Programma definitivo di TEORIA DEI NUMERI ELEMENTARE
Docente: Roberto Dvornicich
Anno Accademico: 2006-2007
Laurea: Matematica; Anno di corso: III; Semestre: I.
Numero di crediti: 7
CONTENUTI DELL’INSEGNAMENTO
Teorema di Euclide sull’esistenza di infiniti primi. Il problema delle formule per
i numeri primi. Stime elementari sulla distribuzione dei numeri primi. Primi in
particolari progressioni aritmetiche. Primi in forma polinomiale ed esponenziale,
primi di Fermat e di Mersenne.
Approssimazione di numeri reali mediante razionali: lemma di Dirichlet. Interi
rappresentabili come somma di due, tre o quattro quadrati.
Teorema di struttura per i gruppi moltiplicativi (Z/mZ)∗ .Lemma di Gauss e legge
di reciprocità quadratica. Simbolo di Legendre, simbolo di Jacobi e metodi di calcolo. Lemma di Hensel. Risolubilità delle congruenze quadrariche modulo m. modulo
p di 2 e calcolo del simbolo di Legendre. Simbolo di Jacobi. Metodo diretto per
la soluzione di congruenze quadratiche modulo p . Congruenze di grado arbitrario modulo la potenza di un primo. Congruenze simultanee con moduli coprimi e
congruenze quadratiche modulo un intero qualsiasi. Radici primitive modulo m, il
teorema di Gauss.
Algebra delle funzioni aritmetiche, funzioni moltiplicative e completamente moltiplicative, convoluzione. Corrispondenza dell’anello delle funzioni aritmetiche con le serie formali di Dirichlet. Prodotti euleriani. Lemma di Abel di sommazione parziale.
Studio dei valori singoli e della media delle funzioni d(n), µ2 (n), φ(n), σ(n), r(n).
Numeri perfetti. Costante di Eulero.
Prima e seconda formula di inversione di Möbius. Funzione Λ di von Mangoldt e funzioni θ e ψ di Chebishev. Teoremi di Chebishev e congettura di Bertrand. Formule
di Mertens. Studio delle funzioni ω(n), Ω(n): teorema di Hardy-Ramanujan.
Teorema dei numeri primi: cenno della dimostrazione di Selberg. Caratteri di un
gruppo abeliano. Funzioni L e teorema di Dirichlet sui primi nelle progressioni
aritmetiche.
COMPLEMENTI (esclusi dal programma d’esame):
Somme di successioni di elementi di campi finiti (teorema di Cauchy-DavenportChowla) e di interi (densità di Schnirelmann e teormemi sulla densità). Cenno della
dimostrazione del problema di Waring. Frazioni continue. Formule ricorsive per i
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convergenti principali, convergenti principali come migliori approssimazioni razionali
ad un numero reale irrazionale, periodicità della frazione continua degli irrazionali
quadratici.
TESTI DI RIFERIMENTO
G.H. Hardy and E.M. Wright. An Introduction to the Theory of Numbers, Clarendon
Press.
K. Chandrasekharan, Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag.
L.K. Hua, Introduction to Number Theory, Springer Verlag.
OBIETTIVI FORMATIVI
Acquisizione di nozioni e tecniche aritmetiche della teoria elementare dei mnumeri;
formazione dei concetti di base per futuri approfondimenti sia algebrici che analitici.
PREREQUISITI
Programmi dei corsi di Aritmetica, di Strutture Algebriche e di Elementi di Analisi
Matematica.
METODI DIDATTICI
Corso di 45 ore di lezione, delle quali un terzo circa dedicate alla soluzione di esercizi
e semplici problemi.
MODALUITA’ DI VERIFICA DELL’APPRENDIMENTO
Un’unica prova orale per la verifica delle conoscenze e della capacità di usare i metodi
insegnati.
ALTRE INFORMAZIONI
Nessuna.
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