Università degli Studi di Bergamo. Facoltà di Ingegneria.
Programma del corso di Matematica 2 per Edili, a.a. 2006–2007
Giulia Furioli
ALGEBRA LINEARE.
• Vettori nel piano e nello spazio. Somma di vettori e prodotto per uno scalare: proprietà. Versori. Coordinate cartesiane. Combinazioni lineari. Dipendenza lineare di vettori.
Prodotto scalare: definizione e proprietà. Calcolo del prodotto scalare in coordinate cartesiane. Prodotto vettoriale nello spazio: definizione e proprietà. Calcolo del prodotto vettoriale
in coordinate cartesiane. Prodotto misto nello spazio: definizione, significato geometrico e
calcolo in coordinate cartesiane.
• Geometria analitica lineare nello spazio. Rette nel piano e nello spazio: equazione
parametrica vettoriale (*), equazioni cartesiane. Vettore direttore. Retta per due punti.
Rette parallele e perpendicolari. Piani: equazione parametrica vettoriale (*) ed equazione
cartesiana. Vettore perpendicolare ad un piano a partire dall’equazione cartesiana (*). Piani
paralleli e perpendicolari. Piano per tre punti non allineati. La retta come intersezione di
due piani non paralleli.
• Spazi vettoriali. Lo spazio Rn è spazio vettoriale. Sottospazi vettoriali di Rn , esempi.
Generatori. Indipendenza lineare. Basi. Dimensione di uno spazio vettoriale. Ogni vettore
si può scrivere in modo unico come combinazione lineare dei vettori di una base (*). Coordinate rispetto ad una base. Prodotto scalare in Rn . Modulo o norma di un vettore di Rn ,
disuguaglianze di Cauchy-Schwartz, disuguaglianza triangolare. Distanza tra vettori.
• Applicazioni lineari, matrici, sistemi lineari. Matrici, somma di matrici e prodotto per
uno scalare. Lo spazio delle matrici m × n è uno spazio vettoriale. Matrici conformabili.
Prodotto righe per colonne. Proprietà associativa, distributiva, assenza della proprietà commutativa. Matrice trasposta. Matrici quadrate: matrice identica, simmetrica, triangolare,
diagonale. Determinante: teorema di Laplace e proprietà. Teorema di Binet. Matrice non
singolare e matrice invertibile. Calcolo della matrice inversa. Relazione tra dipendenza lineare delle righe di una matrice e minori non nulli della matrice stessa. Rango di una matrice.
Teorema di Kronecker. Il rango di una matrice è il numero massimo di righe e di colonne
linearmente indipendenti (*). Sistemi lineari: definizione di sistema determinato, indeterminato, impossibile. Sistema omogeneo e sistema completo. Teorema di Rouché–Capelli (*)
e corollario (un sistema omogeneo ammette sempre soluzione) (*). Teorema di Cramer per
sistemi quadrati (*). Metodo di risoluzione tramite passaggio a una matrice a gradini (di
Gauss). Discussione di sistemi parametrici. Applicazioni lineari: definizione ed esempi. Condizione necessaria affinché un’applicazione L sia lineare è che L(0)=0 (*). Rappresentazione
matriciale delle applicazioni lineari: significato delle colonne della matrice. Composizione tra
applicazioni lineari e sua rappresentazione matriciale. Matrici di transizione o cambiamento
di base. Matrici e applicazioni lineari diagonalizzabili. Equivalenza tra diagonalizzabilità di
un’applicazione lineare e diagonalizzabilità della matrice che la rappresenta. Autovalori e
autovettori. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore,
concetto di autospazio. Condizioni di diagonalizzabiltà in R.
CURVE IN R2 e R3 .
Definizione di curva. Sostegno. Limiti. Continuità. Curve chiuse e curve semplici. Esempi. Derivata di una curva, definizione, significato geometrico e cinematico. Velocità scalare. Curve regolari.
Lunghezza di una curva regolare. Parametrizzazioni equivalenti e cambiamenti di orientazione. La
lunghezza di una curva è indipendente dalla parametrizzazione. Parametro arco. Integrali di linea
(di prima specie): definizione, indipendenza dell’integrale dalla parametrizzazione.
CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI.
Rappresentazioni grafiche: esempi e grafico. Limite: definizione “ε, δ” e tramite successioni. Esempi di funzioni che non ammettono limite in un punto. Continuità: definizione. Ogni funzione
di una sola variabile è continua anche in due variabili e somme, prodotti, quozienti e composizioni
di funzioni continue sono continue. Proprietà topologiche elementari di sottoinsiemi di R2 (insiemi
aperti, chiusi, limitati, intorno di un punto, frontiera e interno di un insieme). Studio del segno di
una funzione. Teorema di Weierstrass. Derivate parziali e gradiente. Funzioni derivabili. Funzioni
differenziabili e piano tangente. Funzioni C 1 . Una funzione C 1 è differenziabile (cioè ammette piano
tangente al grafico) e continua. Derivate direzionali. Formula del gradiente. Direzioni di massimo e
minimo accrescimento. Regole di calcolo della derivata. Derivata della funzione composta. Derivate
parziali successive. Funzioni C k . Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Massimi e minimi liberi
assoluti e relativi. Punti stazionari. Teorema di Fermat (*). Formula di Taylor al secondo ordine
con resto di Peano. Studio della natura dei punti stazionari con la matrice Hessiana.
CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI A VALORI
VETTORIALI.
Limiti, continuità, derivabilità, matrice jacobiana. Trasformazioni regolari di coordinate. Trasformazione dell’elemento di area (*).
CALCOLO INTEGRALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI.
Definizione di integrale doppio su un dominio rettangolare come limite di somme. Insiemi semplici e
regolari. Integrale doppio di funzioni continue su insiemi semplici come integrale iterato. Definizione
di area di un dominio regolare. Proprietà dell’integrale: linearità, monotonia, additività rispetto al
dominio. Cambiamento di variabili negli integrali doppi.
L’asterisco (*) denota i teoremi e le proposizioni di cui è richiesta la dimostrazione. Per gli altri
argomenti sono comunque richiesti gli enunciati, esempi, controesempi ...
Testo consigliato:
M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, “Matematica. Calcolo Infinitesimale e Algebra Lineare”,
seconda edizione, Zanichelli, 2004.
Alcuni eserciziari consigliati:
S. Salsa, A. Squellati, “Esercizi di matematica. Calcolo infinitesimale”, volume 2, Zanichelli, 2002.
M. Bramanti, “Esercizi di Calcolo infinitesimale e Algebra lineare”, seconda edizione, Progetto
Leonardo, 2004.
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