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DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA
Corso di laurea in Matematica
Anno accademico 2016/2017 - 3° anno - Curriculum GENERALE
FONDAMENTI DI MATEMATICA
9 CFU - 1° semestre
Docente titolare dell'insegnamento
MARIA FLAVIA MAMMANA
Email: [email protected]
Edificio / Indirizzo: Dipartimento di Matematica e Informatica
Telefono: 0957383065
Orario ricevimento: per appuntamento
OBIETTIVI FORMATIVI
L'obiettivo principale del corso è quello fornire agli studenti strumenti concettuali ed operativi che
collegano il più possibile quanto studiato nei corsi precedenti. In particolare si intende offrire agli studenti
un approccio all'organizzazione logica di una teoria matematica con particolare riguardo alla geometria,
all'aritmetica e alla teoria degli insiemi.
In particolare, il corso si propone i seguenti obiettivi:
Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): Conoscere gli aspetti
fondazionali della matematica in merito alla teoria degli insiemi, all’aritmetica, alla geometria.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding):
Applicare il metodo assiomatico alla costruzione dei numeri naturali, e delle geometrie
Autonomia di giudizio (making judgements): Esprimere giudizi sulla bontà della soluzione proposta
e valutarne l’efficacia. Acquisizione di capacità critiche negli ambiti della matematica.
Abilità comunicative (communication skills): Capacità di comunicare la propria conoscenza
matematica.
Capacità di apprendimento (learning skills): Utilizzare le conoscenze acquisite per acquisire nuove
conoscenze.
PREREQUISITI RICHIESTI
Nessu pre-requisito è richiesto. Sono consigliate conoscenze di elementi di Algebra.
FREQUENZA LEZIONI
La frequenza alle lezioni è fortemente consigliata.
CONTENUTI DEL CORSO
Organizzazione logica di una teoria matematica: teorie assiomatiche; calcolo proposizionale e algebra di
Boole; calcolo predicativo. Fondamenti di geometria: gli “Elementi” di Euclide; geometrie non-euclidee; i
“Grundlagen der Geometrie” di Hilbert; assiomi di continuità e geometria non-archimedea. Fondamenti di
aritmetica: Assiomi di Peano e assiomi di Pieri; Successivi ampliamenti del concetto di numero. L’infinito
matematico: il problema dell’infinito nella matematica greca; il calcolo infinitesimale; concetto di insieme
infinito; teoria degli insiemi di Cantor; cardinalità del numerabile e del continuo; confronto di cardinalità;
paradossi della teoria degli insiemi; teoria assiomatica degli insiemi; l’assioma della scelta; segmenti di
un insieme ben ordinato; il teorema di Zermelo; proposizioni equivalenti all’assioma della scelta; numeri
ordinali e numeri cardinali transfiniti. Le teorie formali: il fenomeno dei paradossi; cenni su logicismo,
intuizionismo e formalismo; teorie formali del 1° e del 2° ordine; cenni sul sistema non-standard dei
numeri reali; limiti del formalismo.
TESTI DI RIFERIMENTO
Attilio Frajese e Lamberto Maccioni (a cura di), Gli Elementi di Euclide, UTET, Torino 1970
D. Hilbert (a cura di) Fondamenti della geometria, Franco Angeli, Milano 2012
E. Agazzi, D. Palladino, Le geometrie non Euclidee e i fondamenti della geometria da un punto di vista
elementare, Editrice la scuola, Brescia
Sopra gli assiomi aritmetici, Bollettino dell'Accademia Gioenia Di Scienze Naturali in Catania, 1-2, 1908
M. Kline, Storia della matematica
Durante l'anno vengono forniti agli studenti appunti redatti dal docente contenenti gli argomenti trattati
durante le lezioni frontali (su Studium).
PROGRAMMAZIONE DEL CORSO
* Argomenti
Riferimenti testi
1
* L’organizzazione logica di una teoria matematica:
teorie assiomatiche; calcolo proposizionale e algebra
di Boole; calcolo predicativo.
Note del docente
2
* Gli “Elementi” di Euclide
Attilio Frajese e Lamberto Maccioni (a
cura di), Gli Elementi di Euclide, UTET,
Torino 1970; Note del docente
3
* Geometrie non-euclidee
E. Agazzi, D. Palladino, Le geometrie
non Euclidee e i fondamenti della
geometria da un punto di vista
elementare, Editrice la scuola, Brescia;
Note del docente
4
* “Grundlagen der Geometrie” di Hilbert; assiomi di
continuità e geometria non-archimedea.
D. Hilbert (a cura di) Fondamenti della
geometria, Franco Angeli, Milano 2012;
Note del docente
5
* Fondamenti di aritmetica: Assiomi di Peano e assiomi
di Pieri; Successivi ampliamenti del concetto di
numero
Sopra gli assiomi aritmetici, Bollettino
dell'Accademia Gioenia Di Scienze
Naturali in Catania, 1-2, 1908. Note del
docente
6
* Il problema dell’infinito nella matematica greca; il
calcolo infinitesimale; concetto di insieme infinito
M. Kline, Storia della matematica; Note
del docente
7
* Teoria degli insiemi di Cantor; cardinalità del
numerabile e del continuo; confronto di cardinalità
M. Kline, Storia della matematica; Note
del docente
8
* Teoria assiomatica degli insiemi; l’assioma della
scelta; segmenti di un insieme ben ordinato; il
teorema di Zermelo; proposizioni equivalenti
all’assioma della scelta
Note del docente
9
* Numeri ordinali e numeri cardinali transfiniti
Note del docente
10 * Le teorie formali: il fenomeno dei paradossi; cenni su
logicismo, intuizionismo e formalismo; teorie formali
del 1° e del 2° ordine; cenni sul sistema nonstandard dei numeri reali; limiti del formalismo
Note del docente
* Conoscenze minime irrinunciabili per il superamento dell'esame.
N.B. La conoscenza degli argomenti contrassegnati con l'asterisco è condizione necessaria ma non
sufficiente per il superamento dell'esame. Rispondere in maniera sufficiente o anche più che sufficiente
alle domande su tali argomenti non assicura, pertanto, il superamento dell'esame.
MATERIALE DIDATTICO
Durante l'anno vengono forniti agli studenti appunti redatti dal docente contenenti gli argomenti trattati
durante le lezioni frontali (su Studium).
PROVA D'ESAME
MODALITÀ D'ESAME
l’esame finale consiste in una prova orale
DATE D'ESAME
http://web.dmi.unict.it/Didattica/Laurea%20Triennale%20in%20Matematica%20L-35/Calendario%20dEsa
mi
PROVE IN ITINERE
non sono previste prove in itinere
PROVE DI FINE CORSO
La prova finale consiste in una prova orale
ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI
Assiomi di continuità;
Numeri secondo Pieri e secondo Peano
Teorie assiomatiche