formula formula rispetto -definizione

ITG A. POZZO
CORSO DI ESTIMO
CLASSE 4^LB
NOZIONI DI MATEMATICA
FINANZIARIA
Anno scolastico 2008/09
Prof. Romano Oss
Matematica finanziaria
è uno strumento di calcolo basato sulla teoria dell’interesse, necessario
per le valutazioni di fatti economici, come ad esempio la scelta degli
investimenti, il riferimento di valori nel tempo, il valore attuale dei beni
immobili.
Il principio
fondamentale consiste nel fatto che per potere sommare,
sottrarre o comunque confrontare valori disponibili in epoche
diverse occorre prima trasferirli allo stesso momento (epoca di
riferimento) e ciò può essere ottenuto solamente con le formule finanziarie
basate sui principi dell’interesse.
Per interesse si intende il prezzo per l’uso dei capitali ovvero il
compenso per chi fornisce il capitale sia che si tratti di denaro sia che si tratti
di capitale materiale, mobile o immobile (macchina, casa, terreno)
Elementi dell’Interesse e simboli
I = interesse espresso in €
C = capitale espresso in €
r = saggio, tasso o ragione espresso in % o in formula es: 0,01; 0,12 …
rappresenta l’interesse della unità di capitale 1€ nell’unità di tempo 1 anno
r=1%
significa che 1 € in 1 anno produce 1 cent. Di interesse
n = tempo espresso in giorni (x/365 anno solare;
x/360 anno commerciale);mesi (x/12);
I saggi possono essere diversi in relazione al tipo di investimento e all’utilizzo.
Tassi indicativi del mercato per l’anno 2008
Operazioni bancarie
Tasso medio per depositi
Tasso medio per prestiti
1,7%
5,6%
Tasso di riferimento 4%
( ex uff. di sconto)
Tasso legale
3%
Tassi di riferimento
EURIBOR
4,5%
EURIRS
4,5%
Mutui casa
Tasso variabile:
Tasso fisso:
EURIBOR + 2%
EURIRS + 2%
EURIBOR Euro Interbank Offered Rate
EURIRS Euro Interest Rate Swap
Tasso di capitalizzazione 0,007 – 0,025 in relazione a diverse condizioni
PRINCIPALI FORME DI INTERESSE
Semplice: viene utilizzato per periodi di tempo inferiori all’anno, anche in
associazione con l’interesse composto.
Principali applicazioni pratiche
Anticipazione e posticipazione
Sconto bancario di cambiali
calcolo del Reddito Netto di fabbricati
Composto: suddiviso in
Discontinuo annuo
Convertibile
Applicazioni diverse
INTERESSE SEMPLICE
I = C0 r n
Si indica C0 per intendere che il capitale si trova all’inizio di un certo periodo
Poiché n è espresso in anni per periodi inferiori di tempo si utilizzeranno le
frazioni x/365 o x/360 relativamente all’anno solare o all’anno commerciale
per i giorni e x/12 per i mesi.
Esempio:
dal 25 aprile al 7 maggio
12/365;
generico per 20 giorni
20/360
generico per 5 mesi
5/12
APPLICAZIONI
Calcolo dell’interesse
Calcolo del montante o valore futuro di un capitale
Calcolo del valore attuale di un capitale futuro
Calcolo dello sconto
Calcolo del Reddito netto di immobili locati o affittati
Interesse
I = C0 r n
I
I
r=
n=
C0 n
I
C0 =
C0 r
rn
MONTANTE
Per montante si intende la somma di capitale e interesse alla fine del periodo
considerato.
M = C0 + I
Il simbolo M viene sostituito dal simbolo Cn
Cn = C0 +I
ovvero valore di un capitale al tempo n
sostituendo a I il suo valore
Cn = C0 (1+ r n)
C0 r n
formula di posticipazione dei capitali a interesse semplice
VALORE ATTUALE
Il valore attuale rappresenta il valore del capitale iniziale che impiegato per un
certo tempo ha prodotto un determinato capitale.
1
C0 = Cn
formula di anticipazione dei capitali a interesse semplice
1+ r n
SCONTO
Si può intendere lo sconto come l’inverso dell’interesse e cioè il compenso
spettante a chi anticipa un pagamento prima della scadenza. L’interesse si
aggiunge al capitale mentre lo sconto si toglie al capitale. Il creditore che viene a
disporre in anticipo della somma dovuta dal debitore concede a quest’ultimo una
riduzione: lo sconto.
Ci sono due tipi di sconto:
SCONTO RAZIONALE O MATEMATICO: coincide con la anticipazione dei
capitali
SCONTO BANCARIO: applicato dalle banche per lo sconto delle cambiali
1
Somma scontata con lo sconto razionale:C0 = Cn
1+ r n
Somma scontata con sconto bancario C0 = Cn (1 - r n)
CALCOLO DEL REDDITO NETTO DI IMMOBILI locati o affittati
Il Reddito Netto rappresenta il compenso netto per il proprietario di un immobile a fine anno
ed è dato dalla differenza tra il reddito lordo costituito dalle rate di affitto più gli interessi
meno tutte le spese necessarie alla conservazione del capitale.
RN = Rpl - Spese
Reddito padronale lordo: si calcola portando le rate a fine anno al saggio di interesse
commerciale.
Le rate possono essere:
mensili, bimestrali, trimestrali, quadrimestrali, semestrali anticipate o posticipate
il calcolo si ottiene con la formula: Rpl = rata (n° rate + r
somma mesi
12
)
la rata si ottiene dividendo il canone annuo per il tipo di rateazione.
Esempi e origine della formula.
n°±1
Formula semplificata: Rpl = rata (n° rate + r
) ( + anticipate, - posticipate)
2
SPESE:
Le spese che gravano sulla proprietà e le percentuali rispetto al Canone Annuo
sono relative a:
tipo di spesa
% sul canone annuo
Q (reint. Ass. man.str.)
Tributi
Amm e Svz.
Sf e In
Interessi
6 - 8%
23 - 26%
4%
2%
calcolati mediamente anticipati
sulle spese precedenti
TOTALE
35 - 40%
La formula del Reddito Netto rispetto al canone annuo può esprimersi:
RN = canone/n° rate x (n° rate + r x Σmesi/12) - canone x 0,35 (1 + r x 6/12)
INTERESSE COMPOSTO
Discontinuo annuo: gli interessi maturano una volta all’anno
Cn = C0 (1 + r)n formula di posticipazione
C0 = Cn / (1+ r)n formula di anticipazione
Convertibile: gli interessi maturano più volte all’anno convertendosi in capitale
fruttifero.
Si deve tenere conto del numero di convertibilità che può variare da:
12 (mensile), 4 (trimestrale), 3 (quadrimestrale), 2 (semestrale)
Le formule dell’interesse composto vengono modificate dividendo il saggio e
moltiplicando n per il numero di convertibilità.
Oltre all’interesse sui conti bancari la sua principale applicazione è sui mutui
bancari.
INTERESSE CONVERTIBILE
formula di posticipazione
Cn = C0 (1 + r/c)n x c
formula di anticipazione
Cn
C0 =
(1+ r/c)n x c
ANNUALITA’
Sono valori periodici che si ripetono a distanza di un anno. Possono essere:
posticipate o anticipate
limitate o illimitate
Formula principale: accumulazione finale di n annualità posticipate limitate
(1+ r)n -1
An = a x
r
Formula di capitalizzazione: accumulazione iniziale di annualità illimitate
posticipate
a
A0 =
r
Altre formule delle annualità
Le richieste principali che possono interessare le annualità sono:
la accumulazione finale An
la accumulazione iniziale A0
la accumulazione intermedia Am
graficamente si rappresentano:
A0
Am
An
0
n
1
2
m
∞
Rispetto alla scadenza possono essere:
posticipate: il loro valore si realizza alla fine dell’anno
anticipate: il loro valore si realizza all’inizio dell’anno
mediamente anticipate: il loro valore si realizza a metà anno
Ognuna di queste può a sua volta essere:
limitata nel tempo per un certo numero di anni
illimitata nel tempo (durata superiore agli 80 - 100 anni)
ESEMPI
posticipate limitate
A0
1
An
∞
anticipate limitate
A0
1
n-1
∞
posticipate illimitate
A0
∞
1
∞
anticipate illimitate
A0
1
∞
An
∞
PRINCIPALI APPLICAZIONI DELLE ANNUALITA’
Accumulazione finale, iniziale, intermedia di valori costanti.
Valore di beni che forniscono rendite illimitate (case, terreni).
Valutazione dei miglioramenti immobiliari (trattati in apposito capitolo)
Rate dei mutui, debito residuo, piano di ammortamento.
Accumulazioni: grafici e riferimenti
Valore attuale di beni per capitalizzazione del Reddito Netto
V0 = RN/ r cap. Se si considera il Reddito Netto costante e continuativo
(1+ r)n -1
+ RNp/ r cap. * 1/(1+r)n
V0 = RNt x
r
Quando ci siano dei redditi transitori
Calcolo della quota di ammortamento di un mutuo e relativo debito residuo
Il mutuo fondiario (bancario) è un prestito che viene concesso dietro garanzia
su immobile e sul quale viene accesa un’ipoteca a favore dell’ente erogante.
(stima cauzionale)
Gli elementi del mutuo sono:
Importo mutuato;
saggio di interesse;
anni di durata;
rateazione.
La rateazione può essere:
annuale; semestrale; quadrimestrale; trimestrale; bimestrale; mensile.
Per necessità di sintesi si vedranno gli esempi di rateazione annuale e mensile.
r (1+r)n
Quota di ammortamento annua =
Importo x
(1+r)n-1
Debito residuo: rappresenta l’importo che si deve pagare qualora si voglia
estinguere anticipatamente il mutuo.
(1+r)n-1
D.R. = quota di ammortamento
x
r (1+r)n
r/c (1+ r/c)nc
Quota di ammortamento mensile:
Importo x
(1+ r/c)nc-1
n= anni di mutuo
(1+ r/c)nc-1
Debito residuo con rata mensile:
n= anni restanti
rata mensile x
r/c (1+ r/c)nc
Calcolo del Valore del diritto di usufrutto da detrarre al valore dell’immobile.
Si tratta di un caso pratico abbastanza comune. Un immobile è gravato da usufrutto a favore di una
persona diversa dal proprietario che intende vendere l’immobile. Al valore dell’immobile stimato si
dovrà detrarre la capitalizzazione dei redditi percepibili dall’usufruttuario per la durata probabile della
sua vita.
Procedimento:
Calcolo del Reddito dell’usufruttuario “Ru” che corrisponde al reddito netto ritraibile dalla
locazione meno le spese relative a quote di manutenzione straordinaria, assicurazione, reintegrazione,
che gravano sul nudo proprietario.
Calcolo di “n” dalle tavole ISTAT di mortalità della vita probabile dell’usufruttuario
Il saggio da usare è il saggio commerciale relativo a investimenti di breve/medio periodo
qn - 1
Valore del diritto di Usufrutto: Ru x
r x qn
Per riferire l’ammontare di un asse ereditario al giorno 20 maggio 2008 (momento di
apertura della successione) il Geometra deve eseguire i seguenti calcoli:
Restituzione del prelievo di € 2750 fatto dall’erede A sul conto del defunto in data 6
febbraio 2008 al saggio del 2,5%
Calcolo del valore di un deposito vincolato al saggio del 3,5% dell’ammontare di € 7900
effettuato in data 8 marzo 2001
Calcolo del valore scontato di un prestito del valore di € 6000 sottofirmato da cambiale
scadente il 20 novembre 2008 al saggio del 5,5%.
Calcolo del reddito lordo a fine anno di un posto macchina affittato a rate mensili
anticipate di € 70 per la durata di tutto l’anno. Il valore dovrà essere riferito al momento di
stima. r= 0,025
Calcolo del debito residuo del mutuo acceso all’inizio del 1995 di durata ventennale per un
ammontare di € 78.000 al saggio del 3,75% con scadenza mensile.
Calcolo del valore del diritto di usufrutto a favore della moglie del defunto che al
momento della stima ha 65 anni. Il reddito netto dell’usufruttuaria è stimato in € 8000
annui e il saggio commerciale è del 2,5%. Dalle tavole di mortalità si ricava che la vita
probabile è pari a 19 anni.