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Laboratorio di informatica
LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE CON WIRIS
Con Wiris si possono trovare le soluzioni della maggior parte delle equazioni goniometriche e nel foglio di lavoro che
segue puoi vedere alcuni esempi.
Le soluzioni trovate appartengono di solito all’intervallo ½0, 2 oppure½, ; in ogni caso vengono trovate le soluzioni
principali in un arco di ampiezza 2.
Osserva che le soluzioni vengono sempre restituite in radianti; per convertire in gradi si usa il comando
convertire ðn, Þ
dove n rappresenta il valore da convertire.
I TRIANGOLI RETTANGOLI CON EXCEL
Con riferimento alla figura 1, i casi che si possono presentare sono i seguenti.
Figura 1
n Conosciamo la misura dell’ipotenusa e quella di un angolo acuto, cioè conosciamo a e . Ricaviamo che
b ¼ a sin c ¼ a cos ¼ 90 n Conosciamo la misura dell’ipotenusa e quella di un cateto, cioè conosciamo a
e b. Ricaviamo che
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b
sin ¼
c ¼ a2 b2
¼ 90 a
n Conosciamo la misura dei cateti, cioè conosciamo b e c. Ricaviamo che
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b
¼ 90 tan ¼
a ¼ c2 þ b2
c
n Conosciamo la misura di un cateto e quella di un angolo acuto, cioè conosciamo b e . Ricaviamo che
b
c ¼ b tan a¼
¼ 90 cos Apriamo allora un foglio di lavoro e impostiamo il calcolo inserendo stringhe, dati e formule nelle celle specificate, come
è indicato di seguito.
Nella preparazione del foglio, di cui puoi vedere un esempio in figura, abbiamo tenuto conto del fatto che le funzioni
goniometriche di Excel usano angoli la cui misura è espressa in radianti mentre noi prevediamo di assegnare le misure
Trigonometria
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degli angoli in gradi (abbreviato nel foglio di esempio in "gr"); quando uno dei valori noti è un angolo, è quindi prevista
una cella in cui calcolare il corrispondente valore dell’angolo in radianti (abbreviato nel foglio di esempio in "rad").
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
B
C
D
E
F
G
H
RISOLUZIONE TRIANGOLI RETTANGOLI
1o CASO - ipotenusa e angolo acuto: a, beta
a
beta (gr)
beta (rad)
10
27,5
0,4799655
RISULTATI
gamma (gr)
62,5
b
4,6174861
c
8,870108
2o CASO - ipotenusa e cateto: a, b
a
b
15
12
RISULTATI
beta (gr)
53,130102
gamma (gr)
36,869898
c
9
3o CASO - i due cateti: b, c
b
c
7
9
RISULTATI
beta (gr)
37, 874984
gamma (gr)
52,125016
a
11,40175
RISULTATI
beta (gr)
53,43
c
13,353362
a
22,41232
4o CASO - cateto e angolo acuto: b, gamma
b
gamma (gr)
gamma (rad)
18
36,57
0,6382669
La funzione di Excel che esegue la conversione da gradi a radianti è la funzione RADIANTI(angolo), quella che esegue
la conversione da radianti a gradi è la funzione GRADI(angolo).
Le funzioni di Excel che consentono di ricavare l’ampiezza di un angolo nota una delle sue funzioni goniometriche sono:
n ARCSENðxÞ
n ARCCOSðxÞ
n ARCTANðxÞ
dove x è il valore della funzione goniometrica. Per esempio ARCSEN(1/2) restituisce l’angolo il cui seno vale
1
.
2
Relativamente al primo caso, abbiamo posto in A5 la misura dell’ipotenusa a (10) e in B5 la misura in gradi nella forma
decimale dell’angolo ð27,5Þ. Le formule da inserire sono poi le seguenti:
C5
¼ RADIANTI(B5)
(formula per trasformare la misura di in radianti)
F5
¼ 90 B5
(formula per il calcolo di in gradi)
G5
¼ A5 SEN ðC5Þ
(formula per il calcolo di b)
H5
¼ A5 COS ðC5Þ
(formula per il calcolo di c)
Prosegui impostando gli altri casi come è illustrato nell’esempio; ti indichiamo solamente le formule da inserire nelle celle
specificate lasciando a te il compito di inserire le stringhe.
F9
G9
H9
¼ GRADIðARCSENðB9=A9ÞÞ
¼ 90 F9
¼ RADQðA9 A9 B9 B9Þ
(calcolo di in gradi)
(calcolo di in gradi)
(calcolo di c)
F13
G13
H13
¼ GRADIðARCTANðA13=B13ÞÞ
¼ 90 F13
¼ RADQðA13 A13 þ B13 B13Þ
(calcolo di in gradi)
(calcolo di in gradi)
(calcolo di a)
C17
F17
G17
H17
¼ RADIANTIðB17Þ
¼ 90 B17
¼ A17 TANðC17Þ
¼ A17=COSðC17Þ
(conversione in radianti della misura di )
(calcolo di in gradi)
(calcolo di c)
(calcolo di a)
Trigonometria
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I TRIANGOLI QUALUNQUE CON EXCEL
Con riferimento alla figura 2, i casi che si possono presentare nella risoluzione di un
triangolo qualsiasi sono i seguenti.
Figura 2
n Conosciamo la misura di due angoli e quella di un lato, ad esempio , e b. Ricaviamo che
b sin b sin c¼
a¼
¼ 180 ð þ Þ
sin sin n Conosciamo la misura di due lati e quella dell’angolo compreso, ad esempio a, c
e . Usiamo il teorema di Carnot:
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b2 þ c 2 a 2
cos ¼
b ¼ a2 þ c2 2ac cos ¼ 180 ð þ Þ
2bc
n Conosciamo la misura dei tre lati, cioè conosciamo a, b e c. Usando il teorema di Carnot ricaviamo che:
cos ¼
b2 þ c 2 a 2
2bc
cos ¼
a2 þ c2 b2
2ac
¼ 180 ð þ Þ
n Conosciamo la misura di due lati e dell’angolo opposto ad uno di essi, ad esempio a, b e . Ricaviamo che:
n se a b esiste un solo triangolo (figura 3a.) ed è:
b sin b sin cioè ¼ arcsin
; ¼ 180 ð þ Þ
sin ¼
a
a
c¼
a sin sin Figura 3
a.
b.
c.
d.
n se b sin a < b esistono due triangoli (figura 3b. e c.)
l
il primo si risolve con le stesse modalità del caso precedente
l
per il secondo 0 ¼ 180 0 ¼ 180 ð þ 0 Þ
c¼
a sin 0
sin n se a < b sin il problema non ammette soluzione (figura 3d.).
Impostiamo il foglio di lavoro in questo modo (osserva la figura per inserire le stringhe, i dati e convertire gli angoli, noi ti
indichiamo solamente le formule di calcolo degli elementi del triangolo)
1o CASO
G5
H5
I5
¼ 180 B5 C5
¼ A5 SENðD5Þ=SENðRADIANTIðG5ÞÞ
¼ A5 SENðE5Þ=SENðRADIANTIðG5ÞÞ
2o CASO
G9
H9
I9
¼ RADQðA9 A9 þ B9 B9 2 A9 B9 COSðD9ÞÞ
¼ GRADIðARCCOSððG9 G9 þ B9 B9 A9 A9Þ=ð2 G9 B9ÞÞÞ
¼ 180 C9 H9
Trigonometria
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3o CASO
G13
H13
I13
¼ GRADIðARCCOSððB13 B13 þ C13 C13 A13 A13Þ=ð2 B13 C13ÞÞÞ
¼ GRADIðARCCOSððA13 A13 þ C13 C13 B13 B13Þ=ð2 A13 C13ÞÞÞ
¼ 180 G13 H13
4o CASO
Questo è il caso più complesso perché, a seconda delle misure assegnate, dobbiamo prevedere di risolvere un solo
triangolo, due triangoli o nessun triangolo.
Formule per il caso di un solo triangolo (caso a b):
G17
¼ SEðA17 >¼ B17; GRADIðARCSENððB17 SENðD17ÞÞ=A17ÞÞÞ
H17
¼ SEðA17 >¼ B17; 180 G17 C17Þ
I17
¼ SEðA17 >¼ B17; ðA17 SENðRADIANTIðH17ÞÞÞ=SENðD17ÞÞ
Formule per il caso di due triangoli (caso bsin a < b):
G19
¼ SEðEðA17 < B17; A17 >¼ B17 SENðD17ÞÞ; GRADIðARCSENððB17 SENðD17ÞÞ=A17ÞÞÞ
H19
¼ SEðEðA17 < B17; A17 >¼ B17 SENðD17ÞÞ; 180 G19 C17Þ
I19
¼ SEðEðA17 < B17; A17 >¼ B17 SENðD17ÞÞ; ðA17 SENðRADIANTIðH19ÞÞÞ=SENðD17ÞÞ
G20
¼ SEðG19; 180 G19Þ
H20
¼ SEðG19; 180 C17 G20Þ
I20
¼ SEðG19; A17 SENðRADIANTIðH20ÞÞ=SENðD17ÞÞ
Formule per il caso di nessun triangolo:
G22
¼ SEðA17 < B17 SENðD17Þ; VEROðÞÞ
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
B
C
D
E
F
G
H
I
beta (gr)
97,1
RISULTATI
a
8,066069
c
11,68894
b
83,00019
RISULTATI
alfa (gr)
151,0563
gamma (gr)
13,72313
3o CASO - tre lati: a, b, c
a
b
c
175
286
197
alfa (gr)
37,01136
RISULTATI
beta (gr)
100,3284
gamma (gr)
42,66027
4o CASO - due lati e l’angolo opposto ad uno di essi: a, b, alfa
a
b
alfa (gr)
alfa (rad)
98
112
55
0,959931
beta (gr)
FALSO
RISULTATI
gamma (gr)
FALSO
c
FALSO
2 triangoli
69,41861
110,5814
55,58139
14,41861
98,69125
29,78988
nes. triang.
FALSO
RISOLUZIONE TRIANGOLI QUALSIASI
b
15
1o CASO - due angoli e un lato: alfa, gamma, b
alfa (gr)
gamma (gr)
alfa (rad)
gamma (rad)
32,25
50,65
0,562869
0,8840093
2o CASO - due lati e l’angolo compreso: a, c, beta
a
c
beta (gr)
beta (rad)
153
75
15,22056
0,265649
Trigonometria
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1 triangolo