costruzione dell`insieme dei numeri reali

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Appunti sui numeri reali (prof. Luigi Cai)
Anno scolastico 2012 - 2013
COSTRUZIONE DELL'INSIEME DEI NUMERI REALI
Rappresentazione geometrica degli insiemi numerici
Insieme dei numeri naturali N
Si rappresenta con una successione di punti ugualmente distanziati: tra due punti c'è il vuoto:
. . . . . .
0 1 2 3
L'insieme N è: a) illimitato (cioè formato da infiniti punti);b) discreto (cioè tra due numeri naturali
consecutivi non ci sono numeri); c) totalmente ordinato (cioè presi due numeri è sempre possibile
stabilire qual è il maggiore).
Insieme dei numeri interi relativi Z
Si rappresenta nel seguente modo:
. . . . . .
-2 -1 0 +1 +2
L'insieme Z è : illimitato, discreto, totalmente ordinato.
.
Insieme dei numeri razionali Q
Si rappresenta aggiungendo altri punti:
............................
-2/3 0 +2/3
L'insieme Q è: illimitato, totalmente ordinato, denso (cioè tra due numeri razionali consecutivi esiste
almeno un altro numero razionale (la media aritmetica)) e, nonostante siano aumentati i punti, continua
ad essere discreto o discontinuo (per dimostrare questo basta far vedere che nella rappresentazione si
trovano degli spazi vuoti). Si considera il quadrato di lato 1 e si riporta la sua diagonale, che misura
2 , sulla rappresentazione geometrica di Q.
Se si riesce a dimostrare che 2 non è un
numero razionale, allora il posto occupato
da 2 è libero e quindi Q è discontinuo.
...........................................Q
0
1 √2
Teorema : 2 non è un numero razionale.
Hp: m,n ∈ Z e primi fra loro
Th: non esiste m/n ∈ Q tale che m/n = 2
Dimostrazione
Supponiamo per assurdo che esista m/n tale che m/n = 2 , cioè (m/n)² = 2, cioè m² = 2n².
Tale relazione è assurda, perché i due membri sono divisibili per numeri differenti:
- primo membro: se m è pari  m divisibile per 2  m2 divisibile per 4; secondo membro:n è
dispari (infatti m e n sono primi fra loro) n2 dispari  2n2 divisibile per 2.
- primo membro: se m è dispari  m2 dispari; secondo membro: n è pari (infatti m e n sono primi
fra loro) n2 pari  2n2 pari.
Motivi storici che conducono all'introduzione dei numeri reali
1) Dato un quadrato di lato unitario, trovare il lato di un quadrato di area doppia.
• La risoluzione del problema non è possibile dal punto di vista algebrico, perché conduce alla
risoluzione dell'equazione x²=2 che è impossibile in Q:
1 A
A'
x
A' = 2 A
x² = 2
2
Si può invece risolvere facilmente dal punto di vista geometrico (il quadrato cercato ha come lato la
diagonale del quadrato di partenza).
Anticamente è noto come problema di Delo: Secondo la leggenda, per far terminare la peste che ad
Atene, nel 430 a.C., causò la morte di circa 1/4 della popolazione, gli Ateniesi mandarono una
delegazione all'oracolo del dio Apollo, a Delo, con l'incarico di interrogarlo sul da farsi. L'oracolo
rispose che si doveva raddoppiare l'altare cubico di Apollo, pertanto gli Ateniesi ne costruirono uno
nuovo di spigolo doppio. La peste non abbandonò la città!
•
2) Misura di una grandezza.
La misura di una grandezza rispetto ad un'altra presa come unità di misura non è sempre esprimibile
mediante un numero razionale (esempio: il lato e la diagonale di un quadrato non ammettono un
sottomultiplo comune).
Questi due problemi evidenziano l'incompletezza di Q e, quindi, la necessità di ampliare l’insieme dei
numeri razionali in modo da poter risolvere anche tali problemi.
A tale scopo osserviamo che l'insieme Q, oltre alle proprietà:
1) (Q,+,*) è un campo, cioè + e * sono operazioni interne e soddisfano alle proprietà commutativa,
associativa, esistenza elemento neutro e simmetrico, proprietà distributiva del prodotto rispetto alla
somma;
2) Q è denso;
3) In Q vale l'assioma di Archimede;
ne possiede un'altra particolarmente importante:
4) Possibilità di eseguire una sezione (A1,A2) dell'insieme Q, cioè la divisione dell'insieme Q in due
sottoinsiemi A1 e A2 che soddisfano alle proprietà:
a) ogni numero razionale, escluso al più un numero, appartiene o ad A1 o ad A2;
b) ogni numero razionale di A1 è minore di ogni numero razionale di A2;
c) A1 non ammette massimo e A2 non ammette minimo.
La rappresentazione geometrica di Q giustifica l’esistenza di due tipi di sezioni dell'insieme Q.
Sezioni proprie : il taglio viene fatto su un numero k, che determina le due classi A1 e A2.
In A1 si trovano i numeri razionali minori di k e in A2 i numeri razionali maggiori di k, cioè:
A1 = { x ∈Q / x<k }
A2 = { x ∈Q / x>k }
Il numero k non appartiene alle classi A1 e A2, pertanto dovremo introdurre un “numero” che faccia da
elemento di separazione alle due classi che si avvicinano sempre di più, senza mai incontrarsi. Si
conviene di adottare un “numero” uguale a k e lo chiamiamo k’ per distinguerlo da k. Pertanto diremo
che la sezione individuata dalle due classi definisce il numero k’ (che non è un numero razionale) e si
scrive k’ = (A1,A2).
Si può vedere questo ricorrendo alla rappresentazione geometrica dei numeri razionali:
il taglio viene fatto sul punto k
. . . . . . . . . . /. . . . . . . . .
A1
k
A2
Sezioni improprie : il taglio viene fatto su uno spazio vuoto, che determina le due classi A1 e A2.
Si può vedere questo ricorrendo alla rappresentazione geometrica di Q .
il taglio viene fatto in uno spazio vuoto
. . . . . ./. . . . . . .
A1
A2
3
Le due classi A1 (che non ha massimo) e A2 (che non ha minimo) determinano la sezione (A1,A2)
dell'insieme Q, in quanto A1 e A2 soddisfano alle tre proprietà precedenti; però rimane da scoprire
l’elemento di separazione (che in Q è uno spazio vuoto) a cui tendono le due classi e come sono fatte le
due classi A1 e A2. A tale scopo consideriamo il seguente esempio.
Calcolare le soluzioni dell'equazione x² = 3, cioè i numeri razionali che elevati al quadrato danno 3.
Nell'eseguire il calcolo osserviamo che una prima approssimazione è:
1<x<2
Per ottenere una approssimazione migliore consideriamo i quadrati dei numeri razionali (decimali
finiti) compresi tra 1 e 2 (cioè 1.1 1.2 1.3 … 1.9) fino a trovarne uno leggermente inferiore e uno
leggermente superiore a 3:
1.1²=1.21 1.2²=1.44 1.3²=1.69 1.4²=1.96 1.5²=2.25
1.6²=2.56 1.7²=2.89 1.8²=3.24
quindi:
1.7 < x < 1.8
Con lo stesso ragionamento consideriamo i quadrati dei numeri razionali (decimali finiti) compresi tra
1.7 e 1.8 (cioè 1.71 1.72 1.73 ….1,79):
1.71²=2.9241 1.72²=2.9584 1.73²=2.9929 1.74²=3.0276
quindi:
1.73 < x < 1.74
Continuando in questo modo verremo a costruire due classi infinite di numeri razionali A1 (crescenti),
che rappresentano i valori per difetto e A2 (decrescenti), che rappresentano i valori per eccesso:
A1: 1 1.7 1.73 1.732 1.7320 1.73205 . . . . . . .
A2: 2 1.8 1.74 1.733 1.7321 1.73206 . . . . . . .
Tali classi si avvicinano sempre di più senza mai incontrarsi.
Poiché i quadrati (nel testo del problema c'è x²) dei numeri appartenenti alle due classi si avvicinano
sempre di più a 3:
A1² : 1 2.89
2.9929
2.999824
2.9998240
2.999997203 . . . .
A2² : 4 3.24
3.0276
3.003289
3.00017041
3.000031844 . . . .
diciamo che le due classi A1 e A2 definiscono "qualcosa di improprio", che , nell'insieme che si dovrà
introdurre, verrà indicato col simbolo 3 .
Pertanto la soluzione dell’equazione x² = 3 può essere visualizzata col seguente schema:
(a sinistra ci sono i numeri razionali che elevati al quadrato sono minori di 3, a destra i numeri
razionali che elevati al quadrato sono maggiori di 3, pertanto l’elemento di separazione sarà quel
numero non razionale (infatti in x2=3 c’è uno spazio vuoto)che elevato al quadrato dia 3)
x²<3 x²=3 x²>3
. . . . . . . ./. . . . . .
A1
A2
x²=3 rappresenta l'elemento di separazione delle
due classi, in A1 ci sono gli x²<3 e in A2 gli x²>3
Pertanto si conviene definire le classi A1 e A2 nel modo seguente:
A1 contiene: i numeri razionali negativi, lo zero e i numeri razionali positivi la cui potenza n-esima è
minore di r, cioè : A1 = Q- ∪ {0} ∪ { x∈Q+ / xn < r }
A2 contiene: i razionali positivi la cui potenza n-esima è maggiore di r, cioè: A2 = { x ∈Q+ / xn > r }.
Allora si dice che la sezione (A1,A2) definisce un numero non razionale (detto quindi irrazionale), che
si chiamerà radice n-esima del numero razionale positivo r e verrà indicato col simbolo: n r = ( A1 , A2 )
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Insieme dei numeri reali
Si definisce numero reale una qualsiasi sezione dell’insieme dei numeri razionali.
Se la sezione è propria si chiama "numero reale razionale" , mentre se è impropria si chiama "numero
reale irrazionale".
L'insieme di tutte le sezioni di Q si dice insieme dei numeri reali e si denota con R.
Operazioni con i numeri reali
Addizione
(A1,A2) + (B1,B2) = (A1+B1,A2+B2)
Opposto
α = (A1,A2) ===> -α = (-A2,-A1)
Sottrazione
(A1,A2) - (B1,B2) = (A1-B2,A2-B1)
Prodotto
(A1,A2)∙(B1,B2) = (A1∙B1,A2∙B2)
Reciproco
α= (A1,A2) ===>
1  1 1 
= 
; 
α  A2 A1 
Divisione
 A1 A2 
;

(A1,A2):(B1,B2) = 
 B 2 B1 
Potenza
α = (A1,A2) ===> αn = (A1n,A2n)
Proprietà dell'insieme dei numeri reali
1) (R,+,*) è un campo;
2)In R vale l'assioma di Archimede;
3) R è denso;
4) R è continuo ( in R esistono solo sezioni proprie);
5) R è completo, nel senso che un ampliamento di R ( che permette di estrarre la radice quadrata dei
numeri negativi) porta alla costruzione di un insieme in cui non si conservano tutte le proprietà di R
(non si può introdurre una relazione d'ordine).
7) R è una estensione di Q
PRINCIPIO DI ISOMORFISMO
Si definisce struttura algebrica un insieme dotato di una o più operazioni e si scrive (I,*).
Due strutture (I,*) e (I',°) si dicono isomorfe se:
a) I e I' sono in corrispondenza biunivoca, si verifica trovando la legge che lega tra loro gli elementi
dei due insiemi.
b) Il risultato ottenuto operando tra due elementi di I ha come corrispondente il risultato ottenuto
operando tra i corrispondenti elementi di I', cioè:
a * b = c
a'
°
b'
= c'
N.B. Per essere isomorfe c' deve risultare il corrispondente di c
Due strutture isomorfe hanno le seguenti caratteristiche:
- Sono dello stesso tipo (monoidi, gruppi, …);
- I e I' contengono lo stesso numero di elementi;
- Sono algebricamente uguali.