Universit`a Politecnica delle Marche Matematica 2 (Algebra Lineare)

Università Politecnica delle Marche
Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica (Nettuno)
Anno Accademico 2006/2007
Matematica 2 (Algebra Lineare)
Nome:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
N. matr.:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ancona, 26 giugno 2007
Lo studente svolge ciascun tema e risponde alle domande in modo sintetico,
ma completo.
1. (15 pt) Spazi vettoriali
(a) Spiegare i concetti di dipendenza e indipendenza lineare di vettori in uno spazio vettoriale.
(b) Definire che cos’è una base e cos’è la dimensione di uno spazio
vettoriale.
(c) Definire che cos’è un sottospazio vettoriale di uno spazio
vettoriale;
(d) Indicare quali dei seguenti insiemi sono dei sottospazi, argomentando
la risposta:
0 k
• l’insieme delle matrici
⊂ M2×2 ;
0 −k
k∈R
• l’insieme {(k, 1)}k∈R ⊂ R2 ;
(e) Siano V = span{(1, 0, −1), (0, 1, 1)} e W = span{(1, 1, 1), (0, 0, 1)}.
Determinare le dimensioni di V ∩ W e V ∪ W .
2. (15 pt) Determinante di una matrice
(a) definire il determinante di una matrice di ordine arbitrario;
(b) elencare le proprietà dei determinanti;
(c) descrivere l’algoritmo per il calolo del determinante di una matrice e
applicarlo per calcolare il determinante di
⎛
⎞
2 −1 0 1
⎜ 0
3 0 0 ⎟
⎟
A=⎜
⎝ −1 0 1 0 ⎠
1 −2 0 2
(d) La matrice A è invertibile? Argomentare la risposta.
1
Parte 2
1. (6 pt) Trovare la soluzione del seguente sistema lineare, utilizzando l’algoritmo
di riduzione oppure l’eliminazione di Gauss:
⎧
x+y+z +t = 1
⎪
⎪
⎨
x + 3z + t = 0
y+t=0
⎪
⎪
⎩
2x + y + z = −1.
2. (10 pt) Sia F : R4 → R3 l’applicazione lineare definita da
F (x, y, z) = (x + z, 2x + y + z, y − z).
(a) Scrivere la matrice corrispondente all’applicazione F nella base canonica.
(b) Trovare una base e la dimensione del nucleo di F .
(c) Scrivere la matrice associata all’applicazione F rispetto alla base B =
{ (1, 0, 1), (0, −1, 0), (0, −1, 1)}.
⎛
⎞
0 0 −1
3. (8 pt) Sia A = ⎝ 0 2 1 ⎠.
0 0 3
(a) Trovare tutti gli autovalori e autovettori di A.
(b) Se possibile, trovare una matrice P tale che P −1 AP risulti diagonale.
4. (6 pt) Dato il piano affine π definito dalla seguente equazione cartesiana
−x + 2y + 2z = 3
trovare la retta passante per P = (1, 0, −1) e ortogonale ad π. Trovare
infine l’intersezione tra π ed r.
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