Corso di Geometria II - A.A. 2016/17 Esercizi per la terza settimana

Corso di Geometria II - A.A. 2016/17
Esercizi per la terza settimana
Esercizio 3.1 Dimostrare che per ogni sottoinsieme A ⊂ X di uno spazio
topologico X valgono le seguenti uguaglianze
◦
A = A ∪ ∂A ,
A = A \ ∂A .
Esercizio 3.2 Dimostrare che se X è uno spazio T1 , allora ogni sottoinsieme
di X contenente un solo elemento è un sottoinsieme chiuso di X (si consiglia
di scrivere la dimostrazione senza trascurare alcun dettaglio – è molto utile
per far pratica nella stesura di dimostrazioni).
Esercizio 3.3 Dimostrare che la topologia standard di R ammette una base
numerabile (suggerimento: considerare intervalli aperti con estremi dati da
numeri razionali).
Esercizio 3.4 Dimostrare che se due spazi topologici X e Y ammettono
basi numerabili, allora il prodotto X × Y , dotato della topologia prodotto,
ammette una base numerabile. La topologia standard di Rn ammette una
base numerabile?
Esercizio 3.5 Dimostrare che il prodotto cartesiano di due spazi di Hausdorff è anch’esso di Hausdorff.
Esercizio 3.6 Siano X e Y due spazi topologici e πX e πY le due applicazioni
πX : X × Y −→ X ,
πX (x, y) := x ,
πY : X × Y −→ Y ,
πY (x, y) := y .
Sia poi S la collezione di tutti i sottoinsiemi V ⊂ X × Y che verificano le
seguenti due condizioni:
1) V è o saturato rispetto alla applicazione πX o saturato rispetto
−1
(πX (V)) = V oppure πY−1 (πY (V)) =
all’applicazione π Y (cioè o πX
V);
2) se V è saturato rispetto a πX (risp. πY ), allora πX (V) è un aperto
di X (risp. πY (V) è un aperto di Y ).
Dimostrare che S è una sottobase su X × Y e che la topologia generata da
S coincide con la topologia prodotto di X × Y .
Per chi fosse interessato, gli estremi esatti del libro di esempi e controesempi, di cui si è fatto cenno a lezione, è:
L. A. Steen and J. A. Seebach jr., Counterexamples in Topology, SpringerVerlag, New York, 1978.
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