Corso di Geometria II - A.A. 2016/17 Esercizi per la terza settimana Esercizio 3.1 Dimostrare che per ogni sottoinsieme A ⊂ X di uno spazio topologico X valgono le seguenti uguaglianze ◦ A = A ∪ ∂A , A = A \ ∂A . Esercizio 3.2 Dimostrare che se X è uno spazio T1 , allora ogni sottoinsieme di X contenente un solo elemento è un sottoinsieme chiuso di X (si consiglia di scrivere la dimostrazione senza trascurare alcun dettaglio – è molto utile per far pratica nella stesura di dimostrazioni). Esercizio 3.3 Dimostrare che la topologia standard di R ammette una base numerabile (suggerimento: considerare intervalli aperti con estremi dati da numeri razionali). Esercizio 3.4 Dimostrare che se due spazi topologici X e Y ammettono basi numerabili, allora il prodotto X × Y , dotato della topologia prodotto, ammette una base numerabile. La topologia standard di Rn ammette una base numerabile? Esercizio 3.5 Dimostrare che il prodotto cartesiano di due spazi di Hausdorff è anch’esso di Hausdorff. Esercizio 3.6 Siano X e Y due spazi topologici e πX e πY le due applicazioni πX : X × Y −→ X , πX (x, y) := x , πY : X × Y −→ Y , πY (x, y) := y . Sia poi S la collezione di tutti i sottoinsiemi V ⊂ X × Y che verificano le seguenti due condizioni: 1) V è o saturato rispetto alla applicazione πX o saturato rispetto −1 (πX (V)) = V oppure πY−1 (πY (V)) = all’applicazione π Y (cioè o πX V); 2) se V è saturato rispetto a πX (risp. πY ), allora πX (V) è un aperto di X (risp. πY (V) è un aperto di Y ). Dimostrare che S è una sottobase su X × Y e che la topologia generata da S coincide con la topologia prodotto di X × Y . Per chi fosse interessato, gli estremi esatti del libro di esempi e controesempi, di cui si è fatto cenno a lezione, è: L. A. Steen and J. A. Seebach jr., Counterexamples in Topology, SpringerVerlag, New York, 1978. 1