Operazioni tra funzioni
Siano f e g due funzioni, allora ∀ x ∈ Df ∩ Dg, cioè appartenente all’intersezione dei
loro domini, possiamo definire
f(x) ± g(x) , f(x)⋅g(x) ,
Es. f(x) =
f (x )
se g(x) ≠ 0
g( x )
4 − x 2 , g(x) = 3x + 1 Df ∩ Dg = [-2,2] ∩ R = [-2,2]
4 − x 2 ± 3x + 1 ,
4 − x 2 ⋅ (3x + 1) ,
4 − x2
1
per x ≠ −
3x + 1
3
In particolare se g(x)=c, cioè è una funzione costante (retta parallela all’asse x) allora ∀ x ∈ Df si
ha cf(x)= c 4 − x 2
Es. Funzioni polinomiali (somma algebrica di funzioni potenza)
f(x) = anxn + an-1xn-1 + ….+a1x + a0 grado n
1
f(x)= 2x5 + x4 - 5x2 + 3 funzione polinomiale di grado 5
3
Es.
La parabola in rosso è il grafico della somma della parabola f(x) = x2 e della retta g(x) = x-1
h(x) = x2 + x - 1
x2
x-1
In generale si definiscono funzioni algebriche tutte quelle ottenute come somma ,prodotto,
quoziente o radici di funzioni polinomiali. Tutte le altre sono chiamate trascendenti.In particolare il
rapporto di funzioni polinomiali si chiama funzione razionale.Tra quelle viste fino ad ora , sono
trascendenti la funzione esponenziale e la funzione logaritmo.
Un altro esempio di funzione trascendente è dato dalle funzioni trigonometriche incontrate nel
cap.3:
π
f : x ∈ R → y = senx ∈ [-1 , 1] , f : x ∈ R → y = cosx ∈ [-1 , 1] , f : x ∈ R - + kπ → y=tgx ∈ R
2
senx
con tgx =
e k ∈Z
cos x
Seno e Coseno sono funzioni periodiche : f(x) = f(x + T ), di periodo T = 2 π
La Tangente è periodica di periodo T = π
Grafici delle funzioni trigonometriche
cosx
cos0=1, cos π /2= 0 , cos π = -1
………..
1
L’immagine dell’insieme R mediante le funzioni seno e
x
-1
coseno è l’intervallo [-1,1]
tgx
tg0= 0, tgπ/2
π
2
π
±∞, tgπ=0………
x
Composizioni di funzioni
Date due funzioni f,g , la funzione composta f o g è definita da f(g(x)) il cui dominio è l’insieme
delle x per cui g(x) ∈ Df .
Es.
Funzione
Formula
Dominio
f
x
[0, + ∞ )
g
x+1
fog
f(g(x) = f(x+1) =
x +1
[-1, + ∞ )
go f
g(f(x) = g( x ) =
x + 1
[0, + ∞ )
fof
f(f(x)) = f( x ) =
go g
g(g(x)) = g(g(x)) = (x+1)+1=x+2
R
x = x1/4
Es. f(x) = cosx , g(x) = x2 , f(g(x)) = f(x2) = cosx2
[0, + ∞ )
R
Df o g = R
Funzioni limitate
Se il grafico di una funzione f è contenuto nel semipiano inferiore delimitato da una retta parallela
all’asse delle x, per esempio y = M, la funzione si dice limitata superiormente
f limitata superiormente ⇒ f(x) ≤ M ∀ x ∈ Dominio.
Analogamente
∀ x ∈ D , grafico contenuto nel semipiano superiore
f limitata inferiormente ⇒ f(x) ≥ m
delimitato dalla retta y =m parallela all’asse delle x.
f limitata : Se lo è sia superiormente che inferiormente.
Esempi:
f(x) = x3 non è limitata.
f(x) = x2 non è limitata superiormente
ma lo è inferiormente : x2 ≥ 0 (retta y = 0)
f(x) =
1
1+ x2
1
≤1
∀ x ∈ R ⇒ f limitata
1+ x2
(contenuta in una striscia orizzontale del piano xy delimitata dalle rette y=0 e y=1)
0<
f(x) = |x | , |x | ≥ 0 limitata inferiormente.
Limiti di funzioni
Questa volta ci interessiamo al comportamento di una funzione f(x) quando x si avvicina molto ad
un numero, a, che non necessariamente appartiene al dominio di f.
Domanda: Se x si avvicina sempre più al numero, a, accade che f(x) si avvicina sempre più ad un
numero, L ?? Se la risposta è si, diremo che il limite di f(x) per x che tende ad a è uguale ad L
Notazione :
lim f(x) = L
x →a
Es. Tangente ad una parabola y = x 2 , P(a,a2), Q(x,x2)
La retta secante PQ ha coefficiente angolare
Q
m PQ =
yQ − yP
xQ − xA
=
x2 − a2
x−a
P
La retta tangente in P si avrà facendo muovere il punto Q verso P
e quindi il suo coefficiente angolare sarà
x2 − a2
( x + a )( x − a )
= lim
con x ≠ a
x−a
x →a x − a
x →a
m = lim mPQ = lim
x →a
= lim (x + a)
x →a
Quando x si avvicina sempre più ad a si ha che (x + a) si avvicina sempre più ad (a + a) cioè a 2a.
Quindi m = 2a .
Es. y =f(x)=
1
x
D = R - {0}
Quanto più x si avvicina allo zero tanto più
in valore assoluto e quindi non esiste alcun numero finito a cui f(x) tende.
1
cresce
x
LIMITE DESTRO e LIMITE SINISTRO
f(x)
Sia f(x) = 1 - x 2 (semicirconferenza di raggio 1)
-1
1
x
Df =[-1 , 1] la funzione è definita a destra di -1 e a sinistra di 1
Quindi potrò avvicinarmi a -1 solo da destra lim f(x) = 0 e a 1 solo da sinistra lim f(x) = 0
x → −1 +
Altro esempio: f(x) =
lim
x ,D =R- 0
f
x
x =
x
lim − = −1
x
x
x→ 0−
x →1−
invece
x →0-
lim
x =
x
lim =1
x
x
x → 0+
x →0+
Teorema 1: Se una funzione f(x) ammette un valore limite in un punto x0 tale valore è unico e il
limite destro e il limite sinistro sono uguali ad esso.
Nell’esempio,quindi, f (x) =
x , non ammette limite nel punto zero.
x
Teorema 2 : Permanenza del segno. Se una funzione f(x) ammette un limite L(positivo o negativo)
quando x tende a un valore xo, allora esiste un intorno di xo in cui la funzione ha
lo stesso segno di L.
ALGEBRA DEI LIMITI FINITI
Il limite della somma, della differenza, del prodotto, del quoziente di due funzioni è rispettivamente
uguale alla somma, alla differenza, al prodotto e al quoziente(purchè il denominatore sia diverso da
zero) dei due limiti.
Questi due esempi saranno utilizzati nell’argomento sulla derivata di una funzione.
