Forma normale negativa

Le forme normali
• Utilizziamo i teoremi di sostituzione per la costruzione delle
forme normali
• Le forme normali vengono introdotte per semplificare il
procedimento di verifica delle tautologie
• I dimostratori automatici più eﬃcienti non agiscono sulle
formule della logica proposizionale completa, ma richiedono che
ciascuna formula venga posta in forma normale
• Studiemo le seguenti forme normali
– forma normale negativa
– forma normale congiuntiva
– forma normale disgiuntiva
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Forma normale negativa
Una formula proposizionale X viene detta in forma normale
negativa se gli unici simboli di negazione in X occorrono davanti
alle lettere proposizionali.
Ogni formula proposizionale può essere messa in forma normale
negativa
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Notazione uniforme
• Per ridurre il numero di casi che devono essere considerati
quando si trattano tecniche e metodi di dimostrazione, conviene
considerare un piccolo numero di connettivi di base e prendere
gli altri come derivati.
• Useremo la notazione uniforme di Smullyan che mette a
disposizione un vasto insieme di connettivi senza dover
considerare un gran numero di casi nelle dimostrazioni e nelle
definizioni.
• raggruppiamo le formule proposizionali delle forme (X ◦ Y ) e
¬(X ◦ Y ) (◦, connettivo primario) in due categorie
– α-formule (congiuntive)
– β-formule (disgiuntive)
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α- formule e β-formule
α
α1
α2
β
β1
β2
X1 ∧ X2
¬(X1 ∨ X2)
¬(X1 ⊃ X2)
¬(X1 ⊂ X2)
¬(X1 ↑ X2)
X1 ↓ X2
X1 ̸⊃ X2
X1 ̸⊂ X2
X1
¬X1
X1
¬X1
X1
¬X1
X1
¬X1
X2
¬X2
¬X2
X2
X2
¬X2
¬X2
X2
¬(X1 ∧ X2)
X1 ∨ X2
X1 ⊃ X2
X1 ⊂ X2
X1 ↑ X2
¬(X1 ↓ X2)
¬(X1 ̸⊃ X2)
¬(X1 ̸⊂ X2)
¬X1
X1
¬X1
X1
¬X1
X1
¬X1
X1
¬X2
X2
X2
¬X2
¬X2
X2
X2
¬X2
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Altri tipi di formule
Abbiamo anche:
• Le formule ⊤, ⊥, P , ¬P , ¬⊤, ¬⊥.
• Le formule di tipo ¬¬Z
In questo modo esauriamo tutti i tipi di formule
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Principio di induzione strutturale
Sia Q ⊆ Prop. Se
Caso Base: Ogni formula atomica e la sua negazione ha la
proprietà Q,
Passo induttivo: • se Z ha la proprietà Q, anche ¬¬Z ha la
proprietà Q,
• se α1 ed α2 hanno la proprietà Q, anche α ha la proprietà Q,
• se β1 e β2 hanno la proprietà Q, anche β ha la proprietà Q,
allora Q = Prop.
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Principio di ricorsione strutturale
Sia B = ATProp ∪ ¬ATProp, D ̸= ∅ e
•g : B → D
• h¬¬ : D → D
• lα : D × D → D
• lβ : D × D → D
esiste unica f : Prop → D tale che
• f (X) = g(X), X ∈ B
• f (¬¬X) = h¬¬(f (X)), X ∈ Prop
• f (α) = lα(f (α1), f (α2)), α, α1, α2 ∈ Prop
• f (β) = lβ (f (β1), f (β2)), β, β1, β2 ∈ Prop
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Congiunzioni e disgiunzioni generalizzate
Sia X1, . . . , Xn una lista di formule proposizionali (possibilmente
vuota).
• [X1, . . . , Xn] è la disgiunzione generalizzata di X1, . . . , Xn
• ⟨X1, . . . , Xn⟩ è la congiunzione generalizzata di X1, . . . , Xn
Semantica
Se v è una valutazione booleana, in aggiunta alle altre condizioni
richiediamo che
• v([X1, . . . , Xn]) = t ⇔ esiste un i ∈ {1, . . . , n} tale che
v(Xi) = t
• v(⟨X1, . . . , Xn⟩) = t ⇔ per ogni i ∈ {1, . . . , n}, v(Xi) = t
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Letterali, clausole, formule normali
• Un letterale è una lettera proposizionale, o la sua negazione, o
una delle costanti ⊤, ⊥ (Lit = ATProp ∪ ¬P)
• Una clausola è una disgiunzione generalizzata [X1, . . . , Xn] in
cui ogni membro è un letterale
• Una clausola duale è una congiunzione generalizzata
⟨X1, . . . , Xn⟩ in cui ogni membro è un letterale
• Una CNF (Conjunctive Normal Form) è una congiunzione
generalizzata di clausole ⟨C1, . . . , Cn⟩
• Una DNF (Disjunctive Normal Form) è una disgiunzione
generalizzata di clausole duali [D1, . . . , Dn]
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Il sistema di dimostrazione dei tableaux semantici
Il metodo dei tableaux è un modo per dimostrare una formula
logica in maniera sistematica:
• un certo numero di regole di inferenza
• delle istruzioni su come applicarle
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Caratteristiche del metodo dei tableaux 1.
Metodologia di dimostrazione
• Generalmente per refutazione e distinzione per casi
• In maniera duale i tableaux possono essere visti come
dimostratori di validità
• I casi da analizzare (per la dimostrazione di una formula)
vengono determinati in modo corretto ed esaustivo
• Maniera sistematica per derivare un contro-esempio per
un’asserzione
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Caratteristiche del metodo dei tableaux 2.
Aspetti semantici
• Le regole di inferenza seguono la semantica dei connettivi logici
• Nel caso proposizionale una dimostrazione fallita fornisce un
contro-esempio per l’asserzione che doveva essere provata
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Regole di espansione per tableaux proposizionali
¬⊤
⊥
¬⊥
⊤
¬¬Z
Z
α
α1
α2
• Coincidono con le regole di riscrittura per DNF
• Consentono di trasformare un tableau (albero) in un altro
tableau
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β
β1 | β2
Definizione di tableau
Sia {A1, . . . , An} ⊆ Prop
1. Il seguente albero con un ramo solo
A1
..
An
è un tableau per {A1, . . . , An}
2. Se T è un tableau per {A1, . . . , An} e T ∗ viene ottenuto a
partire da T attraverso l’applicazione di una regola di espansione
per tableaux, allora T ∗ è un tableau per {A1, . . . , An}
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Alcune definizioni
Sia T un tableau, θ un ramo
• θ è chiuso se esiste X formula in Prop, tale che X, ¬X ∈ θ,
oppure se ⊥ ∈ θ
• θ è atomicamente chiuso se esiste P ∈ P, tale che P, ¬P ∈ θ ,
oppure se ⊥ ∈ θ
• T è chiuso se per ogni ramo θ ∈ T , θ è chiuso, ossia un tableau
è chiuso se lo sono tutti i suoi rami
• T è atomicamente chiuso se per ogni ramo θ ∈ T , θ è
atomicamente chiuso
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Alcune definizioni
Se esiste un tableau chiuso per ¬X, X è un teorema del sistema
dei tableaux proposizionali e si scrive ⊢pt X
{X : ⊢pt X} è l’insieme dei teoremi del sistema dei tableaux
proposizionali
Si dimostra che {X : ⊢pt X} = {X : |=p X}
attraverso i teoremi di correttezza (⊢pt X ⇒ |=p X) e
completezza (|=p X ⇒ ⊢pt X)
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