Matematica Finanziaria [Sola lettura] - Progetto e

Università degli Studi di Teramo
Facoltà di Medicina Veterinaria
ECONOMIA
ED ESTIMO RURALE
Dott. Agronomo Raffaella Castignani
Corso di Laurea in Tutela e Benessere Animale
Università degli Studi di Teramo
Facoltà di Medicina Veterinaria
16 maggio 2016
Matematica Finanziaria
La matematica finanziaria è funzionale
all’Estimo poiché aiuta la previsione:
individua il valore più probabile in vista di un
determinato quesito estimativo.
Quando i dati economici di un bene si
verificano in periodi differenti, è possibile
confrontarli fra loro solo dopo averli riferiti
allo stesso momento.
Matematica Finanziaria
La possibilità di esprimere un giudizio di stima
è vincolata alla necessità di basarsi sulla
contemporaneità dei valori.
Pertanto vige un principio fondamentale:
non si possono sommare o sottrarre valori
riferiti ad epoche diverse; per poter eseguire
tali operazioni è necessario riportare i valori
alla stessa epoca mediante le formule di
anticipazione e posticipazione.
Interesse
L’interesse ( I ) è il prezzo da pagare per l’uso del
capitale ( k, C ).
L’unità di misura, ciò che determina l’interesse, è
il tasso ( o saggio) d’interesse ( r ).
I
è il prezzo per l’uso del k = è il compenso per
unità di k nell’unità di t
r
è l’unità di misura = l’I maturato da 1 €
nell’unità di t
Interesse, Saggio
L’ I è direttamente proporzionale:
1. al rischio
2. alla durata d’impiego del k
Il saggio r può essere annuale, semestrale,
trimestrale, ecc., e come ogni bene economico è
soggetto alle leggi della D e dell’S.
Il saggio viene espresso in forma %, ma per le
formule viene adottato il saggio unitario, per
esempio ad un saggio pari al 4% corrisponde un
saggio unitario pari a 0,04
Interesse, Saggio e Montante
Per l’uso temporaneo di un capitale viene
corrisposto a colui che concede il denaro un
compenso detto interesse.
Alla scadenza fissata il debitore restituisce il
capitale iniziale e paga il relativo interesse.
La somma complessiva, cioè il capitale più
l’interesse si definisce montante ( M ).
M=C+I
Interesse
I = compenso per l’unità di C nell’unità di t
I=Cxrxt
Esistono diversi modi per il calcolo dell’interesse,
da cui derivano diversi regimi.
I più importanti sono:
1. Regime ad interesse semplice
2. Regime ad interesse composto
Regimi Finanziari
Regime ad interesse semplice
Un C è impiegato ad interesse semplice
quando gli interessi vengono calcolati
per tutta la durata dell’impiego,
in genere di 1 anno,
sul C inizialmente investito.
Gli interessi quindi non divengono fruttiferi,
cioè non si trasformano in capitale
1.
Regimi Finanziari
Regime ad interesse semplice
La somma del capitale con gli interessi maturati in
un determinato periodo di tempo si dice montante
( M ) o capitale finale ( Ct ), mentre il capitale
investito si dice capitale iniziale ( C0 ).
1.
I = C0 x r x t
M = C0 + I = C0 + ( C0 x r x t ) = C0 ( 1 + r x t )
Regimi Finanziari
Regime ad interesse semplice
Formula dell’interesse semplice:
I = C0 x r x t
Formula del montante o di posticipazione :
M = C0 ( 1 + r x t )
Formula dello sconto o di anticipazione :
C0 = M/ ( 1 + r x t )
Da cui possiamo ricavare le formule inverse per
trovare di volta in volta l’incognita d’interesse.
1.
Regimi Finanziari
1.
Regime ad interesse semplice
I = C0 x r x t
M = C0 ( 1 + r x t )
C0 = I / r x t
C0 = M / 1 + r x t
r = I / C0 x t r = (M - C0 ) / C0 x t
t = I / C0 x r t = (M - C0 ) / C0 x r
Esempio
Deposito in un ufficio postale € 300,00 all’interesse
del 5%. Calcolare l’ammontare del capitale alla fine
di un anno.
I = C0 x r x t
I = 300,00 x 0,05 x 1= 15,00
M = C0 + I
M = 300,00 + 15,00 = 315,00
Esempio
Qual è il montante di un capitale di € 1.000,00
investito per 90 giorni al tasso del 7% ?
I = C0 x r x t
M = C0 + I = C0 + ( C0 x r x t ) = C0 ( 1 + r x t )
M = 1.000,00 ( 1+ 0,07 x 90 / 360) = € 1.017,5
Regimi Finanziari
Regime ad interesse composto
Un capitale è impiegato ad interesse composto
quando gli interessi maturati alla fine
di ogni periodo convenuto di tempo
si sommano al capitale che li ha prodotti
diventando a loro volta fruttiferi
2.
Regimi Finanziari
Regime ad interesse composto
L’interesse composto può essere:
ü Interesse composto discontinuo annuo quando
gli interessi si convertono in capitale fruttifero
alla fine di ogni anno
ü Interesse composto convertibile quando gli
interessi si convertono in capitale fruttifero più
volte nel corso dell’anno
ü Interesse composto continuo o matematico
quando la conversione dell’interesse si verifica
ad ogni istante
2.
Regimi Finanziari
2.Regime
ad interesse composto
ü Interesse composto discontinuo annuo
Viene utilizzato nelle operazioni di credito ed
economico estimative per periodi formati da un
numero n intero di anni
Riprendiamo la formula del montante semplice:
M = C0 ( 1 + r x n )
e poniamo n = 1, otteniamo:
M = C0 ( 1 + r )
Regimi Finanziari
2.Regime
ad interesse composto
ü Interesse composto discontinuo annuo
Il coefficiente ( 1 + r ) lo aggiungiamo alla fine di
ogni anno per cui avremo:
C1 = C0 ( 1 + r )
C2 = C1 ( 1 + r ) = C0 ( 1 + r ) ( 1 + r ) = C0 ( 1 + r ) ²
C3 = C2 ( 1 + r ) = C0 ( 1 + r ) ² ( 1 + r ) = C0 ( 1 + r )³
Cn = C0 ( 1 + r ) n
.
Regimi Finanziari
2.Regime
ad interesse composto
ü Interesse composto discontinuo annuo
n
Cn = C0 ( 1 + r )
.
Posto ( 1 + r ) = q = MONTANTE UNITARIO
diventa:
Cn = C0 q n
L’interesse composto è ottenuto come differenza tra
il montante ottenuto dopo n anni ed il capitale
iniziale impiegato.
Regimi Finanziari
2.Regime
ad interesse composto
ü Interesse composto discontinuo annuo
I = Cn - C0
Sostituendo il valore Cn diventa:
n
I = C0 q - C0
I = C0 (q – 1)
n
Regimi Finanziari
Regime ad interesse composto
üInteresse composto discontinuo annuo
Formula dell’interesse composto
n
I = C0 (q – 1)
Formula del montante o di posticipazione :
n
M = Cn = C0 ( 1 + r )
Formula dello sconto o di anticipazione :
n
C0 = M /( 1 + r )
Da cui possiamo ricavare le formule inverse per
trovare di volta in volta l’incognita d’interesse.
1.
.
.
Trasferimento di Valori nel Tempo
La matematica finanziaria permette di confrontare
valori riferiti a periodi differenti riportandoli alla
stessa data mediante le formule di posticipazione
ed anticipazione riferite a:
ü all’interesse semplice per periodi inferiori ad un
anno
ü all’interesse
composto
per
periodi
corrispondenti ad un numero intero di anni
ü ad entrambi per periodi frazionari, cioè non
corrispondenti ad un numero intero di anni
Università degli Studi di Teramo
Facoltà di Medicina Veterinaria
23 maggio 2016
Lo Sconto
In matematica finanziaria rappresenta
la somma che viene detratta
per rendere attuale un valore
Commercialmente consiste nella ritenuta
che viene effettuata
su un capitale corrisposto
prima del periodo stabilito
Lo Sconto
n
n
n
n
Definizioni
Una persona che deve riscuotere un certo importo a una
data scadenza, può realizzare anticipatamente il suo
credito secondo le seguenti modalità:
a. il debitore riscatta il suo debito, cioè lo paga in
anticipo, e la somma che paga è inferiore al valore del
debito;
b. una terza persona, in genere una Banca, anticipa al
creditore l’importo che si farà poi rimborsare dal debitore
alla scadenza. In questo caso il creditore cede a un terzo il
suo credito, ricevendo, anche in tal caso, un importo
inferiore.
Lo Sconto
n
n
Definizioni
Lo sconto S è il compenso di chi paga un debito prima
della scadenza e anche la differenza sull’operazione di
cessione di un credito.
Lo Sconto
Lo sconto può essere:
1. Commerciale
2. Razionale
Sconto semplice commerciale
Lo sconto commerciale è proporzionale al valore
nominale M e al tempo t di anticipazione
Sc = M rt
Regime: interesse semplice
Denominazione: commerciale
Applicazione: calcoli bancari per periodi inferiori ad un
anno
Lo Sconto
Sconto razionale ad interesse semplice
Si ottiene dalla differenza tra il valore futuro o
nominale (M o Cn) ed il valore attuale o reale (C0 ).
Lo sconto è uguale alla differenza tra il montante
ed il valore iniziale:
Sc = M – C0
Lo Sconto
Sconto razionale ad interesse semplice
dalle formule dell’ interesse semplice sappiamo
che:
C0 = M / (1+ rt)
sostituendo:
Sc = M – C0 = M - M / (1+ rt) = M(1+rt)M/1+rt= M(1+rt-1)/1+rt= M rt/( 1 + rt)
Lo Sconto
1.
Sconto ad interesse semplice
Sc = M rt/( 1 + rt)
Sconto semplice razionale
Regime: interesse semplice
Denominazione: razionale
Applicazione: calcoli finanziari, estimativi per
periodi inferiori ad un anno
Esempio 1
Cambiale di € 300,00 con scadenza a 7 mesi
scontata presso una banca al saggio del 6%.
A quanto ammonta lo sconto effettuato ?
Sconto commerciale
Sc = Mrt
Sc = 300,00 x 0,06 x 7/12 = € 10,50
Sconto razionale
Sc= Mrn/(1+rn)
Sc = 300,00 x0, 06x7/12/=(1+0,06x7/12)
Sc = 10,50/1,035=10,145
Mentre lo sconto si calcola in base ad un capitale
futuro (M) dal quale va detratto per ottenere il capitale
presente C0 l’interesse si calcola in base ad un capitale
presente (C0) a cui va aggiunto per ottenere un
capitale futuro (M)
M-Sc= C0
C0+I=M
Lo Sconto
Sconto ad interesse composto
(discontinuo annuo)
Lo sconto è uguale alla differenza tra il montante
ed il valore iniziale:
Sc = M – C0
dalle formule dell’ interesse composto sappiamo
che:
n
C0 = M /q
sostituendo:
1.
.
n
n
Sc = M – C0 = M - M /q = M ( q - 1) / q
n
Lo Sconto
1.
Sconto ad interesse composto
( discontinuo annuo)
Sc = M ( qn - 1) / qn
Regime : interesse composto
Denominazione : composto/razionale
Applicazione : calcoli finanziari, estimativi per n
anni
Esercizi
Esercizio n. 2
Il diritto di realizzare tra 8 anni un credito di
€ 1.000,00 viene ceduto oggi ad una terza persona.
Quale somma viene pagata oggi ad un tasso del 6%?
Esercizio n. 3
Si vuole conoscere l’ammontare dello sconto da
applicare oggi ad un capitale di € 4.000,00
percepibile tra 5 anni volendolo realizzare subito al
tasso del 5%
Omogeneizzare Capitali
Omogeneizzare capitali significa riportare i valori
allo stesso tempo, per poterli confrontare ed
effettuare una scelta.
Per omogeneizzare utilizzo le formule di
capitalizzazione, per tanto in riferimento al tempo t :
1. capitalizzazione semplice se t < 1 ( anno)
2. capitalizzazione composta se t > 1 (anno)
Omogeneizzare Capitali
1.Capitalizzazione
semplice t < 1
Ø Coefficiente
di
Posticipazione
(o
di
capitalizzazione ) consente di andare avanti nel
tempo:
(1+ rt)
Ø Coefficiente di Anticipazione (o di attualizzazione)
consente di tornare indietro nel tempo:
1/ (1+ rt)
Ricorda: in regime di capitalizzazione semplice
nM = C0 ( 1 + r x t )
nC0 = M / 1 + r x t
Omogeneizzare Capitali
1.Capitalizzazione
composta t > 1
Ø Coefficiente di Posticipazione (o di capitalizzazione)
consente di andare avanti nel tempo:
qn
Coefficiente di Anticipazione (o di attualizzazione)
consente di tornare indietro nel tempo:
Ø
1/qn
Ricorda in regime di capitalizzazione composta:
M = C0 ( 1 + r )n.
C0 = M /( 1 + r )n.
.
Omogeneizzare Capitali
Nella risoluzione dei quesiti è necessario capire se
il capitale deve essere anticipato o posticipato, cioè
considerare una capitalizzazione nel caso di
posticipare nel tempo o una attualizzazione nel
caso di anticipare nel tempo.
q 0
t se il capitale viene valutato alla fine di un
periodo : posticipare / capitalizzare
q t
0 se il capitale viene considerato all’inizio
di un periodo : anticipare / attualizzare per
riportare il capitale indietro nel tempo
Esercizi
Esercizio n. 4
Depositando € 1.000,00 al tasso del 5%, si vuole
conoscere oggi l’interesse maturato dopo 8 anni.
Esercizio n. 5
Tra 4 mesi scade un debito di € 2.000,00. quanto si
dovrebbe pagare per liberarsi oggi di quel debito ad
un tasso pari al 6%?
Le Rendite o Periodicità
La Rendita è una successione di valori
pagabili o esigibili
in date diverse ( scadenze).
I valori sono detti rate o termini della rendita
Gli intervalli di tempo che intercorrono tra due
scadenze successive sono denominati periodi della
rendita.
Classificazione delle Rendite
In funzione dell’intervallo di tempo con cui i valori
si susseguono distinguiamo:
A. Annualità ( rendite annue) : i valori si
verificano annualmente. In tal caso i periodi
sono di 12 mesi;
B. Poliannualità ( rendite poliennali) : i valori si
verificano puntualmente ogni certo numero di
anni;
C. Valori saltuari (rendite frazionate) : i valori si
verificano ad intervalli di tempo di durata varia,
i periodi di tempo non sono costanti
Classificazione delle Rendite
In funzione dell’entità si distinguono:
A.
Costanti : si succedono nella stessa entità
B.
Variabili : sono di entità diverse.
In funzione della scadenza in:
A.
Anticipate : i valori si verificano all’inizio del periodo
B.
Posticipate : i valori si verificano alla fine di ogni
periodo.
In funzione della durata in:
A.
Limitate : i valori si verificano in un certo intervallo di
tempo
B.
Illimitate : i valori si verificano perpetuamente
Classificazione delle Rendite
PERIODICITA’
valori che si susseguono
ad intervalli di tempo
costanti
variabili
ANNUALITA’
anticipate
posticipate
POLIANNUALITA’
limitate
illimitate
VALORI SALTUARI
Problemi Fondamentali
1.
2.
3.
Ricerca della sommatoria finale ( Sn , An) : la
somma di tutte le rate riportate alla fine
dell’ultimo periodo della rendita;
Ricerca della sommatoria iniziale ( S0 , Ao) : la
somma di tutte le rate riportate all’inizio del
primo periodo della rendita;
Ricerca della sommatoria intermedia ( Sm , Am):
la somma di tutte le rate riportate ad un periodo
intermedio m
Esempio
ü
Viene pagato un canone annuo di € 1.000,00
suddiviso in due semestralità anticipate.
Cosa vuol dire?
La cifra non viene pagata all’inizio o alla fine
dell’anno ma viene divisa in due rate anticipate,
cioè all’inizio di ogni semestre: la prima rata
vale per i primi 6 mesi, la seconda per i
successivi.
I valori sono diversi
Esempio
ü
Qual è la differenza percepita dal proprietario tra
un pagamento univoco alla fine dell’anno e due
semestralità anticipate?
Le due rate devono essere trasferite in avanti nel
tempo: la prima rata deve essere capitalizzata
per 12 mesi , la seconda per 6 mesi. ( r = 5%)
Utilizziamo le formule di capitalizzazione
semplice
M = 500 ( 1+ 0,05) + 500 (1 + 0,05x 6/12) = 1.037,5
Esempio
ü
Cosa avviene se le semestralità sono posticipate,
( ovvero la prima rate cade in corrispondenza
del 6° mese e vale per il periodo precedente e la
successiva alla fine dell’anno), il proprietario
percepisce la stessa cifra?
Le due rate devono essere trasferite in avanti nel
tempo: la prima rata deve essere capitalizzata
per 6 mesi , la seconda viene sommata tal quale.
( r = 5%)
M = 500 ( 1 + 0,05x 6/12) + 500 = 1.012,50
Annualità
a
si intende un importo
pagabile od esigibile ogni anno
Possono essere:
n
Limitate
si ripetono per un numero finito di anni
Illimitate
si ripetono per un numero infinito di
anni
2.
Anticipate
se pagate all’inizio di ogni anno
Posticipate
se pagate alla fine di ogni anno
Mediamente anticipate se pagate a metà di ogni
anno
Annualità
Limitate
anticipate
posticipate
mediam. anticipate
Illimitate
anticipate
posticipate
mediam. anticipate
Annualità
Annualità Costanti
Limitate Posticipate
Periodicità con scadenza annuale che si
ripetono con la stessa entità ( a ) e che si
verificano alla fine dell’anno per un periodo
di tempo finito ( n ).
Vengono cercate:
n
Accumulazione finale
An
n
Accumulazione iniziale
A0
n
Accumulazione intermedia
Am
Annualità Costanti
Limitate Posticipate
Accumulazione finale An
Siamo in regime di interesse composto
discontinuo annuo.
a : valore annuo che si ripete costantemente per un
numero di anni n
An : accumulazione finale di tutti i valori a pertanto
è un montante risultante dalla somma di tutte le
capitalizzazioni singole.
1.
Annualità Costanti
Limitate Posticipate
2.
3.
Accumulazione iniziale A0
si ottiene dividendo il valore dell’accumulazione
finale per il coefficiente di attualizzazione
Accumulazione intermedia Am
si
può
ottenere
sia
dalla
formula
dell’accumulazione iniziale posticipando, o da
quella dell’accumulazione finale anticipando
tramite gli opportuni coefficienti.
Annualità Costanti
Limitate Anticipate
Periodicità con scadenza annuale che si
ripetono con la stessa entità ( a ) e che si
verificano all’inizio dell’anno per un periodo
di tempo finito ( n ).
Vengono cercate:
n
Accumulazione finale
An
n
Accumulazione iniziale
A0
n
Accumulazione intermedia
Am
Annualità Costanti
Limitate Anticipate
1.
2.
3.
Accumulazione finale An
Accumulazione iniziale A
Accumulazione intermedia Am
si ricavano dalle formule dell’annualità
posticipate moltiplicandole per il coefficiente q,
per riferire i valori a fine anno.