Prima prova scritta di Geometria 3, 14 giugno 2016
1. Sia p : E → B un’applicazione quoziente tale che B è connesso. Se p−1 (b) è connessa,
per ogni b ∈ B, dimostrare che E è connesso.
2. Siano A e B sottospazi compatti di X e Y , e sia N è un intorno di A × B in X × Y .
Dimostrare che esistono insiemi aperti U e V in X e Y tale che A × B ⊂ U × V ⊂ N .
3. i) Dimostrare che una successione xn in un prodotto Πα∈J Xα converge a x se e solo
se πβ (xn ) converge a πβ (x), per ogni β ∈ J (”convergenza puntuale”).
ii) Dimostrare che nessuna successione in (R+ )ω converge a 0 = (0, 0, 0, ...) ∈ Rω , nella
topologia box.
iii) Dare un esempio di una successione in (R+ )ω che converge a 0 nella topologia
prodotto ma non nella topologia uniforme.
4. i) Dimostrare che il quadrato ordinato I02 non è connesso per archi.
ii) Quali sono le componenti per archi del quadrato ordinato? (Giustificare la risposta.)
iii) Trovare i punti nei quali il quadrato ordinato non è localmente connesso per archi
(giustificare la risposta).
5. i) Sia p : S 1 → S 1 il rivestimento p(z) = z n , per un n > 1. Dimostrare che non esiste
un’applicazione continua σ : S 1 → S 1 tale che p ◦ σ = idS 1 .
ii) Dimostrare che non esiste una retrazione del nastro di Moebius N sul suo bordo
∂N ∼
= S1.
6. i) Siano h, k : X → Y applicazioni continue, con h(x0 ) = k(x0 ) = y0 , che sono
omotope attraverso un’omotopia H : X × I → Y che è costante in x0 (H(x0 , t) = y0 ,
per tutti t ∈ I). Dimostrare che h∗ = k∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, y0 ).
ii) Sia r : X → A una retrazione forte di deformazione, e x0 ∈ A ⊂ X. Utilizzando i),
dimostrare che r∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (A, x0 ) è un isomorfismo.
Seconda prova scritta di Geometria 3, 6 luglio 2016
1. Sia R∞ il sottoinsieme di Rω di tutte le successioni che sono ”finalmente zero” (xi 6= 0
solo per un numero finito di indici). Trovare la chiusura di R∞ in Rω , per la topologie
prodotto e la topologia box su Rω (giustificare le risposte).
2. i) Dimostrare che SΩ è first countable ma non second countable.
ii) Dimostrare che ogni successione in SΩ ha un estremo superiore.
3. Dimostrare che Rω con la topologia uniforme e la topologia box non è connesso.
4. i) Dimostrare che uno spazio metrico con un sottoinsieme numerabile denso è second
countable.
ii) Dimostrare che uno spazio metrico compatto è second countable.
5. Sia p : E → B un rivestimento con p(e0 ) = b0 , e f : Y → B un’applicazione continua
con f (y0 ) = b0 . Se Y è connesso, dimostrare che un sollevamento F : Y → E di f con
F (y0 ) = e0 è unico.
6. i) Siano h, k : X → Y applicazioni continue, con h(x0 ) = k(x0 ) = y0 , che sono
omotope attraverso un’omotopia H : X × I → Y che è costante in x0 (H(x0 , t) = y0 ,
per tutti t ∈ I). Dimostrare che h∗ = k∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (Y, y0 ).
ii) Sia r : X → A una retrazione forte di deformazione, e x0 ∈ A ⊂ X. Utilizzando i),
dimostrare che r∗ : π1 (X, x0 ) → π1 (A, x0 ) è un isomorfismo.
Terza prova scritta di Geometria 3, 6 settembre 2016
1. i) Dimostrare che la proiezione p : X × Y → X sulla prima coordinata è un’
applicazione aperta.
ii) Se Y è compatto, dimostrare che la proiezione p : X × Y → X è un’applicazione
chiusa.
iii) Dimostrare che p : R × R → R non è un’applicazione chiusa.
2. i) Dimostrare che una successione xn in un prodotto Πα∈J Xα converge a x se πβ (xn )
converge a πβ (x), per ogni β ∈ J (”convergenza puntuale”).
ω
ii) Dimostrare che nessuna successione in Rω
+ converge a 0 = (0, 0, 0, ...) ∈ R , nella
topologia box.
iii) Dare un esempio di uno successione in Rω
+ (coordinate positive!) che converge a 0
nella topologia prodotto, ma non nella topologia uniforme. Poi dare un’esempio di una
successione in Rω
+ che converge a 0 nella topologia uniforme.
3. Dimostrare che uno spazio metrico compatto è second countable.
4. i) Dimostrare che uno spazio compatto è limit point compact.
ii) Dimostrare che uno spazio metrico limit point compact è sequentially compact.
5. i) Dimostrare che uno spazio topologico X è di Hausdorff se e solo se la diagonale
∆ = {x × x : x ∈ X} è chiusa in X × X.
iv) Siano Y uno spazio di Hausdorff e f, g : X → Y applicazioni continue. Dimostrare
che {x ∈ X | f (x) = g(x)} è chiuso in X.
6. i) Descrivere una retrazione di deformazione del nastro di Moebius su un’opportuno
sottospazio S 1 .
ii) Dimostare che non esiste una retrazione del nastro di Moebius N sul suo bordo
∂N ∼
= S1.
Quarta prova scritta di Geometria 3, 21 settembre 2016
1. i) Dimostrare che Rl è first countable ma non second contable.
ii) Dimostrare che Q e Rl sono totalmente sconnessi (ogni sottoinsieme con più di un
punto è sconnesso).
iii) Quali sono le applicazioni continue f : R → Q e f : R → Rl ? (Giustificare la
risposta.)
2. i) Dimostrare che uno spazio compatto di Hausdorff è regolare.
ii) Dimostrare che uno spazio compatto di Hausdorff è normale.
3. Siano Y uno spazio di Hausdorff e f, g : X → Y applicazioni continue. Dimostrare
che {x ∈ X | f (x) = g(x)} è chiuso in X.
4. Sia p : E → B un rivestimento con p(e0 ) = b0 e f : Y → B un’applicazione continua
con f (y0 ) = b0 . Se Y è connesso, dimostrare che un sollevamento F : Y → E di f con
F (y0 ) = e0 è unico.
5. i) Dimostrare che ogni applicazione continua f : [−1, 1] → [−1, 1] ha un punto fisso.
ii) Dimostrare che non esiste una retrazione r : D2 → S 1 (dove D2 denota il disco
unitario chiuso in R2 ).
iii) Dimostrare che ogni applicazione continua f : D2 → D2 ha un punto fisso (usando
un disegno).
6. i) Dimostrare che il quadrato ordinato Io2 non è connesso per archi.
ii) Determinare le componenti per archi del quadrato ordinato Io2 (giustificando la
risposta).
Quinta e sesta prova scritta di Geometria 3, 20 febbraio 2017
1. i) Dimostrare che ogni applicazione continua f : [−1, 1] → [−1, 1] ha un punto fisso.
ii) Dimostrare che non esiste una retrazione r : D2 → S 1 (dove D2 denota il disco
unitario chiuso in R2 ).
iii) Dimostrare che ogni applicazione continua f : D2 → D2 ha un punto fisso (usare un
disegno).
2. i) Dimostrare che una successione xn in un prodotto Πα∈J Xα converge a x se e solo
se πβ (xn ) converge a πβ (x), per ogni β ∈ J (”convergenza puntuale”).
ii) Dimostrare che nessuna successione in (R+ )ω converge a 0 = (0, 0, 0, ...) ∈ Rω , nella
topologia box.
iii) Dare un esempio di una successione in (R+ )ω (coordinate positive!) che converge a
0 nella topologia prodotto ma non nella topologia uniforme. Poi dare un esempio di una
successione in (R+ )ω che converge a 0 nella topologia uniforme (ma non nella topologia
box).
3. i) Dimostrare che SΩ è first countable ma non second countable.
ii) Dimostrare che ogni successione in SΩ ha un limite superiore, e anche un estremo
superiore.
4. Dimostrare che uno spazio metrico con un sottoinsieme numerabile denso è second
countable.
5. i) Dimostrare che non esiste una retrazione r : RP2 → RP1 .
ii) Sia π : S n → RPn la proiezione. Dimostrare che non esiste un’applicazione continua
σ : RPn → S n tale che π ◦ σ = idRPn .
iii) Dimostrare che non esiste una retrazione r : N → S 1 = ∂N del nastro di Moebius
N sul suo bordo S 1 .
6. i) Dimostrare che il quadrato ordinato Io2 non è connesso per archi.
ii) Determinare le componenti per archi del quadrato ordinato Io2 (giustificando la
risposta).
