Universit`a del Salento Corso di Laurea in Ingegneria Industriale

Università del Salento
Corso di Laurea in Ingegneria Industriale
Prova scritta di Geometria e Algebra
04.09.2012
SOLUZIONI
Parte 1: Domande a risposta multipla.
1.
In R4 si considerino due sottospazi V , W tali che dim V = dim W = 2. Sia V ∩ W 6= {0}. Quale tra le
seguenti affermazioni è vera?
dim(V + W ) ≤ 3.
R4 = V ⊕ W .
dim V + W = 4.
dim(V + W ) ≤ 2.
R4 = V + W .
Soluzione. Essendo V ∩ W 6= {0} risulta dim(V ∩ W ) ≥ 1. Dalla relazione di Grassmann dim(V + W ) =
4 − dim(V ∩ W ).
2.
Sia B = {v1 , v2 , v3 , v4 } la base di R4 definita da
v1 = (1, 1, −1, −2),
v2 = (−2, −1, 0, 0),
v3 = (1, −1, 0, 0),
v4 = (−1, −2, −1, 1).
Si dica quale tra i seguenti vettori rappresenta le coordinate di w = (3, 0, 0, 0) rispetto alla base B.
(0, −1, 1, 0).
(3, 0, 0, 0).
(−1, 2, 1, 0).
(1, 0, 1, 1).
Nessuno degli altri.
Soluzione. Basta verificare che 0v1 + (−1)v2 + 1v3 + 0v4 = w.
3.
In R3 dato il piano x + 2y − z + 2 = 0 si dica quale tra le seguenti equazioni è la rappresentazione
parametrica del piano.
(x, y, z) = (0, 0, 2) + k(1, 0, 1) + h(0, 1, 2).
(x, y, z) = (0, −1, 0) + k(1, 0, −1) + h(1, 1, 2).
(x, y, z) = (k + h, k − h, 2).
(x, y, z) = (2k, h, h − k − 2).
(x, y, z) = (k, 2k, k − 3).
Soluzione. Basta sostituire il valore assegnato di (x, y, z) nell’equazione per vedere se questa è soddisfatta;
solo (x, y, z) = (0, 0, 2) + k(1, 0, 1) + h(0, 1, 2) soddisfa l’equazione del piano.
4.
Sia f : V → V un’endomorfismo simmetrico di uno spazio vettoriale euclideo (V, g). Quale tra le seguenti
affermazioni è vera?
Le radici del polinomio caratteristico di f sono tutte reali.
Per ogni v ∈ V kf (v)k = kvk.
Il coseno dell’angolo tra due vettori v, w è uguale al coseno dell’angolo tra f (v) e f (w).
f è un isomorfismo.
f ammette gli autovalori ±1.
Soluzione. È una proprietà fondamentale degli endomorfismi simmetrici, contenuta nella diagonalizzabilità
di ogni endomorfismo simmetrico.
5.
Date due matrici quadrate in R2,2 si dica quale tra le seguenti affermazioni è falsa.
det(AB) = det(A + B).
det(AB) = det(BA).
det(kA) = k 2 det A.
det((T A)) = det(A).
Nessuna delle altre.
Soluzione. Basta provare l’identità det(AB) = det(A + B) con A = I e B = O.
6.
Sia f : R3 → R4 un’applicazione lineare. Quale tra le seguenti affermazioni è vera?
dim Im f ≤ 3.
f può essere suriettiva.
f non può essere iniettiva.
f è l’applicazione nulla.
ker f 6= {0}.
Soluzione. L’affermazione segue dal teorema fondamentale dell’algebra lineare.
7.
Sia data una forma bilineare simmetrica β : R3 × R3 → R, (X, Y ) 7→ T XAY . Sia det A > 0. Quale tra le
seguenti affermazioni è vera?
A può avere esattamente 2 autovalori negativi.
β è definita positiva.
β è definita negativa.
A può avere esattamente 3 autovalori negativi.
A ha 3 autovalori positivi.
Soluzione. Il determinante di A è il prodotto degli elementi sulla diagonale (autovalori), quindi gli
autovalori negativi possono essere presenti solo in numero pari.
8.
Sia (V, g) uno spazio vettoriale euclideo, e sia U un sottospazio di V . Sia w ∈ U ⊥ . Quale tra le seguenti
affermazioni è vera?
La proiezione ortogonale di w su U è 0.
La proiezione ortogonale di w su U è w.
La proiezione ortogonale di w su U è un vettore non nullo.
La proiezione ortogonale di w su U ⊥ è 0
Nessuna delle altre affermazioni è vera.
Soluzione. La proiezione ortogonale di w su U è 0 e su U ⊥ è w, poiché nella scomposizione relativa alla
somma diretta V = U ⊕ U ⊥ si ha w = 0 + w.
Parte 2: Esercizio.
1.
Data la forma bilineare simmetrica
β : R3 → R3 , (X, Y ) 7→ T XAY


k 0 1
A = 0 k 1
1 1 k
dire per quali valori di k ∈ R β è definita positiva. Per k = 2:
(a)
(b)
calcolare il coseno dell’angolo tra i vettori u = (1, 2, 1) e w = (−1, −1, 0) (rispetto a β);
trovare almeno un vettore a ∈ R3 non nullo ortogonale ad u rispetto a β.
2
Soluzione. Il polinomio caratteristico della matrice A ha la forma PA (λ)
√ = (k − λ)((k − λ) − 1) − (k − λ),
pertanto√fattorizzando (k − λ) si trovano tutte le radici, che sono k ± 2 e k. Le radici sono tutte positive
per k > 2, quindi anche per k = 2. Il coseno si calcola con la solita formula, ricordarsi di usare β e non il
prodotto scalare standard. Infine, è necessario trovare almeno una soluzione a dell’equazione β(u, a) = 0.
Ponendo a = (x, y, z) si ha

 
2 0 1
x
β(u, a) = T uAa = (1, 2, 1) 0 2 1 y  = 3x + 5y + 5z = 0.
1 1 2
z
Una soluzione non nulla è, per esempio, a = (5, −3, 0).
2.
Data la forma bilineare simmetrica
(X, Y ) 7→ T XAY

k
0 −1
k −1
A= 0
−1 −1 k
β : R3 → R3 ,

dire per quali valori di k ∈ R β è definita positiva. Per k = 2:
(a)
(b)
calcolare il coseno dell’angolo tra i vettori u = (1, 2, 1) e w = (−1, −1, 0) (rispetto a β);
trovare almeno un vettore a ∈ R3 non nullo ortogonale ad u rispetto a β.
Soluzione. Come il precedente.
Parte 3: Teoria.
1.
Dimostrare la Relazione di Grassmann: per due sottospazi V , W di uno spazio vettoriale finitamente
generato Z vale
dim(V + W ) = dim V + dim W − dim(V ∩ W ).
Soluzione. Consultare le dispense.
2.
Dimostrare che, data una matrice quadrata A, essa è invertibile se e solo se det A 6= 0. Dimostrare che,
se det A 6= 0, allora
(a)
det A−1 = 1/ det(A),
(b)
A−1 = 1/(det(A)) Adj(A).
Soluzione. Consultare le dispense.