0.1
Il Campo dei Numeri Reali
Il procedimento di costruzione di R come ampliamento del campo dei numeri Razionali Q, è molto
diverso dal procedimeno visto per la costruzione di Z, e di Q.
Una possibile introduzione è quella ”assiomatica”, che consiste nel supporre che esista un insieme di
numeri, indicati con R, su cui sia possibile operare conservando le proprietà già valide in Q, e nello
stesso tempo aggiungendo nuove proprietà.
0.1.1
Gli assiomi dei numeri reali
1.] Assiomi relativi alle operazioni
Sia R un insieme. Introduciamo una operazione di somma (indicata con +) e un’operazione di
prodotto (indicato con ·) per cui valgano le seguenti proprietà (∀a, b, c ∈ R):
1. Proprietà associativa:
(a + b) + c = (a + b) + c;
2. Proprietà commutativa:
3. Proprietà distributiva:
a + b = b + a;
a · (b + c) = a · b = a · c;
4. Esistano gli elementi neutri rispetto alle due operazioni, cioè ∀a ∈ R esistano due elementi distinti,
indicati con 0 e 1, tali che a + 0 = a e a · 1 = a.
5. Esistano gli opposti: ∀a ∈ R esista un elemento (che indicheremo con −a) tale che a + (−a) = 0;
6. Esistano gli inversi: ∀a ∈ R, a 6= 0 esista un elemento (che indicheremo con a−1 ) tale che
a · a−1 = 1.
Osservazione 1 Una struttura come quella che abbiamo appena ottenuto si dice Campo.
Osservazione 2 Sono esempi di Campi: il campo dei numeri razionali Q, il campo dei numeri
complessi C, i campi finiti delle classi di resti modulo un numero primo p, come si vedrà in seguito.
2.] Assiomi relativi all’ordinamento
Si definisce in R una relazione ≤ tale che:
7. ≤ sia relazione d’ordine,
8. ≤ sia relazione d’ordine totale, cioè ∀a, b ∈ R si verifichi che a ≤ b oppure b ≤ a;
9. la relazione d’ordine ≤ sia ”compatibile con la somma”, cioè, se a ≤ b segua che a + c ≤ b + c
∀c ∈ R.
10. se 0 ≤ a e 0 ≤ b allora 0 ≤ ab.
Osservazione 3 Vale l’analoga relazione per la somma, cioè se 0 ≤ a e 0 ≤ b allora 0 ≤ a + b. In
questo caso si tratta di una proprietà e la si puó dedurre dagli assiomi precedenti (vedi esercizio 1).
Osservazione 4 Sono esempi di Campi ordinati: il campo dei numeri razionali Q e questo che si
sta definendo. Invece il campo dei numeri complessi C non è un campo ordinato.
3.] Proprietà archimedea
11. ∀ a, b ∈ R esista un n ∈ N tale che a ≤ nb.
4.] Assioma di completezza
12. Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di numeri reali per i quali valga la proprietà che ∀a ∈ A
e ∀b ∈ B sia a ≤ b. L’assioma di completezza garantisce che esiste almeno un numero reale c
tale che a ≤ c ≤ b per ogni a ∈ A e b ∈ B.
1
L’insieme R cosı́ introdotto è il campo dei numeri reali.
Osservazione 5 Il campo dei numeri razionali Q non è completo. Infatti consideriamo i due insiemi
seguenti, (sottoinsiemi di Q).
A = {x ∈ Q | x2 < 2}, B = {x ∈ Q | x2 ≥ 2}.
Gli insiemi A e B soddisfano l’ipotesi che ∀a ∈ A e ∀b ∈ B sia a ≤ b, ma non esiste nessun numero
razionale c che soddisfi la condizione a ≤ c ≤ b, per ogni a ∈ A e b ∈ B.
Esercizio 1 Dimostrare che in R da 0 ≤ a e 0 ≤ b segue 0 ≤ a + b.
Dimostrazione Sia 0 ≤ a e 0 ≤ b; per l’assioma 9. si ha che 0 + b ≤ a + b. Per la proprietà
transitiva della relazione d’ordine da 0 ≤ b e 0 + b = b ≤ a + b si ottiene la tesi, cioè 0 ≤ a + b.
Esercizio 2 Dimostrare che in R valgono le leggi di semplificazione rispetto al prodotto, cioè se
a 6= 0 e a · b = a · c segue che b = c.
Dimostrazione
Utilizzando gli assiomi 1., 4. e 6. si ottiene:
b = 1 · b = (a−1 · a) · b = a−1 (a · b) = a−1 (a · c) = (a−1 · a) · c = 1 · b = c.
Esercizio 3 Dimostrare che per ogni coppia di numeri reali a, b si ha: (−a) · b = −a · b.
Dimostrazione
Utilizzando l’assioma 3. (distributività) si ottiene:
(−a) · b + a · b = [(−a) + a] · b = 0 · b = 0.
Si conclude che (assioma 5.) a · b è l’opposto di (−a) · b e quindi −a · b = (−a) · b.
Esercizio 4 Dimostrare che per ogni coppia di numeri reali a, b si ha: (−a) · (−b) = a · b.
Dimostrazione
Dall’esercizio 3 e per l’assioma 2. (commutatività), si ottiene:
(−a) · (−b) = −[(a) · (−b)] = −[(−b) · a] = −[−(b · a)] = −[−(a · b)] = a · b.
Esercizio 5 Dimostrare che la relazione a ≤ b è equivalente alla relazione b − a ≥ 0.
Dimostrazione
Sia per ipotesi a ≤ b: allora per l’assioma 9. si ha a − b ≤ b − b = 0 e quindi b − a ≥ 0.
Viceversa: sia per ipotesi b − a ≥ 0 : ancora per l’assioma 9. e per l’associatività (assioma 1.) si ha:
a = 0 + a ≤ (b − a) + a = b + [(−a) + a] = b.
Esercizio 6 Dimostrare che il prodotto di due numeri reali a e b è nullo se e solo se uno dei due
elementi è nullo, cioè:
a · b = 0 ⇔ a = 0 oppure b = 0.
2
0.1.2
R non è numerabile
Supponiamo di aver dimostrato che vi è corrispondenza biunivoca tra i numeri reali e la loro rappresentazione decimale.
Dati due numeri reali
α = p 0 , p1 p 2 · · · p n · · · ,
β = q 0 , q1 q 2 · · · q n · · · ,
diciamo che α = β ⇔ pi = qi ∀i ∈ N.
Mostriamo ora che R non è numerabile, utilizzando il metodo diagonale (dovuto a Cantor)1 mediante
il quale si dimostra non essere numerabile il sottoinsieme I = {x ∈ R | 0 ≤ x < 1}.
Dimostrazione Procediamo per assurdo, supponendo che I sia numerabile 2 Potremmo allora
ordinare gli elementi di I in modo da avere una applicazione biunivoca da I a N.
Possiamo quindi pensare di scrivere tutti gli elementi dell’intervallo I:
α1 = 0, λ11 λ12 λ13 · · · λ1n · · ·
α2 = 0, λ21 λ22 λ23 · · · λ2n · · ·
α3 = 0, λ31 λ32 λ33 · · · λ3n · · ·
..
..
.
.
αn = 0, λn1 λn2 λn3 · · · λnn · · ·
..
..
.
.
A questo punto possiamo arrivare all’assurdo determinando un elemento che non è nella lista. Infatti
consideriamo il numero reale
γ = 0, µ1 µ2 µ3 . . . µn . . .
in cui le cifre decimali sono determinate nel seguente modo:
µi 6= λii e µi 6= 9 ∀i ∈ N
Cosı̀ γ 6= α1 perché i due numeri hanno la prima cifra decimale diversa, cioè µ1 6= λ11 ,
γ 6= α2 perché i due numeri hanno la seconda cifra decimale diversa, cioè µ2 6= λ22 ,
e cosı̀ via per ogni i.
1 Pietroburgo
2 Ricordiamo
1845-Halle 1918.
che un insieme X si dice numerabile se esiste un’ applicazione biunivoca tra X e un sottoinsieme di
N.
3
