DISPENSA DI TEORIA DEGLI ANELLI Rimandiamo ai corsi di

DISPENSA DI TEORIA DEGLI ANELLI
A.A. 2014/2015
PROF. CLARA FRANCHI
Rimandiamo ai corsi di Algebra e Approfondimenti di Algebra e ai
testi Basic Algebra I e II [1] e Algebra, a graduate course [2] per le nozioni di anello, ideale, omomorfismi di anelli, moduli, teoremi di omomorfismo per anelli e moduli. In particolare, considereremo soltanto
anelli con unità.
1. Insiemi parzialmente ordinati
Cominciamo col richiamare alcuni concetti propri della teoria degli insiemi parzialmente ordinati, in particolare il principio del buon
ordinamento e il Lemma di Zorn, che useremo nel seguito. Per le
dimostrazioni si veda [2].
Definizione 1.1. Sia P un insieme non vuoto dotato di una relazione
d’ordine parziale ≤. Diremo che (P, ≤) è un insieme parzialmente
ordinato.
Sia Q un sottoinsieme di P . Un elemento a ∈ P si dice un maggiorante per Q se q ≤ a per ogni q ∈ Q. Se inoltre a ∈ Q, allora a si dice
massimo. In modo analogo viene definito il minimo.
Un elemento m ∈ P si dice massimale se per ogni x ∈ P tale che
x ≥ m si ha x = m (cioè m è maggiore o uguale a tutti gli elementi di
P con i quali è confrontabile).
Una catena in P è un sottoinsieme non vuoto C che risulti totalmente ordinato rispetto all’ordine di P .
Definizione 1.2. Sia (P, ≤) un insieme parzialmente ordinato. Diremo che P è ben ordinato se ogni sottoinsieme non vuoto di P ha un
elemento minimale.
(N, ≤) è ben ordinato.
Lemma di Zorn. Sia (P, ≤) un insieme parzialmente ordinato. Se
ogni catena di P ammette maggiorante, allora P ha un elemento massimale.
Definizione 1.3. Sia (P, ≤) un insieme parzialmente ordinato. Diremo che P soddisfa la Condizione catenaria ascendente (ACC) se ogni
catena ascendente di P è stazionaria, ciè per ogni catena
a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ . . . ≤ an ≤ . . .
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di elementi di P esiste un intero k tale che per ogni h ≥ k si ha
ah = ak .
Diremo che P soddisfa la Condizione catenaria discendente (DCC)
se ogni catena discendente di P è stazionaria, ciè per ogni catena
b1 ≥ b2 ≥ b3 ≥ . . . ≥ bn ≥ . . .
di elementi di P esiste un intero k tale che per ogni h ≥ k si ha
bh = bk .
Lemma 1.4. Sia (P, ≤) un insieme parzialmente ordinato. Allora
(i) P soddisfa la ACC se e solo se ogni suo sottoinsieme non vuoto
ha un elemento massimale.
(ii) P soddisfa la DCC se e solo se è ben ordinato.
Dimostrazione. Dimostriamo (i). Supponiamo che P soddisfi la ACC
e per assurdo sia S un sottoinsieme non vuoto di P privo di elementi
massimali. Ciò significa in particolare che per ogni a ∈ S esiste un
elemento f (a) ∈ S tale che a < f (a). Scegliamo quindi un elemento
a0 ∈ S e poniamo a1 := f (a0 ). Per n ≥ 1 definiamo ricorsivamente
an := f (an−1 ). Otteniamo cosı̀ una catena ascendente
a0 < a1 < a2 < . . .
che non è stazionaria. Contraddizione.
Viceversa, supponiamo che ogni sottoinsieme non vuoto di P abbia
un elemento massimale. Sia
b0 ≤ b1 ≤ b2 ≤
una catena ascendente in P . Allora l’insieme B := {bi | i ∈ N} è un
sottoinsieme non vuoto di P e quindi ha un elemento massimale b = bn .
Segue che bh = bn per ogni h ≥ n, cioè la catena è stazionaria.
(ii) si dimostra in modo analogo.
2. Anelli e moduli: nozioni preliminari
Sia R un anello. L’insieme degli ideali sinistri (rispettivamente, destri o bilateri) propri di R è un insieme parzialmente ordinato rispetto
all’inclusione (diremo che due ideali I, J di R soddisfano la relazione
I ≤ J se I ⊆ J come insiemi). A questo insieme parzialmente ordinato verranno applicate le nozioni e la terminologia viste nel capitolo
precedente.
Lasciamo per esercizio la dimostrazione della seguente relazione tra
sottogruppi di un gruppo additivo nota come Lemma di Dedekind.
Esercizio 2.1. (Lemma di Dedekind) Siano H ≤ K e N sottogruppi di un gruppo additivo A. Allora
K ∩ (H + N ) = H + (K ∩ N ).
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Esercizio 2.2. Sia R un anello e sia {Ai }i∈N una famiglia di ideali
sinistri (rispettivamente, destri o bilateri) propri di R tali che
A0 ≤ A1 ≤ A2 ≤ . . .
Allora
[
Ai
i∈N
è un ideale sinistro (rispettivamente, destro o bilatero) proprio di R.
Lemma 2.3. Sia R un anello e I un ideale (risp. destro, sinistro o
bilatero). Allora I è contenuto in un ideale (risp. destro, sinistro o
bilatero) massimale. In particolare, ogni anello contiene almeno un
ideale (risp. destro, sinistro o bilatero) massimale.
Dimostrazione. Sia I un ideale sinistro proprio di R (i casi con I ideale
destro o bilatero sono simili). Poichè I 6= R, abbiamo che 1 6∈ I. Sia
S l’insieme di tutti gli ideali sinistri propri di R che contengono I.
Chiaramente S non è vuoto perchè contiene I. Dall’Esercizio 2.2 segue
che S soddisfa il Lemma di Zorn e quindi ha un elemento massimale
J. Si vede facilmente che J è un ideale sinistro massimale di R che
contiene I. Se si sceglie I = {0}, si ottiene l’ultima affermazione del
lemma.
Definizione 2.4. Un anello R si dice anello con divisione se ogni
elemento non nullo è invertibile.
Ricordiamo la seguente caratterizzazione degli elementi invertibili di
un anello.
Esercizio 2.5. Sia R un anello. Un elemento a di R è invertibile a
destra se e solo se aR = R e invertibile a sinistra se e solo se Ra = R.
Teorema 2.6. Sia R un anello. Le seguenti condizioni sono equivalenti:
(i) R è un anello con divisione;
(ii) gli unici ideali destri di R sono {0} e R;
(iii) gli unici idelai sinistri di R sono {0} e R;
Dimostrazione. Supponiamo che R sia un anello con divisione e sia I
un ideale destro di R, con I 6= {0}. Allora I contiene un elemento a 6= 0
e tale elemento è invertibile. Per il Lemma 2.6 si ha che R = aR ≤ I
e quindi I = R. In modo analogo si prova (iii).
Supponiamo ora che valga (ii) e sia r un elemento non nullo in R.
Allora rR è un ideale destro diverso da {0} e quindi per ipotesi rR = R.
Ciò implica che esiste v ∈ R tale che rv = 1. Quindi r è invertibile a
destra e lo stesso vale per tutti gli elem,nti non nulli di R. In particolare
anche v è invertibile a destra, ed è invertibile anche a sinistra perchè
ha come inverso sinistro r. Quindi v è invertibile con inverso r e anche
r è invertibile. Pertanto R è un anello con divisione.
La dimostrazione che (iii) implica (i) è simile.
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Definizione 2.7. Un anello R si dice semplice se gli unici suoi ideali
bilateri sono {0} e R.
Teorema 2.8. Sia D un anello con divisione. Allora l’anello delle
matrici Mn (D) è semplice.
Dimostrazione. Indichiamo con eij la matrice elementare che ha tutte
le entrate nulle tranne che nella posizione ij dove l’entrata è 1. Si
verifica facilmente che vale la seguente regola di moltiplicazione, dove
δij è il simbolo di Kronecker:
eij ehk = eik δjh .
Sia I un ideale bilatero di Mn (D) e supponiamo che I 6= {0}. Allora
I contiene una matrice A = (aij ) non nulla con una entrata ahk 6= 0.
Essendo
P D un anello con divisione, ahk è invertibile. Abbiamo che
A = ni,j=1 aij eij e quindi
a−1
hk e1h Aek1
=
a−1
hk e1h
n
X
aij eij ek1 =
a−1
hk
i,j=1
= a−1
hk
n
X
i,j=1
n
X
aij e1h eij ek1 =
i,j=1
aij e1j ek1 δhi = a−1
hk
n
X
aij e11 δhi δjk = a−1
hk ahk e11 = e11 .
i,j=1
Poichè I è un ideale bilatero, e11 = a−1
hk e1h Aek1 ∈ I. Analogamente,
per ogni i ∈ {1, . . . n} abbiamo che
eii = ei1 e11 e1i ∈ I
e quindi la matrice identica e11 + e22 + . . . + enn è contenuta in I.
Dall’Esercizio 2.5 otteniamo che I = Mn (D).
Un esempio importante di anello è l’anello degli endomorfismi di un
gruppo abeliano.
Definizione 2.9. Sia (A, +) un gruppo abeliano. Indichiamo con
End(A)
l’inseme di tutti gli endomorfismi di A, cioè le mappe α : A −→ A tali
che per ogni a, b ∈ A si ha α(a + b) = α(a) + α(b).
Se α, β ∈ End(A), definiamo la somma α + β : A −→ A ponendo,
per ogni a ∈ A,
(α + β)(a) := α(a) + β(a).
Teorema 2.10. Se A è un gruppo abeliano, l’insieme End(A) è un
anello rispetto alle operazioni di somma e composizione.
Dimostrazione. Lasciamo la facile verifica per esercizio.
Il seguente teorema mostra come in realtà l’anello degli endomorfismi
di un gruppo abeliano sia l’unico esempio interessante di anello. Infatti,
ogni anello è isomorfo ad un sottoanello di un anello di endomorfismi
di un gruppo abeliano.
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Teorema 2.11. Sia R un anello e sia A il gruppo additivo di R. Allora
R è isomorfo ad un sottoanello di End(A).
Dimostrazione. Per ogni r ∈ R definiamo θr : A −→ A ponendo
θr (a) := ra per ogni a ∈ A. È immediato verificare che θr ∈ End(A)
per ogni r ∈ R e quindi possiamo definire
θ : R −→ End(A),
ponendo θ(r) = θr per ogni r ∈ R. Si ha che θ è un omomorfismo
iniettivo di anelli e quindi R è isomorfo a Im θ che è un sottoanello di
End(A).
Ricordiamo che ogni anello R ha la struttura di R-modulo sinistro
(e destro) nel modo naturale: per ogni r ∈ R e x ∈ R il prodotto rx è
il prodotto nell’anello R. Tale modulo si dice modulo regolare sinistro
(destro).
Considereremo per il momento soltanto moduli sinistri. Pertanto con
la parola ”modulo” intenderemo ”modulo sinistro”.
Definizione 2.12. Sia M un R-modulo e sia x ∈ M . L’insieme
annR (x) := {r ∈ R | rx = 0}
si dice annullatore in R di x. L’insieme
annR (M ) := {r ∈ R | rx = 0 per ogni x ∈ M } = ∩x∈M annR (x)
si dice annullatore in R di M .
Lemma 2.13. Sia M un R-modulo e x ∈ M . Allora
(1) annR (x) è un ideale sinistro di R;
(2) annR (M ) è un ideale bilatero di R.
Dimostrazione. Si lasciano le facili verifiche per esercizio.
Lemma 2.14. Sia M un R-modulo sinistro e x ∈ M . Allora
Rx ∼
= R/annR (x)
come R-moduli.
Dimostrazione. La mappa φ : R −→ M definita da φ(r) = rx per ogni
r ∈ R è un omomorfismo di R-moduli con immagine uguale a Rx e
nucleo annR (x). Il lemma segue per il primo teorema di omomorfismo
per i moduli.
Definizione 2.15. Un R-modulo M si dice irriducibile se gli unici suoi
R-sottomoduli sono {0} e M , o equivalentemente, {0} è un sottomodulo
massimale in M .
Lemma 2.16. Sia M un R-modulo e N un R-sottomodulo. Allora N
è un sottomodulo massimale di M se e solo se M/N è irriducibile.
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Dimostrazione. Segue subito dal teorema di corrispondenza per moduli.
Teorema 2.17. Sia M un R-modulo non nullo. Sono equivalenti:
(1) M è irriducibile
(2) M = Rx per ogni x ∈ M \ {0};
(3) M ∼
= R/I con I ideale sinistro massimale di R.
Dimostrazione. Sia M irriducibile e x ∈ M \ {0}. Allora Rx è un sottomodulo non nullo di M e quindi Rx = M . Inoltre per il Lemma 2.14,
M = Rx ∼
= R/annR (x) e quindi annR (x) è un ideale sinistro massimale di R. Quindi (1) implica (2) e (3). Assumiamo che valga (2) e
sia N un sottomodulo non nullo di M . Sia x ∈ N , con x 6= 0. Allora
M = Rx ≤ N , da cui segue subito che N = M , e M è irriducibile.
Cosı̀ (2) implica (1).
Assumiamo ora che valga (3). Per il teorema di corrispondenza i
sottomoduli di M sono in corrispondenza biunivoca con gli ideali destri di R che contengono I. Poichè I è per ipotesi un ideale sinistro
massimale, gli unici ideali sinistri di R che lo contengono sono I ed R
e quindi M è irriducibile.
Dato un R-modulo M indichiamo con EndR (M ) l’insieme degli Rendomorfismi di modulo di M . Si verifica facilmente che
Esercizio 2.18. EndR (M ) è un sottoanello di End(M ).
Lemma 2.19 (Lemma di Schur). Sia M un R-modulo irriducibile.
Allora EndR (M ) è un anello con divisione.
Dimostrazione. Sia α ∈ EndR (M ), con α 6= 0. Allora ker(α) 6= M e
poichè M è irriducibile e ker(α) è un R-sottomodulo segue che ker(α) =
{0}. Cosı̀ α è iniettiva. La condizione α 6= 0 implica anche che Im(α) 6=
{0} e quindi sempre per l’irriducibilità di M abbiamo che Im(α) = M ,
cioè α è suriettiva. Allora α è invertibile.
Lemma 2.20. Siano R ed S due anelli e sia φ : S −→ R un omomorfismo di anelli.
(1) Se M è un R-modulo sinistro, la posizione
sm := φ(s)m
per ogni m ∈ M , s ∈ S, definisce una struttura di S-modulo
sinistro su M tale che ker φ ⊆ annS (M ).
(2) Se M è un S-modulo sinistro tale che ker φ ⊆ annS (M ) e φ è
suriettiva, allora la posizione
rm := sr m
dove sr è un elemento di S tale che φ(sr ) = r, per ogni m ∈ M ,
r ∈ R, definisce una struttura di R-modulo su M .
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In entrambi i casi, un sottogruppo L del gruppo additivo di M è un
R-sottomodulo se e solo se è un S-sottomodulo.
Dimostrazione. Si tratta di facili verifiche che lasciamo per esercizio.
Osserviamo che nel caso (2), la condizione ker φ ⊆ annS (M ) garantisce
che la moltiplicazione per gli elementi di R sia ben definita.
Concludiamo questa sezione con il seguente facile lemma che ci servirà nel seguito.
Lemma 2.21. Sia ϕ : M 7→ M un endomorfismo di un R-modulo M
tale che ϕ2 = ϕ. Allora
M = ker ϕ ⊕ Im ϕ.
Dimostrazione. Abbiamo che per ogni m ∈ M , m = ϕ(m) + m − ϕ(m)
e ϕ(m − ϕ(m)) = ϕ(m) − ϕ2 (m) = 0. Quindi m − ϕ(m) ∈ ker ϕ e
M = ker ϕ + Im ϕ. Se poi m ∈ ker ϕ ∩ Im ϕ, abbiamo che m = ϕ(u)
per qualche u ∈ M e quindi
0 = ϕ(m) = ϕ2 (u) = ϕ(u) = m.
Pertanto ker ϕ ∩ Im ϕ = {0} e segue la tesi.
3. Serie di composizione
Definizione 3.1. Sia M un R-modulo. Una serie di M è una catena
finita di sottomoduli
{0} = M0 ≤ M1 ≤ . . . ≤ Mn = M.
I sottomoduli Mi si dicono termini della serie mentre i moduli quoziente
Mi /Mi−1 si dicono fattori della serie. n si dice lunghezza della serie.
Definizione 3.2. Sia M un R-modulo. Una serie
{0} = M0 ≤ M1 ≤ . . . ≤ Mn = M
di M si dice serie di composizione se, per ogni i = 0, . . . , n − 1, Mi è
un sottomodulo massimale di Mi+1 .
Definizione 3.3. Siano
(1)
{0} = M0 ≤ M1 ≤ . . . ≤ Mn = M
e
(2)
{0} = N0 ≤ N1 ≤ . . . ≤ Nm = M
due serie di un R-modulo M . Diciamo che la serie (2) è un raffinamento della serie (1) se i termini di (2) sono anche termini della serie
(1).
Definizione 3.4. Sia M un R-modulo. Se M ha una serie di composizione, diremo che M ha lunghezza di composizione finita.
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Teorema 3.5. Sia M un R-modulo con lunghezza di composizione finita. Allora ogni serie di M si può raffinare ad una serie di composizione. Due serie di composizione hanno la stessa lunghezza e, a meno
dell’ordine, i fattori di composizione sono isomorfi.
Dimostrazione. Si veda ad esempio [1].
Il teorema precedente ci dice che gli R-moduli irriducibili che compaiono in una serie di composizione di un R-modulo sono univocamente
determinati dal modulo in modo analogo a come un numero naturale individua i suoi fattori primi. Cosı̀ gli R-moduli irriducibili sono
gli atomi con cui ogni R-modulo con lunghezza di composizione finita
viene costruito ed è evidente la loro importanza.
Lemma 3.6. Sia M un R-modulo e N un suo sottomodulo. Allora
M ha lunghezza di composizione finita se e solo se N e M/N hanno
lunghezza di composizione finita.
Dimostrazione. Supponiamo che M abbia lunghezza di composizione
finita. Allora ha una serie di composizione e per il Teorema 3.5 la serie
{0} ≤ N ≤ M
si può raffinare ad una serie di composizione
{0} ≤ N1 ≤ . . . nk = N ≤ Nk+1 ≤ · · · ≤ Nt = M.
Segue subito che N ha lunghezza di composizione finita. Inoltre, per il
teorema di corrispondenza e il teorema della matricola la serie
{0} ≤ Nk+1 /N ≤ Nk+2 /N ≤ · · · ≤ M/N
è una serie di composizione di M/N . Il viceversa si ottiene con ragionamenti analoghi e lo lasciamo per esercizio.
Corollario 3.7. Sia M = M1 ⊕ M2 ⊕ . . . Mt un R-modulo somma
diretta di R-moduli con lunghezza di composizione finita. Allora R ha
lunghezza di composizione finita.
Dimostrazione. Si procede per induzione su t essendo banale il caso
t = 1. Sia t > 1 e sia π : M −→ Mt la proiezione canonica di M
su Mt . Allora ker π = M1 ⊕ . . . ⊕ Mt−1 ha lunghezza di composizione
finita per ipotesi induttiva e M/ ker π ∼
= Mt ha anch’esso lunghezza di
composizione finita. La tesi segue dal Lemma 3.6.
4. Anelli artiniani e noetheriani
Definizione 4.1. Sia M un R-modulo.
(1) M si dice noetheriano se ogni catena ascendente di sottomoduli
M1 ≤ . . . ≤ Mn ≤ Mn+1 ≤ . . .
è stazionaria, cioè esiste k ∈ N tale che Mh = Mk per ogni
h ≥ k.
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(2) M si dice artiniano se ogni catena discendente di sottomoduli
M1 ≥ . . . ≥ Mn ≥ Mn+1 ≥ . . .
è stazionaria, cioè esiste k ∈ N tale che Mh = Mk per ogni
h ≥ k.
Un anello R si dice noetheriano a sinistra (risp. artiniano a sinistra)
se il modulo regolare sinistro è noetheriano (risp. artiniano). R si dice
noetheriano a destra (risp. artiniano a destra) se il modulo regolare
destra è noetheriano (risp. artiniano).
Lemma 4.2. Se M è un R-modulo artiniano (rispettivamente noetheriano) e {0} ≤ N ≤ M . Allora N e M/N sono entrambi artiniani
(rispettivamente notheriani).
Dimostrazione. La tesi segue subito nel caso di N poichè i sottomoduli
di N sono anche sottomoduli di M . Nel caso di M/N , la tesi segue
usando il teorema di corrispondenza.
Lemma 4.3. Sia M un R-modulo e N ≤ M .
(i) Se M è noetheriano e N 6= M , allora N è contenuto in un
sottomodulo massimale.
(ii) Se M è artiniano e N 6= {0}, allora N contiene un sottomodulo
minimale.
Dimostrazione. (i) Se N è massiamle in M non c’è niente da dimostrare. Supponiamo che N non sia massimale in M . Allora esiste
un sottomodulo N2 tale che N < N2 < M . Se N2 è massimale
in M abbiamo finito. Altrimenti esiste un sottomodulo N3 tale che
N2 < N3 < M . Procedendo in questo modo costruiamo una catena
ascendente di sottomoduli
N < N2 < N3 < N4 < . . .
che per la noetherianità di M deve essere stazionaria. Se n è il più
piccolo numero naturale tale che Nn = Nn+k per ogni k ≥ 0. Allora
Nn è un sottomodulo massimale di M .
La parte (ii) si dimostra in modo analogo.
Teorema 4.4. Sia M un R-modulo. M ha una serie di composizione
se e solo se è artiniano e noetheriano.
Dimostrazione. Supponiamo che M abbia una serie di composizione di
lunghezza m e sia
(3)
M1 ≤ M2 ≤ M3 ≤ . . .
una catena ascendente di sottomoduli di M . Allora per ogni n ≥ 1,
(4)
0 ≤ M1 ≤ M2 ≤ M3 ≤ . . . ≤ Mn ≤ M
è una serie di M e può essere raffinata fino ad ottenere una serie di
composizione di M . Allora, per il Teorema di Schreier, i termini non
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ripetuti della serie in (4) sono al più m. Ciò implica che la catena in
(3) è stazionaria, e quindi M è notheriano. Analogamente si dimostra
che M è artinaino.
Viceversa supponiamo che M sia artiniano e noetheriano. Per il
Lemma 4.3 possiamo definire ricorsivamente una catena crescente di
sottomoduli M1 ≤ M2 ≤ M3 ≤ . . . di M ponedo M0 = {0} e, per i ≥ 1,
Mi /Mi−1 sia un sottomodulo minimale di M/Mi−1 . Allora la catena è
strettamente crescente e poichè M è noetheriano si deve fermare dopo
un numero finito n di passi e Mn = M . Otteniamo cosı̀ una serie di
composizione di M .
Lemma 4.5. Sia D un anello con divisione. L’anello M atn (D) ha
lunghezza di composizione finita uguale a n.
Dimostrazione. Poniamo, per semplicità di notazione, R := M atn (D).
Per ogni k ∈ {1, . . . , n}, sia Ik l’insieme delle matrici con tutte le
entrate nulle tranne quelle sulla k-esima colonna. Usando le matrici
elementari, possiamo scrivere:
Ik = Re1k + . . . + Renk .
Da quest’ultima uguaglianza è evidente che Ik è un ideale sinistro di R,
per ogni k. Vediamo che Ik è un R-modulo irriducibile. Sia J 6= {0} un
sottomodulo di Ik e sia a ∈ J \ {0}. Poichè a 6= 0, la matrice a coniene
un’ entrata aik diversa da zero e poichè D è un anello con divisione, aik
è invertibile. Quindi, per ogni l ∈ {1, . . . , n}, abbiamo
elk = a−1
ik eli a ∈ Ik .
Quindi Ik ≤ J e Ik = J.
Poniamo ora, per j ∈ {1, . . . , n},
Rj =
j
X
Ik .
k=1
Otteniamo la serie di ideali sinsitri di R
{0} = R0 ≤ R1 ≤ R2 ≤ . . . ≤ Rn = R
in cui, per ogni j ∈ {1, . . . , n}, si ha
Rj /Rj−1 ∼
= Ij .
Quindi la serie è una serie di composizione per l’R-modulo regolare
R.
Ricordiamo che se M è un R-modulo e {Ni }i∈I è una famiglia di
suoi sottomoduli, diciamo che M è la somma diretta (interna) dei
sottomoduli Ni se e solo se valgono le condizioni
X
X
M=
Ni e, per ogni j ∈ N, si ha Nj ∩ (
Ni ) = {0}.
i∈I
Indichiamo la somma diretta interna con ⊕.
j6=i∈I
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Definizione 4.6. Un R-modulo M si dice completamente riducibile se
per ogni sottomodulo N ≤ M esiste un sottomodulo P ≤ M tale che
M = N ⊕ P.
Lemma 4.7. Sia M un R-modulo completamente riducibile e {0} ≤
N ≤ M . Allora N e M/N sono completamente riducibili.
Dimostrazione. Sia L un sottomodulo di N . Allora L è un sottomodulo
di M e quindi esiste P ≤ M tale che M = L ⊕ P . Usando il Lemma
di Dedekind otteniamo che
N = N ∩ (L ⊕ P ) = L ⊕ (N ∩ P )
e quindi N è completamente riducibile.
Sia ora K/N un sottomodulo di M/N . Analogamente a prima abbiamo che K è un sottomodulo di M e quindi esiste Q ≤ M tale che
M = K ⊕ Q. Poichè, per il Lemma di Dedekind,
K ∩ (Q + N ) = (K ∩ Q) + N = N,
segue subito che
M/N = K/N ⊕ (Q + N )/N
e quindi M/N è completamente riducibile.
Lemma 4.8. Se M è un R-modulo completamente riducibile, allora
M contiene almeno un sottomodulo irriducibile.
Dimostrazione. Sia x un elemento non nullo in M e sia
X = {N ≤ M | x 6∈ N }.
X è ordinato parzialmente rispetto all’inclusione di sottomoduli. Chiaramente {0} ∈ X . Inoltre ogni sottoinsieme totalmente ordinato di X
ha un maggiorante in X (l’unione insiemistica di una catena di sottomoduli in X è un sottomodulo che sta in X ) e quindi per il Lemma
di Zorn, X ha un elemento massimale P . Quindi P non contiene x e
ogni sottomodulo di M contenente strettamente P contiene anche x.
Segue che ogni coppia di sottomoduli non nulli di M/P ha intersezione
non nulla perchè contiene x + P . Poichè per il Lemma 4.7 M/P è
anche completamente riducibile, segue che M/P è irriducibile. Per la
completa riducibilità di M esiste L ≤ M tale che M = P ⊕ L, da ciò
segue che L ∼
= M/P è irriducibile.
Esercizio 4.9. Provare che se {Uα } è una catena di sottomoduli di un
R-modulo M tale che ogni Uα è somma diretta di sottomoduli irriducibili di M , allora anche U := ∪α Uα è una somma diretta di sottomoduli
irriducibili di M .
Teorema
(i) M
(ii) M
(iii) M
4.10. Sia M un R-modulo non nullo. Sono equivalenti
è completamente riducibile
è somma dei suoi sottomoduli irriducibili
è somma diretta di suoi sottomoduli irriducibili.
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Dimostrazione. (i) ⇒ (ii) Sia N la somma di (cioè il sottomodulo
generato da) tutti i sottomoduli irriducibili di M :
X
N=
Mα
dove {Mα } é l’insieme dei sottomoduli irriducibili di M . Supponiamo
per assurdo N 6= M . Allora per l’ipotesi di completa riducibilità, esiste
un sottomodulo L ≤ M tale che M = N ⊕ L. Per il Lemma 4.7, L è un
R-modulo completamente riducibile e quindi per il Lemma 4.8 contiene
un sottomodulo irriducibile P . Ma P è un sottomodulo irriducibile di
M e quindi per definizione è contenuto in N : ciò contraddice la somma
diretta. Quindi N = M .
(ii) ⇒ (i) Sia B un sottomodulo di M e sia
V := {V ≤ M | V ∩ B = {0}}
V è un insieme parzialmente ordinato rispetto all’inclusione e ogni suo
sottoinsieme totalmente ordinato ha un maggiorante in V. Quindi per
il Lemma di Zorn, V contiene un elemento massimale U . Mostriamo
che M = B ⊕ U . Poichè U ∈ V, B ∩ U 6= {0}. Supponiamo per
assurdo che B + U 6= M . Allora per l’ipotesi (ii) esiste un sottomodulo
irriducibile P di M tale che P non è contenuto in B +U . In particolare,
poichè P è irriducibile, P ∩ (B + U ) = {0} e P non è contenuto in U e
quindi U +P > U . Per la massimalità di U in V, segue che U +P non è
contenuto in V e quindi (U + P ) ∩ B 6= {0}. Sia b ∈ (U + P ) ∩ B, b 6= 0.
Possiamo scivere
b=u+p
per certi u ∈ U e p ∈ P . Allora p = b − u ∈ P ∩ (B + U ) = {0}, da
cui 0 6= b = u ∈ B ∩ U , una contraddizione al fatto che U ∈ V. Quindi
B + U = M.
(ii) ⇒ (iii). Supponiamo per assurdo che M non sia la somma diretta di suoi sottomoduli irriducibili e sia S l’insieme dei sottomoduli
(propri) di M che si possono scrivere come somma diretta di sottomoduli irriducibili. Poichè M è completamente riducibile, per il Lemma 4.8
M contiene sottomoduli irriducibili e quindi S non è vuoto. S è parzialmente ordinato rispetto all’inclusione e per l’Esercizio 4.9 ogni suo
sottoinsieme totalmente ordinato ammette maggiorante. Per il Lemma
di Zorn, S contiene un elemento massimale S e S 6= M . Per l’ipotesi
(ii), esiste un sottomodulo irriducibile P di M che non è contenuto in
S. Allora S + P è somma diretta di sottomoduli irriducibili di M e
non sta in S per la massimalità di S. Pertanto deve essere S + P = M ,
una contraddizione.
Definizione 4.11. Sia M un R-modulo e sia S un R-modulo irriducibile. Il sottomodulo M (S) generato da tutti i sottomoduli irriducibili
di M isomorfi a S si dice S-componente omogenea di M .
DISPENSA DI TEORIA DEGLI ANELLI
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Teorema 4.12. Sia M un R-modulo e supponiamo che
M
M=
Mα
α∈A
per qualche famiglia {Mα }α∈A di sottomoduli irriducibili di M . Allora,
per ogni R-modulo irriducibile S, posto
AS = {α ∈ A | Mα ∼
= S},
si ha
M (S) =
M
Mα .
α∈AS
L
Dimostrazione. Poniamo U :=
α∈AS Mα . Banalmente U ≤ M (S).
Per dimostrare l’inclusione opposta mostriamo che per ogni N sottomodulo irriducibile di M isomorfo ad S si ha N ≤ U . Per ogni
α ∈ A, sia πα : M −→
L Mα la proiezione canonica sulla componente
Mα . Allora ker πα = β∈A\{α} Mβ . Osserviamo che, poichè N è irriducibile, o N ≤ ker πα oppure N ∩ ker πα = {0}. Nel secondo caso si
ha πα (N ) 6= {0} e quindi S ∼
=N ∼
= πα (N ) = Mα (perchè anche Mα è
irriducibile). Quindi N ≤ ker πα per ogni α ∈ A \ AS . Pertanto
\
\
M
M
N≤
ker πα =
(
Mβ ) =
Mβ = U.
α∈A\AS
α∈A\AS β∈A\{α}
β∈AS
5. Anelli e anelli di endomorfismi
Sia A un gruppo abeliano. Abbiamo già osservato che End(A) è un
anello. A ha in modo naturale la struttura di End(A)-modulo sinistro
ponendo
α · m := α(m)
per ogni α ∈ End(M ) e m ∈ A.
Definizione 5.1. Sia M un gruppo abeliano e R un anello. Un omomorfismo di anelli ρ : R −→ End(M ) si dice rappresentazione di R
associata a M . Poniamo RM := Imρ.
Lemma 5.2. Siano R un anello e M un gruppo abeliano. Se ρ è
una rappresentazione di R associata a M , allora M ha la struttura di
R-modulo sinistro ponendo, per ogni r ∈ R e m ∈ M ,
r · m := ρ(r)(m).
Dimostrazione. Segue dalla struttura di End(M )-modulo di M e dal
Lemma 2.20.
Viceversa, sia M un R-modulo. Per ogni r ∈ R definiamo la mappa
rM : M −→ M
m 7→ rm
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e
ρM : R −→ End(M )
r 7→ rM
Lemma 5.3. Con le notazioni precedenti, la mappa rM è un omomorfismo del gruppo abeliano M e ρM è una rappresentazione di R associata
a M con nucleo ker ρ = annR (M ).
Dimostrazione. Si lascia per esercizio.
Definizione 5.4. Se R è un anello e X è un sottoinsieme di R il
centralizzante di X in R è l’insieme degli elementi di R che commutano
(rispetto al prodotto) con tutti gli elementi di X. Si indica con CR (X).
Il centro di R è l’insieme degli elementi di R che commutano con
tutti gli elementi di R.
Z(R) := CR (R).
Lemma 5.5. Nelle notazioni della Definizione 5.1 e del Lemma 5.2 si
ha
CEnd(M ) (RM ) = EndR (M ).
Dimostrazione. Siano α ∈ End(M ) e r ∈ R. Allora α rM = rM α se e
solo se per ogni m ∈ M si ha
(α rM )(m) = (rM α)(m) ⇐⇒ α(rm) = rα(m).
Definizione 5.6. Se M è un R-modulo, poniamo
D := EndR (M ).
Notiamo che D è un sottoanello di End(M ) e quindi la struttura di
End(M )-modulo di M fa si che M sia anche un D-modulo sinistro:
per ogni δ ∈ D, m ∈ M
δ · m := δ(m).
Cosı̀, EndD (M ) denoterà l’insieme degli endomorfismi di D-modulo di
M.
Lemma 5.7. Nelle notazioni precedenti
RM ⊆ CEnd(M ) (CEnd(M ) (RM )) = EndD (M ).
Dimostrazione. Siano r ∈ R, δ ∈ D e m ∈ M . Abbiamo
(rM · δ)(m) = rM (δ(m)) = rδ(m) = δ(rm) = (δ · rM )(m).
Quindi gli elementi di RM commutano con gli elementi di D e quindi
sono endomorfismi di D-modulo.
DISPENSA DI TEORIA DEGLI ANELLI
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La situazione fin qui descritta è particolarmente interessante quando
M è un R-modulo irriducibile. Per rendere sottolineare che M non
è un modulo qualsiasi, ma uno irriducibile, scriveremo U al posto di
M . In tal caso, per il Lemma di Schur D è un anello con divisione e
quindi U è un D-spazio vettoriale.Vogliamo dimostrare che in questo
caso l’anello RU è ”molto grande” in EndD (U ).
A questo scopo definiamo una topologia su EndD (U ). Per ogni Dsottospazio V di dimensione finita di U poniamo
AV := {α ∈ EndD (U ) | α|V = 0}.
Allora la famiglia
A := {AV | V è un D-sottospazio di dimensione finita di U }
è una base di intorni dello zero di EndD (U ), cioè gli intorni dello zero
di EndD (U ) sono tutti i sottoinsiemi ottenuti come unione di elementi
di A. Per ogni β ∈ EndD (U ) una base di intorni di β è data dalla
famiglia
Aβ := {β + AV | AV ∈ A}.
Teorema 5.8. (Teorema di Densità di Jacobson) Sia U un Rmodulo irriducibile e D = EndD (U ). Allora RU è un sottoinsieme
denso in EndD (U ), rispetto alla topologia definita sopra.
Per la dimostrazione del teorema abbiamo bisogno del seguente risultato.
Lemma 5.9. Sia U un R-modulo irriducibile e D = EndR (U ). Sia
X un sottoinsieme finito di U , I = annR (X) e u ∈ U . Allora u è
contenuto nel D-sottospazio hXiD generato da X se e solo Iu = {0}.
Dimostrazione. Vediamo per prima cosa che se u è contenuto in hXiD
allora Iu = {0}. Infatti dall’ipotesi segue che esistono x1 , . . . , xn ∈ X
e δ1 , . . . , δn ∈ D tali che
u = δ1 x1 + . . . + δn xn .
Allora per ogni a ∈ I abbiamo che
au = aδ1 x1 + . . . + aδn xn = δ1 (ax1 ) + . . . δn (axn ) = 0
poichè axi = 0 per ogni i ∈ {1, . . . , n}.
Viceversa, supponiamo che Iu = {0}. Facciamo induzione su |X|. Se
|X| = 0, allora X è l’insieme vuoto e il D-sottospazio da esso generato
è il sottospazio nullo. Inoltre I = R e quindi la condizione Iu = {0}
implica u = 0.
Supponiamo quindi |X| > 0, fissiamo x ∈ X e poniamo Y := X \{x}
e J := annR (Y ). Allora I = J ∩ annR (x). Per ipotesi induttiva, per
ogni v ∈ U , Jv = {0} implica v ∈ hY iD . Se quindi J ⊆ annR (x),
allora J = I e Ju = {0}. Pertanto u ∈ hY iD ⊆ hXiD e abbiamo
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finito. Supponiamo quindi che Jx 6= {0}. Allora, poichè U è un Rmodulo irriducibile e Jx un R-sottomodulo, abbiamo che U = Jx.
Definiamo una funzione δ : U −→ U ponendo δ(jx) := ju per ogni
j ∈ J. Vediamo che δ è ben definita. Infatti, se jx = lx per qualche
j, l ∈ J, allora j − l ∈ J ∩ annR (x) = I e quindi (j − i)u = 0, da cui
ju = lu. Verifichiamo ora che δ ∈ D. Banalmente si verifica che δ
rispetta l’addizione di U e per ogni r ∈ R abbiamo
δ(r(jx)) = δ((rj)x) = (rj)u = r(ju) = rδ(jx).
Inoltre, per ogni j ∈ J, si ha
j(u − δx) = ju − jδ(x) = ju − δ(jx) = ju − ju = 0,
che significa J(u − δx) = {0}. Allora, per l’ipotesi induttiva, u − δx ∈
hY iD e quindi u ∈ hXiD .
Dimostrazione del Teorema 5.8. Dobbiamo mostrare che per ogni
α ∈ EndD (U ) e per ogni intorno I di α si ha I ∩ RU 6= ∅. Fissiamo
quindi α ∈ EndD (U ) e osserviamo che non è restrittivo supporre che
I = α + AV per qualche D-sottospazio V di U di dimensione finita. In
tal caso I ∩RU 6= ∅ se e solo se esiste r ∈ R tale che per ogni v ∈ V si ha
α(v) = rv. Sia X una D-base di V e procediamo per induzione su |X|.
Se |X| = 0, allora V = {0} e basta prendere r = 0. Sia quindi |X| > 0,
fissiamo x ∈ X, poniamo Y = X \ {x} e sia W il D-sottospzio generato
da Y . Poichè |Y | < |X|, per ipotesi induttiva abbiamo che esiste s ∈ R
tale che per ogni w ∈ W si ha α(w) = sw. Sia J := annR (Y ). Poichè
x 6∈ W (perchè X è un insieme di vettori D-linearmente indipendenti),
dal Lemma 5.9 segue che Jx 6= {0}. Poichè Jx è un R-sottomodulo
non nullo di U e U è irriducibile, segue che Jx = U e quindi esiste j ∈ J
tale che jx = α(x) − sx. Pertanto, α(x) = (s + j)x e α(y) = (j + s)y
per ogni y ∈ Y per la definizione di J. Quindi s + j è l’elemento di R
cercato.
6. Anelli artiniani semplici
Lemma 6.1. Sia R un anello artiniano a sinistra, U un R-modulo
irriducibile e D = EndR (U ). Allora U è un D-spazio vettoriale di
dimensione finita.
Dimostrazione. Consideriamo l’insieme di ideali sinistri propri di R
I := {annR (Y ) | Y è un sottoinsieme finito di elementi di U \ {0}}.
L’insieme I è non vuoto perchè contiene tutti gli ideali sinistri annR (u)
al variare di u ∈ U \ {0}. Poichè R è artiniano a sinistra, I contiene
un elemento minimale I = annR (X) con X sottoinsieme finito di U . È
chiaro che hXiD ≤ U . Viceversa, sia z ∈ U \{0}. Poniamo Z = X ∪{z}
e J = annR (Z). Si ha che J ∈ I. Inoltre,
J = annR (z) ∩ I ≤ I
DISPENSA DI TEORIA DEGLI ANELLI
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e quindi J = I per la minimalità di I in I. Segue che Iz = {0} e, per
il Lemma 5.9, z ∈ hXiD . Quindi U = hXiD ha dimensione finita come
D-spazio vettoriale.
Teorema 6.2. Sia R un anello artinaino, U un R-modulo irriducibile
e D = EndR (U ). Allora
RU = EndD (U ).
Dimostrazione. Per il Teorema 5.8, RU è un sottoinsieme denso in
EndD (U ), cioè per ogni elemento α ∈ EndD (U ) esiste r ∈ R tale che
α coincide con rU su tutti i D-sottospazi di dimensione finita di U .
Poichè per il Lemma 6.1, U stesso ha dimensione finita, otteniamo che
α = rU , e il teorema è dimostrato.
Il seguente lemma estende al caso non abeliano il fatto ben noto
che l’anello degli endomorfismi di uno spazio vettoriale di dimensione
n su un campo K è isomorfo all’anello delle matrici M atn (K). La
dimostrazione è del tutto analoga e la lasciamo per esercizio.
Lemma 6.3. Sia D un anello con divisione e U un D-spazio vettoriale
di dimensione n. Allora
EndD (U ) ∼
= M atn (Dop ).
Definizione 6.4. Sia R un anello. Un ideale I di R si dice primitivo
se
I = annR (U )
per qualche R-modulo irriducibile U .
Un R-modulo M si dice fedele se annR (M ) = {0}.
R si dice primitivo se ha un R-modulo semplice fedele, ovvero se {0}
è un ideale primitivo.
Teorema 6.5. Sia R un anello. Le seguenti condizioni sono equivalenti:
(i) R è un anello semplice artiniano;
(ii) R è un anello primitivo artiniano;
(iii) R è isomorfo ad una anello di matrici M atn (E) a coefficienti
in un anello con divisione E.
Dimostrazione. (i) ⇒ (ii) Per il Lemma 2.3, R ha un ideale sinistro
massimale I e quindi un R-modulo irriducibile R/I (Teorema 2.17).
Poichè R è un anello semplice, annR (R/I) = {0} e quindi R è primitivo.
(ii) ⇒ (iii) Sia R un anello artiniano e primitivo e sia U un suo
R-modulo irriducibile fedele. Poichè U è fedele abbiamo che R ∼
= RU
e poichè R è artiniano, per il Teorema 6.2, RU = EndD (U ), dove
D = EndR (U ). Infine per Lemma 6.3, EndD (U ) è isomorfo ad un
anello di matrici su un anello con divisione.
(iii) ⇒ (i) Segue dai Teoremi 2.8, 4.4 e dal Lemma 4.5.
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A.A. 2014/2015 PROF. CLARA FRANCHI
Concludiamo questa sezione mostrando che due anelli di matrici sono
isomorfi soltanto quando lo sono banalmente. Per far questo abbiamo
bisogno del seguente lemma.
Lemma 6.6. Sia R un anello con un ideale sinistro minimale I. Allora
per ogni R-modulo irriducibile fedele U , U ed I sono R-moduli isomorfi.
Dimostrazione. Per ipotesi annR (U ) = {0} mentre I 6= {0}. Quindi
I 6⊆ annR (U ) ed esiste un elemento u ∈ U tale che Iu 6= {0}. Iu
è un sottomodulo di U e, oichè U è irriducibile, segue che Iu = U .
Definiamo la mappa α : I → U ponendo α(i) = iu per ogni i ∈ I.
Si verifica che α è un omomorfismo di R-moduli che risulta essere un
isomorfismo per il Lemma di Schur.
Corollario 6.7. Se R è un anello artiniano primitivo, allora R ha un
unico R-modulo semplice fedele a meno di isomorfismo.
Teorema 6.8. Siano E ed F due anelli con divisione. Allora
M atn (E) ∼
= M atm (F ) ⇐⇒ n = m and E ∼
= F.
Dimostrazione. È evidente che se n = M e E ∼
= F allora M atn (E) ∼
=
M atm (F ). Per mostrare il viceversa, poniamo per semplicità R =
M atn (E) e sia I l’ideale sinistro di R costituito dalle matrici che hanno soltanto la prima colonna diversa da zero. Abbiamo visto nella
dimostrazione del Teorema 4.4 che I è un ideale sinistro minimale di
R, e poichè R è un anello semplice per il Teorema 2.8, I è un R-modulo
fedele. Mostriamo che
E∼
= EndR (I)op .
Osserviamo che e11 = e211 , I = Re11 ed
e11 I = e11 Re11 ∼
=E
dove l’ultimo isomorfismo è la mappa che associa ad ogni matrice che
sta in e11 I la sua entrata di posto 1, 1. Per ogni α ∈ EndR (I) abbiamo:
α(e11 ) = α(e211 ) = e11 α(e11 ) ∈ e11 Re11
e quindi anche
α(e11 ) = α(e11 )e11 .
Definiamo quindi la mappa
φ : EndR (I)op −→ e11 Re11
Per ogni α, β ∈ EndR (I)
op
α 7→ α(e11 ).
si ha
φ(α + β) = (α + β)(e11 ) = α(e11 ) + β(e11 ) = φ(α) + φ(β)
e, indicando con ∗ il prodotto in EndR (I)op ,
φ(α ∗ β) = φ(βα) = βα(e11 ) = β(α(e11 )) = β(α(e11 )e11 ) =
= α(e11 )β(e11 ) = φ(α)φ(β).
DISPENSA DI TEORIA DEGLI ANELLI
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Quindi φ è un omomorfismo di anelli. Se α ∈ ker φ abbiamo che
α(e11 ) = 0. Allora per ogni i ∈ I si ha che
α(i) = α(ie11 ) = iα(e11 ) = i · 0 = 0
cioè α è l’omomorfismo nullo. Quindi φ è iniettiva. Infine, per ogni
u ∈ e11 Re11 sia du : I −→ I definita da du (i) := iu per ogni i ∈ I. È
immediato verificare che du ∈ EndR (I) e che φ(du ) = u. Quindi φ è
suriettiva e l’isomorfismo E ∼
= EndR (I)op è dimostrato.
Sia ora S := M atm (E) e sia J l’ideale sinistro costituito dalle matrici
con la sola prima colonna non nulla. Allora J è un S-modulo irriducibile
fedele e poichè R ∼
= S è anche un R-modulo irriducibile fedele. Poichè
R è artiniano (Teorema 4.4), dal Corollario 6.7 segue che J ∼
= I come
R-moduli e come S-moduli. Inoltre è chiaro che l’argomento usato per
E ed EndR (I) mostra anche che F ∼
= EndS (J)op . Abbiamo quindi
E∼
= EndR (I)op ∼
= EndS (J)op ∼
= F.
7. Radicale di Jacobson
Nella sezione precedente abbiamo visto che gli anelli semplici artiniani sono, a meno di isomorfismo, tutti e soli gli anelli di matrici a
coefficienti in un anello con divisione. Nella Sezione 8 generalizzeremo in un certo senso questo risultato, caratterizzando gli anelli che
risultano essere somma diretta di anelli di matrici. A questo scopo
introduciamo qui il Radicale di Jacobson di un anello, che svolgerà un
ruolo importante per quella caratterizzazione.
Lemma 7.1. Siano M e N due R-moduli isomorfi. Allora
annR (M ) = annR (N ).
Dimostrazione. Si lascia la verifica per esercizio.
Definizione 7.2. Sia R un anello. L’intersezione di tutti gli ideali
primitivi di R si dice radicale di Jacobson di R e si indica con J(R).
J(R) := ∩annR (U ),
al variare di U tra tutti gli R-moduli irriducibili.
Osserviamo che, in virtù del Lemma 7.1, nella definizione precedente,
basta considerare gli annullatori di un sistema di rappresentanti delle
classi di isomorfismo degli R-moduli irriducibili, e quindi, per il Teorema 2.17, gli annullatori dei quozienti R/I al variare di I tra gli ideali
sinistri massimali di R.
Vediamo per prima cosa come il radicale di Jacobson si comporta
rispetto agli omomorfismi di anello.
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Lemma 7.3. Siano R e S due anelli e sia θ : R −→ S un omomorfismo
suriettivo di anelli tale che ker θ ≤ J(R). Allora
θ(J(R)) = J(S).
Dimostrazione. Sia r ∈ J(R). Mostriamo che θ(r) ∈ J(S). Fissiamo
un S-modulo irriducibile U . Allora, per il Lemma 2.20, U è un Rmodulo irriducibile “via θ” e quindi è annullato da r. Ma per ogni
u ∈ U abbiamo che
0 = ru := θ(r)u.
Quindi θ(r) ∈ annS (U ) e per l’arbitrarietà di U abbiamo che θ(r) ∈
J(S).
Viceversa, sia s ∈ J(S) e mostriamo che s ∈ θ(J(R)). Poichè θ
è suriettiva, esiste r ∈ R tale che θ(r) = s. Resta da vedere che
r ∈ J(R). Se V è un R-modulo irriducibile, allora V risulta un Smodulo irriducibile “via θ” e quindi sv = 0 per ogni v ∈ V . Ma per
definizione, sv = rv e quindi r ∈ annR (V ). Pertanto r ∈ J(R).
Corollario 7.4. In ogni anello R abbiamo che
J(R/J(R)) = {0}.
Dimostrazione. Segue dal Lemma 7.3 applicato alla proiezione canonica
di R su R/J(R).
Lemma 7.5. J(R) è l’intersezione di tutti gli ideali sinistri massimali
di R.
Dimostrazione. Sia r ∈ J(R) e sia I un ideale sinistro massimale di R.
Allora, per il Teorema 2.17, R/I è un R-modulo irriducibile e quindi
r ∈ annR (R/I). In particolare abbiamo che r(1 + I) = I il che implica
che r ∈ I. Quindi J(R) è contenuto in ogni ideale sinistro massimale
di R.
Viceversa, osserviamo che dal Lemma 2.14 e dal Teorema 2.17 segue
che se U è un R-modulo irriducibile, allora per ogni x ∈ U , annR (x)
è un ideale sinistro massimale di R e quindi annR (U ) = ∩x∈U annR (x)
contiene l’intersezione di tutti gli ideali sinistri massimali di R. Lo
stesso vale pertanto per J(R).
Definizione 7.6. Sia R un anello. Un elemento a di R si dice:
(1) nilpotente se esiste un intero positivo n tale che an = 0;
(2) quasiregolare a sinistra se 1 − a ha un inverso sinistro;
(3) quasiregolare a destra se 1 − a ha un inverso destro;
(4) quasiregolare se 1 − a è invertibile.
Lemma 7.7. Sia R un anello e a ∈ R. Allora
(i) a è quasiregolare a sinistra ⇐⇒ R(1 − a) = R;
(ii) a è quasiregolare a destra ⇐⇒ (1 − a)R = R.
Dimostrazione. Lasciamo la facile verifica per esercizio.
DISPENSA DI TEORIA DEGLI ANELLI
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Lemma 7.8. Se a ∈ R è un elemento nilpotente, allora a è anche
quasiregolare.
Dimostrazione. Poichè a ǹilpotente esiste n ∈ N tale che an = 0.
Abbiamo
an −1 = (n−1)(an−1 +an−2 +. . .+a+1) = (an−1 +an−2 +. . .+a+1)(a−1)
da cui, essendo an = 0, segue che 1 − a è invertibile.
Teorema 7.9. Sia R un anello.
(i) ogni elemento di J(R) è quasiregolare;
(ii) se I è un ideale sinistro di R tale che ogni elemento di I è
quasiregolare a sinistra, allora I ⊆ J(R).
Dimostrazione. (i) Proviamo per prima cosa che ogni elemento di J(R)
è quasiregolare a sinistra. Sia r ∈ J(R) e supponiamo che R(1 − r) 6=
R. Per il Lemma 2.3, esiste un ideale massimale M di R tale che
R(1 − r) ≤ M . Per il Lemma 7.5, r ∈ M e quindi otteniamo che
1 ∈ M , che è assurdo perchè M 6= R. Quindi R(1 − r) = R e r è
quasiregolare a sinistra. Sia s un inverso sinistro di 1 − r e poniamo
y := 1 − s. Otteniamo che s = 1 − y e quindi
(1 − y)(1 − r) = 1.
Dall’ugiaglianza precedente otteniamo
1 − y − r + yr = 1 da cui y = (y − 1)r
e quindi y ∈ J(R). Per quanto dimostrato sopra, allora, 1 − y è invertibile a sinistra e poichè (1−r) è un inverso destro di 1−y, otteniamo che
1 − y è invertibile con inverso (1 − r). Quindi anche 1 − r è invertibile
e (i) è dimostrato.
(ii) Sia I un ideale sinistro come nell’enunciato. Sia M un ideale
sinistro massimale di R e supponiamo che I 6⊆ M . Allora I + M > M
e per la massimalità di M deve essere I +M = R. Allora esistono a ∈ I
e m ∈ M tali che 1 = a + m, da cui otteniamo che m = 1 − a ha un
inverso sinistro e quindi R = Rm ≤ M : una contraddizione. Quindi I
è contenuto in tutti gli ideali sinistri massimali di R e per il Lemma 7.5
è contenuto in J(R).
Corollario 7.10. L’insieme degli ideali sinistri di R che hanno tutti
gli elementi quasiregolari a sinistra ha un elemento massimo rispetto
all’inclusione che è J(R).
Dimostrazione. Segue subito dal Teorema 7.9.
Possiamo definire una “versione destra” del radicale di Jacobson
considerando i moduli destri anzichè sinistri.
J ∗ (R)) := ∩annR (U ),
al variare di U tra tutti gli R-moduli destri irriducibili.
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Per questa versione destra valgono quindi tutti i risultati ottenuti
per J(R) nella loro “versione destra”.
Lemma 7.11. J ∗ (R) è l’intersezione di tutti gli ideali destri massimali
di R.
Teorema 7.12. Sia R un anello.
(i) ogni elemento di J ∗ (R) è quasiregolare;
(ii) se I è un ideale destro di R tale che ogni elemento di I è
quasiregolare a destra, allora I ⊆ J ∗ (R).
Teorema 7.13. In ogni anello R si ha
J(R) = J ∗ (R).
Dimostrazione. Vediamo che J ∗ (R) ⊆ J(R). Per il Teorema 7.12(i)
tutti gli elementi di J ∗ (R) sono quasi regolari. Pertanto J ∗ (R) è un
ideale sinistro di R con tutti gli elementi quasi regolari a sinsitra e per
il Teorema 7.9, J ∗ (R) ⊆ J(R). Ripetendo il ragionamento con J(R)
al posto di J ∗ (R) e “sinsitro” al posto di “destro” , otteniamo che
J(R) ⊆ J ∗ (R).
Corollario 7.14. Se I è un ideale destro di R che contiene tutti elementi quasi regolari a destra, allora I ⊆ J(R).
Corollario 7.15. Se I è l’unico ideale sinistro massimale di R, allora
I è anche l’unico ideale destro massimale di R.
Notazioni 7.16. Siano X un sottogruppo additivo di un anello R e Y
un sottogruppo additivo di un R-modulo sinistro M . Indichiamo con
XY il sottogruppo additivo di M generato da tutti gli elementi del tipo
xy, con x ∈ X e y ∈ Y . Cioè
XY := {x1 y1 + . . . + xn yn | n ∈ N, xi ∈ X, yi ∈ Y }.
La corrispondente notazione si applica quando X e Y sono sottogruppi additivi di R.
Lemma 7.17. Siano I, J ideali sinistri (rispettivamente destri o bilateri) di un anello R e Y un R-sottomodulo di un R-modulo M . Allora
IJ è un ideale sinitro (rispettivamente destro o bilatero) di R e se I è
un idela esinistro di R, allora IY è un R-sottomodulodi Y .
Dimostrazione. Lasciamo le verifiche per esercizio.
Lemma 7.18. Sia M un R-modulo. Allora J(R)M è contenuto in
ogni sottomodulo massimale di M .
Dimostrazione. Sia T un sottomodulo massimale di M . Allora M/T
è un modulo irriducibile e quindi per definizione J(R)(M/T ) = {0}.
Si vede facilmente che J(R)(M/T ) = (J(R)M + T )/T e questo è il
modulo nullo se e solo se J(R)M ⊆ T .
DISPENSA DI TEORIA DEGLI ANELLI
23
Si noti che nel lemma precedente l’esistenza di un sottomodulo massimale T non è garantita e quindi non si può dedurre che in generale
J(R)M < M . Se però M è un R-modulo finitamente generato questo
è vero, come dimostriamo nel seguente teorema.
Teorema 7.19. Sia M un R-modulo finitamente generato. Allora
J(R)M = M se e solo se M = {0}.
Dimostrazione. È chiaro che se M = {0} si ha M = {0} = J(R)M .
Supponiamo quindi che J(R)M = M . Sia X un insieme minimale
di generatori di M (cioè X è un insieme di generatori di M ma ogni
sottoinsieme proprio di X non lo è). Se |X| = 0, allora X = ∅ e quindi
M = {0} e abbiamo finito. Supponiamo per assurdo che |X| > 0.
Fissiamo y ∈ X e poniamo Y = X \ {y}. Abbiamo che
X
M=
Rx
x∈X
e quindi
J(R)M =
X
J(R)Rx =
x∈X
X
J(R)x.
x∈X
Poichè per ipotesi J(R)M = M abbiamo che per ogni x ∈ X esistono
rx ∈ J(R) tali che
X
rx x.
y=
x∈X
Da qui ricaviamo che
y=
X
rx x + ry y
x∈Y
e
(1 − ry )y =
X
.
x∈Y
Ora 1 − ry è invertibile per il Teorema 7.9, poichè ry ∈ J(R). Possiamo
quindi ricavare y, ottenendo
X
y = (1 − ry )−1
,
x∈Y
e quindi y sta nel sottomodulo generato da Y . Ciò implica che M è
generato da Y , contraddicendo la minimalità di X.
Lemma 7.20. [Lemma di Nakayama] Sia M un R-modulo finitamente generato e V un R-sottomodulo. Se M = J(R)M + V , allora
V = M.
Dimostrazione. Osserviamo che M/V è un R-modulo finitamente generato e J(R)(M/V ) = J(R)M + V /V . Pertanto dall’ipotesi M =
J(R)M +V segue che J(R)(M/V ) = M/V . Quindi per il Teorema 7.19
si ha che M/V = {0}, cioè M = V .
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Definizione 7.21. Sia R un anello e I un ideale sinistro (rispettivamente destro) di R.
(1) I si dice nil se ogni suo elemento è nilpotente;
(2) I si dice nilpotente se esiste un numero naturale n ∈ N tale che
I n = {0}.
Lemma 7.22. Se I è un ideale sinistro o destro nil, allora I ⊆ J(R).
Dimostrazione. Per definizione ogni elemento di I è nilpotente e quindi
quasi regolare. La tesi segue dal Teorema 7.9(ii).
Teorema 7.23. Sia R un anello artiniano. Allora J(R) è nilpotente.
Dimostrazione. Poniamo J := J(R). Poichè R è artiniano esiste un
numero naturale n tale che J n = J n+k per ogni k ∈ N. Poniamo
N := J n e mostriamo che N = {0}. Supponiamo per assurdo che
N 6= {0}. Osserviamo che N 2 = J 2n = J n = N . Sia X l’insieme
degli ideali sinistri H di R tali che N H 6= {0}. Poichè N 2 = J 2n =
J n = N 6= {0} abbiamo che N ∈ X , che quindi è un insieme non
vuoto. Poichè R è artiniano, X contiene un elemento minimale K.
Quindi N K 6= {0}, da cui segue che esiste k ∈ K tale che N k 6= {0}.
Ora, N k è un ideale sinistro di R (perchè N lo è) è contenuto in X
perchè N (N k) = N 2 k = N k 6= {0} e N k ⊆ K perchè k ∈ K. Per la
minimalità di K in X deve essere N k = K. In particolare esiste a ∈ N
tale che ak = k. Allora (1 − a)k = 0 e quindi k = 0 perchè essendo a
un elemento di J(R), 1 − a è invertibile (e quindi è diverso da zero e
non è un divisore di zero). Allora N k = N 0 = {0}, contraddicendo la
scelta di k. Pertanto N = {0} e il teorema è dimostrato.
Corollario 7.24. Sia R un anello artiniano e I un ideale sinistro o
destro di R. Allora le seguenti condizioni sono equivalenti:
(i) I è nil;
(ii) I ⊆ J(R);
(iii) I è nilpotente.
Dimostrazione. lasciamo la facile verifica per esercizio.
Corollario 7.25. Sia R un anello artiniano. Allora R è semiprimitivo
se e solo se è semiprimo.
Dimostrazione. Se R è semiprimo, allora R non contiene ideali bilateri
nipotenti non nulli. Poichè per il Teorema 7.23 J(R) è nilpotente, deve
essere J(R) = {0}.
Viceversa, se R è semiprimitivo, allora per il Corollario 7.24, ogni
ideale nilpotente è contenuto il J(R) = {0}. Quindi R è semiprimo. Lemma 7.26. Per un anello R le seguenti condizioni sono equivalenti:
(i) R è semiprimo;
(ii) I 2 6= {0} per ogni ideale I 6= {0};
DISPENSA DI TEORIA DEGLI ANELLI
25
(iii) I 2 6= {0} per ogni ideale sinistro (o destro) I 6= {0};
(iv) xRx 6= {0} per ogni x 6= 0 in R.
Dimostrazione. (i) ⇔ (ii) Se R è semiprimo non contiene ideali nilpotenti diversi dall’ideale nullo. Quindi vale (ii). Viceversa, se R non è
semiprimo, allora contiene un ideale J 6= {0} nilpotente. Allora esiste
n ≥ 2 tale che J n−1 6= {0} = J n . Posto I = J n−1 , otteniamo che
I 6= {0} e I 2 = J 2n−2 = {0} (perchè 2n − 2 ≥ n se n ≥ 2). E quindi
non vale (ii). Pertanto (ii) implica (i).
(iii) ⇒ (ii) Ovvio.
(ii) ⇒ (iii) Sia I un ideale sinistro di R e supponiamo che I 2 = {0}.
Vogliamo mostrare che I = {0}. Abbiamo che IR è un ideale bilatero
di R che contiene I perchè I = I · 1 e
(IR)2 = (IR)(IR) = I(RI)R ⊆ I 2 R = {0}R = {0}.
Cosı̀ I = {0}. Per il caso in cui I sia un ideale destro si ragiona in
modo analogo.
(iii) ⇒ (iv) Sia x ∈ R \ {0}. Allora Rx è un ideale sinistro diverso
da {0} e quindi per ipotesi (Rx)2 6= {0}. Ma (Rx)2 = R(xRx) e quindi
deve essere xRx 6= {0}.
(vi) ⇒ (iii) Sia I un ideale sinistro non nullo di R e sia 0 6= x ∈ I.
Allora Rx ⊆ I e quindi xRx ⊆ I 2 . Pertanto da (iv) segue (iii).
8. il teorema di Artin-Wedderburn
Lemma 8.1. Sia I un ideale sinistro minimale di un anello R tale che
I 2 6= {0}. Allora I contiene un elemento idempotente.
Dimostrazione. Poichè I 2 6= {0} possiamo scegliere a ∈ I tale che
Ia 6= {0}. Allora Ia è un ideale sinitro di R contenuto in I. Per la
minimalità di I abbiamo quindi che Ia = I. In particolare, esiste e ∈ I
tale che ea = a. Sia K := {x ∈ I | xa = 0}. Si verifica facilmente che
K è un ideale sinistro di R contenuto in I. Inoltre, poichè ea = a 6= 0,
abbiamo che e 6∈ K e quindi K 6= I. Per la minimalità di I deve essere
K = {0}. D’altra parte, (e2 − e)a = e(ea) − ea = ea − a = a − a = 0,
da cui e2 − e ∈ K e quindi e2 = e.
Il seguente Lemma è un caso speciale del Lemma 2.21.
Lemma 8.2. Sia I un ideale sinistro di un anello R e supponiamo che
I contenga un elemento idempotente e. Allora
I = Ie ⊕ V
per qualche ideale sinistro di R tale che V e = {0}.
Dimostrazione. Consideriamo l’omomorfismo di R-moduli
eI : I −→ I
x 7→ xe.
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Poichè e è idempotente, abbiamo che e2I = eI e quindi per il Lemma 2.21, I = ImeI ⊕ker eI . Chiaramente ImeI = Ie e posto V := ker eI ,
abbiamo che V è un R-sottomodulo di I e quindi un ideale sinistro di
R e V e = eI (V ) = {0}.
Teorema 8.3. Sia R un anello artiniano semiprimo. Allora ogni ideale
sinistro di R è somma diretta finita di ideali sinistri minimali.
Dimostrazione. Sia X l’insieme degli ideali sinistri di R che non sono
somma diretta finita di ideali sinistri minimali e supponiamo per assurdo che X sia non vuoto. Poichè R è artiniano, possiamo scegliere
un elemento minimale I in X . Sia inoltre J un ideale sinistro minimale
contenuto in I. in particolare, J 6= {0} e poichè R è semiprimo, dal
Lemma 7.26 segue che J 2 6= {0}. Allora, per il Lemma 8.1, J contiene
un elemento idempotente e e per il Lemma 8.2 abbiamo che
I = Re ⊕ V
con V ideale sinistro di R. Chiaramente V < I quindi la minimalità di
I in X implica che V 6∈ X , cioè V è somma diretta finita di ideali sinistri
minimali. Inoltre, poichè J è un ideale sinistro minimale, J = Re e
quindi otteiamo che I è somma diretta finita di ideali sinistri minimali:
una contraddizione. Pertanto X = ∅, e la tesi è dimostrata.
Nel seguito,
rappresentanti
Con notazione
S indicheremo
regolare.
dato un anello R indicheremo con S un insieme di
delle classi di ismorfismo degli R-moduli irriducibili.
analoga a quella usata nella Sezione ?, per ogni S ∈
con R(S) la S-componente omogenea dell’R-modulo
Teorema 8.4. [Teorema di Artin-Wedderburn] Sia R un anello
artiniano semiprimo. Allora
(i) S è un insieme finito;
(ii) R(S) è un ideale bilatero minimale (e non nullo) di R per ogni
S ∈ S;
(iii) R è somma diretta degli ideali R(S);
(iv) R(S) è un anello semplice artiniano per ogni S ∈ S;
(v) se S, T ∈ S e S 6= T , allora R(S) ⊆ annR (T ) e R(S)R(T ) =
R(T )R(S) = {0}.
Dimostrazione. Per il Teorema 8.3, l’R-modulo regolare è somma diretta finita di un numero finito di sottomoduli irriducibili. Allora dal
Teorema 4.12 segue (iii). Dimostriamo ora (v). Siano S, T due Rmoduli irriducibili non isomorfi. Per ogni ideale sinistro minimale di R
isomorfo ad S e per ogni t ∈ T possiamo definire la mappa
θ : I −→ T
i 7→ it.
DISPENSA DI TEORIA DEGLI ANELLI
27
Si vede facilmente che θ è un omomorfismo di R-moduli e θ non può
essere un isomorfismo perchè I ∼
6= T . Dal Lemma di Schur segue
=S∼
quindi che θ è l’omomorfismo nullo, da cui abbiamo che I ⊆ annR (T ).
Poichè per definizione R(S) l̀a somma di tutti gli ideali sinistri minimali
di R che sono isomorfi a S, otteniamo che R(S) ⊆ annR (T ). Dalla
definizione di R(T ) segue che R(S)R(T ) = R(T )R(S) = {0}.
Per provare (i), supponiamo che R(S) = {0} per qualche S ∈ X .
Allora, banalmente R(S) ⊆ annR (S) e per il punto (v), per ogni T ∈
S \ {S} si ha R(T ) ⊆ annR (S). Dal (iii) segue quindi che
M
R=
R(T ) ⊆ annR (S)
T ∈S
il che è impossibile perchè S è irriducibile. Quindi abbiamo che R(S) 6=
{0} per ogni S ∈ X e quindi dai Teoremi 8.3 e 4.12 deduciamo che Sè
un insieme finito.
Mostriamo ora che per S ∈ S, R(S) è un ideale bilatero di R. Dalla
definizione segue che R(S) è un idelae sinistro. Per (iii) e (v)abbiamo
che


!
M
M
R(S)R = R(S)
R(T ) = R(S) 
R(T ) ⊕ R(S) =
T ∈S
=
M
T ∈S\{S}
R(S)R(T ) ⊕ R(S)R(S) = R(S)R(S) ⊆ R(S).
T ∈S\{S}
Sia ora I un ideale bilatero contenuto propriamente in R(S). Poichè
I < R(S) esiste un ideale sinistro minimale J tale che J ∼
= S ma J non è
contenuto in I. In particolare I ∩J = {0}. poichè I è un idelae bilatero
e J è un idelae sinistro, abbiamo che IJ ≤ I ∩ J e quindi IJ = {0}
e I ⊆ annR (J) = annR (S) e quindi IR(S) = {0}. Per (v) sappiamo
che IR(T ) = {0} per ogni T ∈ S \ {S} e quindi da (iii) otteniamo che
I = IR = {0}. Pertanto R(S) è un ideale bilatero minimale e vale (ii).
Per dimostrare (iv) osserviamo che poichè R(S) è un ideale bilatero
di R, esso è un sottoinsieme chiuso rispetto alle operazioni di R. Per
dimostrare che R(S) è un anello basta mostrare che contiene un elemento identico (tutte le altre proprietà seguono dal fatto che R è un
anello). Abbiamo che da (iii) segue che
X
1=
iT
T ∈S
per certi elementi iT ∈ R(T ) e da (v) segue che per ogni a ∈ R(S) si
ha
X
X
iS a =
iT a = (
iT )a = 1a = a =
T ∈S
T ∈S
= a1 = a(
X
T ∈S
iT ) =
X
T ∈S
aiT = aiS ,
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cioè iS è l’elemento identico di R(S). Infine osserviamo che se I è un
ideale bilatero di R(S), allora da (iii) e (v) segue che I è un ideale
bilatero di R e quindi da (ii) segue che R(S) è un anello semplice. Corollario 8.5. [Corollario al Teorema di Artin-Wedderburn] R
è un anello artiniano semiprimo se esolo se è isomorfo ad una somma
diretta finita (esterna) di anelli di matrici a coefficienti in anelli con
divisione.
Dimostrazione. Se R è un anello artiniano semiprimo, per il Teorema
di Artin-Wedderburn, posto S un insieme di rappresentanti delle classi
di coniugio degli R-moduli irriducibili, si ha che S è un insieme finito e
M
R=
R(S).
S∈S
Inoltre ogni R(S) è un anello artiniano semplice e quindi dal Teorema 6.5 è isomorfo ad una anello di matrici a coefficienti in un anello
con divisione.
Viceversa, supponiamo che R sia la somma diretta finita di anelli di
matrici a coefficienti su anelli con divisione:
R = R1 ⊕ R2 ⊕ . . . ⊕ Rt ,
con
Ri ∼
= Mni (Di ) per ogni i ∈ {1, . . . , t}.
Per il Lemma 4.5 ogni anello di matrici ha lunghezza di composizione finita e quindi per il Corollario 3.7 anche R ha lunghezza di composizione finita. In particolare è artiniano. Per dimostrare che R è
semiprimo, mostriamo che J(R) = {0} e usiamo il Corollario 7.25.
Per i ∈ {1, . . . , t} e sia πi : R −→ Ri la proiezione canonica sulla
i-esima componente. Se U è un Ri -modulo irriducibile, allora per il
Lemma 2.20, U è anche un R-modulo irriducibile e ker πi ⊆ annR (U ).
Segue che
!
M
annR (U ) =
Rj ⊕ annRi (U ).
j6=i
Ora J(Ri ) = {0} perchè Ri è un anello semplice. Facendo variare U
tra tutti gli Ri -moduli irriducibili otteniamo quindi che
!
\
\
M
J(R) ⊆
annR (U ) =
Rj ⊕ annRi (U ) =
U Ri -mod irr
U Ri -mod irr
j6=i
!
=
M
j6=i
Rj
!
⊕
\
annRi (U ) =
U Ri -mod irr
M
Rj
⊕ J(Ri ) =
j6=i
Facendo infine variare i in {1, . . . , t} ricaviamo che
!
t
\
M
J(R) ⊆
Rj = {0}.
i=1
j6=i
M
j6=i
Rj .
DISPENSA DI TEORIA DEGLI ANELLI
29
Esercizio 8.6. Si verifichi l’ultima uguaglianza della dimostrazione del
Corollario 8.5.
Vogliamo ora affrontare il problema dell’unicità, ovvero stabilire quando due somme dirette di anelli di matrici a coefficienti in anelli con
divisione sono anelli isomorfi.
Lemma 8.7. Sia R un anello artiniano semiprimo. Allora ogni ideale
bilatero I di R è della forma
M
I=
R(S)
S∈SI
per qualche sottoinsieme SI di S.
Dimostrazione. Sia I un ideale di R e sia
SI = {S ∈ S | R(S) ⊆ I}.
Poniamo anche
J=
M
R(S).
S∈SI
Dal Teorema 8.4(ii) segue subito che J è un ideale bilatero di R. Inoltre chiaramente J ⊆ I. MostriamoP
che I ⊆ J. Sia x ∈ I. Per il
Teorema 8.4, possiamo scrivere 1 = S∈S iS , con iS ∈ R(S) per ogni
S. Allora
X
X
(5)
x=x·1=x·
iS =
xiS .
S∈S
S∈S
Osserviamo che I ∩ R(S) è un ideale bilatero di R(S) che per il Teorema 8.4(iv) è un anello semplice. Quindi il prodotto xiS ∈ I ∩ R(S)
è diverso da 0 se e solo se I ∩ R(S) = R(S) cioè R(S) ⊆ I. Pertanto
da (5) segue che
X
xiS ∈ J.
x=
S∈SI
Corollario 8.8. Se R è un anello artiniano semiprimo, allora un ideale
bilatero I di R è anche un anello semplice se e solo se I = R(S) per
qualche S ∈ S.
Teorema 8.9. Siano R e R0 due anelli, t, t0 ∈ N, ni , n0k numeri naturali
per ogni i ∈ {1, . . . , t}, k ∈ {1, . . . , t0 } e D1 , . . . , Dt , D10 , . . . Dt0 0 anelli
con divisione tali che
R∼
= Mn (D1 ) ⊕ Mn (D2 ) ⊕ . . . ⊕ Mn (Dt )
1
2
t
e
R0 ∼
= Mn01 (D10 ) ⊕ Mn02 (D20 ) ⊕ . . . ⊕ Mn0t0 (Dt0 0 ).
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A.A. 2014/2015 PROF. CLARA FRANCHI
Allora R e R0 sono isomorfi se e solo se
t = t0 , e, per ogni i ∈ {1, . . . , t}, ni = n0i e Di ∼
= Di0 .
Dimostrazione. La sufficienza delle condizioni è immediata. Viceversa, supponiamo che R ∼
= R0 tramite un isomorfismo φ. Per ogni
i ∈ {1, . . . , t}, poniamo Ri = Mni (Di ) e per ogni k ∈ {1, . . . , t0 },
poniamo Rk0 = Mn0k (Dk0 ). Allora R1 , . . . Rt sono gli ideali bilateri
minimali di R e R10 , . . . Rt0 0 sono gli ideali bilateri minimali di R0 e
φ(R1 ), . . . , φ(Rt ) sono anch’essi gli ideali minimali di R0 . Quindi t = t0 .
Inoltre, φ(Ri ) ∼
= Ri è un ideale bilatero di R0 che è anche un anello
semplice e quindi per il Corollario 8.8, per ogni i ∈ {1, . . . , t} esiste un
ki ∈ {1, . . . , t} tale che φ(Ri ) = Rk0 i . Dal Teorema 6.8 segue che per
ogni i ∈ {1, . . . , t}, ni = n0i e Di ∼
= Di0 .
Il Teorema di Artin-Wedderburn ha numerose conseguenze. Ne vediamo alcune.
Corollario 8.10. Un anello R è un anello con divisione se e solo se è
artiniano e xy 6= 0 per ogni x 6= 0 6= y in R.
Dimostrazione. Se R è un anello con divisione, allora R è artiniano per
il Teorema 2.5. Inoltre se x 6= 0 6= y sono elementi di R, allora essi
sono invertibili e quindi anche xy è invertibile e diverso da 0.
Viceversa supponiamo che R sia un anello artiniano tale che xy 6= 0
per ogni x 6= 0 6= y in R. Allora xRx 6= {0} per ogni x 6= 0 in R e
quindi per il Lemma 7.26(iv), R è semiprimo. Per il teorema di Artin
Wedderburn allora R = R1 ⊕ . . . ⊕ Rt è la somma diretta finita di
ideali bilateri minimali Ri ognuno dei quali è un anello isomorfo ad un
anello di matrici a coefficienti in un anello con divisione Di . Poichè
Ri Rj = {0} se i 6= j, l’ipotesi implica che t = 1 e R ∼
= Mn (D). Sempre
l’ipotesi che il prodotto di elementi non nulli di R è diverso da zero
implica che R non contiene elementi nilpotenti e quindi deve essere
n = 1. Cosı̀ R ∼
= D.
Corollario 8.11. Se R è un anello artiniano semiprimo, allora ogni
R-modulo sinistro è completamente riducibile.
Dimostrazione. Sia M un R-modulo sinistro e indichiamo con L la
somma di tutti i sottomoduli irriducibili di M . Per il Teorema 4.10 è
sufficiente dimostrare che M = L. Sia m ∈ M . Per il Teorema 8.3,
R = I1 ⊕ . . . ⊕ It con t ∈ N e Ii ideale sinistro minimale per ogni
i ∈ {1, . . . , t}. Per i ∈ {1, . . . , t}, sia θi : Ii −→ M l’omomorfismo di
moduli definito da a 7→ am. Poichè Ii è un ideale sinistro minimale, se
θi (Ii ) 6= {0}, allora esso è un sottomodulo irriducibile di M . Quindi,
θi (Ii ) ⊆ L per ogni i. Scriviamo
1 = i1 + . . . + it
DISPENSA DI TEORIA DEGLI ANELLI
31
con ik ∈ Ik , per ogni k ∈ {1, . . . , t}. Allora
m = 1m = i1 m + . . . + it m
e ik m ∈ θk (Ik ) per ogni k. Quindi m ∈ L.
Teorema 8.12. Sia R un anello. Le seguenti condizioni sono equivalenti:
(i) R è artiniano semiprimo;
(ii) l’R-modulo regolare è completamente riducibile;
(iii) ogni ideale sinistro I di R contiene un elemento idempotente e
tale che I = Re.
Dimostrazione. (i) ⇒ (ii) è il Teorem 8.3.
(ii) ⇒ (iii) Supponiamo che l’R-modulo regolare sia completamente
riducibile e sia I un ideale sinistro di R. Allora R = I ⊕ J per qualche
ideale sinistro di R e 1 = e + f con e ∈ I e f ∈ J. Mostriamo che e è
idempotente e I = Re. Per ogni x ∈ I abbiamo che x = x1 = xe + xf
da cui xf = x − xe ∈ I. Ma xf ∈ J perchè J è un ideale sinistro, e
quindi xf ∈ I ∩ J = {0}. Cosı̀ per ogni x ∈ I abbiamo che x = xe. In
particolare e2 = e e I ⊆ Re, da cui segue I = Re.
(iii) ⇒ (i) Supponiamo infine che valga (iii). Allora l’R-modulo
regolare risulta essere completamente riducibile per il Lemma 8.2. Per
il Teorema 4.10, R è la somma dei suoi ideali sinistri minimali. Allora
1 ∈ R si scrive come somma
1 = i1 + . . . + it
con ik ∈ Ik e Ik ideale sinistro minimale di R per k ∈ {1, . . . , t}. Allora
abbiamo che
R = R1 = Ri1 + . . . + Rit = I1 + . . . + It
e quindi R è una somma diretta finita di ideali sinistri minimali. Dal
Lemma 3.7 segue che R è artiniano. Inoltre, per ogni ideale sinistro
I 6= {0} abbiamo che I = Re con e idempotente diverso da zero e
quindi I 2 6= {0} perchè contiene e2 = e. Quindi R è semiprimo per il
Lemma 7.26.
Corollario 8.13. Sia R un anello artiniano e M un R-modulo. Allora
M è completamente riducibile se e solo se J(R)M = {0}.
Dimostrazione. Supponiamo che M sia completamente riducibile. Allora per il Teorema 4.10, M è somma dei suoi sottomoduli semplici.
Poichè, per definizione, ciascuno di questi è annullato da J(R) segue
subito che J(R) annulla tutto M , cioè J(R)M = {0}.
Viceversa, supponiamo che J(R)M = {0}, cioè J(R) ⊆ annR (M ).
Allora, per il Lemma 2.20, M è anche un R/J(R)-modulo e gli Rsottomoduli coincidono con gli R/J(R)-sottomoduli. Quindi basta far
32
A.A. 2014/2015 PROF. CLARA FRANCHI
vedere che M è completamente riducibile come R/J(R)-modulo. Abbiamo che R/J(R) è un anello artiniano ed è semiprimo per i Corollari 7.4 e 7.25. Quindi per il Corollario 8.11, M è un R/J(R)-modulo
completamente riducibile.
Teorema 8.14. Se R è un anello artiniano a sinistra allora R è anche
noetheriano a sinistra.
Dimostrazione. Scriviamo J = J(R). Poichè R è artiniano, per il Teorema 7.23, esiste n ∈ N tale che J n = {0}. Ogni fattore J k /J k+1 è
un R-modulo annullato da J(R) per definizione. Quindi, per il Corollario 8.13, J k /J k+1 è completamente riducibile. Quindi, per il Teorema 4.10, J k /J k+1 è somma dei suoi sottomoduli irriducibili. Siccome
J k /J k+1 è anche artiniano perchè R lo è, segue che la somma deve essere finita e quindi J k /J k+1 ha una serie di composizione. Allora R ha
una serie di composizione e quindi è noetheriano per il Teorema 4.4. Osserviamo che in letteratura gli anelli artiniani semiprimi vengono
spesso chiamati anelli artiniani semisemplici, dove il termine semisemplice significa completamente riducibile.
9. Algebre associative
Definizione 9.1. Sia F un campo. Una F -algebra (associativa) A è
un insieme dotato di tre operazioni +, ·, ∗ che soddisfano le seguenti
proprietà:
A1 (A, +) è un gruppo abeliano;
A2 (A, +, ·) è un anello;
A3 ∗ denota il prodotto per gli elementi di F e (A, +, ∗) è un F spazio vettoriale;
A4 per ogni f ∈ F , a, b ∈ A si ha
f ∗ (ab) = (f ∗ a)b = a(f ∗ b).
La dimensione di A come F -spazio vettoriale si dice dimensione dell’algebra A.
Osserviamo che normalmente, entrambi i prodotti · e ∗ di A si indicano con lo stesso simbolo · , oppure non scrivendo nulla, non essendovi
in generale possibilità di confusione.
L’anello Mn (F ) delle matrici n per n a coefficienti in un campo F è
una F -algebra di dimensione n2 .
Lemma 9.2. Sia A una F -algebra. Allora Z(A) contiene un sottoanello isomorfo ad F .
Dimostrazione. La mappa
α : F −→ A
f 7→ f · 1A
DISPENSA DI TEORIA DEGLI ANELLI
33
è un omomorfismo di anelli, iniettivo perchè ker α 6= F e F , essendo un
campo, non ha ideali propri non banali. Quindi, Im α è un sottoanello
di A isomorfo ad F e Im α ⊆ Z(A) per la proprietà A4 della definizione
di algebra.
In virtù del lemma precedente, generalmente si identifica F con Im α
e si suppone direttamente che F ⊆ A. Viceversa, se A è un anello e
F è un sottoanello di A contenuto in Z(A) e tale che F è un campo,
allora A ha in modo naturale una struttura di F -algebra.
Lemma 9.3. Sia A una F -algebra di dimensione finita. Allora A è un
anello artiniano.
Dimostrazione. Basta osservare che se I è un ideale sinistro di A, allora I è un F -sottospazio. Da ciò segue subito l’artinianità, poichè
essendo A un F -spazio di dimensione finita, ogni catena discendente di
F -sottospazi è finita. Sia quindi I un ideale sinistro di A. Allora per
ogni f ∈ F e a ∈ I, abbiamo che f (1A · a) = (f · 1A )a ∈ I, quindi I è
un F -sottospazio.
Corollario 9.4. Sia A una F -algebra di dimensione finita e sia U un
A-modulo irriducibile e poniamo D = EndA (U ). Allora
AU = EndD (U ).
Dimostrazione. Segue immediatamente dal Teorema 6.2 visto che, per
il Lemma 9.3, A è artiniano.
Sia M un A-modulo. Allora la moltiplicazione degli elementi di M
per gli elementi di F ⊆ A definisce una struttura di spazio vettoriale
su M . Inotre, poichè F ⊆ Z(A), abbiamo che EndA (M ) ⊆ EndF (M )
e AM ⊆ EndF (M ) (AM è l’immagine dell’omomorfismo di anelli ρM
definito nella Sezione 5) . Poichè F è un campo, la restrizione di ρM
a F è iniettiva e quindi F ∼
= FM ⊆ AM . Inoltre, poichè F ≤ Z(A)
abbiamo che per ogni a ∈ A, f ∈ F , α ∈ EndA (M ) e m ∈ M ,
fM (am) = f (am) = (f a)m = (af )m = a(f m) = afM (m)
cioè fM ∈ EndA (M ), e
(fM α)(m) = fM (α(m)) = f (α(m)) = α(f m) = (αfM )(m).
Pertanto FM ⊆ Z(EndA (M )) e quindi EndA (M ) è in modo naturale
una F -sottoalgebra di EndF (M ).
Lemma 9.5. Sia A una F -algebra di dimensione finita e sia U un
A-modulo irriducibile. Allora U e EndA (U ) hanno dimensione finita
su F .
Dimostrazione. Basta dimostrare che U è un F -spazio vettoriale di
dimensione finita. Infatti in tal caso è ben noto dai corsi di algebra
lineare che EndF (U ) è isomorfo ad un anello di matrici su F e quindi
34
A.A. 2014/2015 PROF. CLARA FRANCHI
ha dimensione finita su F . Poichè EndA (U ) è una F -sottoalgebra di
EndF (U ) anch’essa deve avere dimensione finita.
Sia n la dimensione di A e sia (a1 , . . . , an ) una base di A come spazio
vettoriale su F . Sia m ∈ U \ {0}. Allora Am = U (perchè U è irriducibile). Sia x ∈ U . Allora esiste a(x) ∈ A tale che x = a(x)m. Inoltre
esistono λ1 , . . . , λn ∈ F tali che a(x) = λ1 a1 + . . . λn an . Abbiamo cosı̀
che
x = a(x)m = (λ1 a1 + . . . + λn an )m = λ1 (a1 m) + . . . + λn (an m).
Allora {a1 m, . . . , an m} è un insieme di generatori di U come spazio
vettoriale su F e quindi U ha dimensione finita.
Definizione 9.6. Una F -algebra che è anche un anello con divisione
si dice algebra con divisione.
Lemma 9.7. Sia F un campo e sia A una F -algebra con divisione di
dimensione finita. Allora ogni elemento di A è algebrico su F .
Dimostrazione. Sia α ∈ A \ {0}. Poichè A è un anello con divisione,
αr 6= 0 per ogni r ∈ N e quindi le potenze di α sono tutte distinte. Se n
è la dimensione di A su F , allora l’insieme {α0 , α, . . . , αn } è linearmente
dipendente su F e quindi esistono f0 , . . . , fn ∈ F tali che
f0 + f1 α + . . . + fn αn = 0.
Pertanto α è un elemento algebrico su F .
Lemma 9.8. Sia F un campo algebricamente chiuso, sia A una F algebra e U un A-modulo irriducibile. Allora
EndA (U ) ∼
= F.
Dimostrazione. Per il Lemma 9.5, EndA (U ) è una FU -algebra di dimensione finita. Inoltre, per il Lemma di Schur, EndA (U ) è un anello con
divisione. Dal Lemma 9.7, segue che ogni elemento di EndA (U ) è algebrico su FU e quindi è contenuto in FU perchè F ∼
= FU è algebricamente
chiuso. Segue che EndA (U ) = FU ∼
= F.
Dal Lemma precedente otteniamo il seguente importante corollario.
Teorema 9.9. Sia A una C-algebra semplice di dimensione finita.
Allora esiste un numero naturale n tale che
A∼
= Mn (C).
Dimostrazione. Per il Lemma 9.3, A è un anello artiniano e quindi per
il Lemma 6.3, A ∼
= Mn (Dop ) per qualche n ∈ N e D = EndA (U ) con U
A-modulo irriducibile. Per il Lemma 9.8, D ∼
= C e abbiamo la tesi. Vogliamo ora determinare la struttura delle algebre centrali semplici
reali. Per far questo ci serve il seguente risultato di Frobenius che determina le algebre con divisione reali di dimensione finita. Ricordiamo
DISPENSA DI TEORIA DEGLI ANELLI
35
che H indica l’anello dei quaternioni di Hamilton che possiamo definire
come uno spazio vettoriale reale con base {1, i, j, k}
H := {a + ib + jc + kd | a, b, c, d ∈ R}
con il prodotto degli elementi della base definito nel modo seguente:
1i = i = i1, 1j = j = j1, 1k = k = k1,
ij = k = −ji, jk = i = −kj, ki = j = −ik
ed esteso per linearità a tutto H.
0302406280
Lemma 9.10. Sia A una R-algebra con divisione di dimensione finita
e sia
A0 := {a ∈ A | a2 ∈ R≥0 }.
Allora A0 è un R-sottospazio di A e A = R ⊕ A0 .
Dimostrazione. Sia α ∈ A. Per il Lemma 9.7, α è algebrico su R e
quindi ha polinomio minimo di grado 1 o 2. Se il polinomio minimo di
α su F ha grado 1, allora α ∈ R. Supponiamo invece che abbia grado
2: allora è del tipo x2 + ax + b con a, b ∈ R e a2 − 4b < 0. Poniamo
β = α + a/2. Allora β 2 = α2 + aα + a2 /4 = −b + a2 /4 ∈ R<0 e quindi
β ∈ A0 . Pertanto A = R + A0 . È ciaro inoltre che R ∩ A0 = {0} perchè
l’unico numero reale con quadrato non positivo è 0.
Vediamo ora che A0 è un R-sottospazio. È immediato verificare che
per ogni α ∈ A0 e r ∈ R si ha rα ∈ A0 . Siano allora u, v ∈ A0 e
vediamo che u + v ∈ A0 . Abbiamo che u2 = a < 0, v 2 = b < 0,
con a, b ∈ R. Se u e v sono linearmente dipendenti su R, la verifica è
immediata. Suponiamo quindi che u e v siano linearmente indipendenti
su R. Osserviamo che in tal caso, anche u, v e 1 sono linearmente
indipendenti. Infatti da ru+sv+t = 0 segue che (ru)2 = (sv)2 +t2 +2stv
e quindi 2stv = (ru)2 − (sv)2 − t2 = r2 a − s2 b − t2 ∈ R, da cui, poichè
v 6∈ R, ricaviamo che st = 0. Essendo t 6= 0, perchè u e v sono
linearmente indipendenti, deve essere s = 0 e ru = −t. Segue che
0 < t2 = r2 u2 < 0: contraddizione.
Poichè u, v, 1 sono linearmente indipendenti su R, abbiamo che u + v
e u − v non stanno in R e quindi hanno polinomi minimi di grado 2.
Siano x2 − px − q e x2 − rx − s, con p, q, r, s ∈ R, i polinomi minimi su
R di u e v rispettivamente. Allora
(u + v)2 = p(u + v) + q
(u − v)2 = r(u − v) + s.
D’altra parte
(u ± v)2 = u2 ± 2uv + v 2 = a + b ± 2uv
da cui otteniamo
a + b + 2uv = p(u + v) + q
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A.A. 2014/2015 PROF. CLARA FRANCHI
a + b − 2uv = r(u − v) + s
e, sommando le due equazioni,
2a + 2b = (p + r)u + (p − r)v + (q + s).
Dall’indipendenza lineare di u, v, 1 segue che
p + r = 0, p − r = 0
e quindi p = r = 0. Ma allora (u + v)2 = q ∈ R e q ≤ 0 perchè il
polinomio x2 − q è irriducibile in R[x]. Pertanto u + v ∈ A0 e A0 è un
sottospazio.
Teorema 9.11. Sia A una R-algebra con divisione di dimensione finita. Allora A è una delle seguenti: R, C, H.
Dimostrazione. Sia A una R-algebra con divisione di dimensione finita.
Allora, per il Lemma 9.10, A = R ⊕ A0 , con A0 insieme degli elementi
di A che hanno quadrato reale non positivo. Per ogni a ∈ A0 definiamo
Q(a) = −a2 . Allora
Q : A0 −→ R
è una forma quadratica e Q(u) = 0 se e solo se u = 0. La forma
bilineare simmetrica associata a Q è
B(u, v) = Q(u + v) − Q(u) − Q(v) = −(uv + vu)
ed è non degenere, cioè B(u, v) = 0 per ogni v ∈ A0 se e solo se u = 0.
Supponiamo ora che A 6= R. Allora A0 6= {0} e quindi
esiste u ∈ A0
√
2
tale che u = t numero reale negativo. Allora i := u/ −t è un elemento
di A0 che ha la proprietà
i2 = −1.
Se A0 = iR otteniamo che A = C. Supponiamo quindi che A0 6= iR.
Allora per le proprietà delle forme bilineari non degeneri
A0 = iR ⊕ iR⊥
e iR⊥ 6= {0}. In modo simile a quanto fatto prima, possiamo scegliere
j ∈ iR⊥ tale che j 2 = −1. Allora
0 = B(i, j) = −(ij + ji)
da cui otteniamo che ij = −ji. Poniamo k := ij. Allora
B(i, k) = −(ik + ki) = −(i2 j + iji) = −(−j − ji2 ) = −(−j + j) = 0
e in modo simile B(j, k) = 0. Pertanto k ∈ hi, ji⊥ e i, j, k sono elementi
linearmente indipendenti in A0 . Sia ora l ∈ hi, j, ki⊥ . Allora abbiamo
che
li = −il , lj = −jl , lk = −kl
e quindi
lk = l(ij) = l(−ji) = −(lj)i = −(−jl)i = j(li) =
= −j(il) = −(ji)l = −(−k)l = kl = −lk.
DISPENSA DI TEORIA DEGLI ANELLI
Pertanto l = 0 e A0 = hi, j, ki. Allora A = H.
37
Teorema 9.12. Sia A una R-algebra centrale semplice di dimensione
finita. Allora A è isomorfa ad un anello di matrici a coefficienti in R
o H.
Dimostrazione. Per il Lemma 9.3, A è un anello artiniano e quindi per
il Lemma 6.3, A ∼
= Mn (Dop ) per qualche n ∈ N e D = EndA (U ) con
U A-modulo irriducibile. Per il Lemma di Schur D è un anello con
divisone e una R-algebra di dimensione finita per il Lemma 9.5. Allora
per il Teorema 9.11, D ∼
= R, C o H. chiaramente R = Z(A) ∼
= Z(Dop )
op
e quindi può essere solo D ∼
= R, H (si noti che H è un’algebra reale
con divisione di dimensione 4 e quindi Hop ∼
= H).
Lemma 9.13. Sia D un anello con divisione e L ≤ K ≤ D sottoanelli
di D. Allora
dimL D = dimK D · dimL K.
Dimostrazione. La dimostrazione è la stessa di quella valida quando D
è un campo (si veda ad esempio [1]).
Nella dimostrazione del prossimo teorema, noto come Teorema di
Wedderburn, si userà l’equazione della classi e alcune semplici proprietà
dei polinomi ciclotomici per le quali rimandiamo a [1].
Teorema 9.14. Sia D un anello con divisione finito. Allora D è un
campo.
Dimostrazione. Sia F = Z(D). Allora F è un campo finito di ordine
q e D è uno spazio vettoriale di dimensione finita n su F : quindi
|D| = q n . Mostriamo che deve essere n = 1. Applichiamo l’equazione
delle classi al gruppo moltiplicativo D∗ di D. Chiaramente il centro di
D∗ è F ∗ = F \ {0}. Abbiamo
(6)
n
∗
∗
q − 1 = |D | = |F | +
t
X
|D∗ : CD∗ (xi )|
i=1
dove x1 , . . . , xt è un insieme di rappresentanti per le classi di coniugio
non centrali di D∗ . Per ogni xi abbiamo che CD (xi ) è un sottoanello
di D ed è quindi uno spazio vettoriale su F : pertanto |CD (xi )| = q di
e |CD∗ (xi )| = q di − 1. Inoltre, di 6= n perchè xi 6∈ Z(D) e quindi
CD (xi ) 6= D. Per il Lemma 9.13 applicato ai sottoanelli F ≤ CD (xi ) ≤
D, abbiamo che di divide n per ogni i ∈ {1, . . . , t}. L’equazione (6)
diventa
(7)
qn − 1 = q − 1 +
t
X
qn − 1
.
di − 1
q
i=1
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A.A. 2014/2015 PROF. CLARA FRANCHI
Per ogni d divisore di n sia Φd (x) il d-esimo polinomio ciclotomico a
coefficienti razionali. Allora
Y
qn − 1 =
Φd (q)
d|n
e quindi, poichè di 6= n per ogni i, abbiamo che
qn − 1
Φn (q) divide di
per ogni i ∈ {1, . . . , t}.
q −1
Dall’equazione (7) segue che Φn (q) divide q −1 il che può succedere
solo
Q
se n = 1. Infatti, osserviamo che per definizione, Φn (x) = (x − z) al
variare
di z tra le radici primitive n-esime dell’unità. Allora |Φn (q)| =
Q
|q−z| al variare di z tra le radici primitive n-esime dell’unità e poichè
z sono numeri complessi distribuiti sulla sfera di raggio 1, mentre q è
un numero reale (naturale) maggiore di 1, abbiamo che |q − z| > |q − 1|
per ogni z 6= 1. Quindi se n > 1, |Φn (q)| > q − 1 e Φn (q) non divide
q − 1.
Corollario 9.15. Sia A un’algebra semplice di dimensione finita su un
campo finito F . Allora A è un anello di matrici a coefficienti in F .
Dimostrazione. Per il Lemma 9.3, A è un anello artiniano e quindi per
il Lemma 6.3, A ∼
= Mn (Dop ) per qualche n ∈ N e D = EndA (U )
con U A-modulo irriducibile. Per il Lemma di Schur D è un anello
con divisone e una F -algebra di dimensione finita per il Lemma 9.5.
Poichè F è finito, segue che D è un anello con divisione finito e quindi
è un campo per il Teorema 9.14. Poichè A è centrale, abbiamo che
F = Z(A) ∼
= D, da cui D = F .
10. L’ algebra gruppale
In questa sezione vediamo un esempio importante di anello artiniano
semiprimo. Cominciamo con la definizione di algebra.
Definizione 10.1. Sia G un gruppo e F un campo. Sia F [G] l’F -spazio
vettoriale con base G. Definiamo un prodotto su F [G] ponendo:
X
X
X
X
(
ag g)(
bh h) :=
(
ag bh )k.
g∈G
h∈G
k∈G g,h∈G,gh=k
Con questo prodotto, F [G] diventa una F -algebra detta algebra gruppale o algebra gruppo.
Notiamo che dalla definizione di spazio vettoriale segue che ogni
elemento di F [G] si scrive come somma
X
ag g
g∈G
dove quasi tutti i coefficienti ag sono nulli. Quindi le somme in questione sono davvero somme finite, anche nel caso in cui G sia un gruppo
infinito.
DISPENSA DI TEORIA DEGLI ANELLI
39
Esercizio 10.2. Verificare che se G = hxi é un gruppo ciclico infinito,
allora l’algebra gruppale F [G] è l’anello dei polinomi di Laurent F [[x]].
Teorema 10.3. [Teorema di Maschke] Sia G un gruppo finito e
sia F un campo di caratteristica p (eventualmente p = 0). L’algebra
gruppale F [G] è un anello artiniano. F [G] è semiprimo se e solo se p
non divide |G|.
Dimostrazione. Se G è un gruppo finito, F [G] è un’algebra di dimensione finita e quindi è un anello artiniano per il Lemma 9.3. Supponiamo
che p non divida l’ordine di G. Mostriamo che l’F [G]-modulo regolare è completamente riducibile. Sia V un ideale sinistro di F [G].
Allora V è anche un F -sottospazio e quindi la proiezione canonica
θ : F [G] −→ V ⊆ F [G] di F [G] su V è un’applicazione lineare di F spazi vettoriali. Si ha che θ2 = θ e Imθ = V . Quindi per il Lemma 2.21,
F [G] = ker θ ⊕ V . In generale, però, ker θ non è un ideale sinistro di
F [G], a meno che θ non sia un omomorfismo di F [G]-moduli. Vogliamo
quindi “ cambiare un po’ ” θ in modo da renderlo un omomorfismo di
F [G]-moduli. Poniamo
Θ : F [G] −→ F [G]
1 X −1
u 7→
g θ(gu).
|G| g∈G
Verifichiamo che Θ è un omomorfismo di F [G]-moduli. Abbiamo che
Θ è lineare rispetto alla somma e alla moltiplicazione
P per gli elementi
di F perchè θ lo è. Siano u, a ∈ F [G]. Allora a = h∈G ah h e quindi
X
X
X
1 X −1
ah (
ah Θ(hu) =
ah hu) =
Θ(au) = Θ(
g θ(ghu)) =
|G| g∈G
h∈G
h∈G
h∈G
e, ponendo l = gh, otteniamo
X
1 X
=
ah (
hl−1 θ(lu)) = aΘ(u).
|G| h∈G
l∈G
Per ogni v ∈ V si ha che gv ∈ V per ogni g ∈ G e θ agisce come
l’identità su V . Quindi
1 X −1
1 X −1
1 X
g θ(gv) =
g gv =
v=v
Θ(v) =
|G| g∈G
|G| g∈G
|G| g∈G
da cui segue che Θ2 = Θ e Im Θ = V . Allora, per il Lemma 2.21,
F [G] = ker Θ ⊕ Im Θ = ker Θ ⊕ V . Chiaramente, ker Θ è un ideale
sinistro di F [G] e quindi F [G] è completamente riducibile.
Viceversa, supponiamo che p divida |G| = n. Allora dal Teorema
P
di Lagrange deriva che g n = 1G per ogni g ∈ G. Sia s =
g∈G g.
Osserviamo che per ogni g ∈ G
X
gs =
gh = s
h∈G
40
A.A. 2014/2015 PROF. CLARA FRANCHI
e quindi
s2 =
X
gs =
g∈G
X
s = |G|s = 0
g∈G
poichè p è la caratteristica di F e p divide n. Si verifica ora facilmente
che F s è un ideale sinistro non nullo di F [G] e quindi per il Teorema 7.9(ii), F s ≤ J(F [G]). Pertanto, per il Corollario 7.25, F [G] non è
semiprimo.
Corollario 10.4. Sia G un gruppo finito e sia t il numero delle classi
di coniugio di G. Allora
C[G] ∼
= Mn (C) ⊕ . . . ⊕ Mn (C)
t
1
dove n1 , . . . , nt sono le dimensioni, come C-spazi vettoriali, dei C[G]
moduli irriducibili e
|G| = n21 + . . . + n2t .
Dimostrazione. C[G] è un anello artiniano perchè G è finito e per il
Teorema di Maschke C[G] è semiprimo. Quindi, per il Corollario 8.5,
si ha l’isomorfismo
(8)
C[G] ∼
= Mn (D1 ) ⊕ . . . ⊕ Mn (Ds ),
s
1
dove {U1 , . . . , Us } è un insieme di rappresentanti delle classi di isomorfismo dei C[G]-moduli irriducibili e per ogni i ∈ {1, . . . , s}, Di =
EndC[G] (Ui )op . Dal Lemma 9.8 segue che Di ∼
= C per ogni i e quindi
abbiamo l’isomorfismo dell’enunciato. Chiaramente ni è la dimensione
di Ui come C-spazio vettoriale e confrontando le dimensioni delle due
algebre isomorfe otteniamo l’ultima affermazione. Rimane da provare
che s = t. Osserviamo che da (8) segue che
Z(C[G]) ∼
= Cs
= Z(Mn (C)) ⊕ . . . ⊕ Z(Mn (C)) ∼
s
1
è una C algebra di dimensione s. Siano C1 , . . . , Ct le classi di coniugio
di G e per i ∈ {1, . . . , t}, poniamo
X
g.
σi :=
g∈Ci
Poichè le classi di coniugio di G formano una partizione di G e gli
elementi di G sono una base per C[G], segue subito che σ1 , . . . , σt è un
insieme linearmente independente su C. Per ogni x ∈ G e i ∈ {1, . . . , t},
abbiamo che
X
X
X
X
x−1 σi x =
x−1 gx =
g=
g=
g = σi .
g∈Ci
xgx−1 ∈Ci
g∈x−1 Ci x
g∈Ci
Quindi σ1 , . . . , σt stanno in Z(C[G]). D’altra parte, se σ =
Z(C[G]), possiamo scrivere
σ=
t X
X
i=1 g∈Ci
ag g
P
g∈G
ag g ∈
DISPENSA DI TEORIA DEGLI ANELLI
41
e dalla condizione x−1 σx = σ per ogni x ∈ G otteniamo che
t X
X
ag g =
i=1 g∈Ci
t X
X
−1
ag x gx =
i=1 g∈Ci
t X
X
axgx−1 g
i=1 g∈Ci
da cui ricaviamo che ag = axgx−1 per ogni x ∈ G. Pertanto, se gi è un
elemento di Ci , per ogni ∈ {1, . . . , t}, otteniamo
σ=
t
X
i=1
agi
X
g∈Ci
g=
t
X
agi σi .
i=1
Ciò sigifica che l’insieme σ1 , . . . , σt è una base per Z(C[G]) e quindi
t = s.
Corollario 10.5. Sia G un gruppo finito. Allora G è abeliano se e solo
se ogni C[G]-modulo irriducibile ha dimensione 1.
Dimostrazione. Si verifica facilmente che l’algebra C[G] è abeliana se e
slo se G è un gruppo abeliano. Chiaramente Mn (C) è un anello abeliano
se e solo se n = 1. Dal Lemma 10.4, segue allora che G è abeliano se e
solo se ni = 1, per ogni i ∈ {1, . . . , t} come affermato.
Corollario 10.6. Sia G un gruppo finito e M un C[G]-modulo. Allora
M è somma diretta di C[G]-sottomoduli irriducibili.
Dimostrazione. Segue immediatamente dal Teorema 10.3 e dal Corollario 8.11.
11. Prodotti tensoriali di moduli.
In questa sezione vogliamo introdurre un nuovo oggetto algebrico molto importante e studiarne le principali proprietà: il prodotto
tensoriale di moduli.
Sia R un anello con unità e siano M un R-modulo destro e N un
R-modulo sinistro.
Definizione 11.1. Sia P un gruppo abeliano. Una mappa
f :M ×N →P
è una mappa bilanciata se per ogni m, m1 , m2 ∈ M, n, n1 , n2 ∈ N ,
r ∈ R si ha
f ((m1 + m2 , n)) = f ((m1 , n)) + f ((m2 , n)),
f ((m, n1 + n2 )) = f ((m, n1 )) + f ((m, n2 )),
f ((mr, n)) = f ((m, rn)).
Lemma 11.2. Sia f : M × N −→ P una mappa bilanciata. Allora,
per ogni m ∈ M, n ∈ N e z ∈ Z si ha
(i) f ((0M , n)) = 0P = f ((m, 0N ));
(ii) f ((zm, n)) = zf ((m, n)) = f ((m, zn)).
42
A.A. 2014/2015 PROF. CLARA FRANCHI
Dimostrazione. (i) Abbiamo che
f ((0M , n)) = f ((0M + 0M , n)) = f ((0M , n)) + f ((0M , n))
da cui segue che f ((0M , n)) = 0P . Analogamente per l’altra uguaglianza.
(ii) Si dimostra per induzione su z se z è positivo. Se z = −1 si ha
0P = f ((0M , n)) = f ((m − m, n)) = f ((m, n)) + f ((−m, n))
da cui segue che f ((−m, n)) = −f ((m, n)). Se quindi z è negativo si
ha che −z è positivo e quindi
f ((zm, n)) = −f ((−zm, n)) = −(−zf ((m, n))) = zf ((m, n))
per il caso precedente.
Definizione 11.3. Siano T un gruppio abeliano e t : M × N → T
una mappa bilanciata. La coppia (T, t) si dice prodotto tensoriale di
M ed N se per ogni gruppo abeliano P e per ogni mappa bilanciata
f : M × N → P esiste un unico omomorfismo di gruppi f¯ : T → P
tale che f = f¯ ◦ t, cioè il seguente diagramma è commutativo.
t
M ×N
−→
↓
.
f
T
f¯
P
Teorema 11.4. Sia R un anello, M un R-modulo destro e N un Rmodulo sinistro. Siano (T1 , t1 ) e (T2 , t2 ) due prodotti tensoriali di M
ed N . Allora esiste un isomorfismo di gruppi abeliani ϕ : T1 −→ T2
tale che t2 = ϕ ◦ t1 .
Dimostrazione. Per la definizione di prodotto tensoriale applicata a
(T1 , t1 ) esiste un omomorfismo di gruppi t¯1 : T1 −→ T2 tale che t2 =
t¯2 ◦ t1 . Applicando invece la definizione a (T2 , t2 ) otteniamo un omomorfismo di gruppi t¯1 : T2 −→ T1 tale che t1 = t¯1 ◦ t2 . Abbiamo quindi
che
t1 = t¯1 ◦ (t¯2 ◦ t1 ) = (t¯1 ◦ t¯2 ) ◦ t1 .
Segue che (t¯1 ◦ t¯2 ) è un omomorfismo di gruppi che rende commutativo
il diagramma
t1
M ×N
−→
T1
t1
↓
.
t̄1 ◦ t̄2
T1
D’altra parte anche idT1 rende commutativo il diagramma e quindi deve
essere (t¯1 ◦ t¯2 ) = idT1 per l’unicità di tale omomorfismo. Analogamente
otteniamo che (t¯2 ◦ t¯1 ) = idT2 e quindi t̄1 è l’isomorfismo di gruppi ϕ
cercato.
DISPENSA DI TEORIA DEGLI ANELLI
43
Definizione 11.5. Sia R un anello, M un R-modulo destro e N un
R-modulo sinistro. Definiamo il gruppo abeliano
M ⊗R N
nel modo seguente. Sia F lo Z-modulo libero con base l’insieme M × N
e sia R lo Z-sottomodulo di F generato da tutti gli elementi del tipo
(m + m0 , n) − (m, n) − (m0 , n)
(m, n + n0 ) − (m, n) − (m, n0 )
(rm, n) − (m, rn)
per ogni m, m0 ∈ M , n, n0 ∈ N e r ∈ R.
Poniamo
M ⊗R N := F/R e m ⊗ n := (m, n) + R
e definiamo la mappa
⊗ : M × N → M ⊗R N
(m, n) 7→ m ⊗ n
Lemma 11.6. Nel gruppo abeliano M ⊗R N valgono le seguenti relazioni, per ogni m, m0 ∈ M, n, n0 ∈ N, r ∈ R:
(m + m0 ) ⊗ n = m ⊗ n + m0 ⊗ n
m ⊗ (n + n0 ) = m ⊗ n + m ⊗ n0
mr ⊗ n = m ⊗ rn,
e quindi ⊗Pè una mappa bilanciata. Inoltre, ogni elemento di M ⊗R N
è del tipo (m ⊗ n).
Dimostrazione. Le tre relazioni seguono immediatamente dalla definizione di M ⊗R N e di m ⊗ n.
Sia x un elemento di M ⊗R N . Allora per definizione x = f + R per
qualche f ∈ F e quindi
X
X
x=
a(m,n) (m, n) + R =
a(m,n) (m ⊗ n)
(m,n)∈M ×N
(m,n)∈M ×N
per oppurtuni coefficienti quasi tutti nulli a(m,n) ∈ Z. Per il Lemma 11.2 abbiamo che a(m,n) (m ⊗ n) = (a(m,n) m) ⊗ n e quindi x è del
tipo descritto.
Teorema 11.7. La coppia (M ⊗R N, ⊗) è un prodotto tensoriale di M
ed N .
Dimostrazione. Dal Lemma 11.6 segue che la mappa ⊗ è una mappa
bilanciata. Sia P un gruppo abeliano e sia f : M × N −→ P una
mappa bilanciata. Sia f˜ la mappa
f˜ : F −→ P
44
A.A. 2014/2015 PROF. CLARA FRANCHI
definita da
X
(m,n)∈M ×N
a(m,n) (m, n) 7→
X
a(m,n) f ((m, n)).
(m,n)∈M ×N
Il fatto che F sia lo Z-modulo libero di base M × N garantisce che f˜
è un omomorfismo di gruppi abeliani. Sia K il nucleo di f˜. Poichè f
è una mappa bilanciata, otteniamo che R ≤ K. Da ciò segue che la
mappa
f¯ : M ⊗R N −→ P
X
X
a(m,n) m ⊗ n 7→
a(m,n) f ((m, n))
(m,n)∈M ×N
(m,n)∈M ×N
è ben definita ed è un omomorfismo di gruppi. È immediato verificare
che f = f¯ ◦ ⊗. Infine f¯ è univocamente determinata dal valore che
assume sugli elementi m ⊗ n che sono generatori per M ⊗R N , e quindi
è unica.
Poichè, per il Teorema 11.4 ,un prodotto tensoriale è individuato a
meno di isomorfismo, d’ora in poi identificheremo sempre un prodotto
tensoriale di M ed N con (M ⊗R N, ⊗).
Esempio 11.8. Prendiamo R = Z, M = Q ed N = Z/2Z. Abbiamo
che
Q ⊗Z Z/2Z = 0.
Infatti, per ogni q ∈ Q e [n]2 ∈ Z/2Z, abbiamo che q = 2 · 1/2q e
quindi
1
1
1
q ⊗ [n]2 = (2 · q) ⊗ [n]2 = q ⊗ 2[n]2 = q ⊗ 0Z/2Z = 0Q⊗Z Z/2Z .
2
2
2
Lemma 11.9. Siano R un anello, M un R-modulo destro e N un
R-modulo sinistro. Allora
R ⊗R N ∼
=N
e
M ⊗R R ∼
= M.
Dimostrazione. La mappa δ : R × N −→ N tale che (r, n) 7→ rn è
una mappa bilanciata, quindi per la definizione di prodotto tensoriale,
abbiamo l’omomorfismo di gruppi
δ̄ : R ⊗R N −→ N
r ⊗ n 7→ rn.
Si ha che δ̄ è suriettiva perchè per ogni n ∈ N si ha n = δ̄(1R ⊗ n).
Osserviamo inoltre che per ogni r ∈ R, n ∈ N si ha
r ⊗ n = 1R r ⊗ n = 1R ⊗ rn.
DISPENSA DI TEORIA DEGLI ANELLI
45
Quindi, dal Lemma 11.6 segue che
R ⊗R N = {1R ⊗ n | n ∈ N }.
Pertanto se x ∈ ker δ, x è del tipo 1R ⊗ n per qualche n ∈ N e 0N =
δ(x) = n. Pertanto x = 1R ⊗ 0N = 0R⊗R N e la δ è iniettiva. la
dimostrazione dell’altro isomorfismo si ottiene in modo simile.
Osserviamo che se M1 è un R-sottomodulo di M non è vero in generale che M1 ⊗R N è un sottogruppo di M ⊗R N . Infatti, si ha ad
esempio che Z è uno Z-sottomodulo di Q, ma Z ⊗Z Z/2Z ∼
= Z/2Z non
è un sottogruppo di Q ⊗Z Z/2Z = 0.
Lemma 11.10. Siano M ed M 0 due R-moduli destri e N , N 0 due Rmoduli sinistri e siano f : M → M 0 , g : N → N 0 omomorfismi di
R-moduli. Allora esiste un unico omomorfismo di gruppi abeliani
f ⊗ g : M ⊗ N −→ M 0 ⊗ N 0
tale che (f ⊗ g)(m ⊗ n) = f (m) ⊗ g(n), per ogni m ∈ M, n ∈ N .
Dimostrazione. Consideriamo la funzione
α : M × N −→ M 0 ⊗ N 0
(m, n) 7→ f (m) ⊗ g(n).
È facile verificare che α è una mappa bilanciata e quindi per la definizione di prodotto tensoriale la mappa f ⊗ g è l’unico omomorfismo con
la proprietà richiesta.
Lemma 11.11. Siano M , M 0 ed M 00 tre R-moduli destri e N , N 0 ed
N 00 tre R-moduli sinistri e siano f1 , f10 : M → M 0 , f2 : M 0 → M 00 ,
g1 , g20 : N → N 0 , g2 : N 0 → N 00 omomorfismi di R-moduli. Allora
(i) f1 f2 ⊗ g1 g2 = (f1 ⊗ g1 )(f2 ⊗ g2 ),
(ii) idM ⊗ idN = idM ⊗N
(iii) (f1 + f10 ) ⊗ g1 = (f1 ⊗ g1 ) + (f10 ⊗ g1 )
(iv) f1 ⊗ (g1 + g10 ) = (f1 ⊗ g1 ) + (f1 ⊗ g10 ).
Dimostrazione. Per ogni x ∈ M, y ∈ N abbiamo che
(f1 f2 ⊗ g1 g2 )(x ⊗ y) = f1 f2 (x) ⊗ g1 g2 (y)
= (f1 ⊗ g1 )(f2 (x) ⊗ g2 (y))
= (f1 ⊗ g1 )(f2 ⊗ g2 )(x ⊗ y)
e
(idM ⊗ idN )(x ⊗ y) = idM (x) ⊗ idN (y) = x ⊗ y.
Inoltre
((f1 + f10 ) ⊗ g1 )(x ⊗ y) =
=
=
=
(f1 + f10 )(x) ⊗ g1 (y)
(f1 (x) + f10 (x)) ⊗ g1 (y))
(f1 (x) ⊗ g1 (y)) + (f10 (x) ⊗ g1 (y))
(f1 ⊗ g1 )(x ⊗ y) + (f10 ⊗ g1 )(x ⊗ y).
46
A.A. 2014/2015 PROF. CLARA FRANCHI
Lemma 11.12. Siano M, M1 , M2 tre R-moduli destri e N, N1 , N2 tre
R-moduli sinistri. Allora
(M1 ⊕ M2 ) ⊗ N ∼
= (M1 ⊗ N ) ⊕ (M2 ⊗ N )
e
M ⊗ (N1 ⊕ N2 ) ∼
= (M ⊗ N1 ) ⊕ (M ⊗ N2 ).
Dimostrazione. Facciamo la dimostrazione nel primo caso, essendo il
secondo del tutto simile. Siano πi : M1 ⊕ M2 → Mi le proiezioni
canoniche sulle componenti. Per il Lemma 11.10, le mappe
πi ⊗ idN : (M1 ⊕ M2 ) ⊗R N −→ Mi ⊗R N
sono omomorfismi di gruppi abeliani. Sia
Φ : (M1 ⊕ M2 ) × N −→ (M1 ⊗R N ) ⊕ (M2 ⊗R N )
la mappa definita da, per ogni (m, n) ∈ (M1 ⊕ M2 ) × N ,
Φ(x) = ((π1 ⊗R idN )(m ⊗ n), (π2 ⊗ idN )(m ⊗ n)).
È immediato verificare che Φ è una mappa bilanciata di M1 ⊕ M2 e
N in (M1 ⊗R N ) ⊕ (M2 ⊗R N ) e quindi per la definizione di prodotto
tensoriale esiste un unico omomorfismo di gruppi Φ̄ che mappa ogni
m ⊗ n ∈ (M1 ⊕ M2 ) ⊗R N in ((π1 ⊗R idN )(m ⊗ n), (π2 ⊗ idN )(m ⊗ n)).
Siano ora, per j ∈ {1, 2},
ij : Mj −→ M1 ⊕ M2
le immersioni canoniche (ad esempio, i1 (m1 ) = (m1 , 0)). Per il Lemma 11.10, le mappe
ij ⊗ idN : Mj ⊗R N −→ (M1 ⊕ M2 ) ⊗R N
sono omomorfismi di gruppi abeliani. Poniamo
Ψ : (M1 ⊗R N ) ⊕ (M2 ⊗R N ) −→ (M1 ⊕ M2 ) ⊗R N
la mappa definita da, per ogni (x, y) ∈ (M1 ⊗R N ) ⊕ (M2 ⊗R N ),
Ψ((x, y)) = (i1 ⊗R idN )(x) + (π2 ⊗ idN )(x).
Come prima si ha che Ψ è un omomorfismo di gruppi. Infine, per ogni
x ∈ (M1 ⊕ M2 ) ⊗R N , usando le proprietà del Lemma 11.11, si ha
(Ψ ◦ Φ)(x) = Ψ(((π1 ⊗R idN )(x), (π2 ⊗ idN )(x))) =
(i1 ⊗R idN )(π1 ⊗R idN )(x) + (i2 ⊗R idN )(π2 ⊗R idN )(x) =
((i1 ◦ π1 ) ⊗ idN )(x) + ((i2 ◦ π2 ) ⊗ idN )(x) =
((i1 ◦ π1 ) + (i2 ◦ π2 ) ⊗ idN )(x) = (idM1 ⊕M2 ⊗ idN )(x) = x.
Quindi Ψ ◦ Φ = id(M1 ⊕M2 )⊗R N e in modo simile si ottiene che Φ ◦ Ψ =
id(M1 ⊗R N )⊕(M2 ⊗R N ) . Pertanto Φ e Ψ sono due isomorfismi.
Concludiamo questa sezione con un risultato importante, sebbene in
queste note la sua rilevanza risulti tutt’altro che evidente.
DISPENSA DI TEORIA DEGLI ANELLI
47
Definizione 11.13. Siano M1 , M2 , M3 tre R-moduli e siano f : M1 →
M2 , g : M2 → M3 omomorfismi di R-moduli. La sequenza
f
g
M1 −→ M2 −→ M3
si dice una sequenza esatta a destra se
(i) g è suriettiva;
(ii) Imf = ker g.
Lemma 11.14. Siano M1 , M2 , M3 tre R-moduli e sia
f
g
M1 −→ M2 −→ M3
una sequenza esatta a destra. Allora la sequenza
f ⊗id
g⊗id
M1 ⊗R N −→N M2 ⊗R N −→N M3 ⊗R N
è esatta a destra.
Dimostrazione. Per il Lemma 11.10, f ×idn e g ⊗idn sono omomorfismi
di gruppi. Vediamo per prima cosa chePg ⊗ idN è suriettiva. Sia a ∈
M3 ⊗N . Per il Lemma 11.6, a è del tipo i (mi ⊗ni ), con mi ∈ M3 , ni ∈
N e la somma è finita. Poichè g è suriettiva, per ogni mi esiste li ∈ M2
tale che g(li ) = mi . Pertanto
X
X
(g ⊗ idN )( (li ⊗ ni )) =
(g(li ) ⊗ ni ) = a
i
i
e g ⊗ idN è suriettiva.
Per il punto (ii) del Lemma 11.11, abbiamo che (g⊗idN )◦(f ⊗idN ) =
gf ⊗idN . Poichè per ipotesi Imf = ker g, otteniamo che gf = 0 e quindi
Im(f ⊗ idN ) ⊆ ker(g ⊗ idN ). Ciò implica che la mappa
Θ:
M2 ⊗ N
−→ M3 ⊗ N
Im(f ⊗ idN )
(m2 ⊗ n) + Im(f ⊗ idN ) 7→ (g ⊗ idN )(m2 ⊗ n)
è ben definita ed è un omomorfismo di gruppi. È immediato verificare
che ker Θ = ker(g ⊗ idN )/Im(f ⊗ idN ). Quindi ker(g ⊗ idN ) = Im(f ⊗
idN ) se e solo se Θ è iniettiva. Dimostriamo quindi che Θ è iniettiva.
Osserviamo che se x, x0 ∈ M2 sono tali che g(x) = g(x0 ), allora
x ⊗ y + Im(f ⊗ idN ) = x0 ⊗ y + Im(f ⊗ idN ).
Infatti abbiamo che x − x0 ∈ ker g = Imf e quindi x0 = x + f (z) per
qualche z ∈ M1 e x0 ⊗ y = (x + f (z)) ⊗ y = x ⊗ y + f (z) ⊗ y =
x ⊗ y + (f ⊗ idN )(z ⊗ y), da cui la tesi.
Definiamo
M2 ⊗ N
ψ : M3 × N −→
Im(f ⊗ idN )
ponendo
(m3 , n) 7→ x ⊗ n + Im(f ⊗ idN )
48
A.A. 2014/2015 PROF. CLARA FRANCHI
dove x è un elemento di M2 tale che g(x) = m3 . Per la proprietà
dimostrata sopra, Ψ è una funzione ed è facile vedere che si tratta di
una mappa bilanciata. Per la definizione di prodotto tensoriale esiste
quindi un unico omomorfismo di gruppi
M2 ⊗ N
Ψ : M3 ⊗ N −→
Im(f ⊗ idN )
che manda
m3 ⊗ n 7→ x ⊗ n + Im(f ⊗ idN ).
Ora abbiamo
ΘΨ(m3 ⊗ n) = Θ(x ⊗ n + Im(f ⊗ idN )) = g(x) ⊗ n = m3 ⊗ n
e
ΨΘ(x ⊗ n + Im(f ⊗ idN )) = Ψ(g(x) ⊗ n) = x ⊗ n + Im(f ⊗ idN ).
Quindi Θ e Ψ sono una l’inversa dell’altra. In particolare Θ è iniettiva.
12. Bimoduli
Siano R ed S due anelli.
Definizione 12.1. Un gruppo abeliano M si dice (S, R)-bimodulo se
è un R-modulo destro, un S-modulo sinistro e per ogni m ∈ M, r ∈ R
ed s ∈ S si ha
(sm)r = s(mr).
Si noti che se R è un anello commutativo, ogni R-modulo destro M
è un (R, R)-bimodulo ponendo
rm := mr
per ogni m ∈ M, r ∈ R. Infatti, con tale posizione, M diventa un
R-modulo sinistro e per ogni r, s ∈ R si ha
(sm)r = (ms)r = m(sr) = m(rs) = (mr)s = s(mr).
Analogamente, se R è un anello commutativo, ogni R-modulo sinistro
è in modo naturale un (R, R)-bimodulo.
Lemma 12.2. Siano R ed S due anelli, M un (S, R)-bimodulo e N
un R-modulo sinistro. Allora la posizione
s(m ⊗ n) := sm ⊗ n
rende M ⊗R N un S-modulo sinistro.
Dimostrazione. La verifica delle varie proprietà è immediata e si lascia
per esercizio.
Lemma 12.3. Se M è un (S, R)-bimodulo, allora tutti gli omomorfismi
dei Lemmi 11.9, 11.10 e 11.12 sono omomorfismi di S-moduli.
Dimostrazione. Si lascia la verifica per esercizio.
DISPENSA DI TEORIA DEGLI ANELLI
49
Teorema 12.4. Siano R ed S due anelli e siano L un S-modulo destro,
M un (S, R)-bimodulo e N un R-modulo sinistro. Allora L ⊗S M è un
R-modulo destro, M ⊗R N è un S-modulo sinistro e
(L ⊗S M ) ⊗R N ∼
= L ⊗S (M ⊗R N ).
Dimostrazione. Sia z ∈ N . La mappa
ϕz : L × M −→ L ⊗S (M ⊗R N )
(l, m) 7→ l ⊗ (m ⊗ z)
è una mappa bilanciata degli S-moduli L ed M in L⊗S (M ⊗R N ). Per la
definizione di prodotto tensoriale, esiste quindi un unico omomorfismo
di gruppi Φz : L ⊗S M −→ L ⊗S (M ⊗R N ) tale che l ⊗ m 7→ l ⊗ (m ⊗ z).
Consideriamo ora la mappa
ψ : (L ⊗S M ) × N −→ L ⊗S (M ⊗R N )
X
X
( (li ⊗ mi ), n) 7→
li ⊗ (mi ⊗ n).
i
i
Essa è una mappa bilanciata, infatti è lineare per definizione nella
prima componente e per ogni l ∈ L, m ∈ M, n, n0 ∈ N, r ∈ R si ha
ψ((l ⊗ m, n + n0 )) = l ⊗ (m ⊗ (n + n0 )) =
= l ⊗ (m ⊗ n + m ⊗ n0 ) = l ⊗ (m ⊗ n) + l ⊗ (m ⊗ n0 ) =
= ψ((l ⊗ m, n)) + ψ((l ⊗ m, n0 )
e
ψ(((l ⊗ m)r, n)) = ψ(((l ⊗ mr), n)) = l ⊗ (mr ⊗ n) =
l ⊗ (m ⊗ rn) = ψ(((l ⊗ m), rn)).
Sia
Ψ : (L ⊗S M ) ⊗ N −→ L ⊗S (M ⊗R N )
l’unico omomorfismo di gruppi tale che
(l ⊗ m) ⊗ n 7→ l ⊗ (m ⊗ n).
In modo simile si dimostra che c’è un unico omomorfismo di gruppi da
L ⊗S (M ⊗R N ) in (L ⊗S M ) ⊗ N che manda l ⊗ (m ⊗ n) in (l ⊗ m) ⊗ n.
È chiaro che questi due omomrfismi sono l’uno l’inverso dell’altro e
quindi abbiamo l’isomorfismo cercato.
Consideriamo ora come caso particolare il prodotto tensoriale di due
spazi vettoriali di dimensione finita.
Lemma 12.5. Siano U e V due spazi vettoriali su un campo F di
dimansione n ed m rispettivamente. Allora U ⊗F V è un F spazio
vettoriale di dimensione nm. In particolare, se {u1 , . . . , un } è una base
di U e {v1 , . . . , vm } è una base di V , allora l’insieme
{ui ⊗ vj | i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m}
è una base di U ⊗ V .
50
A.A. 2014/2015 PROF. CLARA FRANCHI
Dimostrazione. Per il Lemma 12.2, U ⊗ V è uno spazio vettoriale su
F . Abbiamo che U ∼
= Fn e V ∼
= F m . Usando il Lemma 11.12 e il
Lemma 11.9 abbiamo i seguenti isomorfismi di spazi vettoriali
n
n
M
M
n
∼
∼
∼
U ⊗V =F ⊗V =
(F ⊗ V ) =
V.
i=1
i=1
Da qui otteniamo che la dimensione di U ⊗ V come spazio vettoriale
su F è nm.
P
Sappiamo che ogni elemento di U ⊗ V è del tipo k (ak ⊗ bk ) con
ak ∈ U, bk ∈ V . Scriviamo
ak = ak1 u1 + . . . + akn un e bk = bk1 v1 + . . . bkm vm .
Allora
ak ⊗ b k =
n X
m
X
aki bkj ui ⊗ vj
i=1 j+1
e quindi l’insieme {ui ⊗ vj | i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m} è un sistema
di generatori per U ⊗ V . Poichè la sua cardinalità è nm, pari alla
dimensione di U ⊗ V su F , otteniamo che {ui ⊗ vj | i = 1, . . . , n, j =
1, . . . , m} è una base.
Definizione 12.6. Siano A = (aij ) ∈ Mn (F ) e B = (bhk ) ∈ Mm (F )
due matrici quadrate a coefficienti in F di dimensione n ed m rispettivamente. definiamo il prodotto di Kronecher di A e di B la matrice
A ⊗ B di dimensione nm con n2 blocchi di dimensione m cosı̀ definita


a11 B a12 B . . . a1n B
 a21 B a22 B . . . a2n B 
A⊗B =
..
.. 
 ...
.
. 
an1 B an2 B . . . ann B
Lemma 12.7. Siano U e V due F -spazi vettoriali di dimensione n
ed m rispettivamente con basi B = {u1 , . . . , un } e B 0 = {v1 , . . . , vm },
rispettivamente. Siano f : U → U e g : V → V due applicazioni lineari
rappresentate, rispetto alle basi B e B 0 , dalle matrici A ∈ Mn (F ) e
B ∈ Mm (F ) rispettivamente. Allora la matrice che rappresenta la
mappa f ⊗ g : U ⊗ V → U ⊗ V rispetto alla base
{u1 ⊗ v1 , . . . , u1 ⊗ vm , . . . , un ⊗ v1 , . . . , un ⊗ vm }
è il prodotto di Kronecher A ⊗ B di A e B.
DISPENSA DI TEORIA DEGLI ANELLI
51
Riferimenti bibliografici
[1] N. Jacobson, Basic Algebra I and II, W. H. Freeman and Company, San
Francisco, 1985.
[2] M. Isaacs, Algebra, a graduate course, Brooks/Cole Publishing Company,
Pacific grove, California, 1994.