trovando la relazione ricorsiva
f (n) = 1 + 2f (n − 1);
ma se il primo membro si scrive f (n − 1) + 2n si ha
f (n − 1) + 2n = 1 + 2f (n − 1)
e quindi
f (n − 1) = 2n − 1,
da cui
1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2n = 2n+1 − 1,
caso particolare della somma della progressione geometrica di ragione r
1 + r + r2 + . . . + rn =
197
rn+1 −1
.
r−1
15.5
Esercizi
Sono diversi i campi in cui l’induzione si rivela utile. Il più ricco di applicazioni naturalmente è quello della
Aritmetica
Si dimostri per induzione, e anche in altro modo se possibile:
1.
1
2
+
1
2·3
+
1
3·4
+ ... +
1
n(n+1)
2. 1 + 4 + 9 + . . . + n2 =
=
n
n+1
n(n+1)(2n+1)
6
3. 2 + 4 + . . . + 2n = ?
4. 2 + 6 + 12 + . . . + (n2 − n) =
n3 −n
3
5. 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + . . . + n(n + 1) =
n(n+1)(n+2)
3
6. n3 + 3n2 + 2n è divisibile per 6
7. n5 + 4n + 10 è divisibile per 5
8. n ≥ 3 → (n + 1)2 < 2n2
9. n > 0 → 2n | (n + 1)(n + 2) · · · (2n)
10. 1 + r + r2 + . . . + rn =
rn+1 −1
.
r−1
m
z}|{
00
0
11. Calcolare il posto del termine tn . . . nell’enumerazione dei termini vista
nell’esempio del paragrafo 10.2
Problemi divertenti:
12. Ammettiamo di avere francobolli da 3 e da 5 centesimi. Far vedere che
qualsiasi tassa postale maggiore di 7 può essere pagata con bolli da 3
e 5.
Suggerimento: prima si suppone che per n si sia usato almeno un bollo
da 5; poi, se si sono usati solo bolli da 3, si osserva che n deve essere
almeno 9.
Alternativa: distinguere i tre casi: n = 3k, n = 3k + 1, n = 3k + 2.
198
13. Lo stesso con
bolli da 2 e 3, tutti gli n maggiori di 1,
bolli da 3 e 7, tutti quelli maggiori di 11,
bolli da 2 e da 2k + 1, tutti quelli maggiori di 2k − 1.
Esercizi di geometria:
14. Quante rette passano per n punti (di cui mai tre allineati)?
Suggerimento: impostare un ragionamento induttivo “se si aggiunge
un punto . . . ”.
15. Quante sono le diagonali di un poligono convesso di n lati?
16. Quante diagonali non intersecantesi occorrono per dividere un poligono
convesso di n lati in triangoli disgiunti?
17. La somma degli angoli interni di un poligono convesso con n lati è
π(n − 2).
Argomenti di analisi:
18. Se n intervalli su una retta sono a due a due non disgiunti, la loro
intersezione non è vuota.
Suggerimento: anche se la base è n = 2, nella dimostrazione del passo
induttivo occorre (almeno nell’impostazione in mente a chi scrive) utilizzare il caso n = 3, che va dimostrato a parte, sfruttando proprietà di
connessione degli intervalli (se due punti appartengono a un intervallo,
tutti i punti intermedi anche vi appartengono).
Combinatoria:
19. Quante sono le funzioni da un insieme con n elementi in un insieme con
m elementi?
Suggerimento. Per induzione su n, con un ragionamento induttivo.
Supposto di conoscere quante sono le funzioni da un insieme X con n
elementi in un insieme Y con m elementi, si aggiunga a X un elemento
a 6∈ X. Le funzioni di dominio X ∪ {a} si ottengono da quelle di
dominio X aggiungendo una coppia ha, yi con y ∈ Y .
199
20. Quanti sono i sottoinsiemi di un insieme con n elementi?
21. Quante sono le relazioni tra un insieme con m elementi e un insieme
con n elementi?
22. Quante sono le permutazioni di un insieme con n elementi?
23. In una festa, le buone maniere richiedono che ogni persona saluti con un
“Buona sera” ogni altra persona, una sola volta; se ci sono n persone,
quanti “Buona sera” sono pronunciati? E se ci si dà la mano, quante
strette di mano occorrono?
24. Con quale degli esercizi precedenti si già risolto il problema 20?
Facciamo osservare che molti problemi in cui il passo induttivo, se
s’imposta un ragionamento per induzione, consiste in un +n, come alcuni di quelli di sopra, si possono risolvere anche direttamente con un
conto del numero di eventi rilevanti, che porta non a caso a risultati
in forma di prodotto; è un’applicazione del cosiddetto principio fondamentale del conteggio che vedremo più avanti.
Teoria degli algoritmi:
25. La Torre di Hanoi. Ci sono tre aste verticali; all’inizio su di una sono
infilzati n dischi con un buco in mezzo, di raggio decrescente dal basso
verso l’alto. Bisogna spostare la pila in un’altra asta, muovendo un
disco alla volta da una pila e infilzandolo in un’altra, servendosi anche
della terza asta come passaggio. La condizione è che in nessun momento
su nessuna pila ci sia un disco al di sotto del quale ce ne è uno di raggio
minore.
Dimostrare che lo spostamento è possibile, per induzione su n, risolvendo prima n = 3, e calcolare quante mosse (ogni mossa è lo spostamento di un disco) sono necessarie.
200
Fondamenti:
26. Dimostrare che la funzione successore N −→ N \ {0} è suriettiva, o
sopra N \ {0}.
Osservazione. Questo equivale a dimostrare che ∀x(x = 0∨∃y(x = y 0 )).
15.6
Definizioni ricorsive
Supponiamo di conoscere due funzioni numeriche15 e consideriamo la seguente
coppia di equazioni:
½
f (x1 , 0) = g(x1 )
f (x1 , x0 ) = h(x1 , f (x1 , x)).
Per ogni m ed n il valore f (m, n) può essere calcolato in modo effettivo
attraverso la seguente successione di valori:
f (m, 0) = g(m)
f (m, 1) = h(m, f (m, 0))
f (m, 2) = h(m, f (m, 1))
e cosı̀ via fino a f (m, n).
Lo abbiamo già visto in un paragrafo precedente a proposito della funzione
definita da
½
f (0) = 1
f (n0 ) = 2f (n).
Qui abbiamo considerato il caso di una funzione a due argomenti, di cui uno
funge da parametro.
Più in generale, se sono date due funzioni: g(x1 , . . . , xr ) a r argomenti
e h(x1 , . . . , xr , x, y) a r + 2 argomenti16 , dove r può essere 0, la coppia di
equazioni
½
f (x1 , . . . , xr , 0) = g(x1 , . . . , xr )
f (x1 , . . . , xr , x0 ) = h(x1 , . . . , xr , x, f (x1 , . . . , xr , x))
15
Con “funzione numerica” intendiamo ora una funzione f : N −→ N, o f : N × N −→ N,
o anche a più argomenti.
16
In verità, per considerare tutti i casi possibili, g ed h non devono avere necessariamente
lo stesso numero di parametri, e h può non dipendere da x.
201
definisce ricorsivamente f (x1 , . . . , xr , x) a partire da g e h.
Questa forma di ricorsione si chiama propriamente ricorsione primitiva,
ma non cosidereremo forme più generali di ricorsione17 .
In una ricorsione primitiva, il valore di f ( con valori fissati dei parametri)
per ogni numero x0 maggiore di 0 dipende, attraverso operazioni note, dal
valore di f per il predecessore x. x si chiama anche variabile di ricorsione.
È ovvia la differenza rispetto alle definizioni esplicite; l’equazione di ricorsione f (x1 , . . . , xr , x0 ) = h(x1 , . . . , xr , x, f (x1 , . . . , xr , x)) non è del tipo
f (~x) = . . . 18 dove . . . non contiene f , come richiesto dalla definibilità esplicita, al contrario la definizione appare circolare.
Un teorema generale, che dipende solo dalla struttura fondamentale di
N, cioè dagli assiomi che abbiamo proposto, afferma che questo tipo di
definizione individua una e una sola funzione che soddisfa le equazioni di
ricorsione per tutti i possibili argomenti.
Dal precedente esempio, è chiaro come si possa ottenere ogni valore con
un numero finito di passi.
L’unicità della funzione si dimostra nel seguente modo. Supponiamo che
due funzioni f1 ed f2 soddisfino entrambe le equazioni. Dimostriamo per
induzione su x che f1 e f2 hanno sempre lo stesso valore:
Base: f1 (x1 , . . . , xr , 0) = g(x1 , . . . , xr ) = f2 (x1 , . . . , xr , 0).
Passo induttivo: Se f1 (x1 , . . . , xr , x) = f2 (x1 , . . . , xr , x), allora
f1 (x1 , . . . , xr , x0 ) = h((x1 , . . . , xr , x, f1 (x1 , . . . , xr , x))
= h((x1 , . . . , xr , x, f2 (x1 , . . . , xr , x))
= f2 ((x1 , . . . , xr , x0 ).2
Con ovvie modifiche si definiscono ricorsivamente funzioni N \ Nk −→ N
con equazioni del tipo
½
f (k) = n0
f (x0 ) = h(x, f (x))
x ≥ k.
Con una semplice ricorsione primitiva si definisce l’addizione:
17
18
L’argomento rientra in un’introduzione alla teoria della calcolabilità.
~x sta per una n-upla di elementi, n imprecisato.
202
½
x+0 = x
x + y 0 = (x + y)0 .
In queste equazioni + è il nuovo simbolo per la funzione da definire, a due
argomenti; x funge da parametro e y da variabile di ricorsione. Le funzioni
date sono per la prima equazione la funzione identità x 7→ x e per la seconda
la funzione successore.
Si vede che, se con 1 si indica 00 , allora x + 1 = x + 00 = (x + 0)0 = x0 .
Con l’addizione a disposizione si definisce ricorsivamente la moltiplicazione
come una iterazione dell’addizione con le equazioni:
½
x·0 = 0
x · y 0 = x · y + x.
In modo analogo si definiscono la potenza, come iterazione del prodotto,
e altre operazioni aritmetiche. Ad esempio il fattoriale
½
0! = 1
x0 ! = x! · x0 .
La definizione del prodotto permette di dimostrare che la cardinalità19
c(X × Y ) del prodotto cartesiano di due insiemi X e Y è c(X) · c(Y ):
Siano X e Y due insiemi di cardinalità rispettivamente n ed m. Se a Y
si aggiunge un elemento a 6∈ Y , allora
X × (Y ∪ {a}) = (X × Y ) ∪ {hx, ai | x ∈ X}.
Ma ovviamente c({hx, ai | x ∈ X}) = c(X) = n, ed inoltre X × Y e {hx, ai |
x ∈ X} sono disgiunti (vedi esercizi), per cui
c(X × (Y ∪ {a})) = n · m + n = n · (m + 1). 2
A questo risultato si dà addirittura il nome di Fundamental Counting Principle per la sua untilità in combinatoria, quando si devono contare i casi.
Quando una funzione è definita per ricorsione, la dimostrazione delle sue
proprietà è svolta nel modo più naturale per induzione. Ad esempio dimostriamo la proprietà associativa dell’addizione:
19
Il numero di elementi.
203
(x + y) + z = x + (y + z),
per induzione su z.
Base: (x + y) + 0 = x + y = x + (y + 0).
Passo induttivo: Se (x + y) + z = (x + (y + z), allora
(x + y) + z 0 = ((x + y) + z)0
= (x + (y + z))0
= x + (y + z)0
= x + (y + z 0 ).2
Con la ricorsione non si definiscono solo funzioni numeriche, ma anche
funzioni non numeriche che dipendono da un parametro numerico. Ad esempio l’unione e l’intersezione generalizzata di n insiemi A1 , . . . , An si possono
definire con
 S1
 i=1 Ai
 Sn+1
i=1
= A1
Ai = (
Sn
i=1
Ai ) ∪ An+1
e rispettivamente
 T1
 i=1 Ai
 Tn+1
i=1
= A1
Ai = (
Tn
i=1
Ai ) ∩ An+1 .
Se gli insiemi sono dati come A0 , . . . , An l’unione si definisce come
 S0
 i=0 Ai = A0
 Sn+1
i=0
Ai = (
Sn
i=0
Ai ) ∪ An+1
e analogamente per l’intersezione.
Se invece si vuole definire un’unione generalizzata su infiniti insiemi
204
S
N Xi ,
i∈
o
S∞
i=0
Xi ,
si ricorre
come si è visto alla generalizzazione della definizione originaria:
S
x ∈ i∈N Xi se e solo se esiste un i ∈ N tale che x ∈ Xi .
Analogamente per l’intersezione.
In modo ricorsivo si definisce anche la somma generalizzata, o sommatoria
da 1 a n (per la sommatoria da 0 a n si applicano agli indici le stesse modifiche
di sopra per l’unione):
 P1
 i=1 ai
 Pn+1
i=1
o più in generale
Pn
i=k
= a1
ai = (
Pn
i=1
ai ) + an+1 ,
ai , per n ≥ k ≥ 0, con
 Pk
 i=k ai
 Pn+1
i=k
La sommatoria infinita
ate in Analisi.
= ak
ai = (
P∞
i=0
Pn
i=k
ai ) + an+1 .
ai rientra negll’argomento delle serie, studi-
Anche le relazioni possono essere definite per ricorsione, sostituendo equivalenze alle uguaglianze, ad esempio
½
x < 0 ↔ x 6= x
x < y 0 ↔ x < y ∨ x = y,
o con un altro metodo che vedremo in seguito e che utilizza anche nella
notazione la definizione di relazione come insieme di coppie ordinate.
205
La ricorsione primitiva può essere combinata con altre forme di definizione,
come la definizione per casi, o essere usata per definire simultaneamente due
funzioni.
Un esempio è la seguente definizione di quoziente e resto per la divisione
di m per n, con m ≥ n > 0 (n è fissato, la ricorsione è su m).

½
qm


qm+1 =


qm + 1

se rm < n − 1
se rm = n − 1
½


rm + 1


 rm+1 =
0
se rm < n − 1
se rm = n − 1
(qm è un’altra notazione per q(m); si dovrebbe scrivere q(m, n) o qm,n , ma
non è il caso di appesantire la notazione).
Come base della ricorsione si pone, per m = n, qn = 1 e rn = 0. Si
dimostra (esercizio) per induzione su m, con base m = n, che
m = nqm + rm
con 0 ≤ rm < n,
ottenendo quindi il teorema fondamentale della divisione
∃q∃r(m = nq + r ∧ 0 ≤ r < n).
Alcune forme frequenti di ricorsione non hanno apparentemente il formato
della ricorsione primitiva; ad esempio la successione20 dei numeri di Fibonacci
è definita in modo che, a parte i primi due, arbitrari, ogni elemento dipende
dai due immediati predecessori21 :

= 1
 a0
a1
= 1

an+2 = an + an+1 .
Tali forme di ricorsione sono di fatto riconducibili alla ricorsione primitiva,
e le proprietà di una successione come quella di Fibonacci possono essere
meglio dimostrate con un’induzione appropriata, come vedremo, oltre che
con quella normale.
20
Una successione a0 , a1 , . . . di elementi di un insieme U non è altro che una funzione
N −→ U tale che n 7→ an , e si indica {an | n ∈ N} o brevemente {an }.
21
Horstmann, p. 273 e p. 646.
206
15.6.1
Esercizi
1. Dimostrare per induzione che se due insiemi finiti X e Y sono disgiunti,
c(X ∪ Y ) = c(X) + c(Y ).
Suggerimento: l’induzione è su c(Y ), ma occorre dimostrare a parte il
caso in cui c(Y ) = 1, cioè che se a X si aggiunge un elemento a 6∈ X
allora c(X ∪ {a}) = c(X) + 1 (e questo è l’unico momento della dimostrazione in cui interviene la condizione che gli insiemi siano disgiunti). La dimostrazione richiede il teorema 15.7.1, ne è un immediato
corollario.
2. Dimostrare la proprietà distributiva x·(y+z) = x·y+x·z per induzione
su z.
3. Dimostrare per induzione la proprietà associativa della moltiplicazione.
4. Definire ricorsivamente mn e dimostrare mp+q = mp · mq .
S
5. Dimostrare per induzione che x ∈ ni=1 Ai se e solo se x appartiene ad
almeno uno degli Ai (l’unione generalizzata era stata introdotta proprio
con questa definizione, che ora va dimenticata a favore di quella ricorsiva; oppure si veda l’esercizio come una dimostrazione dell’equivalenza
delle due definizioni).
T
6. Dimostrare per induzione che x ∈ ni=1 Ai se e solo se x appartiene a
tutti gli Ai .
P
P
P
7. Dimostrare che ni=1 m = m · n, dove ni=1 m significa ni=1 ai con
tutti gli ai = m.
8. Trovare e dimostrare per induzione la formula per la
dei primi
Psomma
n
termini della progressione aritmetica di ragione k: i=0 (a + ik).
Suggerimento: le somme, già considerate, dei primi n numeri, dei primi
n pari e dei primi n dispari sono casi di somme di progressioni aritmetiche, le più semplici, di ragione 1 e 2 a partire da a = 0 o a = 1.
Qn
9. Definire ricorsivamente il prodotto generalizzato
i=1 ai e dimostrare
Qn
che se gli ai sono numeri interi allora i=1 ai = 1 se e solo se ai = 1
per ogni i = 1, . . . , n.
207
10. Dimostrare
per induzione che se ai ≥ 0 per ogni i = 1, . . . , n, allora
Pn
i=1 ai ≥ 0.
P
11. Dimostrare per induzione che ni=1 a2i = 0 se e solo se ai = 0 per ogni
i = 1, . . . , n.
P
P
P
12. Dimostrare che ni=1 ai = ki=1 ai + ni=k+1 ai per ogni 1 ≤ k < n.
13. Data la definizione ricorsiva di < del testo, dimostrare che x < y è
equivalente a ∃z 6= 0(x + z = y).
14. Definire ricorsivamente ≤ e dimostrare che x ≤ y ↔ ∃z(x + z = y).
15. Dimostrare che per la successione di Fibonacci, per ogni n > 0
Pn
i=0
ai = an+2 − 1.
208
15.7
Il principio del minimo
Abbiamo detto che un insieme X è infinito se esiste una iniezione di X su
un sottinsieme proprio di se stesso. Il motivo per cui questa proprietà, che si
chiama anche riflessività di X, è stata assunta come definizione di “infinito”
è che essa è intuitivamente falsa per gli insiemi finiti.
La sua negazione è una caratteristica positiva degli insiemi finiti, che è
utile nelle dimostrazioni che li riguardano, e in combinatoria22 è nota come
il principio dei cassetti (in inglese Pigeonhole Principle):
se si distribuiscono m oggetti in n cassetti, con m > n, in almeno un
cassetto c’è più di un oggetto.
In altre parole, non esiste una iniezione di un insieme con m elementi in
un insieme con n < m elementi, o ancora: ogni funzione da un insieme con
m elementi in un insieme con n < m elementi non è iniettiva.
In una sistemazione rigorosa dei concetti di finito ed infinito, una volta
scelta la riflessività come definizione fondamentale di “infinito”, ed aver formulato gli assiomi per N, il principio dei cassetti diventa dimostrabile.
Consideriamo come tipici insiemi finiti gli insiemi Nn = {0, 1, . . . , n − 1},
con N0 = ∅. Un insieme si dice finito se esiste una biiezione tra di esso e un
Nn .
Abbiamo allora
Teorema 15.7.1 Se m > n, non esiste una iniezione di Nm in Nn .
Dimostrazione La dimostrazione è per induzione su n. Si noti che la formula
di induzione questa volta non è atomica, ma inizia a sua volta con un ∀.
Base: N0 è ∅ e non esiste nessuna funzione da un insieme non vuoto
nell’insieme vuoto23 .
Passo induttivo: Supponiamo vero per n che per ogni m > n non esista
un’iniezione di Nm in Nn ; supponiamo per assurdo che esista invece un
m > n + 1 con un’iniezione di Nm in Nn+1 , chiamiamola g. Nn+1 =
Nn ∪ {n}. Deve essere n = g(i) per qualche i < m, altrimenti g sarebbe
una iniezione di Nm in Nn .
22
La combinatoria è proprio lo studio degli insiemi finiti.
Poiché X ×∅ = ∅ esiste solo una relazione tra X e ∅, la relazione vuota - ∅ è un insieme
di coppie ordinate (e di ogni altra cosa) perché è vero che per ogni x, se x ∈ ∅ x è una
coppia - ma il dominio di ∅ è ∅, non X.
23
209
Se i = m − 1 eliminiamo la coppia hm − 1, ni; altrimenti scambiamo tra
di loro i valori attribuiti da g a i e a m − 1, ed eliminiamo m − 1 col suo
nuovo valore n; consideriamo cioè g1 cosı̀ definita: g1 (i) = g(m − 1), e
g1 (j) = g(j) per ogni altro j < m − 1, j 6= i. g1 risulta un’iniezione di
Nm−1 in Nn , con m − 1 > n, contro l’ipotesi induttiva. 2
La caratteristica del “finito” di non essere iniettabile propriamente in se
stesso è collegata a proprietà intuitive, come il fatto che in qualunque modo
si conti un insieme finito si arriva sempre allo stesso numero. Se esistesse una
iniezione g di Nm in Nn , con m > n, e se contando gli elementi di un insieme
si fosse arrivati a m − 1, usando tutto Nm , si potrebbe contarli assegnando a
ogni oggetto il numero i < n tale che g(j) = i dove j è il numero attribuito
all’oggetto nel precedente conteggio, e si arriverebbe a contare al massimo
solo fino a n − 1.
Nonostante “finito” e “infinito” siano l’uno la negazione dell’altro, ci sono
molte analogie strutturali tra N e gli insiemi Nn . Sono insiemi totalmente
ordinati e per di più bene ordinati.
La proprietà di buon ordine per N si esprime con il principio del minimo:
∅ 6= X ⊆ N → ∃x(x ∈ X ∧ ∀y ∈ X(x ≤ y))
o equivalentemente:
∅ 6= X ⊆ N → ∃x(x ∈ X ∧ ∀y < x(y 6∈ X)).
Il principio del minimo giustifica l’induzione: se l’induzione fallisse per qualche
proprietà A(x), allora si avrebbe A(0) e ∀x(A(x) → A(x0 )) ma ∃x¬A(x) e
quindi ¬A(c) per qualche c. Ora c 6= 0 e quindi ha un predecessore c1 tale
che c01 = c. Deve essere ¬A(c1 ) perché A(c1 ) → A(c). A sua volta c1 6= 0
deve avere un predecessore c2 tale che c02 = c1 e per cui ¬A(c2 ), perché
A(c2 ) → A(c1 ), e cosı̀ via. Allora l’insieme {. . . , c2 , c1 , c}
0t
t
t
t
t
t
t
s s
s s r qq
qq q q r r c
s
non avrebbe un minimo. 2
Dal principio del minimo si ricava anche un’altro principio di induzione.
Se A(x) è una qualunque formula aritmetica, considerando come X il suo
insieme di verità {x ∈ N | A(x)} se ne deduce un analogo principio del
minimo per formule, vale a dire che
210
∃xA(x) → ∃x(A(x) ∧ ∀y < x¬A(y)).
Poiché questo vale per ogni formula, possiamo considerare una formula che
inizi con una negazione, che scriveremo ¬A, e abbiamo
∃x¬A(x) → ∃x(¬A(x) ∧ ∀y < xA(y)).
Di qui, contrapponendo
¬∃x(¬A(x) ∧ ∀y < xA(y)) → ¬∃x¬A(x),
ovvero
∀x¬(¬A(x) ∧ ∀y < xA(y)) → ∀xA(x),
e infine
∀x(∀y < xA(y) → A(x)) → ∀xA(x)24 .
La validità di questo schema giustifica un’altra forma di dimostrazione per
induzione, che si chiama induzione forte, o induzione completa o più correttamente induzione sul decorso dei valori .
Per dimostrare ∀xA(x) è sufficiente dimostrare che ∀x(∀y < xA(y) →
A(x)), ovvero, a parole, che per ogni x la validità di A(x) segue dal fatto che
A vale per tutti gli y < x:
∀x(∀y < xA(y) → A(x))
∀xA(x)
P asso induttivo
con ∀y < xA(y) che si può considerare l’ipotesi induttiva, nel passo induttivo,
e non c’è più bisogno della base.
Questo non significa che lo 0 sia trascurato; il fatto è che se si dimostra
il passo induttivo nella sua generalità, cioè per ogni x, la dimostrazione vale
anche per 0, per particolarizzazione, e quindi ∀y < 0A(y) → A(0). Ora
tuttavia ∀y < 0A(y) è sempre vero, essendo ∀y(y < 0 → A(y)), ed essendo
l’implicazione soddisfatta da ogni y per l’antecedente falso y < 0. Quindi si
è dimostrato (qualcosa che implica) A(0).
Bisogna fare attenzione che la dimostrazione del passo induttivo non sta- !!!
bilisca la validità di ∀y < xA(y) → A(x) solo per x da un certo punto in
24
Si faccia attenzione che qui e nel seguito ∀y < xA(y) sta per (∀y < xA(y)).
211
poi, ad esempio diverso da 0, eventualità che si può presentare, e allora i
primi casi restanti vanno trattati e dimostrati a parte. Ma non è la base
dell’induzione, è una distinzione di casi all’interno del passo induttivo.
Se interessa dimostrare ∀x > kA(x) naturalmente, è sufficiente dimostrare
come passo induttivo ∀x > k(∀y(k < y < x → A(y)) → A(x)). La giustificazione consiste nel fatto che N \ Nk+1 (la catena che si ottiene cominciando
da k + 1 invece che da 0) è anch’esso bene ordinato e anche per esso vale il
principio del minimo.
Oppure formalmente si consideri la formula B(x) ↔ x > k → A(x) e si
applichi l’induzione forte a B, cioè si mostri che da
∀x > k(∀y(k < y < x → A(y)) → A(x))
segue
∀x(∀y < xB(y) → B(x))
e quindi si applichi l’induzione forte a B per concludere ∀xB(x), vale a dire
∀x > kA(x).
Da ∀x > k(∀y(k < y < x → A(y)) → A(x)), per importazione delle
premesse, portando all’interno x > k,
∀x(∀y(k < y < x → A(y)) → (x > k → A(x))),
che si può riscrivere, utilizzando di nuovo l’importazione delle premesse,
∀x(∀y(y < x → (y > k → A(y))) → (x > k → A(x))),
cioè proprio
∀x(∀y < xB(y) → B(x)).2
Esempi
Il teorema che ogni numero naturale > 1 ammette una scomposizione
in fattori primi25 si dimostra per induzione forte nel seguente modo: dato
un numero n, o n è primo, oppure è il prodotto di due numeri minori di
n e maggiori di 1. Se la proprietà vale per tutti i numeri minori di n e
25
La formulazione concisa significa che ogni numero > 1 o è primo o è un prodotto di
numeri primi. Vale anche l’unicità della scomposizione, che non dimostriamo.
212
maggiori di 1, per ipotesi induttiva, questi due o sono primi o ammettono
una scomposizione in fattori primi, e allora anche il loro prodotto n ammette
una scomposizione in fattori primi. 2
Nella dimostrazione del passo induttivo per
1 − 12 + 13 + . . . + (−1)n−1 n1 > 0
si erano distinti due casi, a seconda che n fosse pari o dispari. Con l’induzione
forte la distinzione rimane ma non porta a due dimostrazioni diverse. Si può
ragionare nel seguente modo: se la disuguaglianza vale per ogni m < n allora
se n è pari vale
1 − 12 + 13 + . . . −
1
n−2
>0
e quindi
1 − 12 + 13 + . . . −
1
n−2
1
+ ( n−1
− n1 ) > 0
1
− n1 ) > 0, mentre se n è dispari
perché ( n−1
1 − 12 + 13 + . . . −
1
n−1
>0
e quindi
1 − 12 + 13 + . . . −
1
n−1
+
1
n
> 0. 2
Consideriamo di nuovo il problema di pagare qualsiasi tassa postale maggiore di 7 con francobolli da 3 e da 5 centesimi. La dimostrazione è già stata
fatta per induzione, ma si può fare in modo più rapido con l’induzione forte.
Dato un numero qualunque n > 7, ammesso che la possibilità di affrancare
con bolli da 3 e 5 valga per tutti i numeri minori di n e maggiori di 7, si
consideri n − 3. Questa cifra può essere realizzata con bolli da 3 e 5, per cui
basta aggiungere un bollo da 3.
Tuttavia il ragionamento funziona per gli n tali che n − 3 sia maggiore
di 7, quindi non per 8, 9, 10. Quindi il passo induttivo come svolto sopra
non copre tutti i numeri, e questi tre casi devono essere trattati a parte per
completare il passo induttivo. 2
Come si vede dal confronto, rispetto alle dimostrazioni per induzione
normale con l’induzione forte si riduce la parte prettamente aritmetica. Tale
213
possibilità è forse la ragione della attribuzione di “forte” a questo tipo di
induzione.
Da un punto di vista logico, la giustificazione dell’appellativo “forte” è
che la stessa conclusione ∀xA(x) si ottiene nell’induzione forte da un’ipotesi
∀x(∀y < xA(y) → A(x)) più debole di A(0)∧∀x(A(x) → A(x+1)). Questa ultima affermazione sulla forza delle rispettive ipotesi a sua volta si giustifica col
fatto che una stessa conclusione A(x) si ottiene una volta con un’assunzione
forte come ∀y < xA(y) e una volta con l’assunzione più debole che A valga
solo per il predecessore.
Si tratta tuttavia di impressioni psicologiche. Il motivo per cui la dizione
“forte” non è del tutto appropriata è che l’induzione forte è equivalente a
quella normale.
La conclusione ∀xA(x) a partire da ∀x(∀y < xA(y) → A(x)) si può giustificare infatti formalmente nel seguente modo. Si considera la formula
B(x) ↔ ∀y < xA(y)
e si dimostra ∀xB(x) (da cui segue ovviamente ∀xA(x)) per induzione su x,
utilizzando anche ∀x(∀y < xA(y) → A(x)) nel corso della dimostrazione:
Base: B(0) è immediato perché y < 0 è falso.
Passo induttivo: Ammesso B(x), cioè ∀y < xA(y), da questa segue A(x), e
quindi ∀y < x0 A(y) che è B(x0 ). 2
Viceversa l’induzione normale si giustifica in base a quella forte in questo
modo. Supponiamo A(0) ∧ ∀x(A(x) → A(x0 )); per ottenere ∀xA(x), in base
all’induzione forte è sufficiente dimostrare ∀x(∀y < xA(y) → A(x)).
Distinguiamo due casi; un numero o è 0, e allora abbiamo A(0) e quindi
∀y < 0A(y) → A(0), oppure se è diverso da 0 è un successore e possiamo
indicarlo x0 , e dobbiamo dimostrare ∀y < x0 A(y) → A(x0 ).
Ma ∀y < x0 A(y) implica A(x), e con ∀x(A(x) → A(x + 1)) anche A(x0 ).
226
Il principio del minimo è anche equivalente all’affermazione che non esistono catene discendenti infinite; se una successione {an } fosse tale che
26
La dimostrazione formale dell’equivalenza tra induzione e induzione forte si trasporta
alla dimostrazione dell’equivalenza tra il fatto che N sia bene ordinato e il fatto che N sia
il più piccolo insieme che contiene 0 ed è chiuso rispetto al successore.
214
. . . < an+1 < an < . . . < a0 , l’insieme {an | n ∈ N } non avrebbe minimo. Viceversa, dato un insieme non vuoto X, preso un suo elemento a0 ,
se non è il minimo di X si può trovare un altro suo elemento a1 < a0 , e se
neanche a1 è il minimo si continua, ma siccome la successione cosı̀ generata
non può essere infinita, si trova un ak che è il minimo di X. 2
Al principio del minimo si dà ancora un’altra formulazione nota come
principio della discesa finita. Esso afferma che se una proprietà P vale per
un k > 0, e quando vale per un n > 0 qualunque allora vale anche per un
numero minore di n, allora P vale per 0.
Infatti in queste ipotesi, in cui l’insieme degli n che soddisfa P non è
vuoto, il minimo deve essere 0, perché un n > 0, non sarebbe il minimo, in
quanto anche qualche numero minore soddisferebbe P .
Viceversa, ammesso il principio della discesa finita, e dato un insieme X
non vuoto, consideriamo la proprietà P di appartenere a X. O la proprietà
P vale per 0, e 0 è allora ovviamente il minimo di X, oppure 0 non ha la
proprietà P . In questo caso, non è vero per P che per ogni n che ha la
proprietà P anche uno minore ha la proprietà P . Quindi esiste un n che
soddisfa P ma tale che nessun suo predecessore soddisfa P , ed n è il minimo
di X. 2
Un’ovvia variante è che se una proprietà P vale per un h > k e quando
vale per un n qualunque > k allora vale anche per un numero < n e ≥ k,
allora P vale per k.
Il principio della discesa finita è alla base delle dimostrazioni di terminazione degli algoritmi, quando ad un algoritmo si associa una proprietà P !!!
che decresce ad ogni esecuzione di un passo dell’algoritmo. Un esempio è la
dimostrazione di terminazione per l’algoritmo di costruzione degli alberi di
refutazione proposizionali, nel Lemma 8.2.1.
Il principio del minimo fornisce un comodo e utile metodo di definizione
di funzioni: a ogni x (o a più elementi se si tratta di funzione a più argomenti)
si associa il minimo y tale che A(x, y), ammesso di sapere che esistono degli
y tali che A(x, y), dove A(x, y) è una formula.
La definizione di minimo comune multiplo di due numeri è un esempio
ovvio del ricorso a tale possibilità, che è molto frequente in aritmetica, e si può
combinare con la ricorsione per definire funzioni effettivamente calcolabili.
Ad esempio si definisce per ricorsione la successione dei numeri primi
{pn | n ∈ N } ponendo innanzi tutto p0 = 2, quindi osservando che se è noto
215
pn allora esiste (teorema di Euclide) un numero primo maggiore di pn , e uno
che dalla dimostrazione dell’infinità dei primi si sa che è minore o uguale a
2 · 3 · 4 · . . . · pn + 1.
Si definisce allora pn+1 come il minimo numero primo maggiore di pn .
La definizione è corretta in base solo al principio del minimo, ma l’esistenza
di un confine superiore la rende anche effettivamente calcolabile in modo
elementare (eseguendo una ricerca limitata a priori).
A ricorsione primitiva e operatore di minimo corrispondono nei linguaggi
di programmazione strutturata i costrutti repeat (for i = 0 to n) e while
. . . do.
15.8
Varianti dell’induzione
Tra l’induzione normale e quella forte esistono varianti intermedie, in cui per
ogni x la validità di A(x) è dimostrata a partire da quella di A per alcuni
specificati predecessori. Ad esempio
A(0)
A(1)
∀x(A(x) ∧ A(x0 ) → A(x00 ))
∀xA(x).
Base
Base
P asso induttivo
Questa forma di induzione si giustifica, come quella forte, con l’induzione
normale, considerando la formula
B(x) ↔ A(x) ∧ A(x0 )
e dimostrando ∀xB(x) (da cui ovviamente ∀xA(x)) per induzione, utilizzando
le assunzioni relative ad A:
Base: B(0) segue da A(0) e A(1).
Passo induttivo: Ammesso B(x), quindi A(x) ∧ A(x0 ), dal passo induttivo
per A si deduce A(x00 ), quindi A(x0 ) ∧ A(x00 ), cioè B(x0 ). 2
Varianti di questo genere corrispondono ad analoghe varianti della ricorsione primitiva, e permettono di dimostrare le proprietà della funzioni cosı̀
definite. Ad esempio la forma di induzione di sopra è quella adatta a dimostrare proprietà della successione di Fibonacci27
27
Nella precedente definizione si era posto a0 = a1 = 1; con questa, altrettanto usata,
si premette uno 0 e gli altri valori sono solo slittati di un posto.
216
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .
Esempio Mostriamo un legame inaspettato dei numeri di Fibonacci con
numeri irrazionali, in particolare con la sezione aurea.
Indicate con
√
√
α = 12 (1 + 5)
e
β = 12 (1 − 5)
le radici dell’equazione x2 − x − 1 = 0, o
x2 = x + 1,
dove α è la cosiddetta sezione aurea, si ha
an =
√1 (αn
5
− β n ).
Dimostrazione
Base: Per n = 0 la formula si riduce a a0 = 0 e per n = 1 a a1 = 1.
Passo induttivo: Poiché
an = an−1 + an−2
per ipotesi induttiva si ha
an =
√1 (αn−1
5
an =
√1 (αn−2 (α
5
− β n−1 + αn−2 − β n−2 )
quindi
+ 1) − β n−2 (β + 1)).
Ma α + 1 = α2 e β + 1 = β 2 , per cui
an =
√1 (αn
5
217
− β n ). 2
L’induzione doppia è un’altra variante dell’induzione.
Quando la formula da dimostrare è del tipo ∀x∀yB(x, y), se si esegue
un’induzione su x la formula di induzione è ∀yB(x, y) e nel passo induttivo,
quando si deve derivare
∀yB(x, y)
..
.
Ipotesi induttiva
∀yB(x0 , y)
può darsi che ∀yB(x0 , y) richieda di essere derivata a sua volta per induzione
(anche con l’utilizzo di ∀yB(x, y) che è l’ipotesi induttiva dell’induzione su
x).
Si parla allora di induzione doppia, anche se si tratta di due applicazioni di un’induzione normale, solo che una è all’interno del passo induttivo
dell’altra; bisogna fare attenzione a indicare con pulizia le varie tappe della
dimostrazione, perché nel passo induttivo dell’induzione su y si avrà a disposizione l’ipotesi induttiva relativa all’induzione su y e l’ipotesi induttiva
relativa all’induzione più esterna su x.
Non è facile trovare esempi elementari in cui il ricorso all’induzione doppia
è proprio necessario28 . Diamo un esempio per mostrare come si organizzano
i passi della dimostrazione, scegliendo la commutatività dell’addizione, anche se per questa proprietà l’induzione doppia si potrebbe evitare (e dopo
mostreremo come).
Dimostriamo quindi
∀x∀y(x + y = y + x),
e iniziamo con un’induzione su x.
Basex : Dobbiamo dimostrare
∀y(0 + y = y + 0).
ovvero
∀y(0 + y = y).
28
Nel primo teorema del paragrafo 15.7 abbiamo visto un esempio in cui la formula
d’induzione era universale ma non ha richiesto l’induzione doppia.
218
e lo dimostriamo per induzione su y:
Basey : 0 + 0 = 0.
Passo induttivoy : Ammesso 0 + y = y, si ha
0 + y 0 = (0 + y)0
= y0.
Passo induttivox : Assumiamo, come ipotesi induttivax , che ∀y(x+y = y+x)
e dimostriamo
∀y(x0 + y = y + x0 )
per induzione su y.
Basey : Da dimostrare è
x0 + 0 = 0 + x0 .
Ma
0 + x0 = (0 + x)0
= (x + 0)0
(il precedente passaggio per l’ipotesi induttivax particolarizzando
∀y a 0)
= x0
= x0 + 0 .
Passo induttivoy : Assumiamo l’ipotesi induttivay che x0 + y = y + x0
e dimostriamo x0 + y 0 = y 0 + x0 .
x0 + y 0 = (x0 + y)0
= (y + x0 )0
= (y + x)00
dove si è usata l’ipotesi induttivay .
D’altra parte
219
y 0 + x0 =
=
=
=
(y 0 + x)0
(x + y 0 )0
(x + y)00
(y + x)00
dove si è usata prima l’ipotesi induttivax particolarizzando ∀y a
y 0 , e infine di nuovo l’ipotesi induttivax particolarizzando ∀y a y.
Naturalmente si sono anche usate le equazioni della definizione
ricorsiva dell’addizione, in particolare la seconda.
Quindi il passo induttivoy è dimostrato 2
e con la sua conclusione ∀y(x0 + y = y + x0 ) anche il passo induttivox .
2
Vediamo ora come si dimostra più facilmente ∀x∀y(x + y = y + x). Occorrono più applicazioni dell’induzione, ma nessuna induzione doppia.
Abbiamo già dimostrato per induzione la proprietà associativa della somma,
e che ∀x(x + 0 = 0 + x), nel corso della precedente dimostrazione.
Dimostriamo ora per induzione su x che ∀x(x + 1 = 1 + x). Si ricordi che
in base alla definizione di addizione x0 = x + 1.
Base: 0 + 1 = (0 + 00 ) = (0 + 0)0 = 00 = 1 = 1 + 0.
Passo induttivo: Ammesso x + 1 = 1 + x,
1 + x0 =
=
=
=
(1 + x)0
(x + 1)0
(x + 1) + 1
x0 + 1.2
Ora infine, usando questi risultati, dimostriamo per un x generico che
∀y(x + y = y + x)
per induzione su y:
220
Base: x + 0 = 0 + x.
Passo induttivo: Ammesso x + y = y + x, abbiamo
x + y 0 = (x + y)0 =
=
=
=
=
=
15.9
(y + x)0
(y + x) + 1
y + (x + 1)
y + (1 + x)
(y + 1) + x
y 0 + x.2
Errori e paradossi
Alcuni errori delle dimostrazioni, come il dimenticare la base, sono stati già
segnalati. Altri possono essere più difficili da scoprire, e alcuni portano a
divertenti paradossi.
Si consideri il seguente
Teorema 15.9.1 Tutte le mele hanno lo stesso colore.
Dimostrazione Basta dimostrare che, comunque si prendano n mele, queste
hanno tutte lo stesso colore. Se prendiamo una mela, tutte le mele nell’insieme
hanno lo stesso colore. Sia dato un insieme di n + 1 mele. Se togliamo una
mela a, otteniamo un insieme di n mele che per ipotesi induttiva hanno lo
stesso colore. Ma se rimettiamo a nel mucchio e ne togliamo un’altra b, abbiamo un altro insieme di n mele che devono avere tutte lo stesso colore;
quindi b ha il colore di mele che hanno lo stesso colore di a, quindi a ha lo
stesso colore delle altre. 2
Mentre nella precedente dimostrazione è presente un vero errore, diverso è
il caso di ragionamenti come i seguenti, che lo studente è invitato a discutere.
Sul primo non sarebbero d’accordo i sollevatori di pesi.
Teorema 15.9.2 Chiunque è in grado di sollevare un mucchio di sabbia pesante quanto si vuole.
Dimostrazione Dato un granello di sabbia, chiunque è in grado di sollevarlo. Se una persona è in grado si sollevare un mucchio di sabbia, e al
mucchio si aggiunge un granello, la stessa persona è in grado di sollevare il
221
nuovo mucchio. Qualunque mucchio di sabbia, di qualsiasi peso, si ottiene
accumulando un numero sufficiente di granelli di sabbia. 2
Sul prossimo sarebbero d’accordo i matematici, e non si può dire che sia
un errore, né un paradosso, sembra solo paradossale.
Teorema 15.9.3 Ogni numero è interessante.
Dimostrazione Iniziamo con un’induzione empirica. 0 è interessante, al punto
che si continuano a scrivere libri su di esso, rappresenta il vuoto, il nulla . . .
1 è molto interessante, genera tutti gli altri. 2 è il primo numero pari, e
rappresenta tutte le dicotomie che danno origine alla vita, la divisione nella
coppia, maschio e femmina, il bene e il male . . . , 3 è la trinità, il primo primo
dispari, somma dei suoi predecessori . . . , 4 è il primo numero composto, ci
sono i quattro cavalieri dell’Apocalisse . . . , 5 in effetti non sembra avere
nessuna caratteristica unica; beh, questo è interessante di 5, che è il primo
numero non interessante . . .
Si vede ora come svolgere la dimostrazione, nella forma del principio del
minimo: l’insieme dei numeri non interessanti è vuoto, perché se no avrebbe
un primo elemento, e questo sarebbe interessante, come primo numero non
interessante. 2
Non sembra invece accettabile
Teorema 15.9.4 Ogni numero è piccolo.
Dimostrazione 0 è piccolo, e se n è piccolo anche n + 1 è piccolo. 2
Una dimostrazione per induzione forte che contiene evidentemente un
errore è la seguente, secondo cui le derivate di una qualunque potenza xn
sarebbero tutte nulle, cosı̀ come Dx0 = 0, la derivata di una costante:
Per la regola del prodotto, e usando l’ipotesi induttiva che la derivata di
x sia identicamente 0 per ogni i < n + 1,
i
Dxn+1 = (Dx1 ) · xn + x · (Dxn ) = 0 · xn + x · 0 = 0.
15.10
Definizioni induttive
Le definizioni induttive sono quelle che si appoggiano ai numeri naturali,
ma si riferiscono ad altri enti; definiscono funzioni con dominio N ma valori
222
diversi dai numeri, in generale insiemi, relazioni. La formulazione più generale quindi si dà in termini insiemistici; una tipica definizione induttiva si
presenta nella forma seguente.
Dato un insieme B e una funzione F che manda insiemi in insiemi, si
pone
½
I0
= B
In+1 = F (In ),
oppure, nella forma cumulativa, che garantisce che In ⊆ In+1 per ogni n,
½
I0
= B
In+1 = In ∪ F (In ).
Quindi si pone
I=
S
{In | n ∈ N}
e si dice che I è definito induttivamente, o per induzione, mediante F , con
base B.
I risulta un insieme qualunque, dipende da B e F , può anche essere un
insieme di coppie, o un insieme di altre strutture.
F anche è una funzione qualunque, ma in generale si prende crescente,
rispetto all’inclusione, nel senso che se X ⊆ Y allora F (X) ⊆ F (Y ), e
continua, rispetto all’unione, nel senso che “F della unione uguale unione
degli F ”:
S
S
F ( {Xj | j ∈ J }) = {F (Xj ) | j ∈ J }.
Si può sempre fare in modo di utilizzare una funzione crescente ponendo
F 0 (X) = X ∪ F (X). Se F è continua, la definizione cumulativa si può anche
esprimere con
S
In = F ( i<n Ii )
avendo posto
S
i<n Xi =
 Sn−1
 i=0 Xi

∅
223
se
n>0
se
n=0
e ovviamente F (∅) = B.
Esempi
L’insieme dei polinomi in x a coefficienti reali si può definire con
½
P0
=R
Pn+1 = {x · p + c | p ∈ Pn , c ∈ R}
e
P =
S
{Pn | n ∈ N }.
(Esercizio: Esaminare quali siano gli elementi di P1 e P2 .)
Come si vede dall’esempio, la base B non è necessariamente un insieme
finito. La funzione F in questo caso è
F (X) = {x · p + c | p ∈ X, c ∈ R},
che si vede facilmente essere crescente e continua, come sarà anche negli
esempi successivi.
L’insieme dei termini T costruiti con 0, 1, x, + e · si può definire con
½
T0
= {0, 1, x}
Tn+1 = Tn ∪ {t1 + t2 | t1 , t2 ∈ Tn } ∪ {t1 · t2 | t1 , t2 ∈ Tn }
e
T =
S
{Tn | n ∈ N }.
L’insieme I definito induttivamente mediante F , con base B, è caratterizzato dalla seguente proprietà:
I è il più piccolo insieme che contiene B ed è chiuso rispetto a F ,
dove si dice che un insieme X è chiuso rispetto a F se per ogni Y se Y ⊆ X
allora F (Y ) ⊆ X; con “più piccolo” s’intende che se J è un insieme che
contiene B ed è chiuso rispetto a F allora I ⊆ J.
I due tipi di definizione si dicono anche definizione dal basso (quella induttiva con l’unione) e dall’alto, per intersezione.
224
Un modo di esprimere in simboli il fatto che un insieme X è il più piccolo insieme che ha una certa proprietà P è infatti quello di dire che X è
l’intersezione (generalizzata) di tutti gli Y tali che P (Y ), quando l’intersezione
ha ancora la proprietà P .
!!!
Questo succede ad esempio se la proprietà P consiste, come nel caso
attuale, nel contenere un dato insieme o nell’essere chiusi rispetto a una
funzione. Non è sempre cosı̀, ad esempio nel campo reale l’intersezione di tutti
gli intervalli che contengono propriamente l’intervallo (−1, 1) è l’intervallo
chiuso [−1, 1] (estremi inclusi), che ha ancora la stessa proprietà; invece
l’intersezione di tutti gli intervalli aperti (−x, x) è l’insieme {0}, che non è
un intervallo aperto29 .
Facciamo vedere che le due definizioni di I sono equivalenti, se si usa
l’induzione cumulativa ed F è crescente e continua, e a questo scopo chiamiamo J l’insieme definito dall’alto:
T
J = {X | B ⊆ X ∧ ∀Y (Y ⊆ X → F (Y ) ⊆ X)}.
Dobbiamo dimostrare che I = J.
Per I ⊆ J basta far vedere che per ogni n In ⊆ J, cioè che se X è tale che
B ⊆ X ∧ ∀Y (Y ⊆ X → F (Y ) ⊆ X) allora In ⊆ X. Lo si verifica facilmente
per induzione (esercizio). Ne segue che I ⊆ J per la proprietà di minimalità
dell’unione.
Per J ⊆ I basta far vedere che I è uno degli insiemi di cui J è l’intersezione,
quindi che B ⊆ I e I è chiuso rispetto a F . B ⊆ I è ovvio.
È sufficiente controllare la proprietà di chiusura per sottoinsiemi finiti
di I. InfattiSogni Y ⊆ I, ogni Y in verità, è l’unione dei suoi
S sottoinsiemi
finiti, Y = {Z ⊆ Y | Z finito}, e se F è continua F (Y ) = {F (Z) | Z ⊆
Y e Z finito}.
Ora se Z ⊆ I e Z è finito, allora Z ⊆ In per qualche n30 , e F (Z) ⊆
F (In ) ⊆ In+1 , quindi F (Z) ⊆ I. 2
Questo è il motivo per cui si sceglie la forma cumulativa dell’induzione
anche quando non sarebbe necessario; in tal modo si garantiscono le proprietà
richieste dalla dimostrazione, e le supporremo sempre verificate anche se la
presentazione della definizione induttiva non lo mostra esplicitamente.
29
Con intervallo aperto (−x, x) s’intende {y | −x < y < x}.
Perchè Ir ⊆ Ir+1 : allora ogni elemento di Z è in qualche Ir , e tutti sono quindi nel
massimo di questi.
30
225
Di solito infatti la funzione F è precisata da una serie di operazioni da
compiere sugli elementi dell’insieme In per ottenere In+1 e allora per ogni
operazione si ha una clausola induttiva.
La definizione del precedente insieme di termini T si presenta nel seguente
nel seguente modo:

0, 1, x sono termini
 Base:
Clausola induttiva 1: Se t1 e t2 sono termini, anche t1 + t2 è un termine.

Clausola induttiva 2: Se t1 e t2 sono termini, anche t1 · t2 è un termine.
Qualche volta si aggiunge, ma più spesso si trascura, una
Clausola di chiusura: Null’altro è un termine.
Per dare una definizione induttiva di un insieme I in sostanza, prima si
dice esplicitamente che certi elementi appartengono a I; quindi si afferma che
se certi elementi, di una determinata forma, appartengono a I, anche altri,
di altra forma collegata, appartengono a I.
La clausola di chiusura è da intendersi nel senso che non solo I contiene gli
elementi della base ed è chiuso rispetto alle operazioni indicate dalle clausole
induttive,
ma è il più piccolo insieme del genere. Quindi è uguale all’insieme
S
{In | n ∈ N } e qualcosa è in I se e soltanto se è in un In , cioè lo è in
base all’applicazione iterata un numero finito di volte delle clausole di base
e induttive.
Esempi
La definizione delle proposizioni P aveva la forma induttiva
Base: Una proposizione atomica è una proposizione.
Clausola induttiva 1: Se A è una proposizione, anche (¬A) lo è.
Clausola induttiva 2: Se • è un connettivo binario, e se A e B sono proposizioni, anche (A • B) lo è.
Si tratta di una definizione per induzione cumulativa: quando (A • B) è
inserito in In+1 , A e B non sono necessariamente entrambe in In , ma in uno
qualsiasi dei livelli precedenti.
Definiamo l’insieme A degli alberi binari finiti (qui brevemente “alberi”),
intesi come insiemi finiti con un ordine parziale:
226
Base: Un singoletto {•} è un albero, che è radice, in quanto non ha predecessori immediati, ed è foglia in quanto non ha successori immediati (o
figli).
Clausola induttiva: Dato un albero, se ad alcune sue foglie si aggiungono
uno o due successori immediati si ha un albero.
Vediamo come sono formati alcuni primi livelli di A. La base A0 contiene
solo l’albero
•
mentre A1 contiene
•
•
↓
•
•
.&
•
•
e A2 oltre a quelli di A1
•
↓
•
↓
•
•
.&
•
•
↓
•
•
.&
•
•
.&
•
•
•
↓
•
.&
•
•
•
.&
•
•
.&
•
•
•
.&
•
•
.& ↓
• • •
227
•
.&
•
•
↓
•
•
.&
•
•
↓ .&
• • •
•
.&
•
•
.& .&
• ••
•
Infine mostriamo come si definisce una relazione, come insieme di coppie,
anche se spesso per le relazioni si adottano equivalenze di tipo ricorsivo, come
abbiamo visto per <. Proprio la relazione < si può definire con
½
I0
= {hx, x0 i | x ∈ N }
In+1 = In ∪ {hx, y 0 i | hx, yi ∈ In },
e I = <, che mostra come < sia l’iterazione della relazione “successore” (che
è la base I0 ).
La definizione ricorsiva che abbiamo visto in precedenza, da cui segue
x < y ↔ ∃z 6= 0(x + z = y),
mostra anch’essa come < sia l’iterazione del successore, dal momento che
l’addizione è l’iterazione del successore; quest’ultima equivalenza peraltro è
piuttosto la definizione di una formula, che a sua volta definisce la relazione,
che non la definizione della relazione come insieme.
Un altro modo di presentare la relazione < è quello di definirla come la
chiusura transitiva della relazione successore S = {hx, x0 i | x ∈ N }.
La chiusura transitiva di una relazione S è la più piccola relazione che
estende S ed è transitiva; se scriviamo
T rans(R) per ∀x, y, z(hx, yi ∈ R ∧ hy, zi ∈ R → hx, zi ∈ R),
e T C(S) per “chiusura transitiva di S” allora
T
T C(S) = {R | S ⊆ R e T rans(R) }.
L’intersezione non è fatta sull’insieme vuoto, perché esiste sempre almeno
una R soddisfacente le condizioni richieste, ad esempio la relazione totale.
Anche la chiusura transitiva di S ammette in generale una definizione
induttiva dal basso (come quella vista sopra per <), data da
½
I0
= S
In+1 = In ∪ {hx, yi | ∃z(hx, zi ∈ In ∧ hz, yi ∈ S)},
S
e T C(S) = ∞
i=0 {In }.
Esempi
228
La relazione d’ordine parziale negli alberi è la chiusura transitiva della
relazione di successore immediato che è inclusa nella definizione ricorsiva
degli alberi.
La relazione “B è una sottoproposizione di A” è la chiusura transitiva
della relazione “B è una sottoproposizione immediata di A” della definizione
del paragrafo 3.2.1.
Quando un insieme I è definito induttivamente, per dimostrare che ogni
elemento di I ha una proprietà P si può usare l’induzione.
Ad ogni elemento x ∈ I è associato un numero, il più piccolo n tale che
x ∈ In . Chiamiamo altezza di x questo numero31 .
Esempio L’altezza di un polinomio rispetto alla definizione induttiva di
P è il grado del polinomio.
Un’induzione sull’altezza di x è un’induzione su n, che tuttavia prende in
esame non solo tutti i numeri naturali, ma tutti gli elementi di tutti i livelli In
della gerarchia in cui è strutturato I. Essa si presenta nella seguente forma:
Base: Ogni elemento di altezza 0, cioè ogni elemento di I0 , ha la proprietà
P.
Passo induttivo: Ammesso che ogni elemento di altezza n abbia la proprietà
P , si dimostra che ogni elemento di altezza n + 1 ha la proprietà P .
Sn−1
Gli elementi di altezza n sono gli elementi di In \ i=0
Ii . Se si vuole che
l’ipotesi induttiva riguardi tutto In occorre utilizzare l’induzione forte:
Passo induttivo: Ammesso che ogni elemento di altezza minore di n abbia la
proprietà P , si dimostra che ogni elemento di altezza n ha la proprietà
P.
Esempio Dimostriamo che :
31
Nella definizione delle proposizioni del paragrafo 3.2.1 le proposizioni atomiche avevano
altezza 1, mentre nella terminologia attuale hanno altezza 0; lo stesso per gli alberi, secondo
la definizione del paragrafo 3.2.2 l’albero • aveva altezza 1, mentre ora ha altezza 0; non
ci sarebbe alcuna difficoltà ad adattare la notazione delle definizioni induttive in modo
da ristabilire l’accordo, usando N \ {0} o N \ Nk invece di N.Tuttavia nella trattazione
generale delle definizioni induttive, non c’è motivo per non usare tutti i numeri, incluso 0.
La precedente definizione di altezza di un albero si giustificava intuitivamente in base alla
nozione di lunghezza dei rami.
229
Ogni proposizione ha un numero pari di parentesi.
Dimostrazione Per induzione forte. Supponiamo che tutte le proposizioni di
altezza minore di n abbiano un numero pari di parentesi. Indichiamo con ]A
il numero di parentesi di A.
Sia A una proposizione di altezza n. Se n = 0, la proposizione è atomica,
della forma (p), e ha due parentesi.
Se n > 0, A è una proposizione composta, e il fatto cruciale è che le sue
componenti hanno altezza minore di quella di A. Si danno due casi.
Se A è (¬B), per ipotesi induttiva ]B è un numero pari e ]A = ]B + 2 è
anch’esso pari.
Se A è (B • C) composta con un connettivo binario, per ipotesi induttiva
]B e ]C sono pari e ]A = ]B + ]C + 2 è anch’esso pari. 2
Insieme alle dimostrazioni induttive, anche le definizioni ricorsive si estendono agli insiemi definiti induttivamente. L’estensione di un’interpretazione
i a una valutazione i∗ del linguaggio proposizionale (paragrafo 3.3) è una !!!
definizione ricorsiva sull’altezza delle proposizioni.
Altre volte si usano misure di complessità diverse dall’altezza. Per poter
fare dimostrazioni induttive per tutti gli elementi
S∞ di un insieme X, quello che
importa è che X si possa rappresentare come i=k Xi , indipendentemente da
come è stato originariamente definito.
Esempio L’algoritmo di trasformazione di una proposizione in forma normale congiuntiva (o disgiuntiva) del paragrafo 6.3 presentava una ricorsione
sulla lunghezza delle proposizioni. L’esecuzione delle operazioni sintattiche
da compiere su una proposizione era riportata, attraverso l’applicazione delle
leggi distributive, a proposizioni di lunghezza minore: da A∨B ≡ (C ∧D)∨B
via (C ∨ B) ∧ (D ∨ B) a C ∨ B e D ∨ B. Data una forma normale congiuntiva
per queste ultime, si ha una forma normale congiuntiva anche per A ∨ B.
Si noti che C ∨ B e D ∨ B potrebbero avere invece la stessa altezza di
A ∨ B, se prevale l’altezza di B.
La misura di complessità associata in modo naturale alla definizione delle
proposizioni è l’altezza dell’albero di parsing, ma vale anche
S
P= ∞
i=3 Li
dove Li è l’insieme delle proposizioni che hanno (come liste) lunghezza i
(alcuni Li sono vuoti, vedi esercizi), o la gerarchia cumulativa
230
P=
S∞
i=3
L≤
i
dove L≤
i è l’insieme delle proposizioni che hanno lunghezza ≤ i.
15.10.1
Esercizi
Dimostrare per induzione
1. Ogni proposizione contiene almeno una parentesi.
2. Ogni proposizione inizia con una parentesi sinistra e termina con una
parentesi destra.
3. In ogni proposizione il numero di parentesi sinistre è uguale al numero
di parentesi destre.
4. Se si considera una sottosequenza iniziale propria di una proposizione,
in essa il numero di parentesi sinistre è maggiore di quello delle parentesi
destre.
Questo risultato è quello che giustifica il fatto che il contatore di parentesi torna a zero solo alla fine di una formula.
5. Ogni proposizione ha lunghezza (comme lista) maggiore o uguale a 3.
6. In nessuna proposizione occorrono due connettivi consecutivi.
7. In ogni proposizione non atomica occorre almeno un connettivo.
8. In nessuna proposizione occorre la sottosequenza “()”, né “)p”.
9. Se Li è l’insieme delle proposizioni di lunghezza i, trovare quali sono
gli i che sono lunghezze di proposizioni (per cui cioè Li 6= ∅).
10. In ogni proposizione la sua lunghezza è maggiore della sua altezza.
11. Dimostrare per induzione sul numero di lettere che il numero delle
interpretazioni delle proposizioni A[p1 , . . . , pn ] è 2n .
12. Determinare e dimostrare quanti sono gli alberi di altezza n.
13. Determinare e dimostrare quante sono, al massimo, le foglie e i rami di
un albero di altezza n.
231