La logica dei predicati- proposizioni aperte insieme di verità di p(x

La logica dei predicati- proposizioni aperte
Una proposizione aperta è composta da un predicato e da uno o più argomenti dei quali tutti o solo
qualcuno sono delle variabili (cioè non sono specificati).
Esempio: p(x)=” x è più alto di Marco”.
x è la variabile , e solo quando ad essa viene assegnato un valore la proposizione p(x) aperta assume un
valore V o F e quindi diventa una proposizione.
I valori che le variabili possono assumere dovranno appartenere ad un particolare insieme, se vogliamo che
la proposizione abbia senso. Tale insieme è detto insieme AMBIENTE o DOMINIO della proposizione aperta
p(x).
Esempio: p(x)=” x è un numero pari” .
L’insieme ambiente o dominio di p(x) è l’insieme dei numeri naturali A=N, ma potrebbe essere anche un
qualunque sottoinsieme di N per esempio A= {x ∈ N | x<30}.
Nell’insieme A che costituisce il dominio di un predicato , ci saranno dei valori che rendono
vera la proposizione aperta p(x) e ce ne saranno altri che la rendono falsa.
L’insieme P dei valori che rendono vera una proposizione aperta p(x) prende il nome di
insieme di verità di p(x).
Il dominio A di p(x) è quindi composto da due parti , l’insieme di verità P e l’insieme
complementare di P rispetto ad A.
Il complementare è l’insieme degli elementi che rendono falso p(x).
Date due proposizioni aperte p(x) e q(x) l’insieme di verità di :
p(x) ∧ q(x)
Quantificatori
p(x) ∨ q(x)
è P ∩ Q
è P ∪ Q
∀ x ∊U
Il quantificatore universale indicato con il simbolo ∀ ( per ogni , tutti) esprime il
fatto che una proprietà è vera per tutti gli elementi x di un insieme U.
∃ x ∊U
Il quantificatore universale indicato con il simbolo ∃( esiste, c’è qualche, alcuni)
esprime il fatto che una proprietà è vera per almeno un elemento x di un
insieme U.
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