Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esercitazioni sul Principio di Induzione 7 ottobre 2005 Esercizio 1. Dimostrare che per ogni intero k ≥ 1 vale che 2k−1 ≤ k!. Dimostrazione. Indichiamo con Pk la proposizione “2k−1 ≤ k!”. Verifichiamo la base dell’induzione, la proposizione P1 . P1 è 21−1 ≤ 1! che è vera. Dimostriamo ora che Pk =⇒ Pk+1 , vale a dire: 2k−1 ≤ k! =⇒ 2k ≤ (k + 1)!. Abbiamo 2k = 22k−1 ≤ 2k! ≤ (k + 1)k! = (k + 1)! Esercizio 2. Dimostrare che per ogni x ≥ −1 e per ogni intero n ≥ 0 vale che (1 + x)n ≥ 1 + nx. Dimostrazione. Indichiamo con Pn la proposizione “(1 + x)n ≥ 1 + nx per ogni x ≥ −1”. Ancora una volta verifichiamo la base dell’induzione, P0 , vale a dire (1 + x)0 ≥ 1 + 0x, che è vera. Infine vediamo che Pk =⇒ Pk+1 , cioè dobbiamo dimostrare che “(1 + x)k ≥ 1 + kx, ∀x ≥ −1” =⇒ “(1 + x)k+1 ≥ 1 + (k + 1)x, ∀x ≥ −1”. Abbiamo (1+x)k+1 = (1+x)k (1+x) ≥ (1+kx)(1+x) = 1+(k+1)x+kx2 ≥ 1+(k+1)x che è quanto si voleva mostrare. Ricordiamo la seguente formula (binomio di Newton) n X n k n−k n (a + b) = a b k k=0 dove n n(n − 1) · · · (n − k + 1) n! := = . k k! k!(n − k)! 1 (1) Esercizio 3. Si consideri la successione n 1 an := 1 + n e si verifichi che 1. an > 2 per n ≥ 2; 2. an < 3; 3. an è crescente. Dimostrazione. 1. Abbiamo: n X n 1 n 1 n 1 1+ = 2. = >1+ k n k n 1 n k=0 (2) 2. Consideriamo il termine generico della sommatoria in (2): n 1 n(n − 1) · · · (n − k + 1) 1 = k k n k! nk 1 1 2 k−1 1 = 1− 1− ··· 1 − ≤ . k! n n n k! Grazie all’Esercizio 1 abbiamo: n n X 1 1 1+ < 3. ≤1+ n 2k k=0 3. Per prima cosa osserviamo che: n+1 n n+1 = . k k n−k+1 Abbiamo quindi: n X n n X 1 n+1 k n 1 1 1+ = = 1− k n n + 1 nk k k n k=0 k=0 k n n X X n+1 1 1 n+1 1 nk ≤ 1− ≤ k n+1 nk k nk (n + 1)k k=0 k=0 n+1 n+1 X n+1 1 1 ≤ = 1+ , (n + 1)k n+1 k k=0 che è quanto si voleva mostrare. 2 Esercizio 4. Dimostrare che per k ≥ 6 vale che 2k k! ≤ k k . Dimostrazione. Per k = 6 abbiamo: 46080 = 64 · 720 = 26 · 6! ≤ 66 . Supponiamo che 2k k! ≤ k k . Abbiamo 2k+1 (k + 1)! ≤ 2(k + 1)k k e basta vedere che 2(k + 1)k k ≤ (k + 1)k+1 che segue dall’Esercizio 3 in quanto è equivalente a k 1 2≤ 1+ . k Esercizio 5. Dimostrare che per k ≥ 0 vale che k k ≤ 3k k!. Dimostrazione. Per k = 1 la disuguaglianza è vera. Supponiamo che k k ≤ 3k k!. Abbiamo allora: 3k+1 (k + 1)! = 3(k + 1)3k k! ≥ 3(k + 1)k k . Basta verificare che 3(k + 1)k k ≥ (k + 1)k+1 che è ancora l’Esercizio 3, perché equivale a k 1 . 3≥ 1+ k Esercizio 6. Con il principio di induzione dimostrare le seguenti formule: P • S1 (n) := nk=1 k = 1 + 2 + · · · + n = n(n+1) ; 2 P • S2 (n) := nk=1 k 2 = 12 + 22 + · · · + n2 = n(n+1)(2n+1) ; 6 2 P • S3 (n) := nk=1 k 3 = 13 + 23 + · · · + n3 = n(n+1) . 2 P Poniamo Sk (n) := ni=1 ik = 1k + 2k + · · · + nk . Sk (n) è la somma delle potenze k-esime dei primi n numeri naturali. Esercizio 7. Dimostrare la seguente formula ricorsiva per Sk (n): ! k−1 X 1 k + 1 Sk (n) = (n + 1)k − Sα (n) . k+1 α α=0 3 Suggerimento. Sviluppare con il binomio di Newton (h + 1) k+1 = k+1 X k+1 α α=0 hα Si ha quindi n X (h + 1) k+1 = n X k+1 X k+1 α h=1 α=0 h=1 hα e verificare che n X (h + 1)k+1 = Sk+1 (n) − 1 + (n + 1)k+1 h=1 e che k+1 n X X k+1 h=1 α=0 α α h = n k+1 X k+1 X α=0 = α h=1 k−1 X k+1 α=0 α α h = k+1 X k+1 α=0 α Sα (n) Sα (n) + (k + 1)Sk (n) + Sk+1 (n). Ricavare quindi Sk (n) a partire da Sk+1 (n) − 1 + (n + 1) k+1 = k−1 X k+1 α=0 α Sα (n) + (k + 1)Sk (n) + Sk+1 (n). Esercizio 8. Dimostrare la formula (1). Suggerimento. Fare una dimostrazione per induzione sull’esponente n e sfruttare la seguente uguaglianza (da dimostrare con il calcolo diretto) n n n+1 + = . k k−1 k 4